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2014版高考数学一轮总复习 第13讲 函数模型及其应用课件 理 新人教A版


了解指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等函数模型的意义,并能 建立简单的数学模型,利用这些知 识解决应用问题.

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型, 不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述. 那么,面临一个实际问题,应当如何选择恰当 的函数模型来刻画它呢?事实上,要顺利地建 立函数模型,首先要深刻理解基本函数的图象 和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点, 并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识. 一般而言,有以下8种函数模型:

①一次函数模型:f ? x ? ? kx ? b(k、b为常数,k ? 0); k ②反比例函数模型:f ? x ? ? ? b(k、b为常数,k ? 0); x ③二次函数模型:f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c (a、b、c为常数,a ? 0),二次函数模型是高中阶段应用 最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见的; ④指数型函数模型:f ? x ? ? ka x ? b (k、a、b为常数,k ? 0,a ? 0且a ? 1);

⑤对数型函数模型:f ? x ? ? m log a x ? n (m、n、a为常数,m ? 0,a ? 0且a ? 1); ⑥幂函数型模型:f ? x ? ? ax n ? b (a、b、n为常数,a ? 0,n ? 0); ⑦“勾”函数模型:f ? x ? ? x ? (k为常数,k ? 0), 这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个 “勾号”,故我们把它称之为“勾”函数模型; ⑧分段函数模型:这个模型实则是以上两种或 多种模型的综合,因此应用也十分广泛.

1.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三 角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值为( A. 3 cm2 C.3 3 cm2 B.2 3 cm2 D.4 3 cm2 )

【解析】 设长为 12 cm 的细铁丝截成 x cm 和 (12-x) cm 的两截,两正三角形面积之和为 S, 其中 0<x<12,则 3 x2 3 12-x 2 S= 4 ·3) + 4 · 3 ) ( ( 3 2 = 8 (x -12x+72) 3 = 18 [(x-6)2+36]. 所以,当 x=6 时,S 取最小值,Smin=2 3, 故面积之和的最小值为 2 3 cm2,选 B.

2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了如下一 组数据: x 1.99 y 3 4 5.1 12 6.12 18.01

1.5 4.04 7.5

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的 规律,其中最接近的一个是( A.y=2x-2 C.y=log2x )

1 2 B.y=2(x -1) 1x D.y=(2)

【解析】将各组数据代入验证,选 B.

3.2006 年 6 月 30 日到银行存入 a 元,若年利率为 x,且按 复利计算,到 2012 年 6 月 30 日可取回本息共计( A ) A.a(1+x)6 元 C.a(1+x6) B.a(1+x)7 元 D.[a+(1+x)6]元

4.某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1000 件,根 据市场预测,销售价为每件 100 元时可全部售完,定价每提 高 1 元时,销售量就减少 5 件,若要获得最大利润,销售价 应定为每件( A.100 元 C.150 元 ) B.110 元 D.190 元

【解析】设定价 x 元, 销售量为 1000-5(x-100)=1500 -5x 件,其中 x≥100,利润为 y,则 y=(x-80)(1500-5x) =-5x2+1900x-120000 =-5(x2-380x)-120000 =-5(x-190)2+60500. 所以当 x=190 时,y 取最大值,故选 D.

5.某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元,并且每 年生产单位产品成本增加 10 万元,又知总收入 k 是单位产 1 2 品数 Q 的函数,k(Q)=40Q-20Q ,则总利润 L(Q)的最大 值是 2500 万元,此时单位产品数 Q 为 300 .

【解析】L(Q)=k(Q)-10Q-2000 1 2 =-20Q +30Q-2000 1 =-20(Q-300)2+2500. 所以当 Q=300 时,L(Q)max=2500.



已知函数模型解决实际应用问题

【例 1】经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某 公路段汽车的流量 y(百辆∕小时)与汽车的平均速度 v(千米 920v ∕小时)之间的函数关系为:y= 2 (v>0). v +3v+1600 (1)在该时段内, 当汽车的平均速度 v 为多少时, 车流量 最大?最大车流量是多少?(精确到 0.1 百辆∕小时) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 百辆∕小时,则汽 车的平均速度应在什么范围内?

【分析】 (1)已知车流量与平均速度之间的函数关系式, 只 需解决函数取最值的条件及所取最大值, 由数学问题的解 答,得实际结论;(2)由 y>10 解不等式,得实际结论.

920 【解析】(1)依题意得 y= 1600 (v>0), v+ v +3 1600 又 t=v+ v ≥2 1600 v· v =80,

1600 当且仅当 v= v ,即 v=40 时,t 取最小值 80, 920 所以 y 有最大值,为 ymax= 83 ≈11.1(百辆∕小时).

920v (2)若要求 y>10,即 2 >10, v +3v+1600 又 v2+3v+1600>0 恒成立, 化简整理得 v2-89v+1600<0, 即(v-64)(v-25)<0,所以 25<v<64. 答:(1)当汽车的平均速度为 40 千米∕小时时,车流量最 大,最大车流量约为 11.1 百辆∕小时. (2)当汽车平均速度在 25 千米∕小时至 64 千米∕小时之间 时,车流量超过 10 百辆/小时.

【点评】已知函数模型的实际问题,关键是根据函数特点与实 际要求,解决相关数学问题,确定实际结论.

【例 2】 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日 的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系 a 式 y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格 x-3 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

【分析】 (1)已知部分变量关系模型,可根据已知数据求参 数.(2)进一步建立利润与销售价格之间的函数关系,根据函数 求最大利润及获得条件,注意利润=销售收入-成本.

【解析】 (1)因为 x=5 时,y=11, a 所以2+10=11,所以 a=2. (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 2 y= +10(x-6)2, x-3 单位商品利润为(x-3)元/千克,所以商场每日销售该 商品所获得利润 2 f(x)=(x-3)[ +10(x-6)2] x-3 =2+10(x-3)(x-6)2(3<x<6).

从而 f′(x)=10[(x-6)2+2(x-6)(x-3)] =30(x-6)(x-4). 所以当 x∈(3,4)时,f′(x)>0; 当 x∈(4,6)时,f′(x)<0, 所以 f(x)在(3,4)上递增,在(4,6)上递减, 所以当 x=4 时,f(x)有最大值, 且[f(x)]max=f(4)=42. 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品 所获得的利润最大.

【点评】已知函数模型求参数时,关键是根据题设条件建 立方程求解;另外要注意实际问题中定义域对最值的影响.

素材1

(1)为了预防流感, 某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已 知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时 间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y= 1 t -a (16) (a 为常数),如图所示.根据图中提供的信息,回答下列 问题:

①从药物释放开始, 每立方米空气中 的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函 数关系式为 ?10t ?0≤t≤0.1? ? y=? 1 t-0.1 ; ?t>0.1? ??16? ? ②据测定, 当空气中每立方米的含药 量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进 教室, 那从药物释放开始, 至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室.

(2)某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运,据 市场分析,每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x (x∈N*) 的关系式为 y=-x2+12x-25, 则为使其营运年平均利润最大, 每辆客车营运年数为( A.2 C.5 ) B.4 D.6

【解析】 (1)①当 0≤t≤0.1 时, 函数图象是线段 y=10t(0≤t≤0.1); 1 t-a 当 t>0.1 时,函数图象是指数函数 y=(16) ; 1 0.1-a 当 t=0.1 时,由 1=(16) ,得 a=0.1.
?10t ? 所以 y=? 1 t-0.1 ??16? ?

?0≤t≤0.1? ?t>0.1? .

1 t-0.1 ②由 y=(16) ≤0.25,得 2t-0.2≥1,则 t≥0.6, 所以至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室. -x2+12x-25 y (2)平均利润x= x 25 =12-(x+ x ) ≤12-10=2, 25 当且仅当 x= x ,即 x=5 时,等号成立,故选 C.



根据实际关系建立函数模型解实际问题

【例 3】如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC= b(a>b),在边 AB、AD、CD、CB 上分别截取 AE、AH、CG、 CF 都等于 x,当 x 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大?求 这个最大面积.

【分析】要确定四边形 EFGH 的面积最 值,关键是建立该面积与 x 之间的函数关 系,四边形 EFGH 的面积为矩形 ABCD 面积减去 4 个三角形面积.

【解析】 设四边形 EFGH 的面积为 S,由题意得 1 2 1 S△AEH=S△CGF=2x ,S△BEF=S△DHG=2(a-x)(b-x), 其中 0<x≤b, 1 2 1 所以 S=ab-2[2x +2(a-x)(b-x)] =-2x2+(a+b)x a+b 2 ?a+b?2 =-2(x- 4 ) + 8 (0<x≤b).

a+b a+b 故当 4 ≤b,即 b<a≤3b 时,x= 4 , ?a+b?2 Smax= 8 . a+b 当 4 >b,即 a>3b 时,函数在(0,b]上递增, 则 x=b 时,Smax=-2b2+(a+b)b=ab-b2. a+b 答:若 b<a≤3b,则 x= 4 时,四边形 EFGH 面积最大 ?a+b?2 为 8 ,若 a>3b,则 x=b 时,四边形 EFGH 面积最大为 ab-b2.

【点评】根据实际意义合理建立函数模型,特别注意实际 问题,自变量取值对函数最值的影响.

【例 4】 已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企 业创利润 3.5 万元.为应对国际金融危机给企业带来的不 利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分 流出一部分员工待岗,为维护生产稳定,该企业决定待岗 人数不超过原有员工的 5%, 并且每年给每位待岗员工发放 生活补贴 0.5 万元.据评估,当待岗员工人数不超过原有 81 员工 1%时, 留岗员工每人每年可为企业多创利润(1-100x) 万元;当待岗员工人数超过原有员工 1%时,留岗员工每人 每年可为企业多创利润 0.9595 万元. 为使企业年利润最大, 应安排多少员工待岗?

【分析】 (1)问题分两种情况, 一是待岗员工人数不超过原有 员工人数的 1%,一是超过原有员工人数的 1%,且不超过原 有员工人数的 5%;(2)企业所获利润为留岗人员所创总利润 减去待岗人员的生活补贴.

【解析】 设重组后待岗员工人数为 x,且 0≤x≤100,留 岗人数为(2000-x),该企业年利润为 f(x)万元, 因为 2000×1%=20,所以当 0<x≤20 且 x∈N 时, 81 f(x)=(2000-x)(3.5+1-100x)-0.5x 324 =-5(x+ x )+9000.81 因为 x≤2000×5%,所以 x≤100, 所以 20<x≤100 且 x∈N 时, y=(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x =-4.9595x+8919,

所以
? 324 ?-5?x+ x ?+9000.81 ?0<x≤20且x∈N? y=? ?-4.9595x+8919 ?20<x≤100且x∈N? ?

.

当 0<x≤20 时,有 324 y=-5(x+ x )+9000.81 ≤-5×2 324+9000.81=8820.81, 324 当且仅当 x= x , x=18 时取等号, 即 此时 y 取得最大值.

当 20<x≤100 时,函数 y=-4.9595x+8919 为减函数, 所以 y<-4.9595×20+8919=8819.81. 综上所述,当 x=18 时,y 有最大值 8820.81 万元. 即要使企业利润最大,应安排 18 名员工待岗. 答:安排 18 人待岗,则企业年利润最大为 8820.81 万元.

【点评】解决实际问题,关键是建立数学模型,求与最值有关 的实际问题一般与函数模型有关,求解时,要根据问题中的数 量关系与等量关系建立函数关系,然后求解函数最值.分段函 数注意分段求最值,然后比较各段最值,确定问题最值.

素材2

(1)已知 A、B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时 的速度从 A 地到 B 地,在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的 速度返回 A 地,汽车离开 A 地的距离 x 表示为时间 t(小时)的函数 关系式是( ) A.x=60t B.x=60t+50 ?60t ?0≤t≤2.5? C.x=? ?150-50t ?t>3.5?
?60t ?0≤t≤2.5? ? D.x=?150 ?2.5<t≤3.5? ? ?150-50?t-3.5? ?3.5<t≤6.5?

(2)如图,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直 方向作匀速移动,速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分 速度为 c(c∈R).E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分: .... ①P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量, 假设其值与|v 1 -c|×S 成正比,比例系数为10;②其他面的淋雨量之和, 1 其值为2,记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量,当移动距离 d 3 =100,面积 S=2时.

(ⅰ)写出 y 的表达式; (ⅱ)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围, 确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少.

【解析】(1)可取值验证,当 2.5<t≤3.5 时,x=150,故选 D. (2)(ⅰ)由题意知,E 移动单位时间内的淋雨量为 3 1 20|v-c|+2, 100 3 1 5 故 y= v (20|v-c|+2)=v(3|v-c|+10).

(ⅱ)由(ⅰ)知, 5?3c+10? 5 当 0<v≤c 时,y=v(3c-3v+10)= -15; v 5?10-3c? 5 当 c<v≤10 时,y=v(3v-3c+10)= +15. v
?5?3c+10? ? -15,0<v≤c ? v 故 y=? ?5?10-3c? +15,c<v≤10 ? v ?

.

10 ①当 0<c≤ 3 时,y 是关于 v 的减函数, 3c 故当 v=10 时,ymin=20- 2 ; 10 ②当 3 <c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 的减函数; 50 在(c,10]上,y 是关于 v 的增函数,故当 v=c 时,ymin= c .

备选例题

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药, 对用一定量的水清洗一 次的效果作如下假定: 1 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农 用 1 药量的2,用水越多,洗掉的农药量也越多,但总还有农药残 留在蔬菜上. 设用 x 单位量的水清洗一次以后, 蔬菜上残留的 农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数 f(x).

(1)试规定 f(0)的值,并解释其实际意义; (2)试根据假定写出函数 f(x)应满足的条件和具有的性质; 1 (3)设 f(x)= 2,现有 a(a>0)单位量的水,可以清洗一 1+x 次, 也可以把水平均分成 2 份后清洗两次, 试问用哪种方案清 洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.

【分析】 题目中的假定是对 f(x)的性质的描述,而确定 用哪种方案时,只需比较两种方案的清洗效果.

【解析】(1)f(0)=1,表示没有用水清洗时,蔬菜上 残留的农药量保持不变. (2)函数 f(x)应满足的条件和具有的性质是: 1 f(0)=1,f(1)=2, 在[0,+∞)上是减函数,且 0<f(x)≤1.

(3)设仅清洗一次, 蔬菜上残留的农药量为 f1, 清洗两 次后,蔬菜上残留的农药量为 f2,则 1 f1= 2,f2= 1+a × =[ ]2. a2 a2 a2 1+?2? 1+?2? 1+?2? 1 1 2 因为 f1-f2= ] 2-[ a2 1+a 1+?2? 1 16 = 2- 2 2 1+a ?4+a ? a ?a+2 2??a-2 2? = 2 2 2 , ?1+a ??4+a ?
2

1

1

1

所以,当 0<a<2 2时,f1<f2,即清洗一次蔬菜上残留 的农药量较小; 当 a=2 2时,f1=f2,即两种清洗方法的效果一样; 当 a>2 2时,f1>f2,即清洗两次蔬菜上残留的农药量 较少.

【点评】阅读题目、理解题意是解决应用题的前提.本题 的关键是对 f(x)的假定的理解.选择数学模型和方法解决 实际应用问题是核心步骤, 因此解应用题时要根据题目中 的数量关系,选择适当的数学模型和方法加以解决.

1.理解题意,找出数量关系是解应用题的前提, 因此解题时应认真阅读题目,深刻理解题意. 2.建立数学模型,确定解决方法是解应用题的 关键,因此解题时要认真梳理题目中的数量关系, 选择适当的方法加以解决.

3.函数的应用问题通常是以下几种类型:可行 性问题、最优解问题(即最大值或最小值问题,如费 用最小,效益最大等问题)、决策问题.解题时要灵 活运用函数的性质和数学方法.
4.应用题中的函数由于它具有实际意义,因此 函数中的变量除要求使函数本身有意义外,还要符 合其实际意义.



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