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重庆市第一中学2016届高三12月月考(理)数学试题


重庆一中高 2016 级高三上期第四次月考 数学试题卷(理科)2015.12
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.已知集合错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ( A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。 2.已知随机变量 X 服从正态分布错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。 ,则错误! 未找到引用源。 ( ) C.0 D.4 ) ) D.错

C.错误!未找到引用源。

A.错误!未找到引用源。 B.-1

3.已知复数错误! 未找到引用源。 , 且有错误! 未找到引用源。 , 则错误! 未找到引用源。 ( A.5 B.错误!未找到引用源。 C.3 D.错误!未找到引用源。

4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 且支出在错误!未找 到引用源。元的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在错误!未找到引用源。元的 学生有 30 人,则 n 的值为( )

A.100 B.1000 C.90 D.900 5.已知椭圆错误!未找到引用源。和双曲线错误!未找到引用源。有公共焦点,则双曲线的 渐近线方程是( ) C.错误!未找到引用源。 D.错

A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。

6.在区间错误!未找到引用源。内任取两个数错误!未找到引用源。 ,则满足错误!未找到引 用源。概率是( ) C.错误!未找到引用源。 D.错

A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。

-1-

误!未找到引用源。 7.右图是某实心机械零件的三视图,则该机械零件的体积为( )

A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错

8. 《莱因德纸草书》 (Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样一道题: 把 120 个面包分成 5 份,使每份的面包数成等差数列,且较多的三份之和恰好是较少的两份 之和的 7 倍,则最少的那份有( A.4 B.3 C.2 D.1 )个面包.

10.执行右图所示框图,若输入错误!未找到引用源。 ,则输出的 p 等于(



A.120 B.240 C.360 D.720 11.已知函数错误!未找到引用源。图像上的一个最低点为 A,离 A 最近的两个最高点分别为 B 与 C,则错误!未找到引用源。 ( )

-2-

A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错

12.(原创)已知函数错误!未找到引用源。 ,若对任意三个实数错误!未找到引用源。 、错误! 未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 ,均存在一个以错误!未找到引用源。 、错误!未找到 引用源。 、错误!未找到引用源。为三边之长的三角形,则错误!未找到引用源。的取值范围 是( ) C.错误!未找到引用源。 D.错

A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.已知曲线错误!未找到引用源。在原点处的切线方程为错误!未找到引用源。 ,则错误! 未找到引用源。________. 14.(原创)已知错误!未找到引用源。的展开式中错误!未找到引用源。的系数为 0,则错 误!未找到引用源。________. 15.(原创)设错误!未找到引用源。内角错误!未找到引用源。的对边分别是错误!未找到 引用源。 .若错误!未找到引用源。的面积为 2,错误!未找到引用源。边上的中线长为错误! 未找到引用源。 , 且错误! 未找到引用源。 , 则错误! 未找到引用源。 中最长边的长为________. 16.如右图所示,一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它的方程是:错误!未找到引用 源。 .在杯内放一个清洁球,要使清洁球能擦净酒杯的底部,则清洁球的最大半径为________.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位 老人,结果如下面表中所示: 是否需要帮助 需要 性别 男 50 女 25 合计 75

-3-

不需要 合计

200 250

225 250

425 500

(1)请根据上表的数据,估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否在出错的概率不超过 1%的前提下,认为该地老年人是否需要帮助与性别有关?并说 明理由; (3)根据(2)的结论,你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者 提供帮助的老年人的比例?并说明理由. 附:独立性检验卡方统计量错误!未找到引用源。 ,其中错误!未找到引用源。为样本容量, 独立性检验临界值表为: 错误!未找 0.15 到引用源。 错误!未找 2.072 到引用源。 18.(原创) (本题满分 12 分) 已知数列错误! 未找到引用源。 的前 n 项和为错误! 未找到引用源。 , 且错误! 未找到引用源。 . (1)求出数列错误!未找到引用源。的通项公式; (2)设数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。 ,若错误!未找到引用源。对 于任意正整数 n 都成立,求实数 t 的取值范围. 19.(本题满分 12 分) 我国政府对 PM2.5 采用如下标准: PM2.5 日均值 m(微克/立方米) 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 空气质量等级 一级 二级 超标 树 茎 2 3 4 6 7 8 2 8 2 1 4 5 3 8 7 树叶 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

某市环保局从一年 365 天的市区 PM2.5 监测数据中,随机抽取 10 天的数据作为样本,监测值 如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) .

-4-

(1)求这 10 天数据的中位数; (2)从这 10 天数据中任取 4 天的数据,记错误!未找到引用 源。为空气质量达到一级的天数,求错误!未找到引用源。的分布列和期望; (3)以这 10 天 的数据来估计这一年 365 天的空气质量情况,并假定每天之间的空气质量相互不影响.记错 误!未找到引用源。为这一年中空气质量达到一级的天数,求错误!未找到引用源。的平均 值.

20.(本小题满分 12 分) 已知直线错误!未找到引用源。被圆错误!未找到引用源。截得的弦长恰与椭圆错误!未找 到引用源。的短轴长相等,椭圆错误!未找到引用源。的离心率错误!未找到引用源。 . (1)求椭圆错误!未找到引用源。的方程; (2)已知过点错误!未找到引用源。的动直线错误!未找到引用源。交椭圆错误!未找到引 用源。于错误!未找到引用源。两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点错误!未找到 引用源。 ,使得无论错误!未找到引用源。如何转动,以错误!未找到引用源。为直径的圆恒 过定点错误!未找到引用源。?若存在,求出点错误!未找到引用源。的坐标,若不存在, 请说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知存在实数错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。使得错误!未找到引用源。 , (1)若错误!未找到引用源。 ,求错误!未找到引用源。的值; (2)当错误!未找到引用源。时,若存在实数错误!未找到引用源。使得错误!未找到引用 源。对任意错误!未找到引用源。恒成立,求错误!未找到引用源。的最值. 22.(本小题满分 10 分) (原创) 如右图,圆错误!未找到引用源。与圆错误!未找到引用源。内切于点错误!未找到引用源。 , 其半径分别为 3 与 2,圆错误!未找到引用源。的弦错误!未找到引用源。交圆错误!未找到 引用源。于点错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。不在错误!未找到引用源。上) , 错误!未找到引用源。是圆错误!未找到引用源。的一条直径.

-5-

(1)求错误!未找到引用源。的值; (2)若错误!未找到引用源。 ,求错误!未找到引用源。 到弦错误!未找到引用源。的距离.

23.(本小题满分 10 分) 在直角坐标系错误!未找到引用源。中,直线错误!未找到引用源。的参数方程为错误!未 找到引用源。 (t 为参数) ,再以原点为极点,以 x 正半轴为极轴建立坐标系,并使得它与直角 坐标系有相同的长度单位,在该极坐标系中圆 C 的方程为错误!未找到引用源。 . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线错误!未找到引用源。将于点错误!未找到 引用源。 、错误!未找到引用源。 ,若点错误!未找到引用源。的坐标为错误!未找到引用源。 , 求错误!未找到引用源。的值 . 24.(本小题满分 10 分) (原创) 已知函数错误!未找到引用源。 , (1)解不等式错误!未找到引用源。 ; (2)若对于错误!未 找到引用源。 ,有错误!未找到引用源。 .求证:错误!未找到引用源。 .

-6-

参考答案

一、选择题. (每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 A 5 D 6 B 7 A 8 C 9 D 10 C 11 D 12 B

二、填空题. (每小题 5 分,共 20 分) 13.-1 14.2 15.错误!未找到引用源。 16.1 三、解答题. (共 75 分) 17.解: (1)调查的 500 位老年人中有 75 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要 帮助的老年人的比例的估计值为 15%. (2)错误!未找到引用源。 , 所以在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. (3)由于(2)的结论知,该地区的老年人 是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看 出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该 地区老年人中男,女的比例,再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机 抽样方法更好. 18.解: (1)由已知错误!未找到引用源。 ,令错误!未找到引用源。可得错误!未找到引用 源。 ,又错误!未找到引用源。 ,

19.解: (I)10 天的中位数为错误!未找到引用源。 (微克/立方 米) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

-7-

(II)由于错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 ,即得分布列如下: 错 误 ! 未 找 0 到 引 用 源 。 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 所以错误!未找到引用源。 分 (III)一年中每天空气质量达到一级的概率为错误!未找到引用源。 ,由错误!未找到引用 源。 ,得到错误!未找到引用源。 (天) ,一年中空气质量达到一级的天数平均为 146 天. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 错 误! 未找 到引 用 源。 错 误! 未找 到引 用 源。 错 误! 未找 到引 用 源。 错 误! 未找 到引 用 源。 错 误! 未找 到引 用 源。 1 2 3 4

20.解: (I)则由题设可求的错误!未找到引用

-8-

源。 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 又错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ,所以椭圆错误!未找到引用源。的方程 是错误!未找到引用源。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分

(II)解法一:假设存在点错误!未找到引用源。 ,若直线错误!未找到引用源。的斜率存在, 设其方程为错误!未找到引用源。 ,将它代入椭圆方程,并整理得错误!未找到引用 源。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

设点错误!未找到引用源。的坐标分别为错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 , 因为错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 当且仅当错误!未找到引用源。恒成立时,以错误!未找到引用源。为直径的圆恒过定点错 误!未找到引用源。 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 所以错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。 , 此时以错误!未找到引用源。为直径的圆恒过定点错误!未找到引用 源。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

当直线错误!未找到引用源。的斜率不存在,错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。 轴重合,以错误!未找到引用源。为直径的圆为错误!未找到引用源。也过点错误!未找到 引用源。 . 综上可知,在坐标平面上存在一个定点错误!未找到引用源。 ,满足条 件. . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 解法二:若直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。轴重合,则以错误!未找到 引用源。为直径的圆为错误!未找到引用源。 , 若直线错误!未找到引用源。垂直于错误!未找到引用源。轴,则以错误!未找到引用源。 为直径的圆为错误!未找到引用源。 , . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 由错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。 ,由此可知所求点 T 如果存在,只能是 错误!未找到引用源。 . . . . . .7 分 事实上点错误!未找到引用源。就是所求的点,证明如下: 当直线错误!未找到引用源。的斜率不存在,即直线错误!未找到引用源。与错误!未找到 引用源。轴重合时,以错误!未找到引用源。为直径的圆为错误!未找到引用源。 ,过点错误! 未找到引用源。 ;
-9-

当直线错误!未找到引用源。的斜率存在,设直线方程为错误!未找到引用源。 , 代入椭圆方程并整理得错误!未找到引用源。 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 设点错误!未找到引用源。的坐标为错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ,因为 错误!未找到引用源。 ,所以有错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。 ,即以错误!未找到引用源。为直径的圆恒定过点错误!未找到引 用源。 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 综上可知,在坐标平面上存在一个定点错误!未找到引用源。满足条 件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

21 解: (1)由题意错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分

(2)由题意知错误!未找到引用源。关于错误!未找到引用源。中心对称,所以错误!未找 到引用源。取两个极值点的平均值,即错误!未找到引用源。 ,则有

a a a a f ( m) ? f ( ? ) ? ( ? ? ? )( ? ? ? )( ? ? ? ) 3 3 3 3 1 ? ( ? ? ? ? 2? )(? ? ? ? 2 ? )(? ? ? ? 2? ) 27 1 ? 2 ?3(? ? ? ) ? 2 ?? ?3(? ? ? ) ? 1???1 ? 6(? ? ? ) ? 27 1 ? 2 (3t ? 2)(3t ? 1)(1 ? 6t ) 27
其中错误!未找到引用源。 ,令错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ,所以错误! 未找到引用源。在错误!未找到引用源。上递增,在错误!未找到引用源。上递减. 由此可求出错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。无最小 值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 22.解: (1)设错误!未找到引用源。交圆错误!未找到引用源。于点错误!未找到引用源。 , 连接错误!未找到引用源。 ,∵圆错误!未找到引用源。与圆错误!未找到引用源。内切于点 A,∴点错误!未找到引用源。在 AD 上. ∴AD,AE 分别是,圆错误!未找到引用源。与圆错误!未找到引用源。的直径.∴错误!未 找到引用源。 .∴错误!未找到引用源。 . ∴错误!未找到引用源。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 (2)若错误!未找到引用源。 ,由(1)问结果可知错误!未找到引用源。 ,而错误!未找到
- 10 -

引用源。 ,所以在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 ,又由错误!未找到引用 源。 ,推得错误!未找到引用源。到弦错误!未找到引用源。的距离为 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 23.解: (1)由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为错误!未找到引用 源。 , . . . . . . . . . .4 分 (2)直线错误!未找到引用源。的普通方程为错误!未找到引用源。 ,点错误!未找到引用 源。在直线上错误!未找到引用源。的标准参数方程为错误!未找到引用源。 . . . . .6 分 代入圆方程得:错误!未找到引用源。 .设错误!未找到引用源。对应的参数分别为错误!未 找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 . . . .8 分 于是错误!未找到引用源。 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 24.解: (1)错误!未找到引用源。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 (2)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

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