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2017-2018学年高中数学人教A版(浙江专版)必修2讲学案:第三章 3.2 直线的方程

直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 预习课本 P92~94,思考并完成以下问题 1.确定直线的几何要素是什么? 2.直线的点斜式方程是怎样推导的? 3.直线的点斜式方程与斜截式方程的结构形式分别是什么? 4.直线的纵截距是怎样定义的? [新知初探] 1.直线的点斜式方程 (1)定义:如图所示,直线 l 过定点 P(x0,y0),斜率为 k,则把方程 -y0=k(x-x0)叫做直线 l 的点斜式方程,简称点斜式. (2) 如图所示,过定点 P(x0 , y0) ,倾斜角是 90°的直线没有点斜 式,其方程为 x-x0=0,或 x=x0. y [点睛] 经过点 P0(x0,y0)的直线有无数条,可以分为两类: ①斜率存在的直线,方程为 y-y0=k(x-x0); ②斜率不存在的直线,方程为 x-x0=0,或 x=x0. 2.直线的斜截式方程 (1)定义:如图所示,直线 l 的斜率为 k,且与 y 轴的交点为(0,b),则方程 y=kx+b 叫做 直线 l 的斜截式方程,简称斜截式. (2)一条直线与 y 轴的交点(0,b)的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距.倾斜角是直角的直 线没有斜截式方程. [点睛] (1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在. (2)纵截距不是距离,它是直线与 y 轴交点的纵坐标,所以可取一切实数,即可为正数、 负数或零. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线 y-3=m(x+1)恒过定点(-1,3)( (2)对于直线 y=2x+3 在 y 轴上截距为 3( (3)直线的点斜式方程也可写成 答案:(1)√ (2)√ (3)× ) y-y0 =k( x-x0 ) ) ) 2.直线 l 经过点 P(2,-3),且倾斜角 α=45°,则直线的点斜式方程是( A.y+3=x-2 C.y+2=x-3 解析:选 A ∵直线 l 的斜率 k=tan 45°=1, ∴直线 l 的方程为 y+3=x-2. B.y-3=x+2 D.y-2=x+3 3.在 y 轴上的截距为 2,且与直线 y=-3x-4 平行的直线的斜截式方程为________. 解析:∵直线 y=-3x-4 的斜率为-3, 所求直线与此直线平行,∴斜率为-3, 又截距为 2,∴由斜截式方程可得 y=-3x+2. 答案:y=-3x+2 直线的点斜式方程 3 5 [典例] 已知点 A(3,3)和直线 l:y= x- .求: 4 2 (1)过点 A 且与直线 l 平行的直线的点斜式方程; (2)过点 A 且与直线 l 垂直的直线的点斜式方程. 3 5 [解] 因为直线 l:y= x- , 4 2 3 所以该直线的斜率 k= . 4 3 (1)过点 A(3,3)且与直线 l 平行的直线方程为 y-3= (x-3). 4 4 (2)过点 A(3,3)且与直线 l 垂直的直线方程为 y-3=- (x-3). 3 利用点斜式求直线方程的方法 (1)用点斜式求直线的方程,首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标.注意在斜率存 在的条件下,才能用点斜式表示直线的方程; (2)已知两点坐标求直线的方程,可以先求斜率,再用点斜式求直线的方程. [活学活用] 1.直线 y=x+1 绕着其上一点 P(3,4)逆时针旋转 90°后得直线 l,求直线 l 的点斜式方 程. 解:直线 y=x+1 的斜率 k=1,∴倾斜角为 45°. 由题意知,直线 l 的倾斜角为 135°,∴直线 l 的斜率 k′=tan 135°=-1. 又点 P(3,4)在直线 l 上,由点斜式方程知,直线 l 的方程为 y-4=-(x-3). 2.已知两点 A(-1,2),B(m,3),求直线 AB 的点斜式方程. 解:因为 A(-1,2),B(m,3), 当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1,没有点斜式方程; 当 m≠-1 时,直线 AB 的斜率 k= 1 , m+1 1 直线 AB 的点斜式方程为 y-2= (x+1). m+1 直线的斜截式方程 [典例] 根据条件写出下列直线的斜截式方程: (1)斜率为 2,在 y 轴上的截距是 5; (2)倾斜角为 150°,在 y 轴上的截距是-2; (3)倾斜角为 60°,与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3. [解] (1)由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为 y=2x+5. (2)由于倾斜角 α=150°,所以斜率 k=tan 150°=- x-2. (3)由于直线的倾斜角为 60°,所以斜率 k=tan 60°= 3.由于直线与 y 轴的交点到坐标 原点的距离为 3,所以直线在 y 轴上的截距 b=3 或 b=-3,故所求直线方程为 y= 3x+3 或 y= 3x-3. 3 3 ,由斜截式可得方程为 y=- 3 3 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当 b=0 时,y=kx 表示过原点的直线;当 k=0 时,y=b 表示与 x 轴平行(或重合)的直线. (2)截距不同于日常生活中的距离,截距是一个点的横 (纵)坐标,是一个实数,可以是正 数,也可以是负数或零,而距离是一个非负数. [活学活用] 1 求倾斜角是直线 y=- 3x+1 的倾斜角的 ,且在 y 轴上的截距是-5 的直线方程. 4 解:∵直线 y=- 3x+1 的斜率 k=- 3,∴其倾斜角 α=120°,由题意,得所求直线 1 3 的倾斜角 α1= α=30°,故所求直线的斜率 k1=tan 30°= . 4 3 ∵所求直线的斜率是 3 ,在 y 轴上的截距为-5, 3 3 x-5. 3 利用直线的斜截式方程判断两直线位置关系 ∴所求直线的方程为 y= [典例] (1)当 a 为何值时,直线 l1:y=-x+2a 与直线 l2:y=(a2-2)x+2 平行? (2)当 a 为何值时,直线 l1:y=(2a-1)x+3 与直线 l2:y=4x-3 垂直? [解

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