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高中数学选修1-1 33 导数在研究函数中的应用导学案及练习题-3. 3.1 利用导数判断函数的单调性


【学习要求】1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能 利用导数研究函数的单调性, 并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【学法指导】结合函数图象(几何直观 )探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系,体会数形结合思 想,以直代曲思想. 一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系: 导数 [来源:学 &科&网 Z&X&X&K] 函数的单调性 单调递 单调递 常函数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 问题 1 探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系 观察下面四个 函数的图象,回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系? 问题 2 问题 3 若函数 f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么 f′(x)一定大于零吗? (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么如何表示这些区间?试写出问题 1 中 (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系? (4)的单调区间. 例 1 已知导函数 f′(x)的 下列信息: 当 1<x<4 时,f′(x)>0;当 x>4 或 x<1 时,f′(x)<0;当 x=4 或 x=1 时,f′(x)=0. 试画出函数 f(x)图象的大致形状. xkb1.com 跟踪训练 1 函数 y=f(x)的图象如图所示,试画出导函数 f′(x)图象的大致形状. 新*课标*第*一*网 例 2 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=2x(ex-1)-x2; (2)f(x )=3x2-2ln x. 跟踪训练 2 求下列函数的单调区间: (1 )f(x)=x2-ln x; (2)f(x)= ex ; x-2 (3)f(x)=sin x(1+cos x)(0≤x<2π). [来源:Z*xx*k.Com] 探究点二 函数的变化快慢与导数的关系 问题 我们知道导数的符号反映函数 y=f(x)的增减情况, 怎样反映函数 y=f(x)增减的快慢呢?能否从导数 新 课 标 第 一 网 的角度解释变化的快慢呢? 例 3 如图,水以常速(即单位时间内注入水 的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出 与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象. 跟踪训练 3 已知 f′(x) 是 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则 f(x)的图象只可能是 ( ) 【达标检测】 1.函数 f(x )=x+ln x 在(0,6)上 是 A.单调增函数 1? ?1 ? C.在? ?0,e?上是减函数,在?e,6?上是增函数 B.单调减函数 1? ?1 ? D.在? ?0,e?上是增函数,在?e,6?上是减函数 ) ( ) 2. f′(x)是函数 y=f(x)的导 函数,若 y=f′(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是 ( 3.函数 f(x)=ln x-ax(a>0)的单调增区间为 1 0, ? A.? ? a? 1 ? B.? ?a,+∞? C.(0,+∞) D.(0,a) ( ) 4.(1)函数 y=x2-4x+a 的增区间为______,减区间为______. (2)函数 f(x)=x3-x 的增区间为______,减区间为______. 新课 标第 一 网


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