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人教社A版普通高中数学课程标准


人教社 A 版普通高中数学课程标准 实验教材经验交流会

推 荐 论 文

论文题目:直线与平面平行的判定的研究与教学 工作单位:盐池县师资培训中心 作者姓名:刘 邮 手 时 祥

编:751500 机:13895564826 间:2006.10.18

论文评选推荐表
推荐序号: 作者姓名 工作单位 联系地址 刘祥 性别 男 年龄 50 职称 中高

盐池县师资培训中心 盐池县师资培训中心 手机 邮编 751500

身份证号码 642126571111007 论文题目 关 键 词 论文提要: 直线与平面平行的判定的研究与教学 直线 平面 平行 判定 分析 研究

13895564826

教学 总结

本文阐述了在集体备课研究与做课的过程中,对教材的分析与研究, (明确了课程目标与学习目标,确定了教学的重点难点及关键,制定了教 学流程及教学设计) ;比较系统的总结了课堂教学过程中的 10 个教学活动 和课后反思评价活动。通过“观察、思考、操作演示、尝试探究、归纳概 括、应用反思、归纳小结、巩固练习”等活动,让学生经历“直观感知、 操作确认、思辨论证、合情推理”的认识过程,转变学生的学习方式和教 学方式,充分体现新课程数学理念。 推荐意见: 同意推荐

签字(盖章) 2006 年 10 月 18 日
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浅谈普通高中课程标准实验教科书数学②

2.2.1 直线与平面平行的判定的研究与教学
(751500) [内容提要] 本文阐述了在集体备课研究与做课的过程中,对教材的分析与研究, 明确了课程目标与学习目标,确定了教学的重点难点及关键,制定了教学 流程及教学设计;比较系统的总结了课堂教学过程中的 10 个教学活动和课 后反思评价活动。通过“观察、思考、操作演示、尝试探究、归纳概括、 应用反思、归纳小结、巩固练习”等活动,让学生经历“直观感知、操作 确认、思辨论证、合情推理”的认识过程,转变学生的学习方式和教学方 式,充分体现新课程数学理念。 [关 键 词] 直线 平面 平行 判定 分析 研究 教学 总结 盐池县师资培训中心 刘 祥

我县于 2004 年秋在高一年级进行高中新课改。高中数学使用的是人教 社 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修系列和选修系列教材。 各校

都成立了高中数学备课组,每两周开展一次备课研究活动,有固定的活动 地点(年级组数学活动室) ,有固定的活动时间(双周三下午 4:30—6:00) , 有主持人(备课组组长) ,有中心发言人(年级数学教师轮流) ,有中心发 言稿(教务处存档考核考评) ,有记录人(备课组长兼任记录,重点记录集 体备课研究的重要内容,即课程目标、学习目标、教学的重点与难点,以 及教学方法等,达成的共识,教学基本活动流程(图)和教学设计案例框
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架等) 。坚持做到“六有” 、 “六落实” ,取得了实效。现把人教社 A 版普通 高中课程标准实验教科书数学 2 必修中 2.2.1 直线与平面平行的判定的备 课研究与教学的情况总结如下: 1.备课研究及活动流程 1.1 对教科书的整体认识。 本节课是人教 A 版必修课程数学 2 的内容,数学 2 包括四章内容,即 第一章空间几何体 (约 8 课时) , 第二章点、 直线、 平面之间的位置关系 (约 10 课时) ,第三章直线与方程(约 9 课时) ,第四章圆与方程(约 9 课时) , 共约 36 个课时,这些内容是学习后续必修系列和选修系列的基本知识。 1.2 对“三个”转化的认识 特别是 2 .2 节和 2.3 节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及 其性质为主线展开。依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定与 性质;直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定与性质。 “平行和垂直”在 定义和描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系中起着重要 作用。在第二章点、直线、平面之间位置关系中它集中体现在:空间中的 平行关系之间的转化,空间中的垂直关系之间的转化,以及空间中垂直与 平行关系之间的转化。 在 2 .2 和 2.3 节的教学中,要求对有关直线与平面平行、垂直关系的 性质定理进行逻辑论证;对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认, 在选修课程系列 2 中将用向量方法加以论证。 1.3 对本节教科书的认识 本节教科书在内容的处理上,按照“直观感知——操作确认——思辨
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论证——度量计算”的认识过程展开。先通过直观感知和操作确认的方法, 概括出直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,然后再对直线与平 面平行的性质、平面与平面平行的性质作出严密的逻辑论证。通过对图形 的观察、实验和说理,使学生进一步了解空间的直线、平面平行关系的基 本性质及判定方法,学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系, 并能解决一些简单的推理论证及应用问题。 高中立休几何课程历来以培养学生的逻辑思维能力和空间想象力为主 要目标。教科书根据“认识空间图形,培养和发展学生的几何直觉、运用 图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力”的新要 求在内容安排和处理方式上,加强了引导学生通过自已的观察、操作等活 动获得数学结论的过程,把合情推理作为学习过程中的一个重要的推理方 式。在空间直线、平面之间的平行、垂直关系的判定定理、性质定理的得 出过程中,注重对典型实例的观察、分析,给学生提供动手操作的机会, 引导学生进行归纳、概括活动,在经历观察、实验、猜想等合情推理活动 后,再进行演绎推理、逻辑论证。另外,教科书通过“观察、思考、探究” 等向学生提出问题,以问题引导学生的思维活动,使学生在问题带动下进 行更加主动的思维活动,经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生 活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程,注重探索空间图形性质的过 程。 1.4 2.2.1 直线与平面平行的判定的分析(本节内容分析) 教科书首先说明了在直线与平面的位置关系中,平行是一种非常重要 的关系。它不仅应用较多,而且是学习平面与平面平行的基础。进一步说
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明可以利用直线与平面平行的定义来判定直线与平面平行,但是用定义判 定不方便,由此来引发探索判定定理的需要。 教科书通过引导学生观察门扇的对边互相平行,进一步得出门扇不论 转动到什么位置,它能活动的竖直的一边始终平行于固定的竖直的边所在 的墙面,以及通过“观察” ,引导学生观察书的边缘与桌面的位置关系。在 此基础上,教科书提出了两个思考问题和两个探究性的问题: 如图,平面α外的直线 a 平行于平面α内的直线 b ①这两条直线共面吗? ②直线 a 与平面α相交吗? α a b

通过上述“直观感知、操作确认”活动,教科书给出了直线与平面平 行的判定定理,但没有给出判定定理的严格的逻辑证明(教学中不必对证 明进行补充,学习了向量后有严格的逻辑证明) 。 直线与平面平行的判定定理。是通过直线和平面内的一条直线平行来 判定直线与平面平行。这个定理用数学符号来表示,就是: a ? α,b ? α,且 a∥b a∥α。

应用判定定理时,要注意 3 个条件必须齐备,缺一不可。判定直线与 平面平行主要有以下 3 种方法: ①利用定义:证明直线与平面无公共点; ②利用直线与平面平行的判定定理,从直线与直线平行得到直线与平 面平行。 ③在学了平面与平面平行的性质后, 还可以通过证明平面与平面平行, 得到直线与平面平行。
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实际上,平行问题以没有公共点为基本特征,抓住这一点,直线与直 线平行,直线与平面平行和平面与平面平行问题就迎刃而解。 判定定理告诉我们,可以通过直线间的平行,推证直线与平面平行。 这是处理空间位置关系一种常用方法,即将直线与平面平行关系(空间问 题)转化为直线间平行关系(平面问题) 。 通过例 1 的教学, 进而说明今后要证明一条已知直线与一个平面平行, 只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行,就可断定已知直线与这 个平面平行(依据判定定理) 。 1.5 课程与学习目标 1.5.1 课程目标 本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上,以长方体为载 体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中点、直线、平面之间的位置 关系,通过对大量图形的观察、实验、操作和说理,使学生进一步了解平 行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用空间几何的数学 语言(文字、图形、符号)表述几何对象的位置关系,体验公理化思想,培 养逻辑思维能力,并用来解决一些简单的推理论证及应用问题。 1.5.2 学习目标 ①直观认识和理解、体会空间中点、直线、平面之间的位置关系;抽 象出空间直线、平面之间的位置关系,用数学语言表述有关平行、垂直的 性质与判定,并了解一些可以作为推理依据的公理和定理: 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平 面内。
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公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一 条过该点的公共直线。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等 或互补。 ②以空间几何的上述公理和定理为出发点, 通过直观感知、 操作确认, 归纳出如下的一些判定定理和性质定理: 判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行。 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直, 则该直线与此平面垂直。 一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直。 性质定理: 一条直线与一个平面平行, 则过该直线的任一个平面与此平面的交线 与该直线平行。 两个平面平行, 则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平 行。 垂直于同一个平面的两条直线平行。 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 (对性质定理加以证明,判定定理将在选修系列 2 中用向量的方法加以严格 的证明) 。
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③运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 1.6 教学重点与难点 重点:通过直观感知、操作确认、归纳出判定定理,及其应用。 难点:判定定理的探究,合情推理的过程。 1.7 教学基本流程(安排) 活动流程(图) 活动内容和目的 让学生拿出事先准备好的 16K 白纸 1 张和 1 枝 活动 1.复习引入。 铅笔,把白纸看作是一个平面,把铅笔看成是一条 直线,让学生操作演示:直线与平面的三种位置关 系。 活动 2.观察教室门扇 绕着一边转动的现 象。 门框所在的平面没有公共点,此时门扇转动的一边 与门框所在的平面给人以平行的印象。 让学生将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮 活动 3.观察翻动书的 封面,封面边缘(AB)所在直线与桌面所在平面具 硬皮封面的现象。 有什么样的位置关系? 通过操作确认,具有平行的位置关系。 让学生拿出学具, 操作演示问题 1 和问题 2。分 组演示分组讨论,得出结论,合作交流。 活 动 4. 提 出 两 个 问 题。 问题 1:如图,直线 a 与平面α平行吗? a 通过师生关门活动,让学生注意到门扇的两边 是平行的。当门扇绕着一边转动时,另一边始终与

α
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问题 2:如图,如果在平面α内有直线 b 与直线 a 平行,那么直线 a 与平面α的位置关系如何?是否 可以保证直线 a 与平面α平行? a b α 如图,平面α外的直线 a 平行于平面α内的直 线 b。 b α ⑴这两条直线共面吗? 活 动 5. 探 究 两 个 问 ⑵直线 a 与平面α相交吗?让学生拿出学具操 a

题,得出结论(P56) 。 作演示,探究两个问题,得出结论,合作交流,达 成共识。 通过探究,得出结论:⑴直线 a 与直线 b 共面; ⑵直线 a 与平面α不可能相交, 直线 a 与平面α平 行。 定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线 活动 6.归纳概括直线 与平面平行的判定定 理。 不可。 定理告诉我们,可以通过直线间的平行,推证 活动 7.定理反思。 直线与平面平行。这是处理空间位置关系一种常用
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平行,则该直线与此平面平行。它可以用符号表示: a ? α,b ? α,且 a∥b a∥α。这 3 个条件缺一

方法,即将直线与平面平行关系(空间问题)转化 为直线间平行关系(平面问题) 。 通过例 1 的教与学,初步应用直线与平面平行 的判定定理来解决简单的问题,达到应用定理,巩 活 动 8. 教 与 学 例 1 固定理,掌握判定方法。 (P56) 今后要证明一条已知直线与一个平面平行,只 要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行,就 可断定已知直线与这个平面平行。 活动 9.课堂练习 练掌握判定定理。 本节课我们学到了什么?让学生独立思考后, 充分地展示自我才华,深化对判定定理的理解,达 活动 10.归纳小结 到会说会用的目的。通过课后作业,加深对判定定 理的应用,达到复习巩固、提高、发展的目的。 2.课堂教学 在年级组数学集体备课研究的基础上,依据教学设计案例进行课堂教 学,结合做课实录,现把 2.2.1 直线与平面平行的判定的教与学情况总结 如下: 活动 1.复习直线与平面的三种位置关系,引入课题。老师叫学生拿出 事先准备好的 1 张 16K 白纸和一枝铅笔。我们把这张白纸看成为一个平面, 把这枝铅笔看成是一条直线,可以吗?并让学生操作演示: ①直线在平面内 ②直线与平面相交 有无数个公共点; 有且只有一个公共点;
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通过课堂练习(P57) ,巩固、提高、发展,熟

③直线与平面平行

没有公共点。

通过演示说明可以利用直线与平面平行的定义来判断直线与平面平 行。根据定义,判定直线与平面是否平行,只需要判定直线与平面有没有 公共点。但是,直线无限伸长,平面无限延展,如何保证直线与平面没有 公共点呢?用定义来判断极不方便,由此来引发探索判定定理的需要。这 就是本节课要学习的主要内容:直线与平面平行的判定,教师板书课题。 这样教与学是在学生直观感知,操作确认的基础上,自然过渡,由此引发 学生继续探索新知识的欲望和热情,为后续学习奠定基础,这是一个良好 的开端,也是教学成功的一半。 活动 2.关门活动。老师先让全班学生观察教室门扇、门框及门框所在 的墙面,叫数学课代表做关门演示活动,具有一定的吸引力和影响力。同 时让学生观察教室门扇绕着一边转动的现象,观察注意到门扇的两边是什 么位置关系?学生齐声回答是“门扇的两边是平行的关系” 。当门扇绕着一 边转动时,另一边始终与门框所在的平面是什么位置关系?让学生分组讨 论得出结论是“另一边与门框所在的平面没有公共点,是平行关系” ,此时 课代表说“门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象” 。这样通 过学生的关门活动直观感知、 操作确认、 分组讨论合作学习, 达成共识, “门 扇不论转动到什么位置,它能活动的竖直的一边始终平行于固定的竖直边 所在的墙平面。 ” 活动 3.翻动书皮活动。老师让学生拿出数学 2 书,将数学 2 书平放在 桌面上,翻动数学 2 书的硬皮封面,观察思考:封面边缘(AB)所在直线 与桌面所在平面有什么样的位置关系?分组交流, 合作学习, 得出结论 “书
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皮封面边缘(AB)所在直线与桌面所在平面具有平行的位置关系” 。这样开 展活动,学生亲自经历了操作(翻动) ,观察翻动书的现象,思考所提出的 问题,交流所得出的结论,达到了合作学习的目的。经过这样的一个学习 活动,给学生提供了动手操作的机会,经过直观感知、操作确认、得出结 论这样的认识过程,进行“合情推理” 。 活动 4.思考两个问题。 问题 1:如图,直线 a 与平面α平行吗? 问题 2:如图,如果在平面α内有直线 b 与直线 a 平行,那么直线 a 与平面α的位 置关系如何?是否可以保证直线 a 与平面α 平行? α α a b a

教师一边说,一边展示问题 1 和问题 2,同时让学生们拿出学具,一张 16k 白纸和一枝铅笔,操作演示问题 1,在问题 1 的基础上,再在白纸上画 一直线 b, 操作演示问题 2, 然后再分组交流各自所得出的结论, 合作学习, 合情推理,深化认识过程。最后老师让一小组的代表把所得出的结论板书 在黑板上:问题 1 的结论是直线 a 与平面α不一定平行。有两种情况:当 有且只有一个公共点时,直线 a 与平面α相交;当没有公共点时,直线 a 与平面α平行。问题 2 的结论是直线 a 与平面α是平行关系。因为直线 b 在平面α内,a∥b 没有公共点,也就是直线 a 与平面α没有公共点,即直 线 a 与平面α平行。与各小组交流结论的合理性。通过各小组的交流活动, 大家认可一个结论“平面α外一条直线 a 与此平面α内的一条直线 b 平行, 则该直线 a 与此平面α平行。 ” (板书这个结论) 。这样进行教与学活动,能
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提高、发展学生通过操作确认、合情推理的过程认识,激发学生的广阔想 象力,开拓学生的思维,直线无限伸长,平面无限延展,发现结论是合情 合理正确的(是成立的) 。 活动 5.探究两个问题。 如图,平面α外的直线 a 平行于平面α内的直线 b。 ⑴这条直线共面吗? ⑵直线 a 与平面α相交吗? α a b

让学生拿出已有的学具操作演示,探究上述的两个问题,合情推理, 得出结论,并在小组内交流讨论,合作学习。各小组交流互动,达成共识, 板书得出的结论: ⑴直线 a 与直线 b 共面; ⑵直线 a 与平面α不可能相交,直线 a 与平面α平行。 这样教与学,使学生经历了操作演示,尝试探究,合情推理的认识过 程,得出了学生自已认可的结论,心服口服,无可非议,印象深刻,记忆 在心。 活动 6.归纳概括直线与平面平行的判定定理。在以上活动的基础上, 老师提出一个问题,怎样判定直线与平面平行呢?让学生独立思考,举手 回答问题,大约一分钟后,学生纷纷举手欲示回答,叫一名男生起来回答 问题,并与前面得出的结论对比说明老师板书:平面α外一条直线 a 与此 平面α内的一条直线 b 平行,则该直线 a 与此平面α平行。老师继续发问, 与这个结论还有不同的结论吗?学生齐声回答没有。教师进一步说明,这 个结论大家都认可,叫做定理,通常称为直线与平面平行的判定定理,它
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可以用符号表示:a ? α,b ? α,且 a∥b

a∥α。应用此定理时,要注

意 3 个条件必须齐备,缺一不可。这样进行教学活动,为了进一步深化学 生对“直观感知,操作确认,思辨论证,合情推理”的认识过程,得出判 定定理。 活动 7.反思判定定理,注意一个转化,空间问题转化为平面问题。让 学生面对黑板看判定定理及其用符号表示,思考一个转化,分析定理,如 何转化。定理告诉我们,可以通过直线间的平行,推证直线与平面平行, 这是处理空间位置关系一种常用方法,即将直线与平面平行关系(空间问 题)转化为直线间平行关系(平面问题) 。这样教学就是为了让学生进一步 地熟悉判定定理(深刻认识判定定理) ,掌握判定定理的题设与结论,为今 后应用判定定理解决一些实标问题作准备。 活动 8.教学 p56 例 1。出示例 1.求证:空间四边形相邻两边中点的连 线平行于经过另外两边所在的平面。先让学生审题,弄清题设和结论,思 考证明的方法。师生共同分析,寻找证题的方法。今后要证明一条已知直 线与一个平面平行,只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行,就 可断定已知直线与这个平面平行。 (依据判定定理) 。已知、 (画图) 、求证、 证明等在此略。通过例 1 的教学,初步应用直线与平面平行的判定定理来 解决简单的一些问题,达到应用定理 ,巩固定理,掌握判定方法的目的。 活动 9.课堂练习(57 页练习) 。让学生翻开书 56 页,自读课文,从定 理开始到 57 页练习,审清题意,独立完成练习 1、2 题,比一比,看谁做 得又对又快。做完的请举左手,老师点名让学生板演填空答案、说明理由 (证明过程) ,相同的请举手,不同的请举手,并说明各自的理由,教师及
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时掌握反馈信息,然后师生共同评判,矫正弥补,效果回授。这样,通过 自读课文及课堂练习,培养学生看数学书的习惯和自学能力,使学生巩固、 提高、发展所学的知识,熟练掌握直线与平面平行的判定定理及其应用。 活动 10.归纳小结与课外作业。在评判、矫正练习后,师说,本节课我 们学到了哪些知识?让学生独立思考后,充分地展示自我才华,深化学生 对判定定理的认识,达到会说会用判定定理的目的;同学们可以在小组内 交流一下,合作学习,谁来说一说呢?有一女同学回答是: “本节课我们主 要是学习了直线与平面平行的判定定理及其用数学符号表示,以及应用判 定定理解决了例 1 和练习 1、2 题中的问题。 ”另一男生回答是: “本节课我 们通过关门、翻书、观察、思考、探究等活动,经过直观感知、操作确认、 合情推理和思辨论证等认识过程,得出了直线与平面平行的判定定理,通 过分析定理,掌握了数学的转化思想和方法,即空间问题转化为平面问题 的思想和方法等” 。她们说的好吗?谁还补充呢?全班同学异口同声,她们 说的比较全面,也很好。老师作了肯定评价,她们说的好。本节课就学到 这里,今天的作业是 P64 习题 2.2A 组 3.4.5 题, (下课) 。通过课后作业, 使学生达到复习巩固、提高、发展知识的目的。 在评课交流中,大家认为,本节课按照教科书编写内容序列组织进行 了 10 个教学活动,让学生人人参与“观察、思考、操作、探究、归纳、概 括、分析、应用、小结”教学活动,活动到位,思维活跃,反应面广,课 堂活泼,回答问题都比较准确,认识空间图形,培养和发展学生的几何直 觉、运用图形语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的说理论证能力。 并通过“直观感知、操作确认、思辨论证、合情推理”的认识过程,归纳
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概括得出直线与平面平行的判定定理,反思定理掌握数学转化思想,分析 定理掌握数学转化思想和方法,应用定理解决问题,内化知识,提高发展。 在整个活动中抓住关键,突出重点,解决疑难,达到了本节课的课程目标 和学习目标的要求,成功的完成了本节课教与学的任务,是一节好课。

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