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上海复旦附中2015-2016学年高一数学上学期期中考试

复旦附中 2015 学年第一学期高一数学期中试卷 2015.11 一. 填空题 1. 函数 y ?

x ?1 的定义域为 2? x

; ;

2. 已知 a, b ? R ,写出命题“若 ab ? 0 ,则 a 2 ? b2 ? 0 ”的否命题 3. 已知 x, y ? R 且 xy ? 2 ,则当 x ? 4. 已知集合 A ? {x |
?

时, x ? 4 y 取得最小值;
2 2

3 ? 1, x ? Z } ,则集合 A 的子集个数为 x ?1
2

个;

5. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 为奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,则当 x ? 0 时,

f ( x) ?



6. 若函数 f ( x) ?

kx ? 5 的定义域是 R ,则实数 k 的取值范围是 kx ? 4kx ? 3
2



7. 若 a, b 为非零实数,则不等式① a 2 ? 3 ? 2a ;② a 4 ? b4 ? a3b ? ab3 ;③ | a ? b | ?

b a | a ? b | ;④ ? ? 2 中恒成立的序号是 a b



8. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 与偶函数 g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) ? 若 f ( x) ? ? ,则 a ?
2

1 (a ? 0) , x ?x?a
2

1 3


2

9. 关于 x 的方程 x ? a | x | ?a ? 9 ? 0 (a ? R) 有唯一的实数根,则 a ?



10. 对于任意集合 X 与 Y ,定义:① X ? Y ? {x | x ? X 且 x ? Y } ;② X ?Y ? ( X ? Y )

(Y ? X ) , X ?Y 称为 X 与 Y 的对称差;已知 A ? { y | y ? x2 ? 2 x, x ? R} , B ? { y | ?3 ? y

? 3} ,则 A?B ?
2



11. 已知集合 A ? {x | x ? ( m ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R},且 A 是 ;
2 2 2 2

R? ? ? ,则实数 m 的取值范围

12. 若 a, b ? R ,且 4 ? a ? b ? 9 ,则 a ? ab ? b 的最大值与最小值之和是



二. 选择题 13. 已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为 [0,1] ,则 f ( x ? 1) 的定义域为( A. [?2, ?1] B. [?1,0]
2 2



C. [0,1]

D. [2,3]

14. 给出三个条件: ① ac ? bc ; ②

a b ? ; ③a ? |b|; ④ a ? b ?1 ; 其中能分别成为 a ? b c c
1

的充分条件的个数为( A. 0 B. 1

) C. 2 D. 3

15. 已知 A ? {x | 2 ? x ? x} , B ? {x | x( x ? 3)( x ? 3) ? 0} ,则 A A. (?2,1) B. (?3,0) C. (?2,0) D. (0,1)

B ?(



16. 非空集合 G 关于运算 ? 满足:①对任意 a, b ? G ,都有 a ? b ? G ;②存在 e ? G 使对一 切 a ? G 都有 a ? e ? e ? a ? a ,则称 G 是关于运算 ? 的融洽集;现有下列集合及运算: ① G 是非负整数集, ? :实数的加法; ② G 是偶数集, ? :实数的乘法; ③ G 是所有二次三项式组成的集合, ? :多项式的乘法; ④ G ? {x | x ? a ? b 2, a, b ? Q} , ? :实数的乘法; 其中为融洽集的个数是( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4

三. 解答题 17. 已知集合 A ? {?1,1} , B ? {x | x ? ax ? b ? 0, x ? R} ,若 B ? ? ,且 A
2

B ? A ,求实

数 a, b 的值;

18. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx 对任意 x ? R 均有 f ( x) ? f (?2 ? x) 成立,且函数的图像
2

过点 A(1, ) (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)若不等式 f ( x ? 1) ? x 的解集为 [4, m] ,求实数 l 、 m 的值;

3 2

2

19. 已知 a ? R ,设集合 A ? {x | x 2 ? (6a ? 1) x ? 9a 2 ? 3a ? 2 ? 0} , B ? {x |1? | x ? a | ? 0} (1)当 a ? 1 时,求集合 B ; (2)问: a ?

1 是 A B ? ? 的什么条件?并证明你的结论; 2

20. 设函数 f ( x) ?

a2 ? x2 ,a?R 且a ? 0; | x?a|? a

(1)分别判断当 a ? 1 及 a ? ?2 时函数的奇偶性; (2)在 a ? R 且 a ? 0 的条件下,将(1)的结论加以推广,使命题(1)成为推广后命题的 特例,并对推广的结论加以证明;

21. 已知关于 x 的不等式 (4kx ? k ? 12k ? 9)(2 x ? 11) ? 0 ,其中 k ? R ;
2

(1)试求不等式的解集 A ; (2)对于不等式的解集 A ,若满足 A

Z ? B (其中 Z 为整数集) ,试探究集合 B 能否为有

限集?若能,求出使得集合 B 中元素个数最少时 k 的取值范围,并用列举法表示集合 B ;若 不能,请说明理由;

3


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