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一种CORDIC算法的精度分析及其在FFT设计中的应用_图文

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微电子学与计算机 

2 0 年 7月 ? 2 卷第 7 04 第 l 期 



种C R I O D C算 法 的精度分析及其在 F T设计 中的应用  F
韩 芳  初 建 朋 赖 宗声   
( 华东 师范 大学微 电子 电路与 系统研 究所 , 上海 2 0 6 ) 0 0 2 

摘  要 :针 对 C RD C算 法的精 度 问题进 行 了理 论 分析 , 先研 究 了 C D C算 法 中旋转 级数 、 作数 位 宽 与精 度 的 O I 首 OR I 操  

关系. 并将这 一结 果实 际应 用于 F r算法 的 F G 设计 实现 中。经 实 际验证 , 种分 析 的结果是 合理 的 , F PA 这 可作 为设 计过 
程 中选 取旋 转 级数 和操作 数数 据位 宽 的参考 。   关 键词 : 向量旋 转 , OR I C D C算 法 ,P A, 差  FG 误

中图法 分类 号 :N   T4

文献标 识 码 :  A

文 章编号 :00 7 8( 0 ) — 1— 3 10— 102 4 7 04 0  0 0

Nu e i a  c r c   fa CORDI Al o ih   n  t  p i a i n m rc lAc u a y o    C  g rt m a d isAp l to   c
HAN F n , HU J n p n , A   o gs e g   a g C  i —e g L I n —h n   a Z
( stto  i ol t n s i u & Ss m E sC i  om l n .Saga 20 6 h a I tu  f c e c oi   r i n i e M r e r c C c t yt , at h a r a U i , hnhi 0 0 2 i ) e   nN   v   C n 
Absr c : T e v co oain o ea in i  xe sv l  mp o e  n sg a  rc sig a d i g  rc sig n ti  a e ,a ta t h   e trr tt  p rto  se tn ieye ly d i  in lp o e sn   n  ma ep o esn .I hsp p r   o CORDI  lo t m si lme td i e lzn  e trr tto . A  eald er ra ay i i ie   n  h  e uti  p l d t  C ag r h i mp e ne  n raii gv co oain i   d ti   ro  n lss sgv n a d t er s l sa p i  o e     e

ad t ec oc  fte n mb ro   eCORDI  trt n   n  h  n en   r e gh d rn   e pa t a  e in p c d r. i h  h ieo     u e ft   h h C i ai sa d te itra wod ln t  u gt   r cil d sg   r e u e  e o l i h c o
Ke   r s y wo d :Ve t rr t t n, ORDI   g rt m , P co  o a i o C Ca o h l i F GA, r o   E rr

1 引言   
C D C( o r iae R tt n D gtl o ue ) OR I C odn t  oai   ii   mp tr  o aC

其 对 设 计 的 意 义 .最后 将 基 于精 度 考 虑 设 计 的  CR I O D C处理器 应用 于实 际 F T的设计 中 , 给 出 F 并   其 FG P A综合结果 。  

是 一种 用 于计算 一 些 常用 的基 本 运算 函数 和算术  操作 的循 环迭代算法 , 初 由 J D V le 于 15  最 . . o  ̄] 99 d 年提出, 其基本 思想 是用一 系列与 运算基 数相关 的  角度 的不 断偏摆从而逼近所 需旋转 的角度 。由于具  有结 构简单 和整个 运算 只有加法 与移位 的优点 , 使  得 这些 复杂 运 算在 硬 件上 可 以较 好地 实 现 。1 7  91
年 ,. . 1  提 出 统 一 的 C R C算 法 , 圆 周  J S Wat e O DI 把

2 C D C算法基本原理    OR I
依据 C R I 法 , 向量 ( ,) O D C算 把   y 旋转角度  到 
向量 ( ,  , 通 过 旋 转 一 系列 基 本 角度  , 复迭    Y )可 反

代, 逐渐逼近 完成。 基本 的每一级迭代公式 总结 如 
下:  

旋转 、双 曲旋转 和直线旋转 统一到 同一 个 C R I  O DC 迭代方程 里 , 同一硬件 实现 多功能运 算提供 了前  为 提, 使它 展示 出更 为广泛 的应用 前景 。 由于它将 许  多复杂 的算术运 算化 成简单 的加法 和移位操 作 。 在 

X IX y S t O  i [一 i  ̄ a i +   x x n] =
y l[  。 ia O  i Y   S tn i + 一 ̄  ̄ = ] Zlg-  O i is i + = x  旋转的方 向。  
fl —  五<   0

() 1 
() 2  () 3 

i0 l2 3 — , 总共旋 转 的级 数 , 决定  = , , ,…n ln是 S  

不影响运 算速 度和精 度的情况 下 , 极大 地降低 了硬 
件设计 的复杂性 , 因此它在许 多 D P算 法 的硬件 实  S
现 中 都 有 着 极 为 重 要 的意 义 [ 3 1 。经 过 人 们 不 断 地 对  其进 行探索 研究 , 目前 C D C算 法 已被 成 功 地 应  OR I

S { 。  = 【 1 f Z≥0 + i    
为方便硬件实现 , 令  满 足 :   tni2 即 0 aea (   a0   = 1 rtn 2 ) =

() 4 

用 于 F T D T等信号 处理 , F 、C 图像处理 , 解决线性 系  统 问题等领 域 。   本 文 主要 研究 一种 基 本 的实 现 向量 旋 转 功能 
的 C D C算 法 : 先 介 绍 用 C RD C算 法 实 现 向  OR I 首 O I

() 5 

则 每 一级 的运 算 就是 相应 输入 的 向量 的移 位 

相 加 。若 要 实现 复 数相 乘 ,每级 迭 代 时还要 乘上 
es ̄ o0 :若 只是需 要 所求 值 的 比例 关 系则 不 必 考虑 

量 旋转 的基本原 理 , 然后 详细讨 论 了其 精度 问题 及 
收稿 日期: 0 3 1— 0 2 0 — 2 1  基金项 目: 上海 市科 委项 目P C(2 0 2 1 ) D 0 7 6 0 2 

es ̄ oO 因此 , 。 可根据 实际应用 的要求决定是否 在最后 
须乘上修正 因子 :  

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2 0 年 7月 ? 2 04 第 1卷 第 7期 

微 电子 学 与 计 算 机 

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南:c n    o - ns 1 -  寿 1  
由于 所 能 获 得 的 最 大 旋 转 角 度 为 :  
= r x m

6 ,  

3 舍入误 差  . 2 可将公 式 ( ) 2 改写 成 : 1 和( )   + ) 咖( 1 =   )   (=     是第 i 的旋转 向量     ( ,(] ) ) ) 级 脚   1 —   S (3  1)

l ∑at() .39.   i ra2=7 39 1) m cn-14 ( 91  ̄ 。

为 了 能 实 现 3 0度 旋 转 . 所 旋 转 的 角 度 需 要  6 对
进 行预处理 :  
表 1 角 度预 处理关 系 

1] i  2  

(  1 4 )
(5 1)  

l ( l 、 12   )= l i l /+  P

令l ) 兰   l l l n )  
定义 Q ? [ 为量化运算 符 ,   ] 则:

() 1  6

0  ≤要 

令xxyyzz =, .   = =

≤  盯
盯<z≤  

令 :, , 一      z号    
令 X - , — z  盯 = X   , 一   =


盯 

Q (]  )e )    = (+ ( )       其 中 e  由于舍入 而 引起 的误 差 向量 ,( 兰 (是 ) ei   )
[(, ]o本文采用定点 制 , e e T  ) ) 因此 e   , ≤占   ) e ( ≤占  ) , 占 的幅度 由运算 精度决 定 。如果 操作数有 b位二 进 
制小数位 . : 则 
s2 = 击  (7  1)



盯≤   <2 z盯

令   ,一盯  , z 号   

3 误差 分析 
由基本原 理 可知 .O I C RD C算 法 所 能 达 到 的 精 

) 、  + ≤ /   I/ e 、   e    £

() 1  8

度与所选取 的旋转 级数和操作数位宽有关 。  
针 对 C R C精 度 的 理 论 分 析 是 在 Hu5 做  O DI t 1 所

令   (代表第 i ) 级运 算未 舍入 前 的值  ) 为第 i  
级旋 转 的所 有 的舍 入 误 差 。则 第 n级 的所 有 的舍 入  误差为 :  


的工作基础上得 出的 。 出 向量 的误差 主要 由以下  输
两 部 分 组 成 : 似 误 差  近 和 舍 入 误 差  。把 实 

际旋转 角度  凡与理 想旋转 角度 Z的误差值 引起输  f)
出 的误 差 定 义 为 近 似 误 差 . 误 差 是 由于 旋 转 级 数  该

口 叫  (  (  

有 限和用来 表述角度 的二进 制位数有限引起 的。在 
每 级 计 算 中 有 限 的 计 算 精 度 引 起 的 误 差 定 义 为 舍 

=凡 ∑ ) 凡 1 e)   e (+   ≥ 

() 1  9

上式 可 以用数学归纳法证 明[ 由于初 始值 (   5 1 。 0 ) 并不存在舍 入误差 , 以 e )0 (9 式改 写为 : 所 ( = ,1 ) 0  

入误差 , 该误差是 由有 限的操作数宽度 引起 的。   31 近似误差  . 设 向量  经 过 n级 旋转 后 , 到 向量 vn, 得 ()实  际旋转角度 为 z )则 角度误 差  ̄ zz ) (, n =-( 。本文选择  n 的基 本 角度 序列 使 得 角度 误差  不会 超 过 最小 的  基本旋转角度 . :≤ac n  ̄  即   rt ( 1 a2  
另 设 理 想 旋 转 结 果 为  , 则 

凡e)∑{ e 凡 1 ) (+     ≥  =凡 ∽
则最 大的舍入误差为 :  

=凡 I)∑l PeI  ) e I   (/ I (+ i i) ≤凡 - )  i (

(f 凡  ) =

。 l) i    n n 君  

( 7 )  
() 8   () 9  

( = — () 凡    凡 )   因此 , 对 误 差 为 : 相   I 口凡IInl D—I   ( /v ) ) ( ≤t I  

≤)     I薯尊 f - e∑n l I  =i f  If   +I l    ? 1 l   e   I ( f c : ≤∑Fi   { =… 1 Il +fp  =曲) 1J    I 1 』 ( s I 』 f   i…  
≤  ≤ 

= s+ l( 1   ( ∑ l  ) 1    
33 总的误差 g .  

() 2  0

l Il V ̄oS 1 +i2   l   = ( s- ) s 8 D- c 2 n 


2il/I II rtn2 ̄) sn 2≤ 8≤aca (-  S  

f0  11

当 n足够大时 , : 有  ac n -  2 rt (  ̄   刊  a2 ) 所 以最 大 的 近 似 误 差 为 :   (1 1)  

考虑 修正 因子  () 凡的影 响 , ( ] 凡是 实际    凡  () ) 旋转计 算 的结果 。 ( / () 只考虑 近似误差 , 考  vn K n是 ) 未 虑舍入误 差 的结果  凡 ( 则是所有 的舍 入引起 的  ) 凡   )
误差 。因此有 :  

岛 = -() 『 I『 Inl     -nl I - <   v  ̄ D- I v ) ?(  
≤ac n  ̄  ( l - Inl rt ( +ln  nv ) a2 ) ) v + (    (2  1)

Q 凡] ( = () ( 七 n K n [ )  凡   , 凡   ) (   ( / ) 凡  ) / )

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微 电子学与计算机 

20 年 7 ? 2 卷第 7期  04 月 第 1

而 由式 ( ) 8 得 

级数和操作数位 宽的一种参考 。   4 应 用举例和结果 

QgnI   坝 n [() D一 = )  
所 以 总 的误 差 鼬 是 

I[ nlv I (   Q ̄ )  / n ( - K )

在某 些 信息 安 全领 域 里 的数 字签 名 算 法里 会 

≤ I   JI. / )jnl (    I —  I I D 1 v   +【 / n , )K ) 其中 I I   I I   I  I   =I D I 。


( 1  2)

用到大量 的 F T的计算 , F 上文介 绍 的 C R I O D C算法  的设 计 及其 精度 分 析 的方 法 已被 成功 应 用 于我们 
正 在 实 现 的 F T的 复数 相 乘 模 块 中 。 F  

如果设计 的 目标是 : 最大误差满 足下式 
^ 一1  

在本 文 的设 计 中 . 求实现数 字精度 达 1 的  要 O (2  2)
C DI OR C处 理 器 , 要 求 6= 3 则 可 以 根 据 表 1确  即 。1 ,

mx )   a ̄ ≤2

则将式(1, o 入式(1 : 1)( )   2代 2)   得
r  


定最 小的 凡和 b以达到需要 的精度 。经查 表 1 , 得  

n1 一 

1  

n 2  + I( l( +   l ∑ I   n 1 m     + 1 )  
L   J= 1   j  

() 2  3

b 9, =1   =1 n 6。

依据第 二部 分所述原 理 , 所设 计 的 C R I O D C处  理器的基本结构框 图如图 1 所示( 中 n 1) 其 =6:  

兰2  

≤2  

其 中 , 代表有效位 宽 。     根据 公式(3. O D C算法 能达 到的精度 和 n 2 1C R I   ( 旋转级数 )b 操作 数位宽 ) 、( 及输 入 向量 的模 有关 。  
第O 级  第 1 级  第n1 -   旋 转  旋 转  纫I   旋 转 

为 了得到更直 观的结果 ,令I l、 2, MA L B v= / 用   TA  
计算 了公式 (3 中的不 同 n和 b对应 得到 的  的  2) 估 算 分 析值 并 在表 1中列 出。 基于精 度 要求 的考  虑, 在表 1中, n 1 开始计 算 。 从 =2  
表 1 d    估算 / 真的有 效位 数) 仿  

悸卜 。  
图 1 本 结 构 框 图  基

角度 预 处理 模块 采用 第 二 部分 所 述 方法 使 输 
1  6 1  7 1  8 1  9 2  0 94 /.8 .8 95  

入 角 度 范 围 限制 在 【 a2。C RD C旋 转 模 块 采 用  O, /】 O I t

1   93 ,.2 94195   2 _295   . / .7

94 / .7 94 / .8 .595   .795  

流水 线结 构具体实现旋转 功能 。   具体 设计 过程 如下 : 首先 , 于 图 1的结构 , 基 用  V ro  D ei gH L语 言进行 功能描述 ,并用 A te H L l ci — D   v 4 . 2进行功能仿真 , 实际仿真表 明精度 能达 1  O 。最  后用 X l x的综 合工 具 IE ..采 用 S at 2 in i S5 2 p r n E系  a 列的 FG P A器件 x230 一 c s0 e 6进行综合 , 综合报告 表  明.最大 时钟 频率可到达 167  z 2 .1MH ,耗 用 s cs 1 le i   的个数 占总数 的 比例 是 2 %。 6  

1  1 . 5 1 . 8 1 .  1 . 4 1 4 / 0 5   0 4 / 0 5  1 . 7 1 . 4 3 0 1 / 0 4   0 31 0 5   0. 0 1 . 6 1 . 5 1 . 5 0 4 / 0 5   /

1  1 .4 l .2 1 .3 1 .   13 / 14   13 / 14  1 .4 1 .6 4 0 8 / 12   1 1 / 141 l .0 l .9 l _9 l .6 14 / 14   1  l .4 l .2 l .0 1 .3 1 . / 22   22 /23  1 .9 1 .  5 13 / 16   18 /2 1   2 1 1 .8 1 .9 1 .0 2 3 /231 1   1  l .4 l .2 1 .9 1 .0 1 .7 1 .4 1 .9 1 .8 32 / 3 1   6 16 / 18   22 / 25   27 / 30   30 / 30  1 .8 1 .2 1  l . 9 l .9 1 .8 1 .9 1 .4 1 .8 1 .4 1 .3 40 / .6 7 17 / 18   25 / 26   32 / 34   37 / 37  1 .7 1 7   3 l  l18 / .9 1 .2 1 .5 1 .2 1 .  1 .0 1 8  1 .0 1 .  8 .3 118   27 / 27   35 /371 4 2 /3.3 47 / 381     1  l .2 1 .9 1 .6 1 .5 1 .6 1 .9 1 4 /4.  1 .5 1 .7 9 18 /  8   27 / 27   36 /37   4.7 1 0 1 4 5 1 / 39  

为做 比较和 验证 . 文还 随机产 生 10 0组 数  本 00 值 范 围在 ( , ) 0 1 内的二维 向量组 ,)10 0个角度  Y 、0 0 值 范围在【,1 的旋 转角度 z 根据 C R I O 2T 】 。 O D C算法 原 
理 实 际 仿 真 得 到 100组  ,,; 时 , MAT AB 00 Y)同 用 L  

5 结束语 
在 C R I 理器 的设 计过 程 中 。 O D C处 进行 误差 分  析 。 助 于确 定能达 到精度要 求 的最 小操 作数位 宽  有 和最小旋转 级数 。 免大量 、 重 的仿真 。 避 繁 简化设计  过程 。本文所介绍 的一 种分析 C R I O D C算法引起误  差 的理论 方法 。 以应用到 F 的实 际设计 中。 可 兀1  

计算 出 10 0组 理 想 结 果 (  ) 00  , ,将 仿 真 的结 果  与 理想 计算 结 果相 比较 .误 差 可 以通 过下 式计 算 
得出:  

g = / ' o+y- o s X ( - ) (' ) . x x2 y2  
则根据式 (2得 : 2)  

d = lg m x  ̄] 1   一o2 a( 一  [ g 选 取不 同的 n和 b进 行旋 转 计 算 得 到 了不 同   的  的仿 真值 , 在表 1 也 中列 出 。   若 将两组 数据 进行 比较 ,数值 是很接 近 的 。 可  见 , 理论分 析结果 可 以作为设 计过程 中选 取旋转  该

参考 文献 
【] J   od r h  OR I io o t c o uig eh i e 1   V ie.T e E C D Ct gn mer   mp t   c nq   r i c nt u f .R   rn . lcrn C mp tm, 9 9 9 3 0 3 4  J I E Ta s E et . o ue 15 ,: 3 - 3 . ] o 【]J . l r   nf d a o tm free nayF n t n  2 .S Wat .A u ie  l rh  o lme t   u ci s e i gi r o

【 ] A ISSr gJi  o pt   ofr c[]   7 ; A. FP  p n  n C m u r ne neC,19 1 i ot eC e  

( 下转第 2 页) 0  

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微 电子学与计算机 

2 0 年 7月 ? 2 卷第 7 04 第 1 期 

表 1, )而不需要 进行代码修改 , 维护方 便 。  
5 应用类 的发布 
G nu 框 架 中 提 供 应 用 类 的 发 布 接 口。为 了 使  e is

些必 要 的管理 接 口, 属性 页 、 如 内容 页 、 全 页等 , 安  
也可 以添加 自己独特 的管 理接 口, 能够在 系统 中 才  
正确使用 。  

应用类 能够 在系统初 始化 时被 动态挂接 , 用类 的  应
开 发 要 遵 循 一 定 的 步 骤 和 标 准 。动 态 发 布 的应 用 类 

6 结 束语  在 Gn s ei 框架 的基础上 , 户可 以使用 面 向对  u 用 象 的思 想来思 考和 开发系统 中必要 的应用类 , 然后  挂接在 G n s 架上 . ei 框 u 再进行 一定 的权 限配置和页  面表示 工作 . 可 以完成 系统 的开发 。而且每 次应  就 用系统 中开发 的类 , 都有 可能 在 以后 的系统 中得到  重用 。随着应 用类 的逐渐完 善 , b系统 的开发就  We 会变得像硬件 的即插 即用方 式一样[ 3 1 。当然 , e is G nu  框架 中也有需 要继续 改进 的地方 , 以求 达到更 好 的  
重 用 性 

要放置 在系统 中的特 定 目录 中 . 然后 每个应 用类 各  为一个 子 目录 .各个 应用 类 的 目录中有 X ML的配  置文件 。配 置文件 包含该应用类 的类名称 、 方法 、 权  限等信息 。  
配 置 文 件 的格 式 如 下 [  4 1 。
< x   rin 10 ?   ? mlVeso =” .” > < ls > Cas 

< e 该类 的文 件名 , 包 含后缀 】 /i > Hi>【 不 <Fl   e <d 类 的标识 符 , 是简称 】 / > I>【 也 <I   d < N me 类 的 完整名 称 , 般是 名词 词组】 /Na > C a >【 一 <C me  < c to >『 F Me 1 l d 类在 初始 化 是显 示 的第 一个 添加 页 面 , 即 
类厂方 法1 /c to > <F Meh d  
< Mel d   P to > 1 / ae to . 面 方 法  / g Me d 页 P h

参考文献 
【】徐 宏 酷 , 晓亮 等 . 向 对象 的 We 1 郑 面 b发 布 技 术 . 安 交  西 通大 学学报 . 0 1 第 3 20 , 5卷 ( 1 第 0期 ) 1 1 ~ 0 9 :0 7 1 1  【】韩 秀 蓉 , 立峰 .面向 对象 框 架 技术 及 应 用 . t :w . 2 李 ht / ww  p/
c in t o . 0 0 2 2 o —1   cd e. m/ 2 0 —1 ,0 2 2 c

< L 通过 U UR >【 RL调 用 该页 面时 的名称 】 , RL   <U > < a >r 中定 义 的 方法 名 称 , 映 射 到一 个 模板 文  MN me 类 要

件】 / a > <MN me  
< P to > / Meh d   < PMeh d   co >

【1王光平. 3 面向对象软 件总线研究 . 计算机 工程与应 用, 00   20— 3 第 3期. 9 4   . 3~0

[ 4 ]W3 . x ni e a u agae(ML 1 Scn  d   C E t s l M r pLnug ) ) . eodE i e b  k ( 0( -
t n . t :w ww . s, 0 0 02 0 —  i ) ht / w .3o / 2 0 —1/0 3 1 o p/ r

< P to > / Meh d  

f】 S pe t J P r s n trg f yhn ojc  nrlt n  5 h rnz . e i e t oaeo  to  bet i e i —   s t s p s ao
, / 该类 中权 限的定 义 
l d tb . t / ww. p .r .1 9 —1 / 0 2 2 a  aa ae h t:w s p/ z eog 9 7   2 0 —1   o 1

< cmi i > Pr so   sn

< N me 类 中发布 的权 限名称 】 /Na e   P a >【 <P m >
< Mel d 该权 限 能操作 的方 法】 ,Mel d   P to >『 1 <P to > 1
< PMel d … … < P t o > to > 1 / Mel d   1 < P r sin   / emiso >
< e n S ;n   P n iSo >

【】 A sL t ir . Z p 南. 北京 :人 民邮 电 出版社 , 6 mo  at e  e Mi o e指  
2o—   0 22

徐宏秸
李富华

女 , 16 一 , ( 9 1 ) 副教授 。主要 研究方 向为基 于 Itme ne t  
男 , 1 7 一) ( 9 6 ,硕 士研 究 生 。 主要 研究 方 向为 基 于 

的信 息服务 体 系。  

< P r iso > / e s in   m <Cas  / ls >

[t t ne me 的信 息服 务体 系 。  
郑晓亮 男 , 18 一) ( 9 0 ,硕 士 研 究生 。主 要研 究 方 向 为基 于 

这样 , 在系 统初 始化时 , 该类 就 能够被识 别 , 并  进行装 载。当然 , 应用类继承一 些重要基类 , 实现一 

It t ne me 的信 息服 务体 系 。  
黄 征 华  男 , 1 7 一 ,硕 士 研 究生 。主 要研 究 方 向为 基 于  (97 )

It n t ne e 的信 息服务 体 系。 r  

( 接第 1 上 6页)  
3 :3 9 3 5   8 7 ~ 8.

i m f .R . rn. in l rc si , 9 2 4 8 4 8 4  fh   】I E Ta s Sg a Poes g 19 ; : 3 ~ 4 . t J   n

【】李 岩, 海 明 , 士德 等 . OR I 3 汪 郭 C D C算 法 在 D P算 法 硬 件  S 实现 中 的应用 f. 代 电子技 术, 0 2 6 8 ~ 9  J 现 】 20 , : 58 .

f 6 】M. ko, . use. u e cl cu c    s Fu e B o ̄ J H i n N m r a A cr y f at or r e k i   a o F   i 
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S g a  o e sn ,2 0 ; 5 8 -1 3  i l Prc sig 0 0 2 :1 7 9 . n

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