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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4直线与圆锥曲线课件新人教B版选修1_图文

理解教材 新知 2.4 考点一 把握热点 考向 第 二 章 考点二 考点三 考点四 直线 与圆 锥曲 线 应用创新 演练 2.4 直线与圆锥曲线 问题 1:直线与椭圆的位置关系有几种? 提示:三种,相交、相切、相离. 问题 2:直线与圆锥曲线只有一个公共点时,即称直线与圆 锥曲线相切,这种说法正确吗? 提示:不正确.当直线平行于抛物线的对称轴时,与抛物线 只有一个公共点,直线平行于双曲线的渐近线时,直线与双曲线 也只有一个公共点.但这时直线与抛物线、双曲线相交. 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点 及有两个公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的 方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断. 设直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为 f(x,y)=0. ? ?Ax+By+C=0, 由? ? ?f?x,y?=0 消元, 如消去 y 后得 ax2+bx+c=0. ①若 a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线 l 与双曲线的渐近 线平行或重合; 当圆锥曲线是抛物线时, 直线 l 与抛物线的对称轴 平行(或重合). ②若 a≠0,设 Δ=b2-4ac. (ⅰ)Δ > 0 时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; (ⅱ)Δ = 0 时,直线和圆锥曲线相切于一点; (ⅲ)Δ < 0 时,直线和圆锥曲线没有公共点. 2.圆锥曲线的弦 直线与圆锥曲线相交有两个交点时, 这条直线上以这两个 交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦, 线段的长 就是弦长, 简单地说, 圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的 线段. 1.直线与椭圆有三种位置关系,类似地,直线和双曲 线、抛物线也有三种位置关系,即相交、相切和相离,但要 注意相交时可能只有一个公共点. 2.解决直线与圆锥曲线的位置关系,一般是联立直线 方程和圆锥曲线方程组成方程组,根据方程组解的个数判断 直线与圆锥曲线的公共点的个数,从而确定位置关系. 直线与圆锥曲线的位置关系 [例 1] x2 2 m 为何值时,直线 y=x+m 与椭圆 +y =1 相 4 交、相切、相离? y=x+m, ? ? 2 根据方程组?x 的解的个数判断 2 +y =1 ? 4 ? [思路点拨] 位置关系. [精解详析] y=x+m, ? ? 2 由?x 2 + y =1, ? ?4 ① ② x2 得 +(x+m)2=1, 4 整理得 5x2+8mx+4m2-4=0, ③ 此方程的实数根的个数由根的判别式 Δ 决定, Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2). 当- 5<m< 5时,Δ>0, 方程③有两个不同的实数根, 可得原方程组有两组不同的 实数解,此时直线与椭圆相交. 当 m=- 5或 m= 5时,Δ=0, 方程③有两个相等的实数根, 可得原方程组有两组相同 的实数解,此时直线与椭圆相切. 当 m<- 5或 m> 5时,Δ<0, 方程③没有实数根,直线与椭圆相离. [一点通] 求直线与圆锥曲线的位置关系,或求直线与 圆锥曲线的交点个数问题, 其基本方法是联立直线方程和圆 锥曲线的方程, 消元化成一元二次(或一次)方程通过二次(或 一次)方程解的个数来判定.在解答过程中要注意两点:一 是二次项系数是否为 0,只有二次方程才能用判别式.二是 对于变量的取值受到特别限制的情况要数形结合. 1.直线 y=kx+1 与椭圆 4x2+y2=1 的位置关系是 A.相交 C.相离 B.相切 D.相交或相切 ( ) 解析:直线 y=kx+1 过定点 A(0,1),而 A 在椭圆 4x2+y2=1 上,故直线 y=kx+1 与椭圆相切或相交. 答案:D 2.若直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=1 有且只有一个公共点,则 k 的值为________. ? ?y=kx-1, 解析:由? 2 2 ? ?x -y =1, 得(1-k2)x2+2kx-2=0. 当 1-k2=0 时,即 k=± 1 时, 方程变为± 2x-2=0,x=± 1, 此时直线与双曲线渐近线平行,有且只有一个交点. 当 1-k2≠0 时,由 Δ=4k2+8(1-k2)=0, 解得 k=± 2, 此时直线与双曲线相切,有且只有一个公共点. 综上所述 k=± 1,± 2. 答案:± 1 或± 2 3.已知抛物线的方程为 y2=2x,直线 l 的方程为 y=kx+1(k∈ R), 当 k 分别为何值时, 直线 l 与抛物线: 只有一个公共点; 有两个公共点;没有公共点? 解:联立直线 l ? ?y=kx+1, 与抛物线方程得方程组? 2 ? ?y =2x, 可得 k2x2+(2k-2)x+1=0. 1 (1)当 k=0 时,由方程①得 x= , 2 代入 y=kx+1 得 y=1. 这时直线 l ?1 ? 与抛物线只有一个公共点?2,1?. ? ? ① (2)当 k≠0 时,方程①的判别式为 Δ=4(1-2k). 1 当 Δ=0,即 k= 时,方程①有一个解,从而直线 l 与抛物线只有 2 一个公共点. 1 当 Δ>0,且 k≠0,即 k< 且 k≠0 时 ,方程①有两个解,从而直 2 线 l 与抛物线有两个公共点. 1 当 Δ<0 且 k≠0,即 k> 时,方程①没有实数解,从而直线 l 与抛 2 物线没有公共点. 1 综上可得:当 k=0 或 k= 时,直线 l 与抛物线只有一个公共点; 2 1 1 当 k< 且 k≠0 时,直线 l 与抛物线有两个公共点;当 k> 时,直 2 2 线 l 与抛物线没有公共点. 弦长问题 x2 y2 斜率为 2 的直线 l 在双曲线 - =1 上截得的弦长为 3 2 [例 2] 6,求 l 的方程. [思路点拨] 设直线 l 的方程为 y=2x+m, 由题意建立关于 m 的等式,求出 m 即可.

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