当前位置:首页 >> 数学 >>

【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第5章 第3节 等比数列及其前n项和]


第三节

等比数列及其前 n 项和

[全盘巩固] 3 9 1.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,a3= ,S3= ,则公比 q=( ) 2 2 1 1 1 1 A. B.- C.1 或- D.1 或 2 2 2 2 3 9 解析:选 C 当 q=1 时,a1=a2=a3= ,S3=a1+a2+a3= ,符合题意;当 q≠1 时, 2 2

?a =a q =2, 由题意得? a ?1-q ? 9 ?S = 1-q =2,
3 1 2 1 3 3

3

1 1 解得 q=- .故 q=1 或 q=- . 2 2

2. 各项都为正数的等比数列{an}中, 首项 a1=3, 前三项和为 21, 则 a3+a4+a5=( ) A.33 B.72 C.84 D.189 解析:选 C ∵a1+a2+a3=21,∴a1+a1· q+a1· q2=21,3+3×q+3×q2=21, 即 1+q+q2=7,解得 q=2 或 q=-3.∵an>0,∴q=2,a3+a4+a5=21×q2=21×4= 84. 3.已知等比数列{an}满足 an>0(n∈N*),且 a5a2n-5=22n(n≥3),则当 n≥1 时,log2a1+ log2a3+log2a5+?+log2a2n-1=( ) A.(n+1)2 B.n2 C.n(2n-1) D.(n-1)2 解析: 选 B 由等比数列的性质可知 a5a2n-5=a2 又 a5a2n-5=22n, 所以 an=2n.又 log2a2n n, 2n-1 =2n-1, -1=log22 [1+?2n-1?]n 所以 log2a1+log2a3+log2a5+?+log2a2n-1=1+3+5+?+(2n-1)= = 2 2 n. a7 4.已知数列{an}满足 a1=5,anan+1=2n,则 =( ) a3 5 A.2 B.4 C .5 D. 2 + an+1an+2 2n 1 an+2 解析:选 B 依题意得 = n =2,即 =2,故数列 a1,a3,a5,a7,?是一 2 an anan+1 a7 个以 5 为首项、2 为公比的等比数列,因此 =4. a3 5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( ) 3?n-1 n-1 ? A.2 B.?2? 2?n-1 1 C.? D. n-1 ?3? 2 解析:选 B ∵Sn=2an+1,∴当 n≥2 时,Sn-1=2an.∴an=Sn-Sn-1=2an+1-2an. an+1 3 1 a2 1 ∴3an=2an+1.∴ = .又∵S1=2a2,∴a2= .∴ = . an 2 2 a1 2 3 ∴{an}从第二项起是以 为公比的等比数列. 2

3?n-1? 1? - 1- ? ?2? ? ?3?n-1? 3n 2 2? ∴Sn=a1+a2+a3+?+an=1+ =?2? ?也可以先求出n≥2时,an= n-1, 3 2 ? 1- 2 3?n-1? 再利用 Sn=2an+1, 求得Sn=? ?2? ?. 6. 定义在(-∞, 0)∪(0, +∞)上的函数 f(x), 如果对于任意给定的等比数列{an}, {f(an)} 仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”,现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下 函数: ①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= |x|;④f(x)=ln|x|. 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ a2 an+1?2 2 n+1 2 解析:选 C 法一:设{an}的公比为 q.①f(an)=an,∵ 2 =? =q ,∴{f(an)}是等 an ? an ? |an+1| an+1 比数列.排除 B,D;③f(an)= |an|,∵ = = |q|,∴{f(an)}是等比数列.排除 an |an| A. 法二:不妨令 an=2n.①因为 f(x)=x2,所以 f(an)=4n.显然{f(2n)}是首项为 4,公比为 4 f?a2? 的等比数列. ②因为 f(x)=2x, 所以 f(a1)=f(2)=22, f(a2)=f(4)=24, f(a3)=f(8)=28, 所以 f?a1? 24 f?a3? 28 = 2=4≠ = 4=16, 所以{f(an)}不是等比数列. ③因为 f(x)= |x|, 所以 f(an)= 2n=( 2)n. 2 f?a2? 2 显然{f(an)}是首项为 2,公比为 2的等比数列.④因为 f(x)=ln|x|,所以 f(an)=ln 2n=nln 2. 显然{f(an)}是首项为 ln 2,公差为 ln 2 的等差数列. 7.(2013· 重庆高考)已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 为其前 n 项和,若 a1, a2,a5 成等比数列,则 S8=________. 解析:由 a1,a2,a5 成等比数列,得(a1+d)2=a1(a1+4d),即(1+d)2=1+4d,解得 d 8×7 =2(d=0 舍去),S8=8×1+ ×2=64. 2 答案:64 8.(2014· 杭州模拟)公差不为 0 的等差数列{an}的部分项 ak1,ak2,ak3,?,构成等比 数列,且 k1=1,k2=2,k3=6,则 k4=______. 解析:据题意等差数列的 a1,a2,a6 成等比数列,设等差数列的公差为 d,则有(a1+d)2 =a1(a1+5d),解得 d=3a1,故 a2=4a1,a6=16a1?ak4=64a1=a1+3a1(n-1),解得 n=22. 答案:22 1 9 . (2013· 江苏高考 ) 在正项等比数列 {an} 中, a5 = , a6 + a7 = 3. 则满足 a1 + a2 +?+ 2 an>a1a2?an 的最大正整数 n 的值为________. 解析:设等比数列的首项为 a1,公比为 q>0, 1 ? ?a1· q4= , 1 - 2 由? 得 a1= ,q=2.所以 an=2n 6. 32 ? ?a1· q5+a1· q6=3, n?n-11? - - a1+a2+?+an=2n 5-2 5,a1a2?an=2 . 2 n?n-11? - - 由 a1+a2+?+an>a1a2?an,得 2n 5-2 5>2 , 2 n?n-11? - 由 2n 5>2 ,得 n2-13n+10<0, 2 13- 129 13+ 129 解得 <n< ,取 n = 12 ,可以验证当 n = 12 时满足 a1 + a2 + ? + 2 2

an>a1a2?an,n≥13 时不满足 a1+a2+?+an>a1a2?an,故 n 的最大值为 12. 答案:12 10.数列{an}中,Sn=1+kan(k≠0,k≠1). (1)证明:数列{an}为等比数列; (2)求通项 an; 2 2 (3)当 k=-1 时,求和 a1 +a2 2+?+an. 解:(1)证明:∵Sn=1+kan,① Sn-1=1+kan-1,② an k ①-②得 Sn-Sn-1=kan-kan-1(n≥2),∴(k-1)an=kan-1, = 为常数,n≥2. an-1 k-1 k ∴{an}是公比为 的等比数列. k-1 - kn 1 1 1 ? k ?n-1 (2)∵S1=a1=1+ka1,∴a1= .∴an= · =- . 1-k 1-k ?k-1? ?k-1?n 1 k ? 1 ?2 ? k ?2 (3)∵{an}中 a1= ,q= ,∴{a2 n}是首项为 k-1 ,公比为 k-1 的等比数列. ? ? ? ? 1-k k-1 1 1 当 k=-1 时,等比数列{a2 n}的首项为 ,公比为 , 4 4 1?n? 1? ? 1-?4? ? 1 1 2 2 2 4? ∴a1+a2+?+an= = ? 1-? ?n?. 1 3? ?4? ? 1- 4 bx+c 11.已知函数 f(x)= 的图象过原点,且关于点(-1,2)成中心对称. x+1 (1)求函数 f(x)的解析式; ? an ? (2)若数列{an}满足 a1=2,an+1=f(an),证明数列?a -1?为等比数列,并求出数列{an} ? n ? 的通项公式. bx+c 解:(1)∵f(0)=0,∴c=0.∵f(x)= 的图象关于点(-1,2)成中心对称, x+1 2x ∴f(x)+f(-2-x)=4,解得 b=2.∴f(x)= . x+1 2an (2)∵an+1=f(an)= , an+1 ∴当 n≥2 时, 2an-1 an an-1 an-1+1 an-1-1 2an-1 an-1-1 an an-1-1 = · = · = · =2. an-1 an-1 an-1 2an-1 an-1 an-1-1 an-1 -1 an-1-1 an-1+1 a1 又 =2≠0, a1-1 ? an ? ∴数列?a -1?是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ? n ? an 2n n ∴ =2 ,∴an= n . an-1 2 -1 12.已知等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是 q, 且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q. (1)求 an 与 bn; an (2)设 cn=3bn-λ· 2 ,若数列{cn}是递增数列,求 λ 的取值范围. 3

? ?q+3+a2=12, 解:(1)由已知可得? 所以 q2+q-12=0, 2 ?3+a2=q , ? - 解得 q=3 或 q=-4(舍),从而 a2=6,所以 an=3n,bn=3n 1. an (2)由(1)知,cn=3bn-λ· 2 =3n-λ· 2n. 3 * 由题意,cn+1>cn 对任意的 n∈N 恒成立,

?3?n n n n n >3 -λ·2 恒成立,亦即λ·2 <2·3 恒成立,即λ<2·? ? 恒成立. ?2? 3 ?3?n ? ?3?n? 由于函数 y=? ? 是增函数,所以?2·? ? ?min=2× =3, 2 2 2 ? ? ? ? ?? 故λ<3,即λ的取值范围为(-∞,3). [冲击名校] 1.设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,且对任意的实数 x,y∈R,都有 f(x)· f(y)=f(x 1 * +y),若 a1= ,an=f(n)(n∈N ),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是________. 2 1?2 1 3 ?1? 解析:由已知可得 a1=f(1)= ,a2=f(2)=[f(1)]2=? ?2? ,a3=f(3)=f(2)f(1)=[f(1)] =?2? 2 1? ?1?n? 1 - 1?n 1 ?1?2 ?1?3 3 ?1?n 2? ?2? ?=1-?1?n. ,?,an=f(n)=[f(1)]n=? ?2? ,所以 Sn=2+?2? +?2? +?+?2? = ?2? 1 1- 2 1 ∵n∈N*,∴ ≤Sn<1. 2 1 ? 答案:? ?2,1? 2.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N*. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列; (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn. 解:(1)∵点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上, ∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且 n∈N*). ∴an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an(n>1,n∈N*),a2=3S1+1=3a1+1=3t+1, ∴当 t=1 时,a2=4a1,数列{an}是等比数列. - (2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n 1+n, - 0 1 n-1 2 ∴Tn=c1+c2+?+cn=(4 +1)+(4 +2)+?+(4 +n)=(1+4+4 +?+4n 1)+(1+ 4n-1 ?1+n?n 2+3+?+n)= + . 3 2 [高频滚动] 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则 n=( ) A.12 B.14 C.16 D.18 解析:选 B Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,S4=a1+a2+a3+a4=40,所以 4(a1 n?a1+an? +an)=120,a1+an=30,由 Sn= =210,得 n=14. 2 2.已知数列{an}满足 a1=1,且 an=2an-1+2n(n≥2,n∈N*). ?an? (1)求证:数列?2n?是等差数列,并求出数列{an}的通项公式; ? ? (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解:(1)证明:因为 an=2an-1+2n, n an 2an-1+2 an-1 an an-1 所以 n= = n-1+1,即 n- n-1=1, 2 2n 2 2 2 ?an? a1 1 an 1 1 所以数列?2n?是等差数列,且公差 d=1,其首项 1= ,所以 n= +(n-1)×1=n- , 2 2 2 2 2 ? ?
即3
n+1

-λ·2

n+1

1? n n-1 解得 an=? ?n-2?×2 =(2n-1)2 . (2)Sn=1×20+3×21+5×22+?+(2n-1)×2n 1,① - 2Sn=1×21+3×22+5×23+?+(2n-3)×2n 1+(2n-1)×2n,② ①-②,得 - 4×?1-2n 1? 0 1 2 n-1 n -Sn=1×2 +2×2 +2×2 +?+2×2 -(2n-1)2 =1+ -(2n-1)2n= 1-2 (3-2n)2n-3.所以 Sn=(2n-3)2n+3.



相关文章:
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第5章 第3....doc
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第5章 第3节 等比数列及其前n项和] - 第三节 等比数列及其前 n 项和 [全盘巩固] 3 9 1.设 Sn 是等比数列...
...轮演练知能检测:第5章 第3节 等比数列及其前n项和.doc
【创新方案】2015高考数学()一轮演练知能检测:第5章 第3节 等比数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。【创新方案】2015高考数学()一轮演练知能检测:...
...热点题型突破:第5章 第3节 等比数列及其前n项和].doc
【创新方案】2015高考数学()一轮热点题型突破:第5章 第3节 等比数列及其前n项和]_其它课程_高中教育_教育专区。【创新方案】2015高考数学()一轮热点题型...
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第5章 第5....doc
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第5章 第5 数列的综合问题 - 第五节 数列的综合问题 [全盘巩固] 1.已知各项均不为 0 的等差数列{an},满足...
...第五章 第三节 等比数列及其前n项和演练知能检测 文....doc
【创新方案】2015高考数学一轮复习 第五章 第三节 等比数列及其前n项和演练知能检测 文_数学_高中教育_教育专区。第三节 等比数列及其前 n 项和 [全盘巩固...
【创新方案】2015高考数学(文)一轮演练知能检测:第5章 ....doc
【创新方案】2015高考数学()一轮演练知能检测:第5章 第5 数列的综合问题] - 第五节 数列的综合问题 [全盘巩固] 1.已知各项均不为 0 的等差数列{an}...
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第1章 第3....doc
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第1章 第3节 简单的逻辑联结词
【创新方案】2015高考数学(文)一轮演练知能检测:第5章 ....doc
【创新方案】2015高考数学()一轮演练知能检测:第5章 第1节 数列的概念与简单表示] - 第一 数列的概念与简单表示 [全盘巩固] 1.设数列{an}的前 n 项...
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第3章 第3....doc
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第3章 第3节 三角函数的图象与性质] - 第三节 三角函数的图象与性质 [全盘巩固]π 1.给定性质:①最小正周期为...
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第4章 第3....doc
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第4章 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用 - 第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用 [全盘巩固] 1.若...
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第8章 第5....doc
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第8章 第5节 椭圆] - 第五节 椭 圆 [全盘巩固] x2 y2 1.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,...
【创新方案】2015高考数学(理)一轮突破热点题型:第5章 ....doc
【创新方案】2015高考数学(理)一轮突破热点题型:第5章 第5节 数列的综合问题 - 第五节 数列的综合问题 考点一 等差、等比数列的综合问题 [例 1] 在数列{an...
...数学一轮复习 第五章 第三节 等比数列及其前n项和重....ppt
【创新方案】(浙江专版)2015高考数学一轮复习 第五章 第三节 等比数列及其前n项和重点精选课件 文_数学_高中教育_教育专区。第三节 等比数列及其前n项和 ...
...数学一轮复习 第五章 第三节 等比数列及其前n项和突....doc
【创新方案】2015高考数学一轮复习 第五章 第三节 等比数列及其前n项和突破热点题型 文_数学_高中教育_教育专区。第三节 等比数列及其前 n 项和 考点一 ...
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第3章 第5....doc
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第3第5节 两角和与差的正弦
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第9章 第2....doc
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第9章 第2节 导数的应用(1)
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第6章 第3....doc
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第6章 第3节 二元一次不等式(
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第1章 第1....doc
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第1章 第1节 集合 - 第一节
【创新方案】2015高考数学(理)一轮复习精选课件第5章 ....ppt
【创新方案】2015高考数学(理)一轮复习精选课件第5章 第1节 数列的概念与简单表示法 - 第一 考纲展示 数列的概念与简单表示法 1.了解数列的概念和几种简单...
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第6章 第4....doc
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第6章 第4节 基本不等式 -
更多相关标签: