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专题:探讨数列求和问题的基本类型


专题:探讨数列求和问题的基本类型
一、 利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3、 S n ?

? k ? 2n(n ? 1)
k ?1 n

n

1

4、 S n ?

?k
k ?1 n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 1 ? [ n(n ? 1)]2 2

5、 S n ?

?k
k ?1

3

例 1 、 已 知

?an ?

? q ? 1的 ) 等比数列,求 是 一 个 首 项 为 a , 公 比 为 q( 0

2 Sn ? a12 ? a 22? a 3?

? an (n2? N )

*

例 2、已知数列 ?an 为等差数列,且 a p =

?

1 1 * , aq ? ( p ? q , p , q ? N ) ,求 S p?q 。 p q

1

例 3、 已知 log3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和。 log2 3

例 4、 设 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ???? ? n,(n ? N * ) ,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

二、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再 把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) 例 5、求包含在正整数 m 与 n (m ? n) 之间的分母为 3 的所有不可约分数之和。

例 6、求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

2

例 7、设数列 ?an ? 是公差为 d ,且首项为 a0 ? d 的等差数列,求和:
0 1 n S n?1 ? a0Cn ? a1Cn ? ? ? an Cn

0 1 2 n 例 8、求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n

例 9、已知函数 f ? x ? ?

1 4 ?2
x

?x ? R ? ,点 P1 ?x1 , y1 ? , P2 ?x2 , y2 ? 是函数 f ?x ? 图象上的两个
1 . 2
(Ⅱ)若数列 ?an ? 的通项公式为

点,且线段 P 1P 2 的中点 P 的横坐标为 (Ⅰ)求证:点 P 的纵坐标是定值;

?n? an ? f ? ? ?m?

? m ? N, n ? 1,2, ???, m? 求数列 ?an ?的前 m 项的和 S m 。

3

三、累加法
例 10、求和 Sn ? 12 ? 22 ? 32 ???? ? n2

四、乘公比错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列

?an ? bn ? 的前 n 项和,其中 ?an ? 、 ?bn ? 分别是等差数列和等比数列。
例 11、求和 S n ?

3 5 7 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? n 2 2 2 2

例 12、 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………①

【练习】1、数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和。 2 2 2 2
2

2、求和 Sn ? 1 ? 2x ? 3x ?

? nxn?1 ? x ? 0?

4

五、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等 差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例 13、求数列 1 , 2 ,3 , ???, ( n ?

1 2

1 4

1 8

1 ), 的前 n 项和 Sn 2n

例 14、求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7, ???, n ?1 ? 3n ? 2 , ??? a a a

【练习】1、求数列 ?n(n ?1)(2n ? 1)? 的前 n 项和。 2、求数列 1,1 ?

1 1 1 ,1 ? ? , 2 2 4

,1 ?

1 1 ? ? 2 4

?

1 的和。 2n ?1

六、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分 解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的,通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1) (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
5

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列 ?bn ? 的前 n n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

例 15、在数列 ?an ? 中, an ? 项的和 。

例 16、 设定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意实数 x1 , x2 满足关系式 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2, 对正整数 n, 令 an ? f (n), 且 a1 ? 1 ,设 bn ? an an?1 ,求数列 {

1 } 的和 Sn bn

例 17、求证:

1 1 1 cos1? ? ? ? ? ? ? ? cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?

【练习】1、求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和。

2、已知数列{ an }的通项 an ?

? 3n ? 2 ?? 3n ? 1?

1

,求此数列前 n 项和 Sn 。

3、求证: 2 x ? tan 2 x ? tan 3 x ? ??? ? tan(n ? 1) x ? tan nx ?

tan nx ?1 tan x
6

七、合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和 时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn 例 18、在各项均为正数的等比数列中,若 a5a6 ? 9 ,求 log3 a1 ? log3 a2 ???? ? log3 a10 的值。

例 19、求 cos1 ? cos 2 ? cos3 ? ??? ? cos178 ? cos179 的值。

八、数列的“通项分析法”求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭 示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. 例 20、求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和。 ? ?
n个1

例 21、已知数列 ?an ? : a n ?

? 8 , 求? (n ? 1)(a n ? an?1 ) 的值。 (n ? 1)(n ? 3) n ?1

7

例 22、已知数列 ?an ? 为等差数列,公差 d ? 0 ,其中 ak1 , ak2 , ak3 , ???, akn ,恰为等比数列,若

k1 ? 1, k2 ? 5, k3 ? 17 ,求 k1 ? k2 ? k3 ? ??? ? kn 。

九、分部求和
例 23、已知数列 {an } 的通项 an ? ?

?6n ? 5 (n为奇数) ?2
n

(n为偶数)

,求其前 n 项和 Sn .

例 24、求和 sn ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ??? ? ? ?1?

n ?1

? 2n ? 1?

例 25、已知等差数列 ?an ? 的首项为 1,前 10 项的和为 145,求 a2 ? a4 ???? ? a2n

8

?1? 例 26、数列 ?an ? 的相邻的项 an, an?1 是方程 x ? cn x ? ? ? ? 0 的两根,且 a1 ? 2 ,求无穷数列 ?2? ?cn? 的各项的和。
2

n

十、排列组合性质法
对于通项是(或可化为)连续自然数和的求和问题,可将通项用排列或组合数表示 其和即可用排列组合性质求得。 例 27、求和 1? 4 ? 2 ? 7 ?

? n(3n ? 1)

例 28、求和: S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? ? n(n ? 1)(2n ? 1) 。

9

十一、递推法求和
例 29、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 与 an 满足:a n , S n , S n ? 求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 。

1 (n ? 2) 成等比数列,且 a1 ? 1 , 2

十二、探索周期规律求和
例 30、 数列 ?an ? : a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002

10

探讨数列求和问题的基本类型
数列求和问题是数列的基本内容之一,也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多 样,技巧性也较强,以致成为数列的一个难点。鉴于此,下面就数列求和问题的常见题型及解 法技巧作一归纳,以提高同学们数列求和的能力。

二、 利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 2、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
6、 S n ?

? k ? 2n(n ? 1)
k ?1 n

n

1

7、 S n ?

?k
k ?1 n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 1 ? [ n(n ? 1)]2 2

8、 S n ?

?k
k ?1

3

例 1 、 已 知

?an ?

? q ? 1的 ) 等比数列,求 是 一 个 首 项 为 a , 公 比 为 q( 0

2 Sn ? a12 ? a 22? a 3?

? an (n2? N )
n?1

*

解:由已知得 an ? aq

,?

2 an a 2 q 2( n?1)?2 ?1 ? ? q2 2 2 2 n?2 an aq

11

2 2 是首项为 a ,公比为 q 2 的等比数列。 ? ? an

?

2 2 当 q ? 1 时, Sn ? a1 ? a2 ?

2 ? an ? na2 .

当 q ? 1 时, Sn ?

a12 [1 ? (q 2 )n ] a 2 (1 ? q 2 n ) ? 1 ? q2 1 ? q2

例 2、已知数列 ?an 为等差数列,且 a p =

?

1 1 , aq ? ( p ? q , p , q ? N * ) ,求 S p?q 。 p q

1 1 ? q p 1 解: 数列 ?an ? 为等差数列,? 公差 d ? = = p ? q pq p?q

a p ? aq

a p ? a1 ? ? p ? 1?

1 1 ? pq q

? a1 ?

1 1 1 ? ? p ? 1? ? q pq pq

由等差数列求和公式,得

S p ? q ? a1 ? p ? q ? ?
例 3、 已知 log3 x ?

? p ? q ?? p ? q ? 1? ?
2

1 ? p ? q ?? p ? q ? 1? ? pq 2 pq

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和。 log2 3

解:由 log3 x ?

1 ?1 得 log3 x ? ? log3 2 ,∴ x ? , 由等比数列求和公式得 2 log 2 3

1 1 (1 ? n ) n x ( 1 ? x ) 2 =1 ? 1 =2 Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n = 1 2n 1? x 1? 2
例 4、 设 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ???? ? n,(n ? N * ) ,求 f (n) ? 解:由等差数列求和公式得 S n ? ∴ f ( n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

1 1 n(n ? 1) , S n ?1 ? (n ? 1)(n ? 2) 2 2

n Sn = 2 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 n ? 64
12



1 64 n ? 34 ? n



( n?

1 8 n

?

) 2 ? 50

1 50

∴ 当

n?

1 8 ,即 n ? 8 时, f ( n) m a x ? 50 n

二、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再 把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) 例 5、求包含在正整数 m 与 n (m ? n) 之间的分母为 3 的所有不可约分数之和。 解:设满足条件的所有分数之和为 S ,则

1 2 1 1 2 1 S ? (m ? ) ? (m ? ) ? (m ? 1 ? ) ? ??? ? (n ? 1 ? ) ? (n ? ) ? (n ? ) , 3 3 3 3 3 3 1 2 1 1 2 1 倒序得 S ? (n ? ) ? (n ? ) ? (n ? 1 ? ) ? ? (m ? 1 ? ) ? (m ? ) ? (m ? ) 3 3 3 3 3 3 两式相加,得 2 S ? ( m ? n) ? ??? ? ( m ? n)
2( n ? m ) 项

? S ? n 2 ? m2
例 6、求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

解:设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 ………….
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?



将①式右边反序得 S ? sin 89 ? sin 88 ? ? ? ? ? sin 3 ? sin 2 ? sin 1 …… ② 又因为 sin x ? cos(90 ? x), sin x ? cos x ? 1 ,①+②得
? 2 2

2S ? (sin 2 1 ? cos2 1 ) ? (sin 2 2 ? cos2 2 ) ???? ? (sin 2 89 ? cos2 89 ) ? 89


S ?44.5

例 7、设数列 ?an ? 是公差为 d ,且首项为 a0 ? d 的等差数列,求和:
0 1 n S n?1 ? a0Cn ? a1Cn ? ? ? an Cn

解:因为 S n?1 ? a0 Cn ? a1Cn ? ? ? an Cn
0 1

n

13

n n?1 0 0 1 n S n?1 ? an Cn ? an?1Cn ? ? ? a0Cn ? a n Cn ? an?1Cn ? ? ? a0Cn
0 1 ?2Sn?1 ? (a0 ? an )C n ?(a1 ? an?1 )Cn ? 0 1 ? (a0 ? an )(Cn ? Cn ? n ? (an ? a0 )Cn

n ? Cn ) ? (a0 ? an )2n

?Sn?1 ? (a0 ? an ) ? 2n?1
0 1 2 n 例 8、求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n 0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn …………① ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn n n?1 1 0 把①式右边倒转过来得 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn m n ?m 0 1 n?1 n 又由 Cn 可得 S n ? (2n ? 1)Cn ………② ? Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

① ? ②得 ∴

0 1 n?1 n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

S n ? (n ? 1) ? 2 n
n

点评:此类问题还可变换为探索题形:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? (n ? 1)2 ? 1,是否存在
1 2 n 等差数列 ?bn ? 使得 an ? b1Cn 对一切自然数 n 都成立。 ? b2Cn ? ? ? bn Cn

例 9、已知函数 f ? x ? ?

1 4 ?2
x

?x ? R ? ,点 P1 ?x1 , y1 ? , P2 ?x2 , y2 ? 是函数 f ?x ? 图象上的两个
1 . 2
(Ⅱ)若数列 ?an ? 的通项公式为

点,且线段 P 1P 2 的中点 P 的横坐标为 (Ⅰ)求证:点 P 的纵坐标是定值;

?n? an ? f ? ? ?m?

? m ? N, n ? 1,2, ???, m? 求数列 ?an ?的前 m 项的和 S m 。
1 ? 1 ,所以, 2

(Ⅰ)证明:由题可知: x1 ? x 2 ? 2 ?

14

y1 ? y2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?

1 1 4 x1 ? 4 x2 ? 4 ? ? 4 x1 ? 2 4 x2 ? 2 ? 4 x1 ? 2 ?? 4 x2 ? 2 ?

4 x1 ? 4 x2 ? 4 4 x1 ? 4 x2 ? 4 1 ? ? x1 ? x2 x1 x2 x1 x2 4 ? 2 ? 4 ? 4 ? ? 4 2 ? 4 ? 4 ? 4? 2
y1 ? y 2 1 ? 是定值,问题得证. 2 4

点 P 的纵坐标 y P ?

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知:对任意自然数 m, n , f ?

?n? ?m?n? 1 ?? f? ? ? 恒成立. ? m? ? m ? 2

由于 S m ? f ?

?1? ?2? ? m ? 2? ? m ? 1? ? m? ? ? f ? ? ??? f ? ?? f? ? ? f ? ? ,故可考虑利用倒写求和的 ? m? ? m? ? m ? ? m ? ? m?

方法.即由于:

?1? ?2? Sm ? f ? ? ? f ? ? ? ?m? ?m? ?m? ? m ?1 ? ? f ? ?? f ? ?? f ?m? ? m ?

? m?2? ? m ?1 ? ? m? ?f? ?? f ? ?? f ? ? ? m ? ? m ? ? m? 所以, ? m?2? ?2? ?1? ? ?? ? f ? ?? f ? ? ? m ? ?m? ? m?
? ? m ?1 ? ? 1 ?? ?m? ??f ? ? ? f ? ?? ? 2 f ? ? ? m ?? ?m? ? ? m ?

? ?1? ? m ? 1 ?? ? ? 2 ? ? m ? 2 ?? 2Sm ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? f ? ? ? f ? ?? ? ? m ?? ? ? m ? ? m ?? ? ?m? 1 1 ? ? m ? 1? ? 2 f (1) ? ? 3m ? 1? 2 6
所以, S m ?

1 ?3m ? 1? 12

三、累加法
例 10、求和 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ???? ? n
2 2 2 2

解:由 (k ? 1) 3 ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1 得
3 3 2 (k ? 1) 3 ? k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1,令 k ? 1, 2,3, ???, n 得 , 2 ? 1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 1,

33 ? 23 ? 3 ? 22 ? 3 ? 2 ? 1 , 43 ? 33 ? 3 ? 32 ? 3 ? 3 ? 1 , ?????? (n ? 1)3 ? n3 ? 3n2 ? 3n ? 1
把以上各式两边分别相加得:
15

(n ? 1)3 ?1 ? 3(12 ? 22 ? 32 ???? ? n2 ) ? 3(1 ? 2 ? 3 ???? ? n) ? n
因此, S n ?

3 ? 3S n ? n(n ? 1) ? n 2



1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6

n 1 【想一想】 利用此法能否推导自然数的立方和公式: ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1

【点拨】 利用 (k ? 1)4 ? k 4 ? 4k 3 ? 6k 2 ? 4k ? 1进行累加.

四、乘公比错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列

3 5 7 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? n 2 2 2 2 3 5 7 2n ? 1 解: S n ? ? 2 ? 2 ? ??? ? , ① 2 2 2 2n 1 3 5 7 2n ? 1 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ?1 , ② 2 2 2 2 2 ① ? ②,得 1 3 2 2 2 2n ? 1 Sn ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 3 1 2n ? 1 = ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 2 5 1 2n ? 1 = ? n ?1 ? n ?1 . 2 2 2 1 2n ? 1 2n ? 5 ? 5? . 故 Sn ? 5 ? n?2 ? n 2 2 2n
例 11、求和 S n ?

?an ? bn ? 的前 n 项和,其中 ?an ? 、 ?bn ? 分别是等差数列和等比数列。

例 12、 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………① 解:由题可知,

?

(2n ?1) xn?1

? 的通项是等差数列 ?2n ?1? 的通项与等比数列 ?

xn?1

? 的通

项之积,设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ……② ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x
16



Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2
2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和。 2 2 2 2

【练习】1、数列

2、求和 Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ?

? nxn?1 ? x ? 0?

? n(n ? 1) ? 2 , ( x ? 1) n?2 ? 【答案】1、 S n ? 4 ? n ?1 ;2、 Sn ? ? 1 ? xn nx n 2 ? ? , ( x ? 1) 2 ? ? ?1 ? x ? 1 ? x

五、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等 差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

1 1 1 ,3 , , ( n ? n ), 的前 n 项和 Sn 4 8 2 1 1 1 1 解 S n ? (1 ? ) ? (2 ? ) ? (3 ? ) ? ? ( n ? n ) 2 4 8 2 1 1 1 1 = (1 ? 2 ? 3 ? ? n) ? ( ? ? ? ? n ) 2 4 8 2 n(1 ? n) 1 ? (1 ? n ) = 2 2
例 13、求数列 1 , 2 =1 ?

1 2

n n2 1 ? ? 2 2 2n

1 1 1 ? 4, 2 ? 7, ???, n ?1 ? 3n ? 2 , ??? a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a 1 1 1 将其每一项拆开再重新组合得 S n ? (1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? n ? = 2 2
例 14、求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

17

1 n (3n ? 1)n a ? a1?n (3n ? 1)n a ? 当 a ? 1 时, S n ? = ? 1 a ?1 2 2 1? a 1?
【练习】1、求数列 ?n(n ?1)(2n ? 1)? 的前 n 项和。 2、求数列 1,1 ?

1 1 1 ,1 ? ? , 2 2 4

,1 ?

1 1 ? ? 2 4

?

1 的和。 2n ?1

【答案】1、

1 n(n ? 1) 2 (n ? 2) ;2、 S n ? 2n ? 2 ? n ?1 2 2

六、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分 解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的,通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1) (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列 ?bn ? 的前 n n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

例 15、在数列 ?an ? 中, an ? 项的和 。

1 2 n n 2 1 1 ? ? ??? ? ? ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 2 n n ? 1 ? 2 2 8n ∴ 数列 ?bn ? 的前 n 项和= n ?1
解: ∵ an ? 例 16、 设定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意实数 x1 , x2 满足关系式 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2,

18

对正整数 n, 令 an ? f (n), 且 a1 ? 1 ,设 bn ? an an?1 ,求数列 {

1 } 的和 Sn bn

解:由题设有 f (n ? 1) ? f (n) ? f (1) ? 2 ? f (n) ? a1 ? 2 ? f (n) ? 3 即 an?1 ? an ? 3. 所以数列 {an } 是以 1 为首项,3 为公差的等差数列 从而 an ? 1 ? (n ?1) ? 3 ? 3n ? 2 ,于是 bn ? (3n ? 2)(3n ? 1). 因为

1 1 1 1 ? ( ? ) bn 3 3n ? 2 3n ? 1
1 3 1 4 1 4 1 7 ?( 1 1 1 1 n ? )] = (1 ? ) = 3n ? 2 3n ? 1 3 3n ? 1 3n ? 1

所以 S n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ?

1 1 1 cos1? ? ? ??? ? ? 例 17、求证: cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?
证明:设 S=左边,∵

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? (裂项) ? ? cos n cos(n ? 1)

S?


1 {(tan1 ? tan 0 ) ? (tan 2 ? tan1 ) ? (tan 3 ? tan 2 ) ? [tan 89 ? tan 88 ]} sin1

1 1 cos1? ? ? ? (tan 89 ? tan 0 ) ? cot 1 = = sin 1? sin 1? sin 2 1?

【练习】1、求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和。

2、已知数列{ an }的通项 an ?

? 3n ? 2 ?? 3n ? 1?

1

,求此数列前 n 项和 Sn 。

3、求证: 2 x ? tan 2 x ? tan 3 x ? ??? ? tan(n ? 1) x ? tan nx ? 【答案】1、 n ? 1 ?1 ;2、 S n ?

tan nx ?1 tan x

n ;3、考虑两角差的正切函数公式的变式,事实上,由 3n ? 1 tan kx ? tan(k -1) x tan kx ? tan(k -1) x ? 1 ,令 k ? 2,3, 4 ??? n ,各式相加即得结论。 tan x

七、合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和
19

时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn 例 18、在各项均为正数的等比数列中,若 a5a6 ? 9 ,求 log3 a1 ? log3 a2 ???? ? log3 a10 的值。 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10 例 19、求 cos1 ? cos 2 ? cos3 ? ??? ? cos178 ? cos179 的值。 解:设 Sn ? cos1 ? cos 2 ? cos3 ????? cos178 ? cos179 ∵ cosn? ? ? cos( 180? ? n? ) ∴ Sn ? (cos1 ? cos179 ) ? (cos 2 ? cos178 ) ????? (cos89 ? cos91 ) ? cos90 ? 0

八、数列的“通项分析法”求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭 示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. 例 20、求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和。 ? ?
n个1

解:由于 111 ?? ?1 ? ?? ?
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1
n个1

∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 ? ? =

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9



1 1 1 (10 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ? 1? ?1 ?? ??? ? 1) ? ? ? 9 9 ?? n个1
1 10(10n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9



20



1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) 81
? 8 , 求? (n ? 1)(a n ? an?1 ) 的值。 (n ? 1)(n ? 3) n ?1

例 21、已知数列 ?an ? : a n ?

解:∵ (n ? 1)(a n ? a n ?1 ) ? 8(n ? 1)[

1 1 ? ] (n ? 1)(n ? 3) (n ? 2)(n ? 4)

= 8 ?[

1 1 ? ] (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4)
1 1 1 1 ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4

=4?(



? (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 4? (
n ?1 n ?1

?

?

? 1 1 1 1 ? ) ? 8? ( ? ) n?2 n?4 n?4 n ?1 n ? 3

=4?( ? ) ? 8? =

1 3

1 4

1 4

例 22、已知数列 ?an ? 为等差数列,公差 d ? 0 ,其中 ak1 , ak2 , ak3 , ???, akn ,恰为等比数列,若

13 3

k1 ? 1, k2 ? 5, k3 ? 17 ,求 k1 ? k2 ? k3 ? ??? ? kn 。
解:设 ?an ? 首项为 a1 ,公差为 d ∵ a1 , a5 , a17 成等比数列
2 ∴ a5 ? a1 ? a17 ,

∴ (a1 ? 4d )2 ? a1 (a1 ? 16d ) , ,对 akn 项来说,

∴ a1 ? 2d ,设等比数列公比为 q ,则 q ? 在等差数列中: akn ? a1 ? (kn ? 1)d ? 在等比数列中: akn ? a1q
n?1

a5 a1 ? 4d ? ?3 a1 a1

kn ? 1 a1 2

? a13n?1 ,∴ kn ? 2 ? 3n?1 ?1
? (2 ? 3n?1 ?1)

∴ k1 ? k2 ????? kn ? (2 ? 30 ?1) ? (2 ? 31 ?1) ?

? 2(1 ? 3 ?
? 3n ? n ? 1

? 3n?1 ) ? n

注:本题把 k1 ? k2 ? k3 ? ??? ? kn 看成是数列 ?kn ? 的求和问题,着重分析 ?kn ? 的通项公式。这 是解决数列问题的一般方法,称为“通项分析法” 。
21

九、分部求和
例 23、已知数列 {an } 的通项 an ? ?

?6n ? 5 (n为奇数) ?2
n

(n为偶数)

,求其前 n 项和 Sn .

解:奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列,偶数项组成以 a2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列;当 n 为奇数时,奇数项有

n ?1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) 2 4(1 ? 4 ) (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n?1 ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 n 当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有 项, 2 n n (1 ? 6n ? 5) 2 4(1 ? 4 ) n(3n ? 2) 4(2n ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 ? (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? (n为奇数) ? ? 2 3 所以, Sn ? ? . n n (3 n ? 2) 4(2 ? 1) ? ? (n为偶数) ? 2 3 ?
例 24、求和 sn ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ?
* 解:当 n ? 2k k ? N 时,

? ? ?1?

n ?1

? 2n ? 1?

?

?

Sn ? S2 k ? ?1 ? 3? ? ? 5 ? 7 ? ? ??? ? ? ?? 4k ? 3? ? ? 4k ? 1? ? ? ? ?2k ? ?n
* 当 n ? 2k ? 1 k ? N 时,

?

?

S n ? S 2 k ?1 ? S 2 k ? a2 k ? ?2k ? ? ? ? ? 4k ? 1? ? ? ? 2k ? 1 ? n ? S n ? ? ?1?
n ?1

n

例 25、已知等差数列 ?an ? 的首项为 1,前 10 项的和为 145,求 a2 ? a4 ???? ? a2n

10 ? 9 ? d ? 145 得 d ? 3 , 2 n 则 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 2 ,∴ a2n ? 3 ? 2 ? 2
解:由 S10 ? 10a1 ?
2 n

?a2 ? a4 ????? a2n ? 3(2 ? 2 ????? 2 ) ? 2n ? 3

2(1 ? 2n ) ? 2n ? 3 ? 2n ?1 ? 2n ? 6 1? 2

22

?1? 例 26、数列 ?an ? 的相邻的项 an, an?1 是方程 x ? cn x ? ? ? ? 0 的两根,且 a1 ? 2 ,求无穷数列 ?2? ?cn? 的各项的和。
2

n

?1? 解:因为 an, an?1 是方程 x ? cn x ? ? ? ? 0 的两根,由韦达定理得 an ? an?1 ? cn ??? ①, ?2?
2

n

?1? an ? an?1 ? ? ? ②,由①得 c1 ? c2 ? c3 ????? cn ? a1 ? 2 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ????? an ? ? an?1 , ?2? ?1? ?1? 由②得 a2 n ? a2 n?1 ? ? ? ??? ③,又 a2 n?1 ? a2 n? 2 ? ? ? ?2? ?2?
a2 n ? 2 1 ? ??? ⑤,在②中令 a2 n 2
2n 2 n ?1

n

??? ④,

④÷③得:

,有 a1 ? a2 ?

1 1 1 1 ,? a2 ? ? ? 。 2 2 a1 4

由此可知数列 ?an ? 的偶数项组成以 a2 ?

1 1 为首项,以 q ? 为公比的等比数列。 4 2
2n

由②又可得

?1? a2 n?1 ? a2 n ? ? ? ?2?
可得 a3 ?

2 n ?1

a 1 ?1? 又 a2 n ? a2 n?1 ? ? ? ??? ⑦, ⑦÷⑥得: 2 n ?1 ? ??? ⑧, ??? ⑥, a2 n ?1 2 ?2?
)组成以 a3 ? 1 为首项,

在②中令

1 1 ? ? 1 ,由⑧知数列 ?an ? 的奇数项( 4 a2

以q ?
'

1 为公比的等比数列。 2

c1 ? c2 ? c3 ? ??? ? cn ? ??? ? a1 ? 2 ? ?? a2 ? a4 ? a6 ? ??? ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? ? ?

1 1 ? 2 ? 2( 4 ? ) ? 7。 1 1 1? 1? 2 2

23

十、排列组合性质法
对于通项是(或可化为)连续自然数和的求和问题,可将通项用排列或组合数表示 其和即可用排列组合性质求得。 例 27、求和 1? 4 ? 2 ? 7 ? 解

? n(3n ? 1)

n(3n ? 1) ? 3n(n ? 1) ? 2n
2 1 = 6Cn ?1 ? 2Cn
2 ? 6(C2 ? C32 ? 2 1 1 1 ? Cn ?1 ) ? 2(C1 ? C2 ? C3 ? 1 ? Cn )

3 2 ? 原式 ? 6Cn ? 2 ? 2Cn ?1

? n(n ? 1) 2
例 28、求和: S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? ? n(n ? 1)(2n ? 1) 。 解:? an ? n(n ? 1)(2n ? 4 ? 3) ? 2n(n ? 1)(n ? 2) ? 3n(n ? 1) 而连续自然数可表示为组合数的形式,于是,数列的求和便转化为组合数的求和问题了。
3 2 3 2 n(n ?1)(n ? 2) ? 6Cn ?2 , n(n ? 1) ? 2Cn?1 ?an ? 12Cn?2 ? 6Cn?1

3 3 3 2 2 2 ? S n ? 12(C3 ? C4 ? ? ? Cn ?2 ) ? 6(C2 ? C3 ? ? ? Cn?1 )
4 3 ? 12(C4 ? C4 ? 3 3 2 ? Cn ?2 ) ? 6(C3 ? C3 ? 2 4 3 ? Cn ?1 ) ? 12Cn?3 ? 6Cn?2

? Sn ? ?

12(n ? 3)(n ? 2)(n ? 1)n 6(n ? 2)(n ? 1)n ? 4! 3!

?

(n ? 3)(n ? 2)(n ? 1)n ? (n ? 2)(n ? 1)n 2

1 n(n ? 1) 2 (n ? 2) 2

点评:可转化为连续自然数乘积的数列求和问题,均可考虑组合化归法。

十一、递推法求和
例 29、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 与 an 满足:a n , S n , S n ? 求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 。 解:由题意: S n ? a n ( S n ? ),? a n ? S n ? S n ?1 ∴ Sn ? ( Sn ? S n ?1 )( S n ? ) ,
2
2

1 (n ? 2) 成等比数列,且 a1 ? 1 , 2

1 2

1 2

24



1 1 1 1 1 ( Sn ?1 ? S n ) ? S n S n ?1 ,∴ ? ? 2 ,∴ ? ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1 2 Sn Sn?1 Sn S1 1 . 2n ? 1

∴ Sn ?

十二、探索周期规律求和
例 30、 数列 ?an ? : a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002

解:设 S2002 ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? a2002 由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an 可得

a4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2, a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2, ?
?

a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ ∴

a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 S2002 ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? a2002

= (a1 ? a2 ? a3 ????a6 ) ? (a7 ? a8 ????a12 ) ???? ? (a6k ?1 ? a6k ?2 ???? ? a6k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002
= a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002 = a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 =5

25


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