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2015高考(理)二轮复习试题:第2章 函数及其表示

精品题库试题

理数 1. (2014 大纲全国,12,5 分)函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 x+y=0 对称, 则 y=f(x)的反函数是( ) A.y=g(x)B.y=g(-x)C.y=-g(x)D.y=-g(-x) [答案] 1.D [解析] 1.∵y=g(x)关于 x+y=0 对称的函数为-x=g(-y),即 y=-g-1(-x),∴y=f(x)=-g-1(-x),对换 x ,y 位置关系得:x=-y-1(-y),反解该函数得 y=-g(-x ),所以 y=f(x)的反函数为 y=-g(-x). 2. (2014 四川,9,5 分)已知 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:

① f(-x)=-f(x);② f

=2f(x);③ |f(x)|≥2|x|. )

其中的所有正确命题的序号是( A.① ② ③ [答案] 2.A B.② ③ C.① ③

D.① ②

[解析] 2.f (-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f(x),① 正确.

f

=ln

-ln

=ln

-ln

,∵x∈(-1,1),∴f

=2ln(

1+x)-2ln(1-x)=2[ln(1+x)-ln(1-x)]=2f(x),② 正确.当 x∈[0,1)

时,|f(x)|=ln(1+x)-ln(1-x)=ln

,2|x|=2x,令 g(x)=ln

-2x,则 g'(x)=

≥0,∴g(x)在

[0,1)上为增函数,∴g(x)≥g(0)=0,即|f(x)|≥2|x|;当 x∈(-1,0)

时,|f(x)|=ln(1-x)-ln(1+x)=-ln

,2|x|=-2x,

令 h(x)=2x-ln

,则 h'(x)=

<0,∴h(x)在(-1 ,0)上为减函数,∴h(x)>0,即|f(x)|>2|x|.

∴当 x∈(-1,1)时,|f(x)|≥2|x|,③ 正确.

3. (2014 福建,7,5 分)已知函数 f(x)= A.f( x)是偶函数 [答案] 3.D B.f(x)是增函数

则下列结论正确的是( C.f(x)是周期函数

)

D.f(x)的值域为[-1,+∞)

[解析] 3.作出 f(x)的图象如图所示,可排除 A,B,C,故 D 正确.

4.(2014 山东,3,5 分)函数 f(x)=

的定义域为(

)

A. [答案] 4.C

B.(2,+∞)

C.

∪(2,+∞)

D.

∪[2,+∞)

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

[解析] 4.要使函数 f(x)有意义,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,

∴log2x>1 或 log2x<-1.解之得 x>2 或 0<x<

.故 f(x)的定义域为

∪(2,+∞).

5. (2014 山西太原高三模拟考试(一),1) 已知

U={y|

}, P={y|

}, 则 CUP=(

)

[答案] 5. A

[解析] 5. U={y|

}=

, P={y|

}=

, 所以

6.(2014 安徽合肥高三第二次质量检测,5) 为了得到函数 函数 的图像( )

的图像,可将

A. 向左平移

B. 向右平移

C. 向左平移

D. 向右平移 [答案] 6. C

[解析] 6.因为



把其图象平移

个单位长得函数

图象,

所以

,解得

,故可将函数

的图像向左平移

得函数

的图像. 7. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),11) 已知函数

其中 为自然对数的底数,若关于 的方程 个实数解,则实数 的取值范围为( )

有且只有一

A. [答案] 7. B

B.

C.

D.

[解析] 7. 先令 一个解,即 应满足 选 B. ; 当

,则 的图像与

,所以

,从而方程

只有 时, .

的图像只有一个交点. 由数形结合可知:当

时交点有且只有一个; 综上所述, 实数 的取值范围为

8. (2014 广东广州高三调研测试,8) 对于实数 和 ,定义运算“*” :

*



*

,且

关于 的方程为 取值范围是( )

恰有三个互不相等的实数根





, 则



A.

B.

C.

D.

[答案] 8.A

[解析] 8. 由已知可得

,作出

的图像,不妨设

,由

图像可得

,且

,由重要不等式



又当

时,

,所以

,从而

.

9. (2014 广东广州高三调研测试,4) 定义在

上的函数

满足



的值为(



A. [答案] 9.D

B. 2

C.

D. 4

[解析] 9. 由题意可得

.

10. (2014 山东潍坊高三 3 月模拟考试数学 (理) 试题, 9) 对任意实数 a, b 定义运算“

” :

设 三个不同交点,则 k 的取值范围是( ) (A) (-2,1) (B) [0,1]

,若函数

的图象与 x 轴恰有

(C) [-2,0) [答案] 10. D

(D) [-2,1)

[解析] 10.

,整理得

,其图像如下图所示,

由图像可得 k 的取值范围是[-2,1).

11.(2014 江西红色六校高三第二次联考理数试题,8)设函数 在闭区间 上的值域是 是( ) ,使得函数 满足:① 在

的定义域为

,若存 在

上是单调函数;②

,则称区间

是函数

的“和谐区间” .下列结论错误的

A.函数

存在“和谐区间”

B.函数

不存在“和谐区间”

C.函数

存在“和谐区间”

D.函数

不存在“和谐区间”

[答案] 11. D

[解析] 11. 欲使函数 两个 根即可. 显然 选项 A 正确;因为函数

存在“和谐区间” , 只需使函数 为单调递增函数,且 的最小值为

在 在

的单调区间内有 有两个根, 故 在

,大于 0,所以

无根,故选项 B 正确; 说法正确;故选 D.



上单调递减,且其值域为[0,2], 所以选项 C 的

12. (2014 湖北八校高三第二次联考数学 (理) 试题, 10) 函数 直线 与函数 的图像相交于四个不同的点,从小到大,交点横坐标依次记为



,下列说法错误的是( )

A.

B.

C.

D.若关于 的方程 [答案] 12. D

恰有三个不同实根,则

取值唯一

[解析] 12. 根据函数解析可得函数图像如图所示,

由图像可知,选项 D 的说法错误.

13. (2014 重庆七校联盟, 8) (创新)若 A. B. C. D.

,则

等于(



[答案] 13. D

[解析] 13.



.

14. (2014 重庆七校联盟, 7) (创新)已知函数 么 的取值范围是 ( )

是上的减函数,那

[答案] 14. C

[解析] 14.依题意,

,解得

.

15. (2014 天津七校高三联考, 7) 已知函数 ,且 是递减数列,则实数 的取值范围是( )

,若数列

满足

(A) [答案] 15. C

(B)

(C)

(D)

[解析] 15. 由函数

,且数列

满足

时递减数列,

[来源:Zxxk.Com]

则当

时,

,则



,且最小值为





时,

,则

,且最大值

. 由

,得





综上所述,实数 的取值范围是

.

16. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 9) 函数 程 有五个不同的实数解,则 的取值范围是()

若关于 的方

A. [答案] 16.B

B.

C.

D.

[来源:Z#xx#k.Com]

[解析] 16.如图,方程要有五个不同的解,必须 为 只有 2 个解,所以

,所以

,从而 .

,因

要有 3 个解,由数形结合可得:

17. (2014 江西七校高三上学期第一次联考, 10) 已知函数

若 、 、 互

不相等,且 A. [答案] 17. C B.

,则 C.

的取值范围是( D.



[解析] 17. 由于函数 设 ,则 ,

的周期是 2,当 ,故 ,

时,它的图象关于直线

对称,

再由正弦函数的定义域和值域可得 综上可得: .

,故

,解得



18.(2014 广州高三调研测试, 8) 对于实数 a 和 b,定义运算“*” : * 设 ,则 * ,且关于 的方程为 ) 恰有三个互不相等的实数根 ,

, ,

的取值范围是(

A. [答案] 18. A

B.

C.

D.

[解析] 18. 由



,由定义





,即

由于函数



的最大值是 ,由图知,关于 的方程为 ,设 ,则 ,由 ,则

恰有三个互不相 ,

等的实数根 , ,







,即

.



的取值范围是

.

19.(2014 广州高三调研测试, 4) 定义在 上的函数 的值为( )

满足



A. [答案] 19. D [解析] 19.

B.2

C.

D.4

.

20. (2014 四川,12,5 分)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,

f(x)= [答案] 20.1

则f

=______.

[解析] 20.f

=f

=f

=-4×

+2=1.

21.(2014 浙江,15,4 分)设函数 f(x)= 是________.

若 f(f(a))≤2,则实数 a 的取值范围

[答案] 21.(-∞,

]

[解析] 21.当 a≥0 时, f(a)=-a2≤0,又 f(0)=0,故由 f(f(a))=f(-a2)=a4-a2≤2,得 a2≤2,∴0≤a≤

.

当-1<a<0 时, f(a)=a2+a=a( a+1)<0,则由 f(f(a))=f(a2+a)=(a2+a)2+(a2+a)≤2,得 a2+a-1≤0,

得-

≤a≤

,则有-1<a<0.当 a≤-1 时, f(a)=a2+a=a(a+1)≥0,则由

f(f(a))=f(a2+a)=-(a2+a)2≤2,得 a∈R,故 a≤-1.

综上,a 的取值范围为(-∞,

].

[来源:学*科*网]

22. (2014 山东青岛高三第一次模拟考试, 15) 如果对定义在 不相等的实数 , 都有 ;②

上的函数 , 则称函数 ;③

,对任意两个 为“ 函

数”. 给出下列函数①



④ [答案] 22.② ③

. 以上函数是“

函数” 的所有序号为_________________.

[解析] 22. 因为对任意给定的实数 恒成立,所以不等式等价于 函数,



,不等式 恒成立,即函数 在 上是增

① 因为 数,

,所以

,则函数

在定义域上不是单调函

② 因为 所以函数

,所以 在 上单调递增,满足条件;



③ 因为函数

是增函数,所以满足条件;

④ 对函数 满足条件.故函数是“

,当

时,函数单调递增,当

时,函数单调递减,不

函数” 的所有序号② ③

23. (2014 重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考, 13) [答案] 23.0 个

的零点个数是.

[解析] 23. 函数

的图象如图,由图知零点的个数是 0 个.

24. (2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题,11) 已知函数 _________ .

,则

[答案] 24.

[解析] 24. 因为

,所以

.

25. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测,12) 已知函数 .

,则

[答案] 25.

[解析] 25. 由已知得:

.

26.(2014 江苏苏北四 市高三期末统考, 7) 函数 [答案] 26. [解析] 26. 依题意,要函数有意义,则 故原函数的定义域为 .
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

的定义域为

▲ .

,即

,有指数函数的图象知,



27. (2014 陕西宝鸡高三质量检测(一), 14) 若 ____________. [答案] 2 7.

,则

[解析] 27.



.

28. (2014 陕西宝鸡高三质量检测(一), 11) 已知函数 所有 的值为_________. [答案] 28. 3 或 0

, 则满足方程



[解析] 28. 当

时,由 或 0.

,解得

符合题意,当

时,由

,解得



符合题意,综上所述,

29. (2014 北京东城高三 12 月教学质量调研) 函数

,若

,则

. [答案] 29. 或

[解析] 29. 依题意,



,解得



.

30. (2014 安徽合肥高三第二次质量检测,20) 已知函数

,方程

的解从小到大组成数列

.

(Ⅰ )求





(Ⅱ )求数列 [答案] 30.查看解析

的通项公式.

[解析] 30. (I)当



,由

,所以









时 ,

,则







,所以





.

(5 分)

(Ⅱ )





时,由

,得



因为

,所以



即关于 的方程



内有且仅有一个实数根,



所以关于 的方程



上所有实数根从小到大构成数列



所以

.

(13 分)

31. (2014 周宁、 政和一中第四次联考, 18) 各项为正数的数列

的前 项和为

, 且满足:

(Ⅰ )求 ;

(Ⅱ )设函数 [答案] 31.查看解析



求数列

[解析] 31.

解析 (Ⅰ )由

① 得,当

时,

② ;

由① -② 化简得:

,又∵数列

各项为正数,

∴当 n≥2 时,

,故数列

成等差数列,公差为 2,



,解得

.

(5 分)

(Ⅱ )由分段函数

可以得到:









时,



(9 分)

故当

时,



.

(13 分)


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