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山城区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

山城区第三中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 对于任意两个正整数 m,n,定义某种运算“※”如下:当 m,n 都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合 M={(a,b)|a※b=12,a∈N*,b∈ N*}中的元素个数是( ) ,M 为 A1B1 的中点,则 AM 与平面 AA1C1C 所成 A.10 个B.15 个 C.16 个 D.18 个 2. 在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,侧棱 AA1= 角的正切值为( A. 3. A.2 A. B.4 B. C.π C. ) B. =( D.2π ) D. ) ) D.﹣ ) ) C. D.

姓名__________

分数__________

4. 在正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为(

5. 已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 =( A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i D.﹣3+4i 6. 已知 tan( A. ﹣α)= ,则 tan( B.﹣

+α)=( C.

7. 若关于 x 的方程 x3﹣x2﹣x+a=0 x2, x3, (a∈R) 有三个实根 x1, 且满足 x1<x2<x3, 则 a 的取值范围为 ( A.a> B.﹣ <a<1 C.a<﹣1 D.a>﹣1 )

8. 已知双曲线 kx2﹣y2=1(k>0)的一条渐近线与直线 2x+y﹣3=0 垂直,则双曲线的离心率是( A. B. C.4 D. ) D.(4,2) )

9. 若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( A.(2,4) B.(2,﹣4) C.(4,﹣2)

10.设 b,c 表示两条直线,α,β 表示两个平面,则下列命题是真命题的是( A.若 b?α,c∥α,则 b∥cB.若 c∥α,α⊥β,则 c⊥β C.若 b?α,b∥c,则 c∥α D.若 c∥α,c⊥β,则 α⊥β
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11.已知双曲线 A.(

2 2 的渐近线与圆 x +(y﹣2) =1 相交,则该双曲线的离心率的取值范围是(



,+∞) B.(1,
2



C.(2.+∞) )

D.(1,2)

12.以下四个命题中,真命题的是( A. ?x ? R, x ? x ? 2

B.“对任意的 x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“存在 x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 C. ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数 D.已知 m , n 表示两条不同的直线, ? , ? 表示不同的平面,并且 m ? ? , n ? ? ,则“ ? ? ? ”是 “ m / / n ”的必要不充分条件 【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识,意在考查逻辑推理能力.

二、填空题
13.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若﹣1<a3<1,0<a6<3,则 S9 的取值范围是 14. f x) +∞) f 2) =0, f log8x) 定义在 R 上的偶函数 ( 在[0, 上是增函数, 且( 则不等式 ( >0 的解集是 . .

15.设有一组圆 Ck:(x﹣k+1)2+(y﹣3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题: ①存在一条定直线与所有的圆均相切; ②存在一条定直线与所有的圆均相交; ③存在一条定直线与所有的圆均不相交; ④所有的圆均不经过原点. 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).

16 .【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数 f ? x ? ? x ? lnx ? 4 的零点在区间

k ? 1? 内,则正整数 k 的值为________. ?k,
17.已知 | a |? 2 , | b |? 1 , ?2a 与 b 的夹角为

1 3

? ,则 | a ? 2b |? 3




18.抽样调查表明,某校高三学生成绩(总分 750 分)X 近似服从正态分布,平均成绩为 500 分.已知 P(400 <X<450)=0.3,则 P(550<X<600)=

三、解答题
19.本小题满分 12 分 设函数 f ( x) ? e ? a ln x
x

Ⅰ讨论 f ( x ) 的导函数 f '( x) 零点个数; Ⅱ证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln a

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20.如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥平面 ABCD,BF=3,H 是 CF 的中点. (1)求证:AC⊥平面 BDEF; (2)求二面角 H﹣BD﹣C 的大小.

21.现有 5 名男生和 3 名女生. (1)若 3 名女生必须相邻排在一起,则这 8 人站成一排,共有多少种不同的排法? (2)若从中选 5 人,且要求女生只有 2 名,站成一排,共有多少种不同的排法?

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22.如图,A 地到火车站共有两条路径



,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所

用时间落在个时间段内的频率如下表:

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求 X 的分布列和数学期望 。

23.设不等式

的解集为 . 与 的大小。

(1)求集合 ; (2)若 , ∈ ,试比较

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24.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, E , F , G, H 分别是 AB, AC, PC, BC 的中点,且

PA ? PB, AC ? BC .

(1)证明: AB ? PC ; (2)证明:平面 PAB 平面 FGH .

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山城区第三中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B
* 【解析】解:a※b=12,a、b∈N ,

若 a 和 b 一奇一偶,则 ab=12,满足此条件的有 1×12=3×4,故点(a,b)有 4 个; 若 a 和 b 同奇偶,则 a+b=12,满足此条件的有 1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6 共 6 组,故点(a,b)有 2×6 ﹣1=11 个, 所以满足条件的个数为 4+11=15 个. 故选 B 2. 【答案】D 【解析】解:双曲线 (a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x

联立方程组

,解得 A(



),B(

,﹣

),

设直线 x=

与 x 轴交于点 D

∵F 为双曲线的右焦点,∴F(C,0) ∵△ABF 为钝角三角形,且 AF=BF,∴∠AFB>90°,∴∠AFD>45°,即 DF<DA ∴c﹣ <
2 2 2 2 2 2 ,b<a,c ﹣a <a ∴c <2a ,e <2,e<

又∵e>1

∴离心率的取值范围是 1<e< 故选 D 【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法,关键是找到含 a,c 的齐次式,再解不等式.

3. 【答案】A 【解析】解:∵(﹣cosx﹣sinx)′=sinx﹣cosx, ∴ 故选 A. 4. 【答案】C = =2.

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【解析】解:正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上, 在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个, 所以共有 4×6=24 个,
3 而在 8 个点中选 3 个点的有 C8 =56,

所以所求概率为 故选:C

=

【点评】本题是一个古典概型问题,学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概 念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题. 5. 【答案】B 解析:∵(3+4i)z=25,z= ∴ =3+4i. 故选:B. 6. 【答案】B 【解析】解:∵tan( 故选:B. 【点评】本题主要考查诱导公式,两角和的正切公式,属于基础题. 7. 【答案】B
3 2 3 2 【解析】解:由 x ﹣x ﹣x+a=0 得﹣a=x ﹣x ﹣x, 3 2 2 设 f(x)=x ﹣x ﹣x,则函数的导数 f′(x)=3x ﹣2x﹣1,

=

=3﹣4i.

﹣α)= ,则 tan(

+α)=﹣tan[π﹣(

+α)]=﹣tan(

﹣α)=﹣ ,

由 f′(x)>0 得 x>1 或 x<﹣ ,此时函数单调递增, 由 f′(x)<0 得﹣ <x<1,此时函数单调递减, 即函数在 x=1 时,取得极小值 f(1)=1﹣1﹣1=﹣1,
3 2 在 x=﹣ 时,函数取得极大值 f(﹣ )=(﹣ ) ﹣(﹣ ) ﹣(﹣ )= 3 2 要使方程 x ﹣x ﹣x+a=0(a∈R)有三个实根 x1,x2,x3,



则﹣1<﹣a< 即﹣



<a<1,

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故选:B.

【点评】本题主要考查导数的应用,构造函数,求函数的导数,利用导数求出函数的极值是解决本题的关键. 8. 【答案】A
2 2 【解析】解:由题意双曲线 kx ﹣y =1 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,可得渐近线的斜率为 ,

又由于双曲线的渐近线方程为 y=± 故 = ,∴k= ,

x

∴可得 a=2,b=1,c= 故选:A.

,由此得双曲线的离心率为



【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系,解题的关键是理解一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,由此关系求 k,熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证. 9. 【答案】C 【解析】解:复数 z 满足 iz=2+4i,则有 z= = =4﹣2i,

故在复平面内,z 对应的点的坐标是(4,﹣2), 故选 C. 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,复数与复平面内对应点之间的 关系,属于基础题. 10.【答案】D 【解析】解:对于 A,设正方体的上底面为 α,下底面为 β,直线 c 是平面 β 内一条直线 因为 α∥β,c?β,可得 c∥α,而正方体上底面为 α 内的任意直线 b 不一定与直线 c 平行 故 b?α,c∥α,不能推出 b∥c.得 A 项不正确;

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对于 B,因为 α⊥β,设 α∩β=b,若直线 c∥b,则满足 c∥α,α⊥β, 但此时直线 c?β 或 c∥β,推不出 c⊥β,故 B 项不正确; 对于 C,当 b?α,c?α 且 b∥c 时,可推出 c∥α. 但是条件中缺少“c?α”这一条,故 C 项不正确; 对于 D,因为 c∥α,设经过 c 的平面 γ 交平面 α 于 b,则有 c∥b 结合 c⊥β 得 b⊥β,由 b?α 可得 α⊥β,故 D 项是真命题 故选:D 【点评】本题给出空间位置关系的几个命题,要我们找出其中的真命题,着重考查了线面平行、线面垂直的判 定与性质,面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题. 11.【答案】C
2 2 【解析】解:∵双曲线渐近线为 bx±ay=0,与圆 x +(y﹣2) =1 相交

∴圆心到渐近线的距离小于半径,即
2 2 ∴3a <b , 2 2 2 2 ∴c =a +b >4a ,

<1

∴e= >2 故选:C. 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式等.考查了学生数形 结合的思想的运用. 12.【答案】D

二、填空题
13.【答案】 (﹣3,21) .

【解析】解:∵数列{an}是等差数列, ∴S9=9a1+36d=x(a1+2d)+y(a1+5d)=(x+y)a1+(2x+5y)d,

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由待定系数法可得 ∵﹣3<3a3<3,0<6a6<18, ∴两式相加即得﹣3<S9<21.

,解得 x=3,y=6.

∴S9 的取值范围是(﹣3,21). 故答案为:(﹣3,21). 【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法,属于 中档题. 14.【答案】 (0, )∪(64,+∞) .

【解析】解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(log8x)>0,等价为:f(|log8x|)>f(2), 又 f(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴|log8x|>2,∴log8x>2 或 log8x<﹣2, ∴x>64 或 0<x< . }

即不等式的解集为{x|x>64 或 0<x< 故答案为:(0, )∪(64,+∞)

【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合,是函数性质综合考查题,熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系 是解答的关键,根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键. 15.【答案】 ②④ 【解析】解:根据题意得:圆心(k﹣1,3k), 圆心在直线 y=3(x+1)上,故存在直线 y=3(x+1)与所有圆都相交,选项②正确; 考虑两圆的位置关系, 圆 k:圆心(k﹣1,3k),半径为 两圆的圆心距 d= 两圆的半径之差 R﹣r= (k+1) ﹣
2

k2, (k+1) ,
2

圆 k+1:圆心(k﹣1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径为 = k =2
2



k+



任取 k=1 或 2 时,(R﹣r>d),Ck 含于 Ck+1 之中,选项①错误; 若 k 取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项③错误;
2 2 4 2 4 将(0,0)带入圆的方程,则有(﹣k+1) +9k =2k ,即 10k ﹣2k+1=2k (k∈N*),

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因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在 k 使上式成立,即所有圆不过原点,选项④正确. 则真命题的代号是②④. 故答案为:②④ 【点评】本题是一道综合题,要求学生会将直线的参数方程化为普通方程,会利用反证法进行证明,会利用数 形结合解决实际问题. 16.【答案】2

【解析】 17.【答案】 2 【解析】解析:本题考查向量夹角与向量数量积的应用. a 与 b 的夹角为 ∴ | a ? 2b |?

2? , a ? b ? ?1 , 3

(a ? 2b) 2 ? | a |2 ?4a ? b ? 4 | b |2 ? 2 .

18.【答案】 0.3 .

【解析】离散型随机变量的期望与方差. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】确定正态分布曲线的对称轴为 x=500,根据对称性,可得 P(550<ξ<600). 【解答】解:∵某校高三学生成绩(总分 750 分)ξ 近似服从正态分布,平均成绩为 500 分, ∴正态分布曲线的对称轴为 x=500, ∵P(400<ξ<450)=0.3, ∴根据对称性,可得 P(550<ξ<600)=0.3. 故答案为:0.3. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,正确运用正态分布曲线的对称性是关键.

三、解答题
19.【答案】 【解析】:Ⅰ f '( x) ? e ?
x

a ,因为定义域为 (0, ??) , x

a x x x 有解 即 xe ? a 有解. 令 h( x) ? xe , h '( x) ? e ( x ? 1) , x 当 x ? 0, h '( x) ? 0, h(0) ? 0 ? h( x) ? 0 f '( x) ? 0 ? e x ?
所以,当 a ? 0 时, f '( x) ? 0, 无零点; 当 a ? 0 时,有唯一零点.
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Ⅱ由Ⅰ可知,当 a ? 0 时,设 f '( x) 在 (0, ??) 上唯一零点为 x0 , 当 x ? ( x0 , ??), f '( x) ? 0 , f ( x ) 在 ( x0 , ??) 为增函数;

a ? e x0 x0 ? a x0 a a a a ? f ( x0 ) ? e x0 ? a ln x0 ? ? a ln x0 ? ? a(ln a ? x0 ) ? ? ax0 ? a ln a ? 2a ? a ln a x0 e x0 x0
当 x ? (0, x0 ) , f '( x) ? 0, f ( x ) 在 (0, x0 ) 为减函数.

e x0 ?

20.【答案】 【解析】(1)证明:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD. 又∵平面 BDEF⊥平面 ABCD,平面 BDEF∩平面 ABCD=BD, 且 AC?平面 ABCD, ∴AC⊥平面 BDEF; (2)解:设 AC∩BD=O,取 EF 的中点 N,连接 ON, ∵四边形 BDEF 是矩形,O,N 分别为 BD,EF 的中点, ∴ON∥ED, ∵ED⊥平面 ABCD, ∴ON⊥平面 ABCD, 由 AC⊥BD,得 OB,OC,ON 两两垂直. ∴以 O 为原点,OB,OC,ON 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,如图建立空间直角坐标系. ∵底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,BF=3, ∴B(1,0,0),D(﹣1,0,0),H( , ∴ =(﹣ , , ), =(2,0,0). , )

设平面 BDH 的法向量为 =(x,y,z),则 令 z=1,得 =(0,﹣ 则 cos< , >=﹣ , ,1) =(0,0,﹣3),

由 ED⊥平面 ABCD,得平面 BCD 的法向量为

由图可知二面角 H﹣BD﹣C 为锐角, ∴二面角 H﹣BD﹣C 的大小为 60°

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【点评】本题考查面面垂直的性质,考查线面垂直,考查面面角,考查向量法的运用,正确求出平面的法向量 是关键. 21.【答案】
3 6 【解析】解:(1)先排 3 个女生作为一个整体,与其余的 5 个元素做全排列有 A3 A6 =4320 种. 2 3 5 (2)从中选 5 人,且要求女生只有 2 名,则男生有 3 人,先选再排,故有 C3 C5 A5 =3600 种

【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理,排列数公式、组合数公式的应用,注意特殊元素和特殊位 置要优先排. 22.【答案】 【解析】(1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2,用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0。1+0。2+0。3=0。6,P(A2)=0。1+0。4=0。5, P(A1) >P(A2), P(B2) >P(B1), 甲应选择 Li 乙应选择 L2。 P(B1)=0。1+0。2+0。3+0。2=0。8,P(B2)=0。1+0。4+0。4=0。9, (2)A,B 分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(Ⅰ)知 ,又由题意知,A,B 独立,

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23.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由 所以 (2)由(1)和 所以 故 24.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 ,

考 点:平面与平面平行的判定;空间中直线与直线的位置关系.

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