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建构数学在课堂——函数平均变化率教学案例


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建   构数攀   ◎ ◎ ◎ 
- 函 数平 均 变 化 率 教 学 案 例  
江 苏省沐 阳高 级 中学  朱 曼丽 

拜读 贵刊 2 0 0 8年 第 3期 ( 上半 月 ?高 中) “ 课 例 
点 评” 栏 目的《 平衡 : 数 学 课 堂 教 学 改 革 的 基 本 要 

教师 : ( 面 向 全体 学 生) 大 家 同 意 学 生 2的 答 
案 吗?   学生 ( 众) : 是 的.  

义—— 一节 省 级 优 质 课 : “ 平 均变化率” 课 例 及 其 点  评》 一文 , 心 中颇 有触动 . 就此 献上 我市 青 年教 师基 本 
功 大赛 的教 学案 例 , 以期 通过 不 同人对 相 同教学 内容 

教师 : 学生 3你来 说说 陡峭 的现实 意义 ?  
学生 3 : 什么 叫现实 意义 ?  

的不 同处理 , 供大 家争 鸣.  

教师 ( 提示 ) : 哪一 段时 间气温 改 变给 人 的感受 深 
刻 呢?  

1 教 学过 程 实 录 
1 . 1 情境 创设 激发 热情 
… …

学生 3 : 3月 1 8日到 3月 2 0日人 们 会 感受 到 气  温 变化 比 3月 1日到 3月 1 8日这 段时 间的感受 深.   学生 ( 众) : 后 一段 时间 短 , 变化 速度快 .  

教师 : 请 同 学 们 看  ( 用 P P T 给 出 材  3 0  
2 0  

教师 : 很好 , 相 近 的改 变 量 , 不 同 的感 受 , 人 们感 
受 的不仅仅 是气 温的 改变 , 更 大程 度是 感受 到 气温 的  改变 速度. 生活 中这样 的事件 还有很 多.  
1 . 2 过 程 感 知 意 义 建 构 

料, 下同 )  

情境一 : 据 市 气 象  1 0   台统 计 , 我 市 今 年 3月   1 8 日到 4月 2 0 日气 温 曲线 如 图 1所 示 ( 3月  1 8日为第 一天 ) .  
题 组一 :  

2   0 2   1 0   2 0   3 0 3 4   f ( 天)   图  

教师 : 请 同学们 再看 .  
情境二: 下 表是 我 从 出 生到 第 1 2个 月 的体 重 变 
化 的成 长 记 录 :  

① 温 度 曲线 上 A、 B、 C 三 点 的 坐 标 的 涵 义 是  什么 ?   ② 曲线 AB、 B C哪 段更 陡峭 ?  

③ 陡峭 的现实 意义是什 么 , 如 何量化 陡峭 程度 ?   ( 给 学生适 当思考 时 间)   教师: 学生 1 请 回答① .   学生 1 : A 点 的横 坐 标 表 示 日期 , 代 表 的 是 3月   1 8日, 纵坐标 是该 天的气 温 3 . 5 ℃; 依 此类 推 , 则 B点  横 坐标是 4月 1 8日 , 纵 坐标 是 该天 的 气温 1 8 . 6 " C, C   点 是 4月 2 0日, 气 温是 3 3 . 4 ℃.   教师 : 你 回答 得非 常好 , 准确又 全面 , 请 坐下 .   教师 : 学生 2 请 回答 问题② .  
学生 2 : B C 比 AB 更 陡 .  

题 组二 :  

① 请 画出我婴 儿期体 重变化 的折线 图.   ② 比较哪个 时段 我 的体重增 长最快 .   ( 众 生笑 ) ( 留给 学生思 考时 间)  
教师: 学生 4你 画出 我的成长 折线 图了 吗?   学生 4 : 是 的.   教师: ( 看学 生作业 本 ) 你 比较 出哪个 时段 体重 增  长最 快 ?  
学生 4 : 0到 3个 月 .  

教师 : 为什 么?   学生 4 : 算 出来 的.  

教师 : 如何量化 ?   学生 2 : 用斜 率.   教师 : 你 记 得 斜 率 公 式 吗? 请 你 到 黑 板 上 写 
写看 .  

教师 : 如何算 ?你 到黑板 上写 出过程 .  
学生 4 :  
=0 . 4, 1 >0 .7 >0 .4 .  

-1 ,  

-0 .  ,  

学生 2 : ( 在 黑 板 上 写 出 )k A B一 
_ 0 . 4 8 7, k   一  - 7 . 4 .  

教师 : ( 面 向全体 ) 学 生 4的 结论 是 算 出来 的 , 你 

们 有 不 同 的 方 法 吗? ( 边 给 出 准 备 好 的 折 线 
图) ( 图 2 ) .  

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学生 5 : ( 主动 ) 从图中   看折 线 的 斜 率 逐 渐 减 少 , 故 
0 ~ 3月 增 长 最 快 , 6 ~1 2增  长较 慢.  

的角色是 什么 变 量 , 那 温度 、 体重 、 位 移又 是 什 么量 ,   它们 与 时间之 间有 什 么 关 系. 再 看 三个 分 式 , 它 们 的  分 子是什 么量 , 分 母又 是什么 量?   学生 8 ( 主 动地站起 ) : 一般 地 , 函数 一. 厂 (  ) 的平  均变 化率是 函数值 的变 化量 除 以 自变 量 的改变量 .   教师 : 我 的问题是 什么?  
图2  

教 师: 真 棒 !看 都 能 看 

出来 . 请 问还 能 从 图 中 比 较 
出 0~ 6 、 0 ~1 2 、 3 ~1 2这 三 

个 时段 体重 的变化 率大小 吗?  
学生 5 : ( 支吾 ) 还 是计算 比较 吧.   教师: 那 你算一 算.   学生 5 : ( 一 些 时 间 后 )它 们 分 别 是 0 . 8 5 、  
0 .6 1 2 5、 0. 5 .  

学生 8 : 用 一个式 子表 示 , 并 给出 比值 命名.   教师 : 你能用数 学 的符合语 言描 述吗 ?  
学生 8 ( 上 黑板写 出 ) :   一  
凸Z 

二 
Z2   X l  

.  

教师: 课 后 大 家 思 考 能 否 直 接 从 图 中看 出相 同 
结论 .  

教师: 太 棒 了. 你 给 它 命 的名 叫 函数 的平 均 变化  率, 还 能说 出这个 比值 的几 何意 义吗 ?   学生 8 : 斜 率.   教师: 如果 我 给 出这 个 函数 
的一个 草 图 ( 图 3 ) , 你 能 说 出是  什 么 的斜 率 ?   学生 8 : 线 段 A_ B 的斜率.   教师 : 这 就 是 这 节 课 要 研 究  的 内容— — 函数 的平 均 变 化 率.  
( 在 黑 板 上 写 出课 题 )  
图3  

教师 : 刚才 我们通 过算 与看得 出了婴 儿 生长期 体 

重增 长规律 . 下 面请大 家思考 :   情境三 : 某物 体在水 平面 上运动 , 它 的位移  ( m)   与时 刻 £ ( s ) 的 函数 关 系为  一4 £ +2 £   .  
题 组三 :  

①£ ∈[ 0 , 3 ] 上 的位 移 变 化量 为 多 少? 时 间 变 化  量 为多少 ? 如何计 算其平 均速 度?   ② 你能算 出 t ∈[ 0 , 2 ] 与 t ∈[ 0 , 0 . 5 ] 的 平 均 速 
度 吗?  



教师用 P P T给 出 函数平 均变 化率 的概念 :   般地 , 函数 Y 一厂(  ) 在 区 间I x   , 3 2 。 ] 上 的平 均  二 
上 2   上 1  

变化率 为 
的斜率.  

, 其几 何 意义 是 连接 线 段 AB  

③一般 地 , t ∈I t   , t   ] 的平均速 度如何 计 算?   ( 留给学生 3分钟 的思 考时 间)  

教师 : 请学 生 6回答 问题 ①.   学生 6 : 位 移变化 量 是 3 0 , 时间 变化 量 是 3 , 其 平  均速度 是位 移改变 量 除以时 间改变量 , 结果 是 1 0 .   教师: 1 0 米每分钟还 是每小时, 还是 1 0千 米 每  分钟 , 抑或是 1 0 千 米每小 时 ?   学生 6 ( 挠 了挠 头 ) : 少 了单 位 , 应 该是 1 0米每 秒.   教师: 对了, 实 际 问题 的数 学 解 一 定要 回归 到 实  际问题 中去 , 这 也是 同学们 不注 意的地 方.   教师 : 请 学 生 7到 黑 板 上 将 ② 、 ③ 两 问解 答 写 
出来.  

教师: 函数 平均 变化率 的物理 意 义是 某一 变化 过  程中, 因变量 随 自变量 变 化 而 变 化 的平 均 速 度 , 其 几  何 意义就 是连接 函数某 时段起 点 与终点线 段 的斜率.  
1 . 4 应 用 知 识 形 成 图 式 

教师 : 我 们 有 了 函数 平均 变 化 率 的概 念 , 请 同学 
们完 成下 列题组 中 的问题 .  
题组四:  

① 国家 环保 局 在 规 定 的排 

污达 标 日期 前 , 对 甲 乙两 家 企 
业进行检 查, 其 连 续 检 测 结 果  如 图 4所 示 ( 其 中 W  ( t ) 、 W。   ( £ ) 分 别 表 示 甲 乙 两 企 业 的 排 
污量 ) , 试 比 较 两 企 业 的 制 污  效果 .  
图4  

学 生 7上 台板演 ( 略) .   教师 与学生对 学生 7的解 答过 程 进行 点评 . 找出   出错原 因是 去括 号时要 变号 , 对该 生前 变后 不 变 的典 

型 错 误, 予以 纠 正 . 并 突出 代 数 式型 皇 1  
2   1  

.  

② 甲用 5年 时 间挣 到 1 0万 元 , 乙用 5个 月 时 间  挣到 2万元 , 如何 评价两 人 的经 营成果 与效 率?   ③ 例如 图 5 水 经过 虹吸管 从容 器 甲流 向容 器 乙,   £ ( s ) 后 容 器 甲 中水 的 体 积 V( t ) 一5   ×2  ? “ ( 单位: c m。 ) .  

1 . 3 归纳概 括 恰 当表 征  教师: ( 指着 黑板 上 的三个式 子 ) 我们 研 究 了气 温  变化 的速 度 、 体 重 增 长 的速 度 和 位 移 变化 的 速度 . 同  学 们能否 用一个 通式 表示 ?试给 比值命 个名 ?   教师 : ( 面 向全体 ) 情境 一是气 温 随 时间 变化 而变 

化的速度 , 情境 二 是 体 重 随时 间 变 化 而 变化 的速 度 ,   情境三又 是位移 随时 间变化 而变化 的速度 . 其 中时 间 

( I) 求 甲容 器 中第 一 个 1 0   S内  水 量 的平 均变 化率 ;   ( I I ) 求 乙容 器 中第 一 个 1 0   S内 

图5  乙  

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水量 的平均变化 率.   学生( 众) :甲企业 的效果 好.   教师: 学生 9 , 大 家 都 说 甲企 业 好 , 你 认 同, 说 说 
理 由吧 !  

教师: 学生 1 1应用平 均 变化 率 几何 意 义结 合 一 
次函数 性质快 速得 出结果 , 方法 非常好 , 请坐 下.  

教师: 从一 次 函数 的变 化 率 是常 数 , 我 们 可 以想 
象 物理 学 中的匀速运 动其路 程 是时 间 的一 次函数 , 俗  称匀 速直线运 动 , 是 这样 得来 的吧 ?  

学生 9 : 相 同时间 内 甲制 污量 比乙大.   教师 : 我 认 为 甲的平 均 变 化 率小 , 而 乙 的平 均 变  化率大 .  
学生 9 : 啊!  

教师 : 若 将 一 次 函数 变 为二 次 函数 又 将 怎样 呢 ,   请大 家算算.   变式三 求 f ( x ) 一z  在 区间[ 一1 , 1 ] 上 的平 均 
变化率 .   学生 8 : ( F i - 一 次 主动地 ) 是 0 .  

学生( 众) 困惑 , 沉默 !   教师: 这里 的 制污效 果 , 不是平 均变 化率 , 而 是平  均变化 率 的绝对值 . ( 再一 次 ) 数 学 问题 数学 解与 实 际 
意义 匹配.  

教师 : 请 学生 1 O评 价 甲 乙 两 人 的 经 营 成 果 与  效率 ?  

学生 1 O : 甲的 成 果 比乙 多, 但 是 乙 的 效 率 比  甲高.   教师: 回答 非常 到位 且 准确 , 请坐下.   教师: 这个 问题 给 我们 的 警示 是 要 有 效率 观. 人  的生命 有限 , 只有 提 高单 位 时 间 内 的 收益 , 才是 最 有  意义 的收益. 学 习更要 注 意效率 哟 !   教师: 不计 算能否 得 出甲容器 与 乙容 器 中水量 的  平 均变化 率关 系?   学生 ( 众) : 互 为相反 数.  
教师 : 为什 么?  

教师 : 那 就没有 变化 率.   学生 8 : 不是, 此 区间上 函数 —z  先减 , 然 后 又  增, 但 是起点 与终点 一样 高 , 而 过程不是 没有 变化 .   教师: 对了, 函数 平 均 变 化率 不 能 具体 说 明 函数  在 这一 时段 的变 化情 况 , 这是 平 均 变 化率 的缺 点 . 辩  证 法告 诉我们 , 没有 尽善 尽美 的事物.   教师: 请 同学们计 算.   变式 四  求 Y— z  在 区 间 [ 1 , 2 ] 、 [ 1 , 1 .1 ] 、   [ 1 , 1 . O l 1 、 [ 1 , 1 . 0 0 1 1 上 的平均 变化率 ?   教师: 请 学生 9与学 生 1 O同时到 黑板前 赛一赛 .  
学生 9 和 学生 1 O同时到黑 板板演 .  

学 生9 : 分别计算,  


一3 ,   二 十一2 . 1 ,  
-2 舢 .  

2 . 01 ,  

一 一

学生 ( 众) : 因 为其 改变 量 互 为相 反 数 , 而 时 间又 
相 同.  

2  

学生 1 O : 先 是 
Z  2  

一z   +z   , 然 后是 1 +2 —3 ,  
Z 1  

教师 : 请看 书上 P . 5 6例 2的规 范表达 , 学会 将 自   己的思维结果 展示 出来. ( 引导学 生看 书 )  
1 . 5 变 式 练 习 巩 固概 型 

1 .1 + 1— 2. 1, 1 . 01+ 1 —2 . O1, 1 . O O1+ 1 —2 . O O1 .  

教师 : 大家都 做好 了吧 !那就 请大 家 给黑 板上 两  位 同学打分 .   ( 同学们 很兴 奋 )  

教师 : 刚才我们 讨论 了平均 变化 率 在生 活 中的应  用, 下 面请 大家思考 .  
题组五:  

教师 : 学生 1 2你来 评价 .   学生 1 2 : 学生 1 O的表 现 1 0 0分 , 学生 9的 表 现 
9 8分 .   教师 : 为什么 ?  

① 若 函数 厂 ( z) 一2 x +1 , 试 求 函数 - 厂 ( z ) 在 区 间  [ 一1 , 1 ] 和[ O , 5 ] 上 的平均 变化率 .  

② 变式 一  求 f( x ) 一2 x+ 1在 区间 [  ,  ] (   < ) 上 的平均 变化率 .   ③ 变式二 求 - 厂 ( z ) 一k x +b在 区间 [  ,  ] 上 的  平 均变 化率.  
学生( 众) : 是 2 .  

学生: 简 单又快 .   教师: 简单 吗? 我 认为 大 家 是 喜 欢 他一 式 多得 ,   这 就是效 率哟 !要将 提高学 习 效率 落到 实处 , 那 就要  像 学生 1 O一 样做个 勤于 思考 的人 !请 坐下 .   教师: 大 家再看 这些 区间 有什么特 点 ?  
学生( 众) : 左边 都相 同.  

教师: 学生 1 1 , 好多人 都说 是 2 , 你说 ?  



学生 1 1 : 直 线上 任 意 两点 连线 的 斜 率 不 变 就 是  次项 系数 2 .   教师: 如果 将 函数 改 为  一是 z +b , 区 间改 为 [  ,   ] (  > ) , 那 么 这个 函数 在 该 区 间 的平 均 变 化 率 是  什 么?   学生 1 1 : 是 k .  

教师: 这些 区 间长度 如何 变化?   学生 ( 众) : 越来 越短.   教师: 那好 , 再请 同学 们思 考 :  

变式 五 求 出 Y—  在 区 间 [ 1 , 1 +△ z ] 上 的平  均 变化 率 ?随着 A x越 来 越 趋 向 0 , 则 函数 平 均 变化  率 将有 什么样 的发展 趋势 ?  

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教师将 P P T 切换 到“ 几何 画板 ” 界 面. 演示 了向  
z 一 2的 逼 近 过 程 . ( 下 课铃 响 了)  

示 了师生 间的和 谐关 系.   教 师以学生 发展 为主轴 , 所创 设 的情境 是学 生熟 

教师 : ( 非 常匆忙 ) 大 家看 到 了随 着 △ z 一0 , 直 线  AB与抛 物 线 从 相 交 走 上 相 切 了 , 此 时 直 线 的 斜 率  ( 平 均变化 率 ) 又 将 变 成什 么 呢? 这 就 是下 一 节 课 我  们要 研究 的 内容. 也请 同学们 在完 成课 后作 业 的 基础  上 预习下 一节 内容.   课结 束.  

知的, 设计 的 问题 是学 生 能 解 决 的 , 采用 的教 学 方式  是学 生 易接受 的 , 选择 的语 言是学 生能 理解 的…… 真 
正 做到 了“ 目中有人 ” .   对话 交 流 中 , 教 师使 用激 励 性语 言 , 激 发学 生学 

习的 内驱 力 , 提 高 学 生 的参 与 度 , 尤 其 是学 生 的智 力 
参 与度. 确 保学 生在轻松 、 和谐 、 愉 悦 的环境 中建构学  习, 有效 提高学 生建 构学 习的效率.   选择 生 生 互评 , 一 方 面 丰 富 了评 价 的形 式 , 改 变 

2 案 例 评 析 
这一 节课是 导数 的起始课 , 教 材 改变 了 以往从 数  切入 ( 即数 列极 限一 函数极 限一 函数 的导数 ) 的方 式 ,   而 是从 导数 的几何 意义 与现 实意义 切 入 ( 函数 平 均变  化率一 曲线 在一 点处 的切线一 瞬 时速 度 、 瞬时 加 速度 

了教师是评 价 主体 的单 一局 面. 另 一方 面也 发 挥 了学  生共 同 体 的 最 大 效 率 , 最 大 限 度 提 高 了课 堂 教 学 
效 率.  
2 . 1 . 3 教 师 的 教 学观  

一 函数的 导数 ) . 这 样处 理适 合学 生的 认知 特 点 , 使 学  生 的导数学 习有 了生 长点 , 便 于学 生建 立 理解 的 导数  概 型与心理 图式 . 而 函数 平均 变化 率 教学 的成 败则 直  接决定 导数 概念 的学 习与理解 . 这 一节 课执 教 教 师活  用教 材 , 围绕 平均 变化率 的代 数意 义 和几何 意 义设 计  题组 , 应用 问题 解 决 方 法 帮 助 学 生 构 建 函数 平 均 变 
化率.   2 . 1 教 师 教 学 理 念  2 . 1 . 1 教 师 的 数 学 观 

“ 以学 论教 ” 是教学 的核 心价 值观. 教学 过 程不 是  简 单的“ 教+学 ” , 而 是将 教 与 学糅 为一 体 . 整 个 教学 

设计 围绕 学生 的学情 , 对人下 单 , 贴船下 竿 . 创设 的情 
境 源 自学 生的生 活经验 , 提 出的 问题在 学 生最 近发展  区, 设 计 的活动 所 有学 生 都 能 积极 参 与. 教 师 真 正做  到 了学生 学习 活动 的组织 者 、 协作 者 、 促 进 者 和 调控 

恩 格斯将 数学 定义 为“ 研究 现实 世 界空 间 形式 与  数量关 系 的科学 ” . 教师设 计 的问题 , 紧紧 围绕 函数 平  均变化 率 代 数 意 义 和 几 何 意 义 , 彰 显 了 教 师 的数 学  观. 三个 建构学 习活 动 材 料 , 分 别采 用 不 同的 形 式 呈  现, 为学 习 一 般 函数 平 均 变化 率 提 供 形 式 多 样 的 载  体, 学生 获得 的 函数 平 均 变化 率 概 念 外延 丰 富 , 内涵  清晰 , 概 念联结 度好 .   应用 温度 变化 曲线 图 引 导学 生 从 图形 直 观 感 知 

人. 整个课 堂是学 生 的学 堂 , 而 不 是教 师 的讲 堂 . 学生  是 活动 的主角 , 教 师是 活 动 的设 计 师. 纵 然 课 堂 的演  绎是按 教师设 计好 的程 序进行 , 但 师生 交流 中也 有新 
的 问题 的生成与 发展.  

教师不惜 花 时 间 给学 生 建 构 函数 平 均 变 化率 概  念, 一 改过 去一个 概 念 三 项 注 意 的做 法 , 而 是 将概 念  的核 心 内涵用 问题 呈现 , 学生在 问题 解决 过 程 中学 习   新概念 . 教 师关 注学 生 学 习过 程 中的 体 验 , 正 确对 待 
学生 的错误 , 展示 了教师 先进 的教学理念 .   2 . 2 教学 方法与 手段  2 . 2 . 1   多媒 体辅 助教 学 

哪一段 陡峭 , 而 后 要求 学 生 用 数 量 刻 画 陡峭 程度 , 体  现 了数学 是经验性 与 演绎性 的辩 证统 一 . 接 着教 师应  用 自我成 长记 录 表 , 提供 了 图表 函数 , 设 计 问题 之 一  就是将 图表 函数 用 折线 图 表示 , 接 着 引导 学 生从 代 数  与图形不 同角 度研究体重 随时间变化 而 变化 的快慢 程  度, 教师预设 问题 富有启发性 , 不仅 教会学 生如 何解读  图表信息方法 , 也 教会 学生从 局部 到整 体的辩证 思 维 ,   从 中可看出教 师科学 的文化素养和深厚 的数 学功底.   2 . 1 . 2 教 师 的学生观  现 代教学 论强 调 以学 生 的发展 为 本 , 关 注 学 生智  力 与非 智力 因素 的 协 同作 用 . 教学 中有 1 0多位 学 生  与教 师对话 交流 . 交 流 的 方 式 有 的是 一 问 一 答 , 有 的  则是 书面表 达等 . 有 的是 教 师 向学 生 质 疑 , 有 的则 是  学生 主动 回应 教 师 . 无 论 是 教 师 向学 生 的质 疑 , 还 是  学生对 教师 主动 回应都 是平 等对话 , 师生 的思 想 在对 
话、 交流 、 反馈 中 自然 流 淌. 学 生 8两 次 主 动 作 答 , 展 

教 师应用 多媒 体辅 助教学 , 大大 减少 了呈现 问题  的时 间 , 减少 了不 必 要 的 浪 费 , 相 应 的提 高 了课 堂 教  学 效率 . 计算机 不 仅 承 载实 物 展 台, 关 键 是 有效 引 导  学 生数 学思考 , 用 得 较 为恰 当. 虽 然 最 后 动 画过 程 显 
得 仓促 , 但足 以说 明平 均 变化率 向瞬 时变 化演 变 的实  质, 一定 程度上 指 引学 生进 一步 的研究方 向.  
2 . 2 . 2 教 学 方 法 

教学 中, 教 师应用 “ 情 境—— 问题— — 研究 ” 模 式  教 学. 展 示 了“ 数 学教 学 是 数学 活 动 的 教学 ” . 教 师 是  活 动的组织 者 、 指导者 、 协作者 和 调控 者 , 学生 是数 学  建 构活 动的真 正主人 .  

教学 设计 不是用 传 统 的概 念 + 例 子 +练 习模 式 
设计 , 而 是把概 念 的 建立 当做 一 种情 境 , 引发 学 生 去 

操作 、 活动 、 讨论 、 反 思. 把 例题 与练 习 纳入 概 念 的学  习情 境之 中. 摆 脱 原来 那 种 讲 完 概念 , 就进 入 例题 学 

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习、 练 习巩 固的孤 立做 法 , 而 是 应用 教学 原 理 ( AP OS   原理 ) 将概念 建立 、 辨别 、 理解 过 程 设 计 成题 组 , 让 学 

生在操 作 、 过程、 对象 、 图式 系统 中完成 .  
教师 既注 重 知识 教 学 , 又 关 注思 想 方 法教 学. 教  师创设 情境 提 出 问题  , 学 生 围绕 问 题 观 察 、 思考、 分 

变 化率 大小 , 顺 应 了教 师 的需 要 , 可是 没 有 了却教 师  的愿望 , 而 教师并 没 有 引 导学 生 从 图上 了断 , 相反 将  这 个 问题 留给学 生课 后 思 考 , 事实证明, 教 师 这样 处  理是 明智 的.   再 如题 组五 中的 问题③ 设计 , 本 想 引导学 生从 具  体 的代数 运算 上升 到形式运 算 , 让学 生感 悟运 算 的策  略, 可是 上黑 板 的学 生 上来 就 用 代 数 式进 行 运 算 , 找  到运算 规律 , 大大 出乎 教 师 的预 料. 教 师 并没 有满 足  得 出结果 , 而 是进 一 步 分 析 问题 的 物 理 意义 , 固化 了  函数平均 变化 率的数 学意义 与 物理 意义 的联 系. 培养  了学生 的类 比思 维 , 优 化 了学 生 思 维 结 构 , 显 现 了教  师 驾驭 教材 与学 生 的能 力. 问题 ④设 计 本 想 应 用“ 几  何 画板 ” 软件演 示变 化的过 程 , 但 苦 于时 间不 足 , 没 有  充 分展现 , 这虽 是 一个 遗 憾. 但 让 学 生 带 着 问题 走 出  课堂, 正 是这一 遗憾 , 留给 了大家许 多 的思 考.  
2 . 5   商 榷 之 处  2 . 5 . 1   多媒 体 应 用  

析、 综合、 概括 , 应 用 问题 解 决 达 成 对 新 知 的理 解. 教  师给学 生创设 多 种 素材 , 学 生 建 构 的 概 念原 型丰 富 ,  
概念联 结数 量 多, 质 量 好. 有 利 于后续 学 习联 想 、  
迁移.  

教 师设计 问题 串为学 习搭建 脚手 架 , 学 生在 问题  解 决过 程 中建 构 函数 平 均 变 化 率. 教 师 担 当助 产 士 ,  

无论“ 顺 产” , 还是“ 难 产” , 都 尽力 让其健 康成 长.   学 生首 先 计算 确 认 , 再 从形 诠 释. 获得 的概 念 既  有 外延 张力 , 也有 内涵 凝 聚力. 为 了学 生 能建 立 函数  平 均变化 率心 理表征 , 教师一 方 面提供 涵 盖各 种 函数  的( 图象 、 图表 、 解 析式 ) 三 种情 境 , 帮助学生观察、 思  考、 计算 、 概括平 均 变化 率 就 是 函数 随 自变 量 变 化 而  变化 的平均 速度 . 另一 方面应 用一 个应 用题 组展 示 了  
函数 平均 变化率 的广泛 应用 , 展 示 了学 习平 均 变化 率  的价 值. 为了使新知 纳入 旧有 的认 知结构 , 教师设计 了   变式题组 , 选 择学 生非 常熟 悉 的一 次 函数 与二 次 函数  为材料探讨 函数 平均 变化 率 的数学 意 义 与几何 意 义.   固化学生新 知与 旧知 的联 系 , 有 效地 将 新知 纳入 已有  的认知结构 , 有效地建立 了新 的稳态的知识结构.  
2 . 3 教 学 目标 

课件 设计 , 不能 太花 , 在 吸引学 生 眼球 的同时 , 也 

会分 散学 生 的注 意 力 , 多 媒 体 仅 仅 是 教 学 的辅 助 手  段. 此 外教 学 的各 个环节 也没 有必要 在课件 中显示 .   2 . 5 . 2 教 学设计 
教学 容量偏 大 , 教学节 奏偏 快 , 感 觉 一程接 一程 ,   没有 喘息机 会. 问题 虽 在 师 生对 话 中解 决 , 这 种解 决 

有时 只能说 明对话 者 ( 或 与其相 似 的共 同体 ) 解决 了 ,   不排 除有部 分学 生 解决 不 了. 学 生 思 维 有差 异 , 要 给 
学 生 消化 、 感 悟的 时间.   问题 的设 计 不必 求 全. 问题 的 呈现 可 以 多样 化 ,   要 研究 问题 的功 能是 什 么 , 如 果 是 巩 固知 识 , 可 以设  计 成填空 题 , 如题 组 四 的前 两 个 问题. 如果 是 培 养 学 

新 课程标 准要求 , 教学 过程 不仅 要重 视基 础 知识  教学 , 更 要关 注知 识形 成过 程 与 方 法 的 教学 , 同 时也  要 兼顾学 生情感 态度 价值观 的培 养. 教 师站在 系 统高  度 设计 教学 , 既注 重概 念 的形 成 过 程 教学 , 也 关 注 学  生情感态度 价值 观 的培养. 教 学过 程 中教 师经 常应 用  激 励性语 言 , 鼓 励学 生 积 极 参 与建 构活 动. 学 生 获 得  的不仅仅是 知识 , 关键 是 得 到 了教 师 与 同学 的 认 可 ,   享 受 了成功 的愉悦 , 让 我们真 切感 受落 实 三维 目标 的  有效 方法.  
2 . 4 教 学 智 慧 

生 的技 能 , 那就要 设计 成解答题 , 也 不 能 通 过 对 话 
解决 .  

总之 , 这一 节课 应用题 组 将概念 的感 知 、 认知、 理  解 和应用 四个环 节教学 融为一 体 , 教学 中教师 的言语 

不多, 师 生互动 也 较好 , 师生 都 在 轻 松愉 快 的氛 围 中 
交流 , 课后 的反馈 检测 效 果不 错. 这 是教 师 优 化 教学  设计 的结果 , 更是 学 生 主 动参 与建 构 的结 果. 是变 讲  堂为学 堂 , 变 教师 教数学 为学 生学 数学 的建 构式 课堂 
的较好 范例.  
参 考 文献 

教学既按 事先 规划设计 好 的线 图行 进 , 又发 生 了 


些 出乎意 料 的细 节. 如 在题组 一 的问题 ③ 陡峭 的现 

实意义 是什 么?学 生不知 如何作 答 ; 超 出 了教师 的预 

期, 教师 没有 坐 以待毙 , 而是 迅 速 调 整设 问方式 ——  你 感觉 哪一 时段 变化 量 大 呢?哪 一 时 段 给人 感 觉 变  化 明显 ?等 等. 这一细节, 一方 面说 明 问题设 问很 重 
要, 好 的设 问可 以激 活学生 思维 , 做 正功 ; 相反 目的不  明的 问题 , 浪 费时 间 , 造 成 教学 低 效 运 作 , 做 负 功. 另 


1 [ 美] D . A格劳斯 , 数 学 教 与学 研 究 手 册 E M] . 上海 : 上 海 教  育出版社, 1 9 9 9   2 李莉. 学生学 习数学概 念的层 次分 析[ J ] . 数 学教育 学报 ,  
2 0 02, 3  

3 濮安 山, 史 宁 中. 从 AP OS理 论 看 高 中 生 对 函数 概 念 的理  解[ J ] . 数 学 教 育学 报 , 2 0 0 7 , 2   4 谢明初 , 朱 新 明. 认 知 心 理 学 视 角 下 的数 学 教 育 [ J ] . 数 学 
教育学报 , 2 0 0 7, 2  

方面, 教师及 时调整设 问, 也 展 示 了 教 师 的 教 学 

智 慧.   其次 在研究生 长率过程 中 , 学 生 5能 从 图 中看 出 



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