当前位置:首页 >> >>

2013版高中全程复习方略课时提能训练:5.5数列求和及通项(苏教版·数学理)

课时提能演练(三十四)
(45 分钟 一、填空题(每小题 5 分,共 40 分) 1.设数列{(-1)n}的前 n 项和为 Sn,则对任意正整数 n,Sn=______. 2.已知数列{an}的通项公式是 an=
1 1 2 3 2 1 3 4 2 4 3 4 321 2n-1 , 其前 n 项和 Sn= , 则项数 n=______. n 64 2 1 2 3 9 1 ? ? ??? , ?, 若 bn ? , 那么数列 10 10 10 10 a n a n ?1

100 分)

3.已知数列{an}: , ? , ? ? ,?, {bn}的前 n 项和 Sn=______.

4.(2012· 南通模拟)给定数列{xn},x1=1,且 xn+1= 5.设 Sn ? ? ?

3x n ? 1 , 则 x1+x2+…+x2 011=______. 3 ? xn

3 1 1 1 1 ??? , 若 Sn·Sn+1= ,则 n 的值为______. 4 2 6 12 n ? n ? 1?

6.已知数列 2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,…这个数列的特点是从第二项起, 每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2 011 项之和 S2 011=______. 7.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则 S100=______. 8.(2012·泰州模拟)已知数列{an}满足:a1= 列{an}的前 4m+4 项的和 S4m+4=______. 二、解答题(每小题 15 分,共 45 分) 9.已知各项都不相等的等差数列{an}的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中 项. (1)求数列{an}的通项公式;
?a n ? 3, a n ? 3 3 * a ? , 则数 (m ∈ N ), ? n ? 1 2a , a ? 3 2m ? 1 ? n n

(2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*),且 b1=3,求数列{
1 1 2 2

1 }的前 n 项和 Tn. bn
k n

10.设函数 y=f(x)的定义域为 R,其图象关于点 ( , ) 成中心对称,令 ak=f( )(n 是常数且 n≥2,n∈N*),k=1,2,…,n-1,求数列{ ak}的前 n-1 项的和. 11.(2012·盐城模拟)已知数列{an}满足[2+(-1)n+1]an+[2+(-1)n] an+1=1+(-1)n·3n,n∈N*,a1=2. (1)求 a2,a3 的值; (2)设 bn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,证明:{bn}是等差数列; (3)设 cn= a n ? n 2 , 求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 【探究创新】 (15 分)已知公差为 d(d>1)的等差数列{an}和公比为 q(q>1)的等比数列{bn}, 满足集合{a3,a4,a5}∪{b3,b4,b5}={1,2,3,4,5}, (1)求通项 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Sn.
1 2

[来源:Zxxk.Com]

答案解析
? ?1? ? ? ?1? ? ? ?1? 1. 【解析】 ∵数列{(-1) }是首项与公比均为-1 的等比数列,∴ Sn ? 1 ? ? ?1?
n

n

? ?1? ?

n

?1

2

.
n

? ?1? 答案:

?1

2

2.【解题指南】首先对数列的通项公式进行变形,观察通项公式的特点是一个 常数列与一个等比数列的差,所以需要分组求和. 【解析】∵ a n=1- n ,
1 1 1 1 2 4 8 2 1 1 1 1 = n-( + + +?+ n ) 2 4 8 2 1 1 (1- n ) 1 2 =n- = n- 2 1+ n , 1 2 1- 2 321 1 由 Sn= =n-1+ n , 观察可得出 n=6. 64 2 1 2

∴ Sn=(1- )+(1- )+(1- )+?+(1- n )

答案:6 3.【解析】∵ a n ? ∴ bn ?
1 ? 2 ? 3 ??? n n ? , n ?1 2

1 4 1 1 ? ? 4( ? ), a n a n ?1 n ? n ? 1? n n ?1
1 n 1 )] n ?1

1 1 1 2 2 3 1 4n )? . = 4(1 ? n ?1 n ?1 4n 答案: n ?1

∴ Sn ? 4[(1 ? ) ? ( ? ) ??? ( ?

4.【解析】由 x1=1 且 x n ?1 ?

3x n ? 1 , 可求 3 ? xn

x2 ? 2 ? 3, x3 ? ?2 ? 3, x 4 ? ?1, x5 ? 3 ? 2, x6 ? 2 ? 3, x 7 ? 1,

所以数列{xn}为循环数列,周期为 6, 且 x1+x2+x3+x4+x5+x6=0, 所以 x1+x2+…+x2 011= x1=1. 答案:1

1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n ?1 n 3 ? ? , ∴Sn·Sn+ 1= n ?1 n ? 2 n ? 2 4

5.【解析】 Sn ? 1 ? ? ? ? ? ??? ?

1 n

1 1 n ? , =1 ? n ?1 n ?1 n ?1

解得 n=6. 答案:6 【变式备选】已知数列{an}的通项公式 an=4n, bn ? 前 10 项和 S10=______. 【解析】根据题意 bn ?
1 1 1 ? ( ? ), 2 log 2a n log 2a n ?1

1 , 则数列{bn}的 ? log2a n ? ? log2a n ?1 ?

1 ? log 2a n ? ? log 2a n ?1 ?

[来源:Zxxk.Com]

所以{bn}的前 10 项和 S10=b1+b2+…+b10=
1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? ) 2 log 2a1 log 2a 2 log 2a 2 log 2a 3 log 2a10 log 2a11
1 1 1 ? ( ? ) 2 log 2 a1 log 2a11 1 1 1 5 ? ( ? )? . 2 2 22 22

答案:

5 22

6.【解题指南】根据数列的前 5 项写出数列的前 8 项,寻找规律,可发现数列 是周期数列. 【解析】由已知得 a n ? a n?1 ? a n?1 (n≥2), ∴ a n ?1 ? a n ? a n ?1. 故数列的前 8 项依次为 2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,-1,2 008,2 009. 由此可知数列为周期数列,周期为 6,且 S6=0.

∵2 011=6×335+1, ∴S2 011=S1=2 008. 答案:2 008

[来源:Zxxk.Com]

7.【解析】由 an+2-an=1+(-1)n 知 a2k+2-a2k=2,a2k+1-a2k-1=0, ∴a1=a3=a5=…=a2n-1=1, 数列{a2k}是等差数列,a2k=2k. ∴S100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100) =50+(2+4+6+…+100)= 50 ? =2 600. 答案:2 600 8.【解析】由已知得,数列{an}是周期为 m+1 的周期数列,且前 m+1 项组成首项为 a1,公比为 2 的等比数列, ∴ Sm?1 ? ∴ S4m?4 答案:
3(2m?1 ? 1) , 2m ? 1

?100 ? 2 ? ? 50
2

12(2m?1 ? 1) ? . 2m ? 1 12(2m ?1 ? 1) 2m ? 1

9.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 则? ?
?6a1 ? 15d ? 60, ?a1 ? a1 ? 20d ? ? ? a1 ? 5d ? ?
2

,

解得 ?

?d ? 2 , ?a1 ? 5

∴an=2n+3. (2)由 bn+1-bn=an, ∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*), bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1=n(n+2). 当 n=1 时,b1=3 也适合上式, ∴bn=n(n+2)(n∈N*). ∴
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), bn n ? n ? 2 ? 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ? ? ??? ? ) 2 3 2 4 n n?2 1 3 1 1 3n 2 ? 5n ? ( ? ? )? . 2 2 n ? 1 n ? 2 4 ? n ? 1?? n ? 2 ?

10.【解析】∵y=f(x)的图象关于点 ( , ) 成中心对称, 所以 f(x)+f(1-x)=1. 令 Sn-1=a1+a2+…+an-1,
1 2 n ?1 ), n n n n ?1 n?2 1 ) ? f( ) ??? f( ), 又 Sn-1= f( n n n 1 n ?1 2 n?2 n ?1 1 [f( ) ? f( )] ? [f( ) ? f( )] ??? [f( ) ? f( )] ? n ? 1, 两式相加,得 2Sn ?1 ? n n n n n n n ?1 . ∴ Sn ?1 ? 2

1 1 2 2

则 Sn-1= f( ) ? f( ) ??? f(

11.【解析】(1)因为[2+(-1)n+1]an+[2+(-1)n]an+1=1+(-1)n·3n(*),且 a1=2, 所以将 n=1 代入(*)式,得 3a1+a2=-2,故 a2=-8,将 n=2 代入(*)式,得 a2+3a3=7,故

a3=5. (2)在(*)式中,用 2n 代换 n,得[2+(-1)2n+1]a2n+[2+(-1)2n]a2n+1=1+(-1)2n·6n, 即 a2n+3a2n+1=1+6n①, 再在(*)式中,用 2n-1 代换 n, 得[2+(-1)2n]a2n-1+[2+(-1)2n-1]a2n =1+(-1)2n-1·(6n-3), 即 3a2n-1+a2n=4-6n ②, ①-②,得 3(a2n+1-a2n-1)=12n-3, 即 bn=4n-1, 则由 bn+1-bn=[4(n+1)-1]-(4n-1)=4, 得{bn}是等差数列. (3)因为 a1=2,由(2)知, a2k-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+…+(a2k-1-a2k-3 )
[来源:学_科_网 Z_X_X_K] [来源:Zxxk.Com]

=2+(4×1-1)+(4×2-1)+…+[4×(k-1)-1] =(k-1)(2k-1)+2 将③代入②,得 3(k-1)(2k-1)+6+a2k=4-6k, 即 a2k=-6k2+3k-5 所 以 c2k-1=a2k-1+ (2k-1)2 = 4k 2 ? 5k ? , c2k=a2k+ (2k)2=-4k2+3k-5,
1 2 7 2 1 2

③,

则 c2k-1+c2k=-2k- , 所以 S2k=(c1+c2)+(c3+c4)+…+(c2k-1+c2k)
3 3 3 ?? [(2 ? 1 ? ) ? (2 ? 2 ? ) ??? (2 ? k ? )] 2 2 2 5 ? ? k 2 ? k, 2

3 2

所以 S2k-1=S2k-c2k= (?k 2 ? k) ? ? ?4k 2 ? 3k ? 5 ? ? 3k 2 ?
? 2 11 3k ? k ? 5 ? n ? 2k ? 1? ? ? 2 故 Sn= ? 5 ?? k 2 ? k ? n ? 2k ? ? ? 2

5 2

11 k ? 5, 2

? 3n 2 ? 5n ? 12 ? 4 =? ? 2 ?? n ? 5n ? ? 4

(n为奇数) . (n为偶数)

【探究创新】 【解题指南】(1)结合等差数列与等比数列的项,由{a3,a4,a5}∪{b3,b4,b5}={1, 2,3 ,4,5}可得 a3,a4,a5,b3,b4,b5 的值,从而可求数列的通项. (2)由于{an},{bn}分别为等差数列、等比数列,用“乘公比错位相减”求数列的 前 n 项和 Sn. 【解析】(1)∵1,2,3,4,5 这 5 个数中成公差大于 1 的等差数列的三个数只能是 1,3,5;成公比大于 1 的等比数列的三个数只能是 1,2,4. 而{a3,a4,a5}∪{b3,b4,b5}={1,2,3,4,5}, ∴a3=1,a4=3,a5=5,b3=1,b4=2,b5=4, ∴a1=-3,d=2,b1= ,q=2, ∴an=a1+(n-1)d=2n-5,bn=b1×qn-1=2n-3.
1 4

(2)∵anbn=(2n-5)×2n-3, ∴Sn=(-3)×2-2+(-1)×2-1+1×20+…+(2n-5)×2n-3, 2Sn=-3×2-1+(-1)×20+…+(2n-7)×2n-3+(2n-5)×2n-2, 两式相减得-Sn=(-3)×2-2+2×2-1+2×20+…+2×2n-3-(2n-5)×2n-2 =- -1+2n-1-(2n-5)×2n-2 ∴ Sn ? ? ? 2n ? 7 ? ? 2n ?2 . 【方法技巧】依特征找规律 对于数列的综合题,应根据给出的等式的特征,结合数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系,及等比数列、等差数列的性质,转化为数列相邻两项的关系,另外, 错位相减法是数列求和的重要方法,应熟练运用. 【变式备选】已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4, (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【解析】(1)设{an}的公差为 d,由已知得
?3a1 ? 3d ? 6, ? ?8a1 ? 28d ? ?4.
7 4 3 4

解得 a1=3,d=-1. 故 an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)可得,bn=n·qn-1,于是 Sn=1·q0+2·q1+3·q2+…+n·qn-1. 若 q≠1,将上式两边同乘以 q, qSn=1·q1+2·q2+…+(n-1)·qn-1+n·qn.

两式相减得到(q-1)Sn=nqn-1-q1 -q2-…-qn -1 = nqn ?
q n ? 1 nq ? q ?1
n ?1

? ? n ? 1? q n ? 1 q ?1
2

于是, Sn ?

nq n ?1 ? ? n ? 1? q n ? 1

? q ? 1?

,

若 q=1,则 Sn=1+2+3+…+n=

n ? n ? 1? . 2

? n ? n ? 1? ? q ? 1? , ? ? 2 所以,Sn= ? n ?1 nq ? ? n ? 1? q n ? 1 ? (q ? 1, q ? 0). 2 ? q ? 1 ? ? ?


更多相关标签: