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《高中数学解题研究(第3辑:数学文化高考专题)》练习题详解


《数学文化高考专题》 下篇 数学文化题精编 答案与解析

目录
渗透数学史料的数学文化题 ..................................................... 2 渗透数学精神的数学文化题 .................................................... 13 渗透数学应用的数学文化题 .................................................... 20

渗透数学史料的数学文化题
答案与解析
1、 【答案】3840 【解析】由题意可知棱柱体积 V ? S ? h ? 16 ?16 ?15 ? 3840 故选 3840 2、 【答案】A 【解析】由题意知圆柱体积 V?

1 ×(底面的圆周长的平方×高) 12

?

1 ? (2? r )2 h ? ? r 2 h ,化简得: ? ? 3 ,故选 A. 12

3、 【答案】7047 【解析】由题意可知棱锥体积 V ? 4、 【答案】 1735

1 1 S ? h ? ? 27 2 ? 29 ? 7047 故填 7047 3 3

5 12 1 3 35 2 5 5 ) ? 51 ? 1735 ,故填1735 . 2? 12 12

【解析】由题意可知圆锥体积 V ? ? ( 5、 【答案】 101666

2 3 1 2 (50 2 ? 40 2 ? 50 ? 40 ) ? 50 ? 101666 ,故填 3 3

【解析】由题意可知四棱台的体积 V ?

2 101666 . 3
6、 【答案】 527

7 9 1 30 2 20 2 30 20 ? 3 ? 10 ? ? ( ) ?( ) ? ? 3 2?3 2?3 2?3 2?3 1 2

【解析】由题意可知 圆台的体积 V ? 7、 【答案】选 B 【解析】由题意可知棱柱的体积 V ? S ? h ? ( ? 20 ? 186) ? 250 ? 46500 ,故选 B. 8、 【答案】 93

? ? 527 7 ,故填 527 7 .
9 9

1 3 1 1 1 1 S ? h ? ? 5 ? 7 ? 8 ? 93 ,故填 93 . 3 3 3 3

【解析】由题意可知锥柱的体积 V ? 9、 【答案】 23

1 3 1 1 1 1 1 S ? h ? ? ( ? 4 ? 5) ? 7 ? 23 ,故填 23 . 3 3 2 3 3

【解析】由题意可知锥柱的体积 V ?

10、 【答案】选 B 【解析】由题意可知,需要茅草的面积为:两个等腰梯形的面积与两个等腰三角形面积

的和,则 S ? 2(

2?4 2? 5 ? 5 ) ? 2( ) ? 8 5 ,故选 B. 2 2

11、 【答案】选 A 【解析】判断“ p 是 q ”的什么条件,我们可以从等价命题出发,即判断“ ?q 是 ?p ” 的什么条件,易知 p 是 q 的充分不必要条件,故选 A. 12、 【答案】选 C 【解析】由三视图可知,所给几何体为一正方体去掉一个半圆柱。

1 V ? 8 ? (? 12 ? 2) ? 8 ? ? .故选 C. 2 13. 【答案】 32?
【解析】 作出两曲线所表示的可行区域(如图 1 和图 2 所示)可知,两个图形绕 y 轴旋转 所得的旋转体夹在两相距为 8 的平行平面之间,用任意一个与 y 轴垂直的平面截这两个旋 转 体 , 设 截 面 与 原 点 的 距 离 为 y , 所 得 的 截 面 面 积 为 S1 ? ? 42 ? 4 y

?

?,

2 S2 ? ? ? 42 ? y 2 ? ? ? ?4 ? ? 2 ? y ? ? ? ? ? 42 ? 4 y ? ,所以 S1 ? S2 ,由祖暅原理知,两个 ? ?

几何体的体积相等. 又 ? 2 的体积为 V ?

4 4 ? ? 43 ? 2 ? ? ? 23 ? 64? ,于是 ?1 所表示几何体的体积应为 32? . 3 3

图1 14、 【答案】 16?

图2

【解析】设“堑堵”外接球的半径为 R ,则 R 2 ? ( 2 ) 2 ? ( 2 ) 2 ? 4 ,即 R ? 2 ,所以 外接球的表面积为 4?R 2 ? 16? .
15、 【答案】选 C

【解析】设 AC ? x, BC ? y , “阳马” VB ? A1 ACC1 ?

1 1 4 ? 2 xy ? ( x 2 ? y 2 ) ? ,当且仅 3 3 3

当“ x ? y ”时 " ?" 成立,即 x ? y ? 体积为 V ? Sh ?

“阳马” VB ? A1 ACC1 最大。此时“堑堵”的 2 时,

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,故选 C. 2

16、 【答案】选 B 【解析】易知当 E 为 PD 的中点时,四面体 E ? BCD 为“鳖臑” ;当 E 为 PC 的中点时, 不妨设 PD ? CD ? BC ? 2 , 则 PC ? 2 2 , 在 Rt?BEC 中, 则 BE ? 6 , 又 DE ? 2 ,

BD ? 2 2 ,所以 BD 2 ? BE 2 ? DE 2 ,所以 ?BED 为直角三角形,所以 E ? BCD 也为
“鳖臑” 17、 【答案】选 B 【解析】因为 AP ? AC , AF ? PC ,所以 F 为 PC 的中点.因为 AE ? PB ,易知三角 形 AEF 为 直 角 三 角 形 , 设 AE ? x, EF ? y , 三 角 形 AEF 的 面 积

S?

1 1 x 2 ? y 2 1 AF 2 1 1 xy ? ? ? ? ? , 当 且 仅 当 x ? y ? 时 " ?" 成 立 , 易 求 2 2 2 2 2 8 2
3 2 3 6 BC 2 , PB ? , BC ? 则 ? tan BPC ? ,故选 B ? 3 PB 2 3 3

AB ?

18、 【答案】选 A 【解析】不妨设 AB ? BD ? CD ? 2 ,过点 P 作 PE ? BC 于 E ,过点 E 作 EF ? BD 于

F ,设 PE ? m, EF ? n ,由平面几何知识可得:

m x x ,所以 m ? ; ? 2 2 3 3

同理可知:

n 2 3?x 2 3?x ,所以 n ? , ? 2 2 3 3

则 ?PBD 的面积 f ( x) ?
19. 【答案】B

1 1 BD ? PF ? ? 2 ? m 2 ? n 2 ? 2 2

2 x 2 ? 4 3x ? 12 ,故选 A 3

【解析】 由三视图知, 商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成, 由题意得: (5.4-x)×3×1 2 ?1? +π ·? ? x=12.6.解得 x=1.6. ?2?

20(2) 、①【答案】

2 3 3

【解析】 “阳马” B ? A1 ACC1 的体积

1 AC 2 ? BC 2 4 1 1 ? , V ? S A1 ACC1 ? BC ? AA1 ? AC ? BC ? AA1 ? 3 2 3 3 3

当且仅当 AC ? BC ? 2 时, “=”成立,求点 C 到平面 A1 BC1 的距离,可已考虑“等体 积” 转化, 即 VC ? A1BC 1 ? V A? BCC1 , VC ? A1BC 1 ?

1 2? 6 1 2?2 ? ?h, V A? BCC1 ? ? ? 2; 3 2 3 2

解得 h ?

2 3 . 3

②【答案】

1 3

【解析】以 C 点为坐标原点, CB 为 x 轴, CA 为 y 轴, CC1 为 z 轴建立空间直角坐标 系,则 A(0, 2.0) , B( 2., 2) ,设平面 A1 BC1 的法向量为 0, 0) , A1 (0, 2., 2) , C1 (0,0.,

? ? ? m ? ( x1 , y1 , z1 ) , 平 面 A1 BC1 的 法 向 量 为 n ? ( x2 , y 2 , z 2 ) , 则 m ? A1C1 ? 0 ,
? ? ? ? ? m ? BC1 ? 0 ,可令 m ? ( 2 ,0,1) ,同理 n ? A1C ? 0 , n ? CB ? 0 ,可令 n ? (0, 2 ,?1)

? ? m?n 1 ? ? 1 则 cos m, n ? ? ? ? ? ,所以二面角 C ? A1 B ? C1 的余弦值为 . m?n 3 3
21、 【答案】 1

19 31

【 解 析 】 由 题 意 可 知 女 子 每 天 织 布 的 数 构 成 等 比 数 列 ?an ? , 于 是 有

a1 ? 2a1 ? 4a1 ? 8a1 ? 16a1 ? 50 ,解得 a1 ? 1
22、 【答案】 18

19 . 31

【 解 析 】 由 题 意 可 知 每 人 所 得 橘 子 数 构 成 等 差 数 列 ?an ? , 于 是 有

a1 ? (a1 ? 3) ? (a1 ? 6) ? (a1 ? 9) ? (a1 ? 12) ? 60 ,解得 a1 ? 6 ,所以最多的是18 个.
23、 【答案】B

【解析】由题意可知等差数列 ?an ? 中 ? 下一等人比上一等人少得 24、 【答案】 5

?

a1 ? a2 ? a3 ? 4

?a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? 3

,解方程组得 d ? ?

7 ,即 78

7 7 ,也就是上一等人比下一等人多得 . 78 78

15 29

【解析】由题意可知,女子每日所织数构成等差数列 ?an ? ,设公差为 d ,由题意可得:

3900 ? 30 ? 50 ?

30 ? 29 15 d ,解得 d ? 5 . 2 29

25、 【答案】90 尺 【 解 析 】 由 题 意 每 天 织 布 的 数 量 组 成 等 差 数 列 , 在 等 差 数 列 ?a n ? 中 ,

a1 ? 5 , a3 0? ? 1 S 3?0
26. 【答案】 5050

3 0? ? 5 ? ?1 ? 9(尺) 0 . 2

解析 由题意可知,问题转化为求首项为 1,公差为 1 的等差数列的前 100 项和,即

S100 ?

? a1 ? a100 ? ?100 ? 5050
2

27. 【答案】 B 【解析】 设第一天走的里数为 a1 里,由题意知,该马每天行走的里数 ?an ? 成等比数列,且

? ? 1 ?n ? a1 ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? a1 ?1 ? q n ? ? ? 1 ?n ? 1 ? ? 公比为 q ? ,由此得: Sn ? ? ? 2a1 ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? 1 2 1? q ? ? 1? 2
? ? 1 ?7 ? 44800 因为该马行走 7 天,共行 700 里,所以 S7 =2a1 ?1 ? ? ? ? ? 700 ,解得 a1 ? ? ?2? ? 127 ? ?
故选 B 28【答案】 C 【解析】设分给第一个子女 a1 斤棉花,之后子女分得 an 斤( n ? 2,3, 4, ???,8 ) 所以 a2 ? a1 ? 17, a3 ? a1 ? 2 ?17, ???, a8 ? a1 ? 7 ?17 有棉花总数 996 ? 8a1 ? ?

? 1? 7 ? ? ? 7 ?17 ,解得 a1 ? 65 ,所以第三个子女分得棉花为 ? 2 ?

a3 ? a1 ? 2 ?17 ? 99 斤.
29【答案】B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚为 a1 , a2 , a3 , ???, a7 ,公差为 d ,则

? a1 ? a2 ? 2a1 ? d ? 237 , 解得 d ? 7, a1 ? 122 , 所以 a4 ? a1 ? 3d ? 122 ? 21 ? 101 ? ?a5 ? a6 ? a7 ? 3a1 ? 15d ? 261

钱 30. 【答案】C 【解析】设塔顶有 a 盏灯,那么 S 7 ? 31【答案】 D 【解析】 设两个音之间的频率之比是 q ,则有 32. 【答案】135 【解析】设该数列为 ?an ? ,显然 a1 ? 1 ,由 3 和 5 的最小公倍数为 15,则每隔 15 个数就会 有一个符合条件的数,所以 ?an ? 为以 1 为首项,15 为公差的等差数列,所以 an =15n ? 14 而 2016=a135 ? 5 ,所以在 1 到 2016 之间该数列有 135 项. 33. 【答案】 120 【解析】 由题意,第 n 层茭草束数为 1+2+…+n=

a 1 ? 27 ? 381 ,解得: a ? 3 ,故选 C. 1? 2
f13 f ? q12 ? 2 ,则 7 ? q 4 ? 3 2 ,故选 D f1 f3

?

?

n n+
2

, =680,

∴1+3+6+…+

n n+
2

1 1 1 即为 [ n(n+1)(2n+1)+ n(n+1)] 2 6 2 1 = n(n+1)(n+2)=680, 6 即有 n(n+1)(n+2)=15×16×17, ∴n=15,∴

n n+
2

=120.

34. 【答案】 C 【解析】由图形可得三角形构成的数列通项公式是 an ? 通项公式为 bn =n ,可排除 A,B,D. 5k(5k-1) 35. 【答案】(1)5 030 (2) 2 【解析】 由题意可得 an=1+2+3+…+n=
2

n ? n ? 1? 2

,正方形数构成的数列的

n(n+1)
2

,n∈N ,故 b1=a4,b2=a5,b3=a9,

*

b4=a10,b5=a14,b6=a15,由上述规律可知:b2k=a5k=

5k(5k+1) (k 为正整数), 2

b2k-1=a5k-1=

(5k-1)(5k-1+1) 5k(5k-1) = , 2 2

故 b2 012=b2×1 006=a5×1 006=a5 030,即 b2 012 是数列{an}中的第 5 030 项. 36. 【答案】4,5,32

a1 m a m 为偶,故 a2 ? a3 ? 2 ? , 2 2 2 4 m m m m ①当 仍为偶数时, a4 ? ? a6 ? 故 ? 1 ? m ? 32 . 4 8 32 32 3 3 m ?1 m ?1 m 3 4 ②当 为奇数时, a4 ? 3a3 ? 1 ? m ? 1? a6 ? 4 故 ? 1得 m ? 4 . 4 4 4 , 4 3m ? 1 (2)若 a1 ? m 为奇数,则 a2 ? 3a1 ? 1 ? 3m ? 1 为偶数,故 a3 ? 必为偶数 2 3m ? 1 3m ? 1 … a6 ? ,所以 ? 1 可得 m ? 5 . 16 16
【解析】 (1)若 a1 ? m 为偶数,则 故答案为:4,5,32. 37【答案】 2016 【解析】因为 an? 2 ? an?1 ? an ,所以 a2015 ? a2016 ? a2015 ? a2014a2015 ,
2 2 a2014 ? a2015 ? a2014 ? a2013 ? a2014 ,

???
2 a3 ? a2 ? a2 ? a2 ? a1

所以 a2015 ? a2016 ? a

2 2015

?a

2 2014

2 2 2 a2015 ? a2014 ? ??? ? a2 ? a12 ? a2016 ? ??? ? a ? a ,所以 a2015
2 2 2 1

故答案为 2016. 38. 【答案】 1;4027 【解析】 1,1, 2,3,5,8,13, ??? 除以 4 的余数分别为 1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0, ??? ,即新数 列 ?bn ? 是周期为 6 的周期数列, b2015 ? b235?6?5 ? b5 ? 1 ,在每个周期内,含有 3 个 1,而

2014=671 ?3+1 ,所以第 2014 个值是 1 的项是位于第 672 个周期内的第一个 1 ,则 . 671? 6+1=4027
39. 【答案】 21;43 【解析】由题意知当 n ? 1 时,有 2 种;当 n ? 2 时,有 3 种,当 n ? 3 时,有 2+3=5 种;当 n ? 4 时,有 3+5=8 种;当 n ? 5 时,有 5+8=13 种;当 n ? 6 时,有 8+13=21 种; 当 n ? 6 时,黑色和白色的小正方形共有 2 =64 种涂法,黑色正方形互不相邻的着色方案共
6

有 21 种结果,所以至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 64 ? 21 ? 43 种结果. 40. 【答案】 5 【解析】由题意可知,将每位同学所报的数排列后为“斐波那契数列”:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987 , 等 等, 该数 列 的一 个规 律 是: 第 4,8,12,16, ??? , 4n 项均为 3 的倍数,甲同学报数的序号为 1,6,11,16, ??? , 5m ? 4 ,即 问题转化为求数列 ?4n? 与数列 ?5m ? 4? 的公共部分数,令 4n ? 5m ? 4 ,则 ?

?m ? 4 , ?n ? 4

?m ? 8 ?m ? 12 ?m ? 16 ?m ? 20 ,? ,? ,? , 所以甲拍手的总次数为 5 次. ? ? n ? 9 ? n ? 14 ? n ? 19 ? n ? 24
41. 【答案】B 【解析】选 B a=14,b=18. 第一次循环:14≠18 且 14<18,b=18-14=4; 第二次循环:14≠4 且 14>4,a=14-4=10; 第三次循环:10≠4 且 10>4,a=10-4=6; 第四次循环:6≠4 且 6>4,a=6-4=2; 第五次循环:2≠4 且 2<4,b=4-2=2; 第六次循环:a=b=2,跳出循环,输出 a=2,故选 B. 42. 【答案】 C 【解析】选 C 第一次运算:s=0×2+2=2,k=1;第二次运算:s=2×2+2=6,k=2; 第三次运算:s=6×2+5=17,k=3>2,结束循环,s=17. 43. 【答案】 C 【解析】程序运行如下 n ? 3 , x ? 2 ? v ? 1, i ? 2 ? 0 ? v ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 , i ? 1 ? 0

? v ? 4 ? 2 ? 1 ? 9 , i ? 0 ? 0 ? v ? 9 ? 2 ? 0 ? 18 , i ? ?1 ? 0 , 结束循环,输出 v ? 18 ,
故选 C. 44. 【答案】 C 【解析】不妨设圆的半径为 1,则其实际面积为 S ? ? ,由割圆术可得其面积 S 近似等于正

1 360? 2 R ,即 S ' ? S ? ? ,由程序框图可知, n ? 48 , n 变形的面积,即 S ' ? n ? sin 2 n 1 即 ? = ? 48 ? sin 7.5? ? 24 ? 0.1305 ? 3.132 2
45. 【答案】 C 【解析】执行程序如下:
是 ? a ? 17, b ? 3, q ? 5, r ? 2, m ? 1, n ? 1, c ? 6 a ? 20, b ? 17, c ? 1, r ? 3, m ? 0, n ? 1 ?? 是 ?? ? a ? 3, b ? 2, q ? 1, r ? 1, m ? 1, n ? 6, c ? 7 ,因为 r ? 1 ,输出 c ? 7

46. 【答案】 C 【解析】由题意可知,设松的长度为 an ,竹的长度为 bn ,则数列 ?an ? 为以 5 为首项,公比



3 ?3? 的等比数列, ?bn ? 为首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以 an =5 ? ? ? 2 ?2?
n ?1 n

n ?1

, bn ? 2

n

?3? 若要松竹等长,则 bn ? an ,即 2 ? 5 ? ? ? ?2?
47. 【答案】 C

,即 22 n?1 ? 5 ? 3n?1 ,所以 n 最小为 4.

【解析】第一次执行循环体 r ? 34, m ? 119, n ? 34 ,不满足退出条件,第二次执行循环体

r ? 17, m ? 34, n ? 17 ,不满足退出条件,第三次执行循环体 r ? 0, m ? 17, n ? 0 ,满足退
出条件,输出 m ? 17 m ? 17 .故选 C. 48. 【答案】 5 【解析】 执行程序框图

a 的值 i 的值

10 1

5 2

16 3

8 4

4 5(输出 i )

49. 【答案】495 【解析】 取 a ? 815 ,则 b ? 851 ?158 ? 693 ? 815 ,所以 a ? 693 ;继续循环 a ? 693 , 则 b ? 963 ? 369 ? 594 ? 693 ,所以 a ? 594 ;继续循环 a ? 594 ,则 b ? 954 ? 459 ? 495 ? 594 , 所 以 a ? 495 ; 继 续 循 环 , a ? 495 , 则 b ? 9 5 ?4 ? 4 5 9 ?a, 4 故输出 9 5 b ? 495 . 50. 【答案】B 【解析】 根据斐波拉契数列的特点,显然把 c 的值赋给 b ,所以矩形框内填写 b ? c .因计 算前 10 项的和,由程序知,当 i ? 9 时,程序运行,且此时的 S 符合题意;当 i ? 10 时, S 的值不符合题意,所以程序应结束.故选 B. 7 51. 【答案】 25 【解析】∵小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25.∴每一个直角三角形的面积是 6,

a +b =25, ? ? 设直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,则?1 ab=6, ? ?2
∴两条直角边的长分别为 3,4, 4 7 2 又∵直角三角形中较小的锐角为 θ ,∴cos θ = ,cos 2θ =2cos θ -1= . 5 25 52. 【答案】D 【解析】连接 OA,OB,OD,

2

2

设⊙O 的半径为 R, 则(R-1) +5 =R ,∴R=13.
2 2 2

AD 5 sin∠AOD= = . AO 13
∴∠AOD≈22.5°,即∠AOB≈45°. π 故∠AOB≈ . 4 ∴S 弓形 ACB=S 扇形 OACB-S△OAB 1 π 1 2 = × ×13 - ×10×12≈6.33 平方寸. 2 4 2 ∴该木材镶嵌在墙中的体积为

V=S 弓形 ACB×100≈633 立方寸.选 D.
53. 【答案】 CD; DE 【解析】 如图,在 Rt ?ABD 中, CD 是斜边 AB 上的高,所以 CD2 ? AC ? CB , 所以

CD ?

ab ,即线段 CD 为 a, b 的几何平均数;

在 Rt ?OCD 中, 因为 CE ? OD ,所以 CD ? DE ? OD ,所以 DE ?
2

CD 2 ab 2ab , ? ? OD a ? b a ? b 2

所以线段 DE 为 a, b 的调和平均数

54. 【答案】B 【解 析】因为 e ? cos 2 ? i s i n, 2 对 应 点 为 (cos 2,sin 2) , 由 于
2i

?
2

? 2 ?? ,因此

cos 2 ? 0,sin 2 ? 0 ,点 (cos 2,sin 2) 在第二象限,故选 B.

赏析:欧拉公式 eix ? cos x ? i sin x 把三角函数,指数函数联系在一起,是复变函数中最重 要的公式, 并且如果令 ? ? ? , 得到 e? i ? 1 ? 0 , 这个公式把数学中最重要的五个数 e, ? , i,1,0 联系在一起,可以说是数学中最“美”的公式之一。

55. 【答案】

1 6

【 解 析 】 假 设 齐 王 马 为 A1,B1,C1 , 田 忌 的 马 为 A2,B2,C2 . 齐 王 马 的 顺 序 为
3 A1 ? B1 ? C1 ,田忌马的顺序总数为 A3 ? 6 ,田忌能获胜的事件的顺序为 C2 ? A2 ? B2 ,

所以田忌获胜的概率为 56. 【答案】B

1 . 6

x 28 【解析】设这批米内夹谷约为 x 石,根据随机抽样事件的概率得 = ,得 x≈169. 1 534 254
57. 【答案】

3 8

【解析】 根据高尔顿顶板实验符合 n 次独立重复试验,满足二项分布 B ? n, p ? ,小球经过

?1? 3 P ? 4,3? ,则满足三次撞击,两次向右,一次向左,则概率为 P ? C ? ? ? ?2? 8
2 3

3

58. 【答案】 (1) ?

1 2

(2)

1 2
2

【解析】设 M ? cos ? ,sin ? ? ,所以 ? ?

MB MA

2 2

cos ? ? b ? ? sin 2 ? ? ? 2 ? cos? ? 2 ? ? sin 2 ?
2

1 ? b2 ? 2b cos ? ? 5 ? 4cos ?

因为 ? 为定值与 ? 无关, 所以 所以 b ? ?

1 ?2b 1 ? b 2 , 即 2b2 ? 解得 b ? ? , b ? ?2(舍) ? 5 b? 2 0 ? , 2 4 5

1 1 1 1 2 ,所以 ? ? ? b ? ,因为 ? ? 0 ,所以 ? = . 2 2 4 2
n

59. 【答案】(1)90;(2) 9×10 【解析】 (1)4 位回文数的特点为中间两位相同,千位和个位数字相同但不能为零,第一步, 选千位和个位数字,共有 9 种选法;第二步,选中间两位数字,有 10 种选法; 故 4 位回文数有 9×10=90 个 故答案为 90 (2)第一步,选左边第一个数字,有 9 种选法; n 第二步,分别选左边第 2、3、4、…、n、n+1 个数字,共有 10×10×10×…×10=10 种选 法, n 故 2n+1(n∈N+)位回文数有 9×10 个 n 故答案为 9×10 60. 【答案】 56

【解析】 观察找出规律如下图所示:三角形边长数字个数增 1,顶点相隔一行,故填 56.

渗透数学精神的数学文化题
答案与解析
1、 【答案】B (2013 课标 2 卷理 12) 2 ; 2

方法一:易得△ABC 面积为 1,利用极限位置和特值法.当 a=0 时,易得 b=1- 1 1 1 当 a= 时,易得 b= ;当 a=1 时,易得 b= 2-1> .故选 B. 3 3 3 方法二:(直接法)?
?x+y=1, ? ?y=ax+b ?

?y=

a+b ? b ? ,y=ax+b 与 x 轴交于?- ,0?,结合图形 a+1 ? a ?
2

1 a+b ? b? 1 b 2 与 a>0 , × ×?1+ ?= ?(a+b) =a(a+1)>0?a= . a 2 a+1 ? 1-2b ? 2 ∵a>0,∴ 2、 【答案】B 1 1 因为 an+1=an,所以 an=a1.又因为 bn+1+cn+1= (bn+cn)+an= (bn+cn)+a1,所以 bn+1 2 2 1 +cn+1-2a1= (bn+cn-2a1).因为 b1+c1-2a1=0,所以 bn+cn=2a1,故△AnBnCn 中边 BnCn 2 的长度不变,另外两边 AnBn,AnCn 的和不变.
n-1 1 ? 1? 因为 bn+1-cn+1=- (bn-cn),且 b1-c1>0,所以 bn-cn=?- ? (b1-c1),当 n→+∞ 2 ? 2?

1 2 >0?b< ,当 a=0 时,极限位置易得 b=1- ,故答案为 B. 1-2b 2 2

b2

时,bn→cn,也就是 AnCn→AnBn,所以三角形△AnBnCn 中 BnCn 边上的高随着 n 的增大而增大.设 1 三角形△AnBnCn 中 BnCn 边上的高为 hn,则{hn}单调递增,所以 Sn= a1hn 是增函数.答案为 B. 2

3、 【答案】C (本题为 2014 全国Ⅰ理 11,在《高中数学解题研究》第 1 辑《小题大做》

中有多种精彩解法) 由已知 a ? 0 , f ?( x) ? 3ax ? 6 x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?
2

2 , a

当 a ? 0 时, x ? ? ??, 0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0, 函数 f ( x) 在 ? ??, 0 ? ,?

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? , ?? ? , f ?( x) ? 0 ; a? ?a ?

? 2? ?2 ? , ?? ? 上单调增,在 ? 0, ? 上单调减,且 f (0) ? 1 ? 0 , f ( x) 有 ? a? ?a ?

小于零的零点,不符合题意. 当 a ? 0 时, x ? ? ??,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? , 0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0, ?? ? , f ?( x) ? 0 .函数 f(x) a? ?a ?

在 ? ??,

? ?

2? ?2 ? 在 ? , 0 ? 上单调增, 要使 f ( x) 有唯一的零点 x0 且 x0 ? 0 , ? ,? 0, ?? ? 上单调减, a? ?a ?
2 a

只需 f ( ) ? 0 ,即 a 2 ? 4 , a ? ?2 . 4、 【答案】B 【解析】由三视图,可判断几何体为四面体,且四面体的长,宽,高均为 4 ,故可考虑于棱 长 为 4 的 正 方 体 中 研 究 , 如 图 所 示 , 该 四 面 体 为

D ? ABC, AB ? BC ? 4, AC ? 4 2, DB ? DC ? 2 5 ,

DA ? (4 2)2 ? 4 ? 6 ,故最长的棱长为 6 ,选 B

5、 【答案】A

【解析】设 g ? x ? ?

f ? x? xf ' ? x ? ? f ? x ? ,则 g(x)的导数为: g ' ? x ? ? , x2 x f ? x? 为减函数, x
? f ? x? x ? g ? x? ,

∵当 x>0 时总有 xf′(x)<f(x)成立,即当 x>0 时,g′(x)恒小于 0, ∴当 x>0 时,函数 g ? x ? ? 又∵ g ? ? x ? ?

f ??x? ?x

?

? f ? x? ?x

∴函数 g(x)为定义域上的偶函数又∵ g ? ?1? ? ∴函数 g(x)的图象近似可看成函数 y ? 1 ? x 2 ,

f ? ?1? ?1

?0

数形结合可得,不等式 f(x)>0 ? x ? g ( x) ? 0 ,进而得 ?

? x?0 ? x?0 或? ,得 ?g ? x? ? 0 ?g ? x? ? 0

0<x<1 或 x<-1. ∴f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1) . 6、 【答案】D 【解析】设 g ( x) ? e x (2 x ? 1), h( x) ? ax ? a , 由题设存在唯一的整数 x 0 使得在直线

y ? a( x ? 1) 的 下 方 . 因 g / ( x) ? e x (2 x ? 1) , 故 当 x ? ?

1 时 , g / ( x) ? 0 , 函 数 2

1 当 x ? ? 时, g / ( x) ? 0 ,函数 g ( x) ? e x (2 x ? 1) 单调递增. g ( x) ? e x (2 x ? 1) 单调递减; 2
所以当 x ? ?

1 2 1 时 , 函数 g ( x) ? e x (2 x ? 1) 取最小值 g mi n ( x) ? g (? ) ? ? ? ?1 , 而 2 2 e

g (0) ? ?1, g (1) ? 3e ? 0 , 且 直 线 y ? a( x ? 1) 恒 过 点 (1,0) , 故 由 题 设 须 满 足

?0 ? a ? ?1 3 ?3 ? ,即 1 ? a ? .故应填答案 ? ,1? .选 D ? ?1 2e ? 2e ? ?? a ? a ? ?3e
7、 【答案】 ( 6 ? 2, 6 ? 2)
(本题为 2015 新课标全国卷Ⅰ理科 16,在《高中数学解题研究》第 1 辑《小题大做》中有 多种精彩解法) 【解析】如下图,动态地审视平面四边形 ABCD :边 BC ? 2 固定, ?B ? ?C ? 75 固定,
o

延长 BA 、 CD 交于点 P .虽然 ?BAD ? 75 ,但 AB 边并不固定,平行移动 AD 边,则容
o

易看出 BQ ? AB ? BP , 在 ?BCQ 中,易求 BQ ? 6 ? 2 ;在 ?BCP 中,易求 BP ? 6 ? 2 .则 AB 的取 值范围是 ( 6 ? 2, 6 ? 2) .

P

A 75° Q 75° 75° B 75° C D

8、 【答案】C (本题为 2016 全国Ⅲ理 12,在《高中数学解题研究》第 1 辑《小题大做》中有多种精彩 解法)

a8 ? 1 , 【解析】 采取分类计数法: 根据题意可得该 “规范 01 数列” 共有八项, 其中 a1 ? 0 ,
则不同的“规范 01 数列”的前四项按照“0”的个数进行分类讨论:若前四项全为 0,则后 四项一定全为 1,这样的“规范 01 数列”只有 1 个;若前四项有 3 个 0,则前四项的排列有 3 种,后四项的排列也有 3 种,这样的“规范 01 数列”有 3×3=9 个;若前四项有 2 个 0, 则前四项的排列有 2 种,后四项的排列也有 2 种,这样的“规范 01 数列”有 2×2=4 个.故 不同的“规范 01 数列”的总数为 14 种. 故选 C. 9、 【答案】B (本题为 2016 全国 II 理 12,在《高中数学解题研究》第 1 辑《小题大做》中有多种精彩 解法) 【解析】 根据抽象函数的对称性, 由 f (? x) ? 2 ? f ( x) 得 f ( x) 关于 (0,1) 对称, 而y?

x ?1 1 ? 1 ? 也关于 (0,1) 对称, x x
' '

∴对于每一组对称点 xi ? xi ? 0 , yi ? yi ? 2 ,

? ? ( xi ? y i ) ? ? xi ? ? y i ? 0 ? 2 ?
i ?1 i ?1 i ?1

m

m

m

m ?m 2 ,

故选 B.

10、 【答案】B (本题为 2016 全国Ⅰ理 12,在《高中数学解题研究》第 1 辑《小题大做》中有多种精彩

解法) 【解析】( 淘汰法) 由 f (?

?
4

) ? 0 得, ?

?
4

? ? ? ? k? ( k ? Z ), ? ? k? ?

?
4

?.

当 ? ? 5 时,k 只能取 ? 1 ,? ? 是图像的对称轴,符合题意; x ? ?

? ? ? ? , f ( x) ? sin ( 5 x ? ) .则 f ( ) ? ? 1 , x ? 4 4 4 4

? ? 19? 34? ? ? ? 5? ? , , ? , 5x ? ? ? ? ,这个区间不含 4 ? 36 36 ? ? 18 36 ?

2n ? 1 ? ? 5? ? ? ( n ? Z )中的任何一个, f ( x) 在 ? , ? 单调,符合题意. 2 ? 18 36 ?
当 ? ? 7 时,k 只能取 ? 2 ,? ? ? 是图像的对称轴,符合题意; x ? ?

?
4

, f ( x) ? sin( 7 x ?

?

? ? ) .则 f ( ) ? ? 1 , x ? 4 4 4

? ? 5? 26? ? 1 ? ? 5? ? , ? ,7 x ? ? ? , ? ,这个区间含有 ? , 4 ? 36 36 ? 2 ? 18 36 ?

则 f ( x) 在 ?

? ? 5? ? , ? 不可能单调,不符合题意. ? 18 36 ?

当 ? ? 9 时, k 只能取 ? 2 , ? ? 图像的对称轴, 符合题意; x? ?

? ? ? ? , f ( x) ? sin( 9 x ? ) .则 f ( ) ? 1 , x ? 是 4 4 4 4

? ? 27? 54? ? 2n ? 1 ? ? 5? ? 这个区间不含 ? , 9x ? ? ? , ?, ?, 4 ? 36 36 ? 2 ? 18 36 ?
? ? 5? ? , ? 单调,符合题意. ? 18 36 ?

( n ? Z )中的任何一个, f ( x) 在 ?

当 ? =11 时,k 只能取 ? 3 ,? ? ? 是图像的对称轴,符合题意; x ? ?

?
4

, f ( x) ? sin( 11x ?

?

? ? ) .则 f ( ) ? 1 , x ? 4 4 4

? ? 13? 46? ? ? ? ? 5? ? , , ? ,11x ? ? ? ? ,这个区间含有 , 4 ? 36 36 ? 2 ? 18 36 ?

则 f ( x) 在 ?

? ? 5? ? , ? 不可能单调,不符合题意. ? 18 36 ?

综上, ? 的最大值为 9.故选 B.

11、解:(1)f′(x)= e x ?

1 x?m
x

由 x=0 是 f(x)的极值点得 f′(0)=0,所以 m=1. 于是 f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f′(x)= e ?

1 x ?1

函数 f′(x)= e ?
x

1 在(-1,+∞)单调递增,且 f′(0)=0. x ?1

因此当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当 m=2 时,f(x)>0. 当 m=2 时,函数 f′(x)= e ?
x

1 在(-2,+∞)单调递增. x?2

又 f′(-1)<0,f′(0)>0, 故 f′(x)=0 在(-2,+∞)有唯一实根 x0,且 x0∈(-1,0). 当 x∈(-2,x0)时,f′(x)<0; 当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当 x=x0 时,f(x)取得最小值. 由 f′(x0)=0 得 e 0 =
x

1 ,ln(x0+2)=-x0, x0 ? 2

( x0 ? 1) 2 1 故 f(x)≥f(x0)= +x0= ?0. x0 ? 2 x0 ? 2
综上,当 m≤2 时,f(x)>0. 12、 【答案】(1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4. 而 f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. 2 x (2)由(1)知,f(x)=x +4x+2,g(x)=2e (x+1). 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则 F′(x)=2kex(x+2)-2x-4 x =2 (x+2)(ke -1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1. 令 F′(x)=0 得 x1=-lnk,x2=-2. 2 (ⅰ)若 1≤k<e ,则-2<x1≤0,从而当 x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当 x∈(x1,+∞) 时,F′(x)>0,即 F(x)在(-2, x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增,故 F(x)在[-2,

+∞)的最小值为 F(x1).而 F (x1)=2x1+2-x -4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. 2 2 x -2 (ⅱ)若 k=e ,则 F′(x)=2e (x+2)( e -e ).从而当 x>-2 时,F′(x)>0,即 F(x) 在(-2,+∞)单调递增.而 F(-2)=0,故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒 成立. (ⅲ)若 k>e2, 则 F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当 x≥-2 时, f(x)≤kg(x) 不可能恒成立. 综上,k 的取值范围是[1,e2].
13、 【答案】 (1) f ( x) 在 (??,??) 上单调递增(2) b 的最大值为 2 (3) ln 2 的近似值

为 0.693 分析: (1)直接求导,利用基本不等式可达到目的; (2)先验证 g (0) ? 0 ,只需说明 g ( x) 在 [0 ? ?) 上为增函数即可,从而问题转化为“判

断 g ?( x) ? 0 是否成立”的问题. (3) 根据第 (2) 问的结论, 设法利用 1.4142 ? 2 ? 1.4143 , 并寻求 ln 2 , 于是在 b ? 2 及 b>2 的情况下分别计算 g (ln 2) ,最后可估计 ln 2 的近似值. 试题解析: (1) f ?( x) ? e x ? e ? x ? 2 ? 0 ,当且仅当 x ? 0 时,等号成立, 所以 f ( x) 在 (??,??) 上单调递增. (2) g ( x) ? f (2 x) ? 4bf ( x) ? e 2 x ? e ?2 x ? 4b(e x ? e ? x ) ? (8b ? 4) x ,

g ?( x) ? 2[e 2 x ? e ?2 x ? 2b(e x ? e ? x ) ? (4b ? 2)] ? 2[e x ? e ? x ? 2)(e x ? e ? x ? 2b ? 2) .
(ⅰ)当 b ? 2 时, g ?( x) ? 0 ,等号仅当 x ? 0 时成立,所以 g ( x) 在 (??,??) 上单调递 增. 而 g (0) ? 0 ,所以对任意 x ? 0,g ( x) ? 0 . (ⅱ)当 b ? 2 时,若 x 满足 2 ? e x ? e ? x ? 2b ? 2 ,即 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b 2 ? 2b ) 时,

g ?( x) ? 0 .而 g (0) ? 0 ,因此当 0 ? x ? ln(b ? 1 ? b 2 ? 2b ) 时, g ( x) ? 0 .不符合题
意 综上, b 的最大值为 2 . (3)由(2)知, g (ln 2 ) ? 当 b ? 2 时, g (ln 2 ) ?

3 ? 2 2b ? 2(2b ? 1) ln 2 . 2

3 8 2 ?3 ? 4 2 ? 6 ln 2 ? 0 , ln 2 ? ? 0.6928 ; 2 12

当b ?

3 2 ? 1 时, ln(b ? 1 ? b 2 ? 2b ) ? ln 2 , 4

3 g (ln 2 ) ? ? ? 2 2 ? (3 2 ? 2) ln 2 ? 0 , 2
ln 2 ? 18 ? 2 ? 0.6934 . 28

所以 ln 2 的近似值为 0.693 . 14、 (1)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

a b b f '( x) ? ae x ln x ? e x ? 2 e x ?1 ? e x ?1 x x x .
由题意可得 f (1) ? 2 , f '(1) ? e .故 a ? 1 , b ? 2 .

2 f ( x) ? e x ln x ? e x ?1 x (2)证明:由(1)知, ,
从而 f ( x) ? 1 等价于

x ln x ? xe? x ?

2 e.

设函数 g ( x) ? x ln x ,则 g '( x) ? 1 ? ln x .

? 1? x ? ? 0, ? ? e ? , g '( x) ? 0 ; 所以当 ?1 ? x ? ? , ?? ? ?e ? 时, g '( x) ? 0 . 当 ? 1? ?1 ? 0, ? , ?? ? ? ? ? 上单调递增,从而 g ( x) 在 ? 0, ?? ? 上的最小值 故 g ( x) 在 ? e ? 上单调递减, ? e

1 1 g( ) ? ? e. 为 e h( x) ? xe? x ? 2 ?x e ,则 h '( x) ? e (1 ? x) .

设函数

1 ,? ? ) 时,h '( x) ? 0 .故 h( x) 在 (0,1) 上单调递增, 所以当 x ? (0,1) 时,h '( x) ? 0 ; 当 x ?(
在 (1, ??) 上单调递减,从而 h( x) 在 (0, ??) 上的最大值为 综上,当 x ? 0 时, g ( x) ? h( x) ,即 f ( x) ? 1 .

h(1) ? ?

1 e.

渗透数学应用的数学文化题
答案与解析
1、 【答案】A

【解析】记 A ? “一天的空气质量为优良” , B ? “第二天空气质量也为优良” ,由题意 可知 P ? A? ? 0.75, P ? A I B ? ? 0.6 ,所以 P ? B | A? ? 2、 【答案】 150 【解析】 由正弦定理得 ?ABC 中,AC ? 2BC ? 100 2 ,?MAC 中, 故 MA ? 100 3 ,所以在 ?AMN 中, MN ? MA ?

P ? A I B? 4 ? ,故选 A. P ? A? 5
MA AC , ? o sin 60 sin 45o

3 ? 150 . 2

3、 【答案】D 【解析】A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫的排放量比 2007 年的排放量明显减少且减 少的最多, 故 A 正确; B 选项从 2004 年—— 2006 年二氧化硫的排放量越来越多, 从 2007 年开始二氧化硫排放量整体呈现逐年的态势,故 B 正确;C 选项,从图中可看出,2006 年以来我国二氧化硫排放量越来越少,故 C 正确;D 选项, 2006 年以来,我国二氧化 硫的年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故选 D. 4、 【答案】C 【 解 析 】 从

1, 2,3, 4,5







3













4 ?, 4 ?, ?1, 2,3?, ?1, 2, 4?, ?1, 2,5?, ?1,3, ?1,3,5?, ?1, 4,5?, ? 2,3, 5 ?, ? 2,3,5?, ? 2, 4, ?3, 4,5? 共 10 种不同的方法,其中只有 ? 3, 4,5? 为勾股数,故这三个数
构成一组勾股数的概率为

1 ,故选 C. 10

5、 【答案】A 【解析】该同学通过测试有两种情况,一是 3 次全中,二是恰好投中 2 两次,所以所求
3 2 2 概率为 0.6 ? C3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.648. 选 A.

6、 【答案】D 【解析】由图可知 0?C 均在虚线框内,所以各月的平均最低气温都在 0℃以上,A 正确; 由图可在七月的平均温差大于 7.5?C ,而一月的平均温差小于 7.5?C ,所以七月的平均 温差比一月的平均温差大, B 正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在 5?C ,基本相同,C 正确;由图可知平均最高气温高于 20℃的月份有 3 个或 2 个,所以 不正确.故选 D. 7、 【答案】B
2 【解析】由题意,小明从街道的 E 处出发到 F 处最短有 C4 条路,再从 F 处到 G 处最短
2 1 1 共有 C3 条路,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 C4 ? C3 ? 18 条,故选 B.

8、 【答案】A 【解析】将 4 中颜色的花种任选两种种在一个花坛中,余下 2 种种在另一个花坛,有 6 种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的种数有 2 种,故概率为 ,选 A.

1 3

9、 【答案】B 【解析】设小明到达时间为 y,当 y 在 7:50 至 8:00,或 8:20 至 8:30 时,

小明等车时间不超过 10 分钟,故 P=
10、 【答案】 216000

20 1 ? 40 2

【解析】设生产产品 A 、产品 B 分别为 x 、 y 件,利润之和为 z 元,那么

?1.5 x ? 0.5 y 150, ? x ? 0.3 y 90, ? ? ① ?5 x ? 3 y 600, ? x 0, ? ? ? y 0.
目标函数 z ? 2100 x ? 900 y . 二元一次不等式组①等价于

?3 x ? y 300, ?10 x ? 3 y 900, ? ? ?5 x ? 3 y 600, ② ? x 0, ? ? ? y 0.
作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图) ,即可行域.

将 z ? 2100 x ? 900 y 变 形 , 得 y ? ?

7 z 7 ,平行直线 y?? x ,当直线 x? 3 900 3

7 z 经过点 M 时, z 取得最大值. y ?? x? 3 900
解方程组 ?

?10 x ? 3 y ? 900 ,得 M 的坐标 (60,100) . ?5 x ? 3 y ? 600

所以当 x ? 60 , y ? 100 时, zmax ? 2100 ? 60 ? 900 ?100 ? 216000 . 故生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000 元.


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