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2015高考(理)二轮复习试题:第2章 函数的值域与最值

精品题库试题

理数 1.(2014 浙江,6,5 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>9 [答案] 1.C )

[解析] 1.由



解得 则有 f(-1)=f(-2)=f(-3)=c-6,由 0<f(-1)≤3,得 6<c≤9. 2. (2014 兰州高三第一次诊断考试, 12) 设 则称 为闭函数:① 是 上 的定义域为 ,若 满足下面两个条件,

单调函数;② 存在 则 的取值范围是( )

,使



上值域为

. 现已知

为闭函数,

A. [答案] 2. A

B.

C.

D.

[解析] 2.

函数

是定义在

上的增函数,

为常数,

函数



上的增函数,

因此函数 得函 数

为闭函数,则存在区间 的图象与直线 相交于点 和

,使 ,



上的值域为

,可

,即方程



上有两个不等的实数根 、 ,



,则

,设函数



即(



在 在

时, 时,

为减函数,则 为增函数,则 ,



当 足

时,有两个不等的 值使得 ,

成立,相应地有两个不等的实数根 、 满

故当

为闭函数时,实数 的取值范围是

.

3.(2013 湖南长沙市高三三月模拟,8,5 分) 使得函数 值域为 A.1 [答案] 3.B [解析] 3. 的值域为 ,① 若 ,要使 不处于一个单调区间上,由于 的实数对 B.2 有( ) 对. C.3 D.无数





所以

. 令

,得

,解得

. 故

. 所以实数对

满足题意;② 若

处于一个单调区间上,

由于

不是处于一个单调区间上,所以只有满足



实数对

才满足要求. 由



,即

, 此方程是四次方程, 最多有 4 个实数解,

(i)显然满足 (ii)

的实数解

一定满足



由于



. 故 4 个实数解都求出,没有其他解了. 所以处于同一个

单调区间上的实数对

只有

满足题意;综上,实数对





共 2 对.

4.(2013 年广东省广州市高三 4 月综合测试,8,5 分)记实数 为 ,最小数为 ( ) ,则



,…,

中的最大数

A. [答案] 4.D [解析] 4. 作出

B. 1

C. 3

D.

的图象如下图黑色阴 影部分的上边界:

由图象易知当

时,

. 故选 D.

5.(2013 重庆,3,5 分)

(-6≤a≤3) 的最大值为(

)

A. 9 [答案] 5.B

B.

C. 3

D.

[解析] 5.易知函数 y=(3-a) (a+6) 的两个零点是 3, -6, 对称轴为 a=- , y=(3-a) (a+6) 的最大

值为 y=

=

, 则

的最大值为 , 选 B.

6.(2013 课标Ⅱ ,12,5 分) 已知点 A(-1,0), B(1,0), C(0,1), 直线 y=ax+b(a> 0) 将△ABC 分割 为面积相等的两部分, 则 b 的取值范围是( )

A. (0,1) [答案] 6.B

B.

C.

D.

[解析] 6.(1) 当直线 y=ax+b 与 AB、 BC 相交时(如图 1), 由

得 yE=

, 又易知 xD=- ,

∴|BD|=1+ , 由 S△DBE= ×

×

= 得 b=



.

图1

(2) 当直线 y=ax+b 与 AC、BC 相交时(如图 2), 由 S△FCG= (xG-xF) · |CM|= 得

b=1-



(∵0< a< 1),

图2 ∵对于任意的 a> 0 恒成立,

∴b∈



, 即 b∈

. 故选 B.

7. (2014 重庆,12,5 分)函数 f(x)=l og2

· lo

(2x)的最小值为________.

[答案] 7.[解析] 7.显然

x>0,∴f(x)=log2

· lo

(2x)=

log2x· log2(4x2)=

log2x· (log24+2log2x)=log2x+(log2x)2

=

-

≥-

.当且仅当 x=

时,有 f(x)min=-

.

8. (2014 四川,15,5 分)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 φ(x) 组成的集合:对于函数 φ(x),存在一个正数 M,使得函数 φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当 φ1(x)=x3, φ2(x)=sin x 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ① 设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x )∈A”的充要条件是“?b∈R,?a∈D, f(a)=b”; ② 函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③ 若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B;

④ 若函数 f(x)=aln(x+2)+

(x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B.

其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) [答案] 8.① ③ ④ [解析] 8.依题意可直接判定① 正确;令 f(x)=2x(x∈(-∞,1]),显然存在正数 2,使得 f(x)的值域 (0,2]?[-2,2],但 f(x)无最小值,② 错误;假设 f(x)+g(x)∈B,则存在正数 M,使得当 x 在其公共定义 域内取值时,有 f(x)+g(x)≤M,则 f(x)≤M-g(x),又∵g(x)∈B,则存在正数 M1,使 g(x)∈[-M1,M1],∴-g(x)≤M1,即 M-g(x)≤M+M1,∴f(x)≤M+M1,与 f(x)∈A 矛盾,③ 正确;当 a=0 时,

f(x)=



,即 f(x)∈B,当 a≠0 时,∵y=aln(x+2)的值域为(-∞,+∞),而



,此时 f(x)无最大值,故 a=0,④ 正确.

9. (2014 河北唐山高三第一次模拟考试,13) 函数 的值域为________________.



[答案] 9.

[解析] 9.

,





. (只填序号)

10. (2014 吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 16) 下列说法正确的 有

① 函数

的图象与直线

的交点个数为 0 或 1;

② 设函数

, 若当

时,总有

, 则





时,函数的值域为 ; 对称的图象对应的函数为 .

④ 与函数的图象关于点 [答案] 10. ① ② ④

[解析] 10. 函数 与直线 属于定义域),故① 正确;

的交点个数为 0 个,(此时 1 不属于定义域)或 1 个(1

因为二次函数图象的对称轴为 ,则 ,解得

,开口向上,若当 ,故② 正确.

时,总有



时,真数

的判别式大于等于 0,即真数可以为任意实数,此时函数
[来源:学科网]

的值域为 ,故③ 错误; 根据对称变换法则,与函数 故④ 正确. 综上所述,正确的是① ② ④ .

关于点

对称的函数



11.(2013 课标Ⅰ , 16,5 分) 若函数 f(x) =(1-x2) (x2+ax+b) 的图象关于直线 x=-2 对称, 则 f(x) 的最大值为 . [答案] 11.16

[解析] 11.由 f(x) =(1-x2) (x2+ax+b) 的图象关于直线 x=-2 对称, 则有

即 解得 a=8, b=15, ∴f(x) =(1-x2) (x2+8x+15) =(1-x2) [(x+4) 2-1], 令 x+2=t, 则 x=t-2, t∈R.

∴y=f(t) =[1-(t-2) 2][(t-2) 2+8(t-2) +15] =(4t-t2-3) (4t+t2+3) =16t2-(t2+3) 2 =16t2-t4-6t2-9=16-(t2-5) 2, ∴当 t2=5 时 ymax=16. 12.(2014 江西红色六校高三第二次 联考理数试题,21)已知实数

,函数

.

(1)当

时,求

的最小值;

(2)当

时, 判断

的单调性, 并说明理由;

(3)求实数 的范围,使得对于区间 以 [答案] 12.查看解析 为边长的三角形.

上的任意三个实数

,都存在

[解析] 12.易知

的定义域为

,且

为偶函数.

(1)

时,



最小值为 2.

----------------------------------3 分

[来源:学#科#网]

(2)

时,

时,

递增;

时,

递减; --------------------5 分

为偶函数. 所以只对

时,说明

递增.



,所以

,得

所以

时,

递增; ------------8 分

(3)





从而原问题等价于求实数 的范围,使得在区间

上,恒有

---10 分

① 当

时,



上单调递增,





,从而



② 当

时,



上单调递减,在

上单调递增,







,从而



③ 当

时,



上单调递减,在

上单调递增,







,从而



④ 当

时,



上单调递减,





,从而



综上,

. ---------------------------------------14 分

13. (2014 江苏苏北四市高三期末统考, 17) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示) , 该扇环面是由以点 为圆心的两个同 心圆弧和延长后通过点 的两条直线段围成. 按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中大圆 弧所在圆的半径为 10 米. 设小圆弧所在圆的半径为 米,圆心角为 (弧度). (Ⅰ )求 关于 的函数 关系式; (Ⅱ )已知在花坛的边缘(实线部分) 进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米, 弧线部分的装饰费用为 9 元/米. 设花坛的面积与装饰总费用的比为 ,求 关于 的 函数关系式,并求出 为何值时, 取得最大值?

[答案] 13.查看解析 [解析] 13.

解析 (Ⅰ )设扇环的圆心角为 ,则



所以

,(4 分)

(Ⅱ )花坛的面积为

.

装饰总费用为

,(9 分)

所以花坛的面积与装饰总费用的比



令 答:当

,则

,当且仅当 t=18 时取等号,此时

.

时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. (14 分)

(注:对 也可以通过求导,研究单调性求最值,同样给分)

14. (2014 江西七校高三上学期第一次联考, 18) 已知函数

.

(Ⅰ )当

时,求函数



上的最大值和最小值;

(Ⅱ )求函数

的定义域,并求函数

的值域. (用 表示)

[答案] 14.查看解析

[解析] 14.

解析 (Ⅰ )令

,显然 在

上单调递减,故





,即当

时,

,(在



时取得)

(在



时取得).

(6 分)

(Ⅱ )由

的定义域为

,由题易得:



因为

,故

的开口向下,且对称轴

,于是:





时,

的值域为(







时,

的值域为(

. (12 分)

15. (2013 辽宁省五校协作体高三一月摸底考试,21,12 分)若函数 ,且

的定义域为

,其中 a、b 为任意正实数,且 a<b.

(1)当 A=

时,研究

的单调性(不必证明);

(2)写出

的单调区间(不必证明),并求函数

的最小值、最大值;

(3) 若 整数 k 不等式

其中 k 是正整数, 对一切正 都有解,求 m 的取值范围.

[答案] 15.(1)当 A=

时,





,∴



∴函数

在区间

上是减函数,在区间

是增函数.

(2)函数

的单调递减区间是

,单调递增区间是

.

∴当

时,函数

取最小值

.











∴函数

的最大值是

.

(3)由(2)得: 当 A=Ik 时, 当 A= Ik+1 时, 的最小值为 ;

的最小值为

.

∴对一切正整数 k 不等式

都有解,

设函数









恒成立,

∴函数



上是减函数,



的最小值是



∴ 15.

,即 m 的取值范围是

.

16.(2013 年广东省广州市高三 4 月综合测试,19,14 分)已知 在区间 在区间 围. [答案] 16.解:要使函数 在

,设命题

:函数

上与 轴有两个不同的交点;命题 : 上有最小值. 若 是真命题,求实数 的取值范

上与 轴有两个不同的交点,

必须



解得

.

所以当 点. 下面求

时,函数



上与 轴有两个不同的交



上有最小值时 的取值范围:

方法 1:因为

① 当

时,





上单调递减,



上无最小值;

② 当

时,



上有最小值



③ 当 最小值

时, .



上单调递减,在

上单调递增,



上有

所以当

时,函数



上有最小值.

方法 2:因为

因为

,所以

.

所以函数

是单调递减的.

要使 数,即 所以当

在 ,即

上有最小值,必须使 . 在 上有最小值.



上单调递增或为常

时,函数



是真命题,则

是真命题且 是真命题,即

是假命题且 是真命题.

所以

解得



.

故实数 的取值范围为

.

16. 17.(2013 年辽宁省五校协作体高三第二次模拟考试,19,12 分) 鑫隆房地产公司用 2160 万元购得一块空地, 计划在该地块上建造一栋至少 10 层、 每层 2000 平方米的楼房. 经测算, 如果将楼房建为 层,则每平方米的平均建筑费用为 (单位:元). 为了

使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建 筑费用+平均购地费用,平均购地费用= )

[答案] 17.设楼房每平方米的平均综合费为

元,则

.

方法一:

,





[来源:Zxxk.Com]



时,

;当

时,

,

因此 当

时,

取最小值.

(方法二:

,当且仅当

时成立,即

时,)

. 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层. 17.

18. (2013 年辽宁省五校协作体高三第二次模拟考试, 21, 12 分) 已知函数 上的偶函数,且当 所示,并根据图象 时, .现已画出函数

是定义在

在 轴左侧的图象,如图

(1)写出函数

的增区间;

(2)写出函数

的解析式;

(3)若函数

,求函数

的最小值.

[答案] 18.(1)

在区间



上单调递增.

(2)设

,则

.

函数

是定义在

上的偶函数,且当

时,

(3)

,对称轴方程为:





时,

为最小;



时,

为最小;



时,

为最小.

综上有:

的最小值为

18. 19.(2013 年四川成都市高新区 高三 4 月月考,17,12 分)一个口袋中有 个白球和 个红 球 且 ,每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中),若摸

出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖. (Ⅰ )试用含 的代数式表示一次摸球中奖的概率 (Ⅱ )若 ,求三次摸球恰有一次中奖的概率; ,当 为何值时, 取最大值. ;

(Ⅲ )记三次摸球恰有一次中奖的概率为

[答案] 19. (Ⅰ ) 一次摸球从 种选法;一次摸球中奖的概率

个球中任选两个, 有 .

种选法, 其中两球颜色相同有

(Ⅱ )若

,则一次摸球中奖的概率是 .

,三次摸球是独立重复实验,三次摸球中恰

有一次中奖的概率是

(Ⅲ )设一次摸球中奖的概率是 ,则三次摸球中恰有一次中奖的概率是







是增函数,在

是减函数,

[来源:Z§xx§k.Com]



时,

取最大值.

. 时,三次摸球中恰有一次中奖的概率最大.

,故 19.

[来源:学§科§网]


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