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2015届高考数学一轮复习讲义:第二章_2.5_二次函数_图文

一轮复习讲义

二次函数
灵璧一中 裴恒永

要点梳理

忆一忆知识要点

1.二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义 形如:f(x)=ax2+bx+c (a≠0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c (a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0).

要点梳理
图象

忆一忆知识要点

函数性质 定义 域 值域 奇偶 性 x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定) a>0 a<0

2. 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质

2 2 4 ac ? b 4 ac ? b y ? ( ?? , ] y ?[ , ?? ) 4 a 4a b=0时为偶函数,b≠0时既非奇函数也非偶函 数

a>0
单调 性

a<0

b ]时递增, b x ? ( ?? , ? 时递减 x ? ( ??, ? ] 2a 2a x ? [? b , ?? ) 时递增 ( ? b , ??] 时递减 2a 2a 2 图象 ①对称轴: x ? ? b ②顶点: ( ? b , 4ac ? b ) 2a 4a 2a
特点

要点梳理

忆一忆知识要点

3.二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),当 Δ=b2-4ac>0 时, 图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、M2(x2,0),|M1M2|=|x1- Δ x2|= . |a|

[难点正本

疑点清源]

1.求二次函数解析式的方法:待定系数法.根据所给条件 的特征, 可选择一般式、 顶点式或零点式中的一种来求. ①已知三个点的坐标时,宜用一般式. ②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 (小)值有关时,常使用顶点式. ③已知二次函数与 x 轴有两个交点,且横坐标已知时, 选用零点式求 f(x)更方便.

2.二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布 讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一 般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函数值的 符号;③对称轴与区间的相对位置. 在讨论过程中,注意应用数形结合的思想.

求二次函数的解析式
例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值是 8,试确定此二次函数.

确定二次函数采用待定系数法,有三种形式,可根据条件灵 活运用. 解 方法一 设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0),
? ?4a+2b+c=-1, ?a-b+c=-1, 依题意有? 2 ?4ac-b = 8, ? ? 4a ?a=-4, ? 解之,得?b=4, ?c=7, ?

∴所求二次函数为 y=-4x2+4x+7.

设 f(x)=a(x-m)2+n,a≠0.∵f(2)=f(-1), 2+(-1) 1 1 ∴抛物线对称轴为 x= = .∴m= . 2 2 2 又根据题意函数有最大值为 n=8, ? 1?2 ∴y=f(x)=a?x-2? +8. ? ? ? 1 ?2 ∵f(2)=-1,∴a?2-2? +8=-1, ? ? 解之,得 a=-4. 方法二
? 1 ?2 ∴f(x)=-4?x-2? +8=-4x2+4x+7. ? ?

方法三

依题意知:f(x)+1=0 的两根为

x1=2,x2=-1,故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1),a≠0.

即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 4a(-2a-1)-a2 又函数有最大值 ymax=8,即 =8, 4a 解之,得 a=-4 或 a=0(舍去). ∴函数解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.

探究提高
二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c (a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k (a≠0); (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 已知函数的类型(模型),求其解析式,用待定系数法,根据 题设恰当选用二次函数解析式的形式,可使解法简捷.

变式训练 1
设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f(x)的图象是顶点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的 一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的草图;

(3)写出函数 f(x)的值域.



(1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=

a(x-3)2+4,将(2,2)代入可得 a=-2, ∴y=-2(x-3)2+4, 即 x>2 时,f(x)=-2x2+12x-14. 当 x<-2 时,即-x>2. 又 f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14, 即 f(x)=-2x2-12x-14. ∴函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为 f(x)=-2x2-12x-14.

(2)函数 f(x)的图象如图:

(3)由图象可知,函数 f(x)的值域为(-∞,4].

二次函数的图象与性质
例 2 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围, 使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调 函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间.

对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解,对于(3), 应先将函数化为分段函数,再求单调区间,注意函数定义域 的限制作用.



(1)当 a=- 2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于

x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1, 又 f(-4)=35, f(6)=15, 故 f(x) 的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a,所以要
使 f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3,
∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
? x 2 ? 2 x ? 3, x ? (0,6], 且 f ( x) ? ? 2 ? x ? 2 x ? 3, x ? [?6,0],

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],,单调递减区间是[-6,0].

探究提高
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间 定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键 是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴 与区间的关系进行分类讨论; (2)二次函数的单调性问题则主 要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.

变式训练 2
已知函数 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0,1]内有一个最 大值-5,求 a 的值.

? a?2 f(x)=-4?x-2? -4a, 对称轴为 ? ? ?a ? a x= , 顶点为?2,-4a?. 2 ? ?

a ①当 ≥1,即 a≥2 时,f(x)在区间[0,1]上递增. 2 ∴ymax=f(1)=-4-a2.令-4-a2=-5, ∴a=± 1<2(舍去). a ②当 0< <1,即 0<a<2 时, 2 ?a? ymax=f ?2?=-4a,令-4a=-5, ? ? 5 ∴a= ∈(0,2). 4

a ③当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在区间[0,1]上递减, 2 此时 f(x)max=f(0)=-4a-a2. 令-4a-a2=-5,即 a2+4a-5=0,
∴a=-5 或 a=1(舍去). 5 综上所述,a= 或 a=-5. 4

二次函数的综合应用
例 3 若二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)满足 f(x+1)-f(x) =2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实 数 m 的取值范围.

由 f(0)=1 可得 c,利用 f(x+1)-f(x)=2x 恒成立,可求出 a, b,进而确定 f(x)的解析式.对于(2),可利用函数思想求得.



(1)由 f(0)=1 得,c=1.∴f(x)=ax2+bx+1.

又 f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, ? ? ?2a=2, ?a=1, 即 2ax+a+b=2x,∴? ∴? ? ? ?a+b=0, ?b=-1. 因此,f(x)=x2-x+1. (2)f(x)>2x+m 等价于 x2-x+1>2x+m, 即 x2-3x+1-m>0,
要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数 g(x)=x2-3x +1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1).

探究提高
二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们 常有机结合在一起,而二次函数又是“三个二次”的核心, 通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,有关二次函数的问 题, 数形结合, 密切联系图象是探求解题思路的有效方法. 用 函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题 的热点.

变式训练 3
已知函数 f(x)=x2+mx+n 的图象过点(1,3),且 f(-1+x)= f(-1-x)对任意实数都成立,函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象 关于原点对称. (1)求 f(x)与 g(x)的解析式; (2)若 F(x)=g(x)-λf(x)在(-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取 值范围.
解 (1)∵f(x)=x2+mx+n, ∴f(-1+x)=(-1+x)2+m(-1+x)+n=x2-2x +1+mx+n-m=x2+(m-2)x+n-m+1, f(-1-x)=(-1-x)2+m(-1-x)+n=x2+2x+1 -mx-m+n=x2+(2-m)x+n-m+1.

又 f(-1+x)=f(-1-x),∴m-2=2-m,即 m=2. 又 f(x)的图象过点(1,3), ∴3=12+m+n,即 m+n=2, ∴n=0,∴f(x)=x2+2x, 又 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称, ∴-g(x)=(-x)2+2×(-x),∴g(x)=-x2+2x.

(2)∵F(x)=g(x)-λf(x)=-(1+λ)x2+(2-2λ)x, 2-2λ 1-λ 当 λ+1≠0 时,F(x)的对称轴为 x= = , 2(1+λ) λ+1 又∵F(x)在(-1,1]上是增函数. ?1+λ<0 ? ∴?1-λ ?1+λ≤-1 ? ?1+λ>0 ? 或?1-λ ?1+λ≥1 ? .

∴λ<-1 或-1<λ≤0. 当 λ+1=0,即 λ=-1 时,F(x)=4x 显然在(-1,1]上是增函数. 综上所述,λ 的取值范围为(-∞,0].

思想与方法
分类讨论在二次函数中的应用
(16 分)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演 算步骤)不等式 h(x)≥1 的解集.

审题视角
(1)求 a 的取值范围,是寻求关于 a 的不等式,解不等式即 可.(2)求 f(x)的最小值,由于 f(x)可化为分段函数,分段函 数的最值分段求,然后综合在一起.(3)对 a 讨论时,要找到 恰当的分类标准.

规范解答 解 (1)因为 f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0, [3 分] 即 a<0,由 a2≥1 知 a≤-1, 因此,a 的取值范围为(-∞,-1]. (2)记 f(x)的最小值为 g(a),则有
f(x)=2x2+(x-a)|x-a| ? a?2 2a2 ? ?3?x- ? + ,x>a 3 =? ? 3? 2 2 ? ( x + a ) - 2 a ,x≤a ?

① ②

[5 分]

(ⅰ)当 a≥0 时,f(-a)=-2a2, 由①②知 f(x)≥-2a2,此时 g(a)=-2a2. ?a? 2 (ⅱ)当 a<0 时,f?3?= a2, ? ? 3 2 若 x>a,则由①知 f(x)≥ a2. 3 [7 分]

2 2 2 2 若 x≤a,由②知 f(x)≥2a > a .此时 g(a)= a , 3 3 -2a2,a≥0 ? ? 2 综上,得 g(a)=?2a . [10 分] ,a<0 ? ? 3
2

(3)(ⅰ)当 (ⅱ)当

? a∈? ?-∞,- ?

? ? 6? ? ? 2 ? ∪ 解集为(a, +∞); ,+ ∞ ? ?时, 2? ? ? 2 ?

? a∈? ?- ?

?a+ 3-2a2 ? 2 2? ? ? ? 时,解集为 ; , ? ,+ ∞ ? ? 2 2? 3 ? ?

6 2? ? (ⅲ)当 ,- ?时,解集为 2 2? 2? ? ?a+ 3-2a2 ? a - 3 - 2 a ? ? ? ? ∪ a , ,+ ∞ ? ? ? ?. 3 3 ? ? ? ?

? a∈? ?- ?

[16 分]

批阅笔记 分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一.本题充
分体现了分类讨论的思想方法. 在解答本题时有两点容易造成失分: 一是求实数 a 的值时, 讨论的过程中没注意 a 自身的取值范围, 易出错;二是求函数最值时,分类讨论的结果不能写在一起, 不能得出最后的结论. 除此外,解决函数问题时,以下几点容易造成失分: 1.含绝对值问题,去绝对值符号,易出现计算错误; 2.分段函数求最值时要分段求,最后写在一起时,没有比较 大小或不会比较出大小关系; 3.解一元二次不等式时,不能与一元二次函数、一元二次方 程联系在一起,思路受阻.

方法与技巧
1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及 二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路. 2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨 论. 比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系, 又例如涉及二次不等式需讨论根的大小等. 3.关于二次函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x1) x1+x2 =f(x2), 那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x= . 2

方法与技巧
(2)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x, 都有 f(a+x)=f(a-x) 成立,那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为常数). (3)对于二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(x+2a)=f(x), 那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=a(a 为常数). 注意:(2)(3)中,f(a+x)=f(a-x)与 f(x+2a)=f(x)是等价的. (4)利用配方法求二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)对称轴方程为 x b =- ; 2a (5)利用方程根法求对称轴方程. 若二次函数 y=f(x)对应方程为 f(x) x1+x2 =0 两根为 x1、 x2, 那么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x= . 2

失误与防范
1.求二次函数的单调区间时要经过配方法,要熟练准确利 用配方法. 2.对于函数 y=ax2+bx+c 要认为它是二次函数,就必须认 定 a≠0,当题目条件中未说明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况. 3.对于二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)给定了定义域为一个 4ac-b2 区间[k1, k2]时, 利用配方法求函数的最值 是极其 4a 危险的,一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的 情况,有时要讨论下列四种情况:

失误与防范

k1+k2 b b k1+k2 b ①- <k1;②k1≤- < ;③ ≤- <k2; 2a 2a 2 2 2a b ④- ≥k2.对于这种情况,也可以利用导数法求函数在 2a 闭区间的最值方法求最值.这两种方法运算量相当. 4.注意判别式作用,正确利用判别式.

要点梳理

忆一忆知识要点

1. 二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 实根分布问题
涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题, 一般情况下要从四个方面考虑:

① f(x) 图象的开口方向;
②方程 f(x)=0的判别式; ③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系; ④区间端点处函数值的符号.

要点梳理

忆一忆知识要点

1. 二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 实根分布问题 记 f(x)=ax2+bx+c(a>0)
? x ? x ? ? b ? 0, ? ? ≥ 0, 2 ? 1 a ? ? b ? c ? x x ? ? 0, ? ? 2a ? 0 ①方程 f(x)=0 有两正根 ?? 1 2 a ? ?? ≥ 0 ? ? ? f (0) ? 0 ? ? x ? x ? ? b ? 0, ? ? ≥ 0, 2 ? 1 a ? ? b ? c ? x x ? ? 0, ? ? 2a ? 0 ? 1 2 a ? ?? ≥ 0 ? ? ? f (0) ? 0 ?

②方程 f(x)=0 有两负根 ?

c ?0?c?0 ③方程 f(x)=0 有一正根一负根 ? a

根的分布

图象
y

充要条件

x1 ? x2 ? k
y

o

k x

?? ? 0 ? b ? ? 2a ? k ? f (k ) ? 0 ?

k ? x1 ? x2 x1 ? k ? x2

o k

x

?? ? 0 ? b ? ? 2a ? k ? f (k ) ? 0 ?

y o k x

f (k ) ? 0

根的分布

图象

充要条件

y

k1 ? x1 ? x2 ? k2

k1

o

k2 x

?? ? 0 ? ? k1 ? ? b ? k2 2a ? ? f ( k1 ) ? 0 ? ? f ( k2 ) ? 0

m?n? p?q m ? x1 ? n p ? x2 ? q

? f (m ) ? 0 ? f ( n) ? 0 p n ? f ( p) ? 0 m o q x ? ? f (q ) ? 0

y

根的分布

y

图象

充要条件

o x1

k1

x2

k2

x

f (k1 ) ? f (k2 ) ? 0

两个实根有 且仅有一根 在区间 [k1 , k2 ] 内

y
x1
1

ok
y

f ( k1 ) ? 0 ? ? k ? k ? b 1 2 k2 k ? ? ? 1 ? 2a 2 ? x2 x
f ( k2 ) ? 0 ? ? ? k1 ? k2 k2 b ?k ? ? x2 x ? 2a 2 ? 2

o k1

x1

要点梳理
2. 二次函数图象和性质 2 2 b 4 ac ? b 2 二次函数 y=ax +bx+c (a≠0) ? a( x ? ) ? . 2a 4a 向上 a<0时,开口_____ 向下 . (1)开口方向: a>0时,开口____, (2)顶点、对称轴: 2 b b 4 ac ? b x ? ? (? , ) ;对称轴方程为________ 2a . 顶点坐标为_____________ 2a 4a (3)与坐标轴的交点 (0, c) ①与y轴的交点是________; ②当Δ>0时,与x轴两交点的横坐标x1、x2分别是 ? 2 方程ax + bx+c=0的两根.且|x1-x2|=______; |a| b ,0) ( ? ③当Δ=0时,与x轴切于一点________; 2a 不相交. ④当Δ<0时,与x轴_______ (4)在对称轴的两侧单调性相反. (5)当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.

3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 三者之间的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 Δ=b2-4ac
y

二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 方程ax2+bx +c=0的根

y

y

x1 o

x2 x

2

o

x1

x

o

1

x

有两不等实 根x1, x2

有两相等 实根x1=x2

无实根

ax2+bx+c>0 {x|x<x , x>x } {x|x≠x } 2 1 1 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 {x|x1<x<x2} ? (a>0)的解集

R ?

要点梳理
4. 不等式 ax2+bx+c>0 恒成立问题
① ax2+bx+c>0在R上恒成立
?a ? b ? 0 ?a ? 0 或? ?? 2 ? b ? 4ac ? 0 ?c ? 0 a?0 ?a ? b ? 0 或 ② ax2+bx+c<0在R上恒成立 ? ? ?c ? 0 ? 2 ? b ? 4ac ? 0 ? ③ f(x)=ax2+bx+c>0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立
? ? ? ?? b ? n ?m ≤ ? b ≤ n ?? b ? m 或 ? 2a 2a 或? ? ? 2a 2 ? ? ? b ? 4ac ? 0 f ( m ) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0 ? ? ? f(x)min>0(x∈[m, n])

④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0) 在 [m,

? f (m ) ? 0 n] 上恒成立? ? f ( n) ? 0 ?

【例1】 已知函数 上的最大值是2,求实数 a 的值.

y ? ? x 2 ? ax ? a ? 1 在区间[0, 4 2

1]

解:y ? ?( x ? a )2 ? 1 (a 2 ? a ? 2), 2 4 对称轴为 x ? a . 2 a ①当0≤ ≤1 2 ,即0≤a≤2时, ymax ? 1 (a 2 ? a ? 2),由 1 (a 2 ? a ? 2) ? 2, 4 4

得a=3或a=-2,与0≤a≤2矛盾.不合要求; ②当 a <0 ,即 a <0 时, y 在 [0 , 1] 上单调递减, 2 有ymax=f(0)=2,? ? a ? 1 ? 2 ? a ? ?6.
4 2

③当 a >1,即a>2时,y在[0,1]上单调递增,
2

有ymax=f(1)=2,
??1 ? a ? a ? 1 ? 2, 4 2 解之,得 a ? 10 . 3

综上,得 a ? ?6, 或a ? 10 .
3

已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间 [t, t+1]上的 最大值h(t). 解: f(x) =-x2+8x=-(x-4)2+16. ①当t+1<4, 即t<3时,

f(x)在[t,t+1]上单调递增.
此时h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7; ②当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时,h(t)=f(4)=16; ③当t>4时,f(x)在[t,t+1]上单调递减.
? ? t 2 ? 6t ? 7, ( t ? 3), 综上可知 h( t ) ? ? (3 ≤ t ≤ 4), ?16, 2 ? ? t ? 8t , ( t ? 4). ?

此时h(t)=f(t)=-t2+8t.

例2.设不等式 mx2-2x- m+1<0 对于满足|m|≤2的一切 值都恒成立,求实数 x 的取值范围. 解:设 f(m)=mx2-2x-m+1, 则 f(m)是一个以m为自变量的一次函数,其图象 是直线,由题意知该直线当-2≤m≤2时,线段在x轴下 方,
?

?

2 ? ? 2 x ? 2 x ? 3 ? 0, f ( ?2) ? 0, 即 ? 2 f (2) ? 0, ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 0,

【点评】解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量, 谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁 的范围,谁就是参数.

解得 ?1 ? 17 ? x ? ?1 ? 3 . 2 2 ?1 ? 17 ? x ? ?1 ? 3 }. { x | 所以实数 x 的取值范围是 2 2

【1】 当 1 ≤ x ≤ 2时,不等式ax 2 ? 2 x ? 2 ? 0恒成立, 2 1 a≥ 则实数a的取值范围是______ 2 __.
解:a ? 2 ? 22 在[ 1 , 2]上恒成立, x x 2
令u ? 2 ? 22 ,则只需a ? umin . x x 2 又u ? ?2 (1 ? 1) ? 1, x 2 2

1? 当x ? [1 , 2 ]时, [1 , 2 ],从而u ? [? 4, 1] . 2 x 2 2

?a ≥ 1 . 2

【2】若方程x2-2x=k在区间[-1,1]上有解,则 实数k的取值范围为_____________. -1≤k≤3
解:方程x 2 ? 2 x= k在[ - 1, 1] 有解,
即 y ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1, x ?[?1,1]与直线y=k有交点,
2 2

? fmin ( x) ≤ k ≤ fmax ( x),
由图象,得 f (1) ≤ k ≤ f (?1).
Y=k

y

x

? ?1 ≤ k ≤ 3.

-1

1

【3】方程x2-mx+1=0的两根为α,β且
5 2 ? m ? 则实数m的取值范围是____________. 2

? ? 0, 1 ? ? ? 2,

?? ? ? ? m, 解: ?? ?m ? ? ? 1 . ? ?? ? ? ? 1,
又? ? (1,2)且m ? ? ? 1 在(1,2)上是增函数,

?

?1 ? 1 ? m ? 2 ? 1 ,即m ? (2, 5 ). 2 2

【3】方程x2-mx+1=0的两根为α,β且
5 2 ? m ? 则实数m的取值范围是____________. 2

? ? 0, 1 ? ? ? 2,

方法2:设f(x)=x2-mx+1, 则 f(0)=1.
??? ? 1且1 ? ? ? 2,
? 0 ? ? ? 1.

由图可知,
? f (0) ? 1 ? 0, ? ? f (1) ? 2 ? m ? 0, ? f (2) ? 5 ? 2m ? 0. ?
?2 ? m ? 5 . 2

例3.已知函数f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合M={m|使方程f(x)=mx有四个不相等的实根}. 解: 作出图象如图所示. (1)递增区间为[1,2]和[3,+∞), 递减区间为(-∞,1]和[2, 3]. (2)由图象可知,y=f(x)与y=mx图象有四个不同的 交点,直线y=mx应介于x轴与切线l1之间. 得 x2+(m-4)x+3=0.

例3.已知函数f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合M={m|使方程f(x)=mx有四个不相等的实根}.

由Δ=0,得 m ? 4 ? 2 3.
当 m ? 4 ? 2 3 时,x ? ? 3 ? (1,3), 舍去.
? m ? 4 ? 2 3.

? m ? (0,4 ? 2 3).

所以集合M={m|0<m<4-2 3 }.

例4. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] m≤9 上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2

解:m≤-2x2+9x在区间[2,3]上恒成立,

记 g ( x) ? ?2 x2 ? 9 x, x ?[2,3],
? gmin ( x) ? g(3) ? 9, ? m ≤ 9. (1)变量分离法(分离参数)
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题,如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离,即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边,然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题.

则问题转化为 m≤g(x)min

例4. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] 上恒成立,则实数m的取值范围是_______. m≤9
2

解:构造函数 f ( x ) ? 2 x 问题等价于f(x)max≤0,

2

? 9 x ? m, x ? [2, 3],
y

2 9 ? f ( x ) ? 2( x ? ) ? m ? 81 , x ? [2,3], 4 8

? fmax ( x) ? f (3) ? m ? 9 ≤ 0,

o

2

? m ≤ 9.
(2)转换求函数的最值

.

.

3

x

例4. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] m≤9 上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2

解:构造函数 则

f ( x) ? 2 x2 ? 9 x ? m, x ?[2,3],
y

? f (2) ≤ 0 ? ? f (3) ≤ 0
o

? ?10 ? m ≤ 0 ? m ≤ 9. ?? ? ?9 ? m ≤ 0

2

.

.

3

x

(3)数形结合思想

例4. 关于x的不等式 2 x ? 9 x ? m ≤ 0 在区间[ 2, 3] 上恒成立,则实数m的取值范围是_______. m≤9
2

解:据题意, ? ? 81 ? 8m ≥ 0,
A 2

不等式解集为:[ 9 ? 81 ? 8m , 9 ? 81 ? 8m ]
4 4
3

? 9 ? 81 ? 8m ≥3 ? ? 4 由已知得: ? ? 9 ? 81 ? 8m ≤ 2 ? ? 4

? m ≤ 9.

(4)不等式解集法

走进高考
2 ? x x ≥ 1, ? , (2007· 浙江,理 10)设 f ( x) ? ? , g ( x) 是二次函数,若 f ( g ( x)) x ?1 ? ? x,

的值域是 ?0,∞ ? ? ,则 g ( x) 的值域是

[0, ??) .

解题是一种实践性技能 , 就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! ——波利亚


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