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第四十一讲 一元二次不等式及其解法


高考复习资料

第四十一讲

一元二次不等式及其解法

知识回顾 1、图像与解:二次函数图像,一元二次方程的根,一元二次不等式的解集的具体关系(三个二之间的转化) 。 二次函数
y ? ax 2 ? bx ? c (a>0)
2

△情况 △ ? b ? 4ac
2

一元二次方程
ax ? bx ? c ? 0
2 2

一元二次不等式
ax ? bx ? c ? 0 ax 2 ? bx ? c ? 0

(a>0)

(a>0)

(a>0)



-5

x1
-2

x2

5

△>0

-4


2

-5

x1=x2
-2

5

△=0



2


-5 5

△<0

-2

2、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0); (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) 3、解一元二次不等式的一般步骤 当 a>0 时,解形如 ax 2 ? bx ? c ? 0(? 0) 或 ax 2 ? bx ? c ? 0(? 0) 的一元二次不等式一般分为三步: (1)_______________________________________________________。 (2)_______________________________________________________。 (3)_______________________________________________________。 4、解含字母参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不等式基本思路一致,但要注意分类讨论思想的运用, 比如:二次项系数含有字母,应首先对二次项系数进行大于零,小于零,等于零的分类讨论;当二次项系数不等 于零时,再对判别式进行大于零,小于零,等于零的讨论;又若判别式大于零,再对两根的大小进行讨论。 附:数轴求根法——当几个因式相乘或者相除时(未知数系数为正) ,取每个因式的零点,在数轴上依次标出, 然后从右上方开始,每个零点穿过一次,则数轴上方的封闭部分代表大于零,数轴下方的封闭部分代表小于零。 (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0)

19

专题六第四十一讲 典型例题 例题 1、已知二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解为 ? ? x ? ? 且 ? ? 0 ,试求不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解。

例题 2、已知关于 x 的二次方程 x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 。 (1)若方程有两根,其中一根在区间 ( ?1, 0) 内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在 区间 (0,1) 内,求 m 的范围。

例题 3、若 x ? R , ax 2 ? 4 x ? 4 ? ?2 x 2 ? 1 恒成立,求 a 的取值范围

巩固训练题
一、选择题 1、不等式
1? x ? 0 的解集为 x ?3

( C、 ?x x ? 1或x ? 3? D、 ?x 1 ? x ? 3?



A、 ?x x ? 1?

B、 ?x x ? 3?

20

高考复习资料
1 2、若不等式 x 2 ? ax ? 1 ? 0 对一切 x ? (0, ] 都成立,则实数 a 的最小值为 2

( D、 ?3



A、0

B、 ?2

C、 ?

5 2

3、关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集是 (1, ??) ,则关于 x 的不等式 A、 (??, ?1) ? (2, ??) B、 ( ?1, 2) C、 (1, 2)

ax ? b ? 0 的解集是 x?2

( D、 (??,1) ? (2, ??) ( D、8 ( D、 a ? b ? m ? n



4、设实数 x,y 满足 x ? y ? 4 ,则 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 的最小值为 A、 2 B、4 C、 2 2 5、已知 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? 2 , m, n 是方程 f ( x) ? 0 的两根且 a 小于 b,m 小于 n,则 A、 a ? m ? n ? b 二、填空题 B、 m ? n ? a ? b C、 m ? a ? b ? n





6、若不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 成立,则 a 的取值范围是_____________________。 7、若关于 x 的方程 x 2 ? ax ? a 2 ? 1 ? 0 有一正根和一负根,则 a 的取值范围是_____________________。 8、二次函数 f ( x) 的二次项系数为正,且对任意实数 x 恒有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,若 f (1 ? 2 x 2 ) ? f (1 ? 2 x ? x 2 ) ,则 x 的取值范围是_____________________。 9、已知不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ?x 2 ? x ? 4? ,则不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集是_____________________。 三、解答题 10、解关于 x 的不等式 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0

11、设函数 f ( x) ? mx2 ? mx ? 1 (1)若对于一切实数 x, f ( x) ? 0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x ? [1, 3] ,
f ( x) ? ?m ? 5 恒成立,求 m 的取值范围。

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专题六第四十一讲 12、函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? kx ? 2) 的值域为 (??, ??) ,求实数 k 的取值范围。
2

13、已知 A ? x x2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 , (1)若 A ? B ,求 a 的取值范围; (2)若 B ? A ,求 a 的取值范围。

?

?

?

?

14、二次函数 f ( x) 满足 f (?2) ? ?1, f (?1) ? ?1 ,且 f ( x) 的最大值是 8,解不等式 f ( x) ? ?1 。

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