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(超全)高考一轮复习数学同步练习16——阶段测试

必修 4 一、选择题 1、 如果角 θ 的终边经过点 (? A、
1 2

阶段测试

3 1 , ) ,则 cos θ ? ( 2 2

) D、 ?
3 3

B、 ?

3 2

C、 3 )

2、 若 ?

π ? α ? 0 ,则点 (tanα, cosα) 位于( 2

A、 第一象限

B、 第二象限

C、 第三象限 ) C、

D、 第四象限

3、 sin 15? cos75? ? cos15? sin 105? 等于( A、 0 B、
1 2

3 2


D、 1

4、 若向量 a=(2,1) ,b=(4,x+1) ,a∥b,则 x 的值为( A、 1 B、 7 C、 -10

D、 -9

5、 把函数 y ? cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不 变) ,然后把图象向左平移
1 π A、 y ? cos( x ? ) 2 4 1 π C、 y ? cos( x ? ) 2 8
π 个 单位,则所得图象对应的函数解析式为( 4



π B、 y ? cos( 2 x ? ) 4 π D、 y ? cos( 2 x ? ) 2

6、 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2) , B(?1,?2) , C (3,1) ,且 BC ? 2 AD , 则顶点 D 的坐标为(
7 A、 (2, ) 2


1 B、 ( 2,? ) 2

C、 (3,2) )

D、 (1,3)

7、 函数 y ? x ? sin | x | , x ? [?π , π ] 的大致图象是(

8、 如图,在△ABC 中,设 AB ? a , AC ? b ,AP 的中点 为 Q,BQ 的中点为 R,CR 的中点为 P,若 AP ? ma ? nb , 则 m? n ? ( A、
1 2

) B、
2 3

C、

6 7

D、 1

a1 a 2 a3 ? 8 , 9、 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 S 2 n ? 3(a1 ? a3 ? ? ? a 2 n ?1 ) ,
则 a10 等于( A、-512 ) B、1024 C、-1024 D、512

10、 ? ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c 若 a、b、c 成等比数列, 且 c=2a,则 cosB=(
1 A、 4

)
3 4

B、

C、

2 4

D、

2 3

5 4 11 、已知 α 和 β 都是锐角, sin α = 13 , cos(α + β) =- 5 ,则 sin β 的值是 ( ) 16 B、65 56 C、65 63 D、65 33 A、65

12、设 m ? 3 ,对于数列 {an }(n ? 1,2,?m?) ,令 bk 为 a1 , a2 ,?ak 中的最大值,称数列
{bn } 为 {an } 的“递进上限数列” 。例如数列 2,1,3,7,5 的递进上限数列为 2,2,3,7,7.则

下面命题中(



①若数列 {an } 满足 an?3 ? an ,则数列 {an } 的递进上限数列必是常数列 ②等差数列 {an } 的递进上限数列一定仍是等 差数列 ③等比数列 {an } 的递进上限数列一定仍是等比数列 正确命题的个数是( A、0 13、函数 y = A、 {0} ) B、1 C、2 ( ) C、 [0,2] D、 [ -2 , 0 ] D、3

sin x ? sin x

的值域是

B、 [ -2 , 2 ]

14、如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是( A、P→ P→ 1P2· 1P3 B、P→ P→ 1P2· 1P4 C、P→ P→ 1P2· 1P5 D、P→ P→ 1P2· 1P6 15、在四边形 ABCD 中, | AB | ? | BD | ? | DC |? 4, AB? BD ? BD? DC ? 0,
| AB | ? | BD |? | BD | ? | DC |? 4 ,则 ( AB? DC ) ? AC 的值为(
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?

)

) D、 4 2

A、2

B、 2 2

C、4

二、填空题 16、 求值 sin( ?
23 13 13 π ) ? cos π tan 4π ? cos π ? 6 7 3


θ 的值是

a t 17、已知向量 a= (cosθ , sin θ ) , 向量 b= ( 3,1) , 且 a⊥b, 则n

。 ,最大值

2x 的 最 小 正 周 期 是 18 、 函 数 y ? s i n2 x c o s

是 19 、 于


3 π 1 α ? ( ? α ? π ) , tan( π ? β ) ? , 则 t a n α? ( 2 β) 的 值 等 已知 sin 5 2 2



π π 20、 给出下列命题: (1)函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ? ) 的图象关于点 (? ,0) 对称; 6 3

π π 5π (2)函数 g ( x) ? ?3 sin( 2 x ? ) 在区间 ( ? , ) 内是增函数; 3 12 12

2 7π (3)函数 h( x) ? sin( x ? ) 是偶函数; 3 2
s i x?c o s x? (4) 存在实数 x , 使n π 。 其中正确的命题的序号是 3

。 。

21、设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 =35,则 a4 ?

→ → → 22、 已知 G1, G2 分别为△ A1B1C1 与△ A2B2C2 的重心, 且A1A2=e1, B1B2=e2, C1C2 → =e3,则G1G2=________(用 e1,e2,e3 表示). → 2=16,|AB → +AC → |=|AB →- 23、设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,BC → |,则|AM → |=__________. AC 24、在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠BAD=60° ,E 为 CD →· → =__________. 的中点,则AE BD

25、在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列 内 的 抛 物 线 y2 ?

?A ?, j ? 1,2,?,以及在第一象限
j

3 x 上 从 左 向 右 依 次 取 点 列 ?Bk ?, k ? 1,2,? , 使 ?Ak ?1Bk Ak 2

( k ? 1,2,? )都是等边三角形,其中 A0 是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的 边长是 三、解答题 26、 已知 | a | =1, | b | =2, a 与 b 的夹角为 60° 。 (1)求: a ? b , ( a ? b )· (a ? b ) ; (2)求: | a ? b | 。 。

27、 已知函数 f ( x) ? A sin(ωx ? φ) ( A ? 0, ω ? 0,? 所示。 (1)求函数 f ( x) 的表达式;

π π ? φ ? ) 一个周期的图象如图 2 2

π 24 (2)若 f ( A) ? f ( A ? ) ? ,且 A 为△ABC 的一个内角,求: sin A ? cos A 的 3 25

值。

28、 已知 0 ? α ? π ,0 ? β ? 求: y ?

π 2π ,且 α ? β ? 。 4 3

1 ? cos 2α π ? cos2 ( ? β ) 的最大值,并求出相应的 α 、 β 的值。 α α 4 cot ? tan 2 2

29、已知 f ?x ? ? m? n ,其中 m ? sin ?x ? cos?x, 3 cos?x , n ? ?cos?x ? sin ?x,2 sin ?x ? , 且 ? ? 0 ,若 f ?x ? 相邻两对称轴间的距离不小于 (1)求 ? 的取值范围. (2)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 3 , b ? c ? 3 , 当 ? 最大时, f ? A? ? 1,求 ?ABC 的面积.

? ?

?

?

?

?

? 。 2

30、在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a=(2,1),A(1,0),B(cos θ, t)、 → → → → (1)若 a∥AB,且|AB|= 5|OA|,求向量OB的坐标; → (2)若 a∥AB,求 y=cos2θ-cos θ+t2 的最小值.

? a n ? 1, 当 n 为偶数时, ? ? 2 31、数列 ?an ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, an ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? ? an ?1

已知 an ?

30 ,求正整数 n. 19

32、数列 {an } 满足: a0 ? 1, an?1 ?

2 7an ? 45an ? 36

2

, n ? N.

证明: (1)对任意 n ? N , an 为正整数;(2)对任意 n ? N , an an?1 ? 1 为完全平方数。

【试题答案】 一、选择题 1-5 BBDA D 二、填空题 16、 0 21、5 三、解答题 26、 1,?3, 3 27、 解: (1)从图知,函数的最大值为 1, 则A ?1
2π π π 函数 f ( x) 的周期为 T ? 4 ? ( ? ) ? π ,而 T ? ,则 ω ? 2 , ω 12 6

6-10 ACCDB

11-15 CBDAC

17、 ? 3

18、

π 1 , 2 2

19、

7 24

20、 (1) (3) (4) 25、2005

1 22、 (e1+e2+e3) 3

23、2

24、1

π π π π π 又 x ? ? 时, y ? 0,? sin( 2 ? (? ) ? φ) ? 0 ,而 ? ? φ ? ,则 φ ? , 6 3 6 2 2

π ∴函数 f ( x) 的表达式为 f ( x) ? sin( 2 x ? ) 3 π 24 π π 24 (2)由 f ( A) ? f ( A ? ) ? 得: sin( 2 A ? ) ? sin( 2 A ? ) ? 3 25 3 3 25

化简得: sin 2 A ?

24 , 25
49 25

∴ (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? sin 2 A ?
sin 2 A ?

由 于 0 ? A ? π , 则 0 ? 2 A ? 2π , 但 因此

24 ? 0 , 则 0 ? 2 A ? π , 即 A 为 锐 角 , 从 而 sin A ? cos A ? 0 25 7 。 5

si n A ? cos A ?

1 ? cos 2α ? 28、 解: y ? α α cos sin 2? 2 α α sin cos 2 2

π 1 ? cos( ? 2 β ) 2 ? 2

2 cos2 α 1 ? sin 2 β ? α α 2 cos2 ? sin 2 2 2 α α sin cos 2 2

sin α cos2 α 1 ? sin 2 β sin 2α sin 2 β 1 ? ? ? ? ? cosα 2 2 2 2 [来源:学_科_网 Z_X_X_K]

=

sin[( α ? β ) ? (α ? β )] sin[( α ? β ) ? (α ? β )] 1 ? ? 2 2 2 1 2 [来源:Z&xx&k、Com]

= cos( α ? β ) sin( α ? β ) ? ∵α ? β ?

2π 2π 1 ? β , cos( α ? β ) ? ? , ,∴ α ? 3 3 2

1 2π 1 π π 2π 2π y ? ? sin( ? 2 β ) ? ;∵ 0 ? β ? ,∴ ? ? 2β ? , 2 3 2 4 6 3 3
1 2π 2π 1 1 1 1 3 ? sin( ? 2 β ) ? 1 ;当 sin( ? 2 β ) ? 时, y 取最大值 ? ? ? ? ? , 2 3 3 2 2 2 2 4

π ? 2π ? 2β ? ? 5π π 5π π 3 ?3 6 这时 ? ,得 α ? , β ? ;即当 α ? , β ? 时, y max ? 。 12 4 12 4 4 ?α ? β ? 2π ? 3 ?

29、 (1) 0 ? ? ? 1 (2)

3 2

f ?x? ? ?sin ?x ? cos?x? ? ?cos?x ? sin ?x? ? 2 3 sin ?x ? cos?x

?? ? ? 3 sin 2?x ? cos2?x ? 2 sin ? 2?x ? ? 6? ?
对称轴为 2?x ?

?
6

? k? ?

?
2

,k ? z

∴x ?

k? ? ? 2? 6?

k?z

(1)由 T ? ? 得

2? ?? 2?

得0 ? ? ? 1 ∴ f ?x ? ? 2 sin ? 2 x ?

(2)由(1)知 ? ? 1

? ?

??
? 6?

∵ f ? A? ? 1

∴ 2 sin ? 2 A ?

? ?

??

? ? 1 ∵ A ? ?0,? ? 6?

∴A?

?
3

由 cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 1 9 ? 2bc ? 3 ? bc ? 2 得 ? 2 2bc 2bc

∴ S?ABC ?

1 3 bcsin A ? 2 2

→ 30、(1)∵AB=(cos θ-1,t), → 又 a∥AB,∴2t-cos θ+1=0、∴cos θ-1=2t、① → → 又∵|AB|= 5|OA|,∴(cos θ-1)2+t2=5、② 由①②得,5t2=5,∴t2=1、∴t=± 1、 当 t=1 时,cos θ=3(舍去),当 t=-1 时,cos θ=-1, → ∴B(-1,-1),∴OB=(-1,-1)、 (2)由(1)可知 t=
2

cos θ-1 , 2

? cos θ-1?2 ∴y=cos θ-cos θ+ 4 6 5 3 1 5? ? 1 =4cos2θ-2cos θ+4=4?cos2θ-5cos θ?+4 ? ? 3? 1 5? =4?cos θ-5?2-5, ? ? 3 1 ∴当 cos θ=5时,ymin=-5、 31、由题设易知, an ? 0, n ?1, 2, ? .又由 a1 ? 1 ,可得,当 n 为偶数时, an ? 1 ; 当 n (? 1) 是奇数时, an ?

1 ? 1. an ?1

由 an ?

30 n 30 11 ? 1 ,所以 n 为偶数,于是 a n ? ? 1 ? ? 1 ,所以, 是奇数. 19 2 19 19 2

于是依次可得:a n ?
2 ?1

n n?2 19 8 19 是奇数, ? 1 , ? 1 是偶数,a n ?2 ? ? 1 ? ? 1 , 2 4 11 11 11 4

an?2 ?
4 ?1

n?6 n?6 11 11 3 是偶数, a n ?6 ? ? 1 ? ? 1, 是奇数, ? 1, 4 8 8 8 8 8 n ? 14 n ? 14 8 8 5 是偶数, a n ?14 ? ? 1 ? ? 1 , 是偶数, ? 1, 8 16 3 3 3 16

a n ?6 ?
8 ?1

n ? 14 5 2 是奇数, a n ?14 ? ? 1 ? ? 1, 32 3 3 32

a n ?14 ?
32 ?1

n ? 46 n ? 46 3 3 1 是偶数, a n?46 ? ? 1 ? ? 1 , 是奇数, ? 1, 32 64 2 2 2 64 n ? 110 是偶数, an?110 ? 2 ? 1 ? 1 , 64 128

an?46 ? 2 ? 1 ,
64 ?1

所以,

n ? 110 ? 1 ,解得,n=238. 128

32 、 证 明 : ( 1 ) 由 题 设 得 a1 ? 5, 且 {an } 严 格 单 调 递 增 . 将 条 件 式 变 形 得
2 2 2 2a n ?1 ? 7a n ? 45a n ? 36 , 两边平方整理得 an ?1 ? 7an an?1 ? an ? 9 ? 0



2 2 ? an ? 7an?1an ? an ?1 ? 9 ? 0



①-②得 (an?1 ? an?1 )(an?1 ? an?1 ? 7an ) ? 0,? an?1 ? an ,?an?1 ? an?1 ? 7an ? 0 ?

an?1 ? 7an ? ab?1 .



由③式及 a0 ? 1, a1 ? 5 可知,对任意 n ? N , an 为正整数 (2)将①两边配方,得 (a n ?1 ? a n ) 2 ? 9(a n a n ?1 ? 1),? a n a n ?1 ? 1 ? ( 由③ an?1 ? an ? 9an ? (an?1 ? an ) ≡ ?(an ? an?1 ) ? mod3? ∴ an?1 ? an ≡ (?1)n ? a1 ? a0 ? ≡0(mod3)∴ ④式成立.? an an?1 ? 1 是完全平方数
an ?1 ? an 为正整数 3

a n ?1 a n 2 ) .④ 3


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