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课时提升作业(十三)

一、选择题 1.函数 y=sin(2x+1)的导数是( ) (A)y′=cos(2x+1) (B)y′=2xsin(2x+1) (C)y′=2cos(2x+1) (D)y′=2xcos(2x+1) 2 2 2.(2013·合肥模拟)若抛物线 y=x 在点(a,a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 16,则 a=( (A)4 (B)±4 (C)8 (D)±8 3.(2013·宝鸡模拟)下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是( ) x 3 (A)f(x)=e (B)f(x)=x (C)f(x)=lnx (D)f(x)=sinx 4.(2013·赣州模拟)设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的可导函数,若 f(2)=2,且 线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是( (A)y=- 2x+2 (B)y=-4x+2 (C)y=4x+2 (D)y=- x+2

3 2 2

)

=-2,则曲

)

5.如图,其中有一个是函数 f(x)= x +ax +(a -1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数 f′(x)的图像,则 f(-1)为(

)

(A)2

(B)-

(C)3

(D))

6.(2013· 阜阳模拟)如图,函数 y=f(x)的图像在点 P 处的切线方程是 y=kx+b,若 f(1)-f′(1)=2,则 b=(

(A)-1 (B)1 (C)2 (D)-2 2 7.(2013· 新余模拟)设函数 f(x)=g(x)+x ,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处切线的斜率为( )

(A)4

(B)-

(C)2

(D))

8.已知直线 y=2x-m 是曲线 y=ln2x 的切线,则 m 等于( (A)0 (B)1 (C) (D)-

9.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)·(x -a2)·…·(x-a8),则 f′(0)=( ) 6 9 12 15 (A)2 (B)2 (C)2 (D)2 10.(2013·安庆模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x 和 y=ax + (A)-1 或(C)- 或(B)-1 或 (D)- 或 7

3 2

x-9 都相切,则 a 等于(

)

二、填空题 2 11.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=3x +2xf′(2),则 f′(5)= . x 12.(2013·宜春模拟)若过原点作 曲线 y=e 的切线,则切点的坐标为 ,切线的斜率为 . 2 13.(2013·镇江模拟)设 a>0 ,f(x)=ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为 [0, ],则点 P 到曲线 y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为

2

. .

14.(能力挑战题)若曲线 f(x)=ax +lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 三、解答题

15.(2013·宿州模拟)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式. (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形 面积为定值,并求此定值.

答案解析 1.【解析】选 C. y′=cos(2x+1)·(2x+1)′ =2cos(2x+1). 2.【解析】选 B.y′=2x,所以在点(a,a )处的切线方程为:y-a =2a(x-a),令 x=0,得 y=-a ;令 y=0,得 x= a, 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S= 〓|-a |〓| a|= |a |=16,解得 a=〒4. 3.【解析】选 D.设切点的横坐标为 x1,x2, 则存在无数对互相垂直的切线,即 f′(x1)·f′(x2)=-1 有无数对 x1,x2 使之成立, x 对于 A 由于 f′(x)=e >0, 所以不存在 f′(x1)·f′(x2)=-1 成立; 2 对于 B 由于 f′(x)=3x ≥0, 所以也不存在 f′(x1)·f′(x2)=-1 成立; 对于 C 由于 f(x)=lnx 的定义域为(0,+≦),

2 3 2 2 2

?f′(x)= >0; 对于 D,由于 f′(x)=cosx, 所以 f′(x1)·f′(x2)=cosx1·cosx2, 若 x1=2mπ,m∈Z,x2=(2k+1)π,k∈Z, 则 f′(x1)·f′(x2)=-1 恒成立. 4.【解析】选 B.因为 f(x)的周期为 2,所以 f(0)=f(2)=2. 由 =-2 得 =-2,即 f′(0)=-2,得 f′(0)=-4,故曲线 y=f(x)在点(0,2)处的 切

线方程为 y=-4x+2. 2 2 5.【解析】选 B.≧f′(x)=x +2ax+(a -1), ?导函数 f′(x)的图像开口向上. 又≧a≠0,?其图像 必为(3). 由图像特征知 f′(0)=0,且对称轴 x=-a>0, ?a=-1,故 f(-1)=- . 6. 解析】 C.由函数 y=f(x)的图像知,点 P(1,f( 1)),故 f′(1)=k,又 f(1)=k+b,由 f(1)-f′(1)=2 得 b=2. 【 选 7.【解析】选 A.因为曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,所以 g′(1)=2. 又 f′(x)=g′(x)+2x,故曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 f′(1)= g′(1)+2=4. 8.【解析】选 B.设切点为(x0,ln2x0),则由 y=ln2x 得 y′= ·2= ,

故

即

解得 9.【解析】选 C.因为 f′(x)=x′·[(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)]+x·[(x-a1)· (x-a2)·…·(x-a8)]′,所以 f′(0) =(-a1)(-a2)·…·(-a8)=a1·a2·… 4 4 12 ·a8=(a1·a8) =8 =2 . 10.【思路点拨】先设出切点坐标,再根据导数的几何意义写出切线方程,最后由点(1,0)在切线上求出切点 后再求 a 的值. 【解析】选 A.设过点(1,0)的直线与曲线 y=x 相切于点(x0, 即 y=3 x-2 .又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0= ,

2 3

),所以切线方程为 y-

=3

(x-x0),

当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax + Δ=( ) -4a(-9)=0, , x2

x-9 相切可得

解得 a=-

同理,当 x0= 时,由 y=

与 y=ax +

2

x-9 相切可得 a=-1,所以选 A.

【方法技巧】导数几何意义的应用 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主 要体现在以下几个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0). (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k. (3)已知过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时,常需设出切点 A(x0,f(x0)),利用 k= 解. 2 11.【解析】对 f(x)=3x +2xf′(2)求导,得 f′(x)=6x+2f′(2).令 x=2,得 f′(2)=-12.再令 x=5,得 f′(5)=6〓5+2f′(2)=6. 答案:6 12.【解析】y′=e ,设切点坐标为(x0,y0),则 斜率为 e. 答案:(1,e) e 13. 【解析】 ≧y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0, ],?0≤f′(x0)≤1,即 0≤2ax0+b ≤1.又≧a>0, ?≤x0≤ ] ,?0≤x0+ ≤ ,即点 P 到曲线 y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为[0, ].

x

求

=

,即

=

,?x0=1,因此切点的坐标为(1,e),切线的

答案:[0,

14.【思路点拨】求出导函数,根据导函数有零点,求 a 的取值范围. 【解析】由题意该函数的定义域为(0,+≦),且 f′(x)=2ax+ .因为存在垂直于 y 轴的切线,故此时斜率为 0,问题转化为 x>0 时导函数 f′(x)=2ax+ 存在零点的问题. 方法一(图像法):再将之转化为 g(x)=-2ax 与 h(x)= 存在交点. 当 a=0 时不符合题意,当 a>0 时,如图 1,数形结合可得没有交点,当 a<0 时,如图 2,此时正好有一个交点,故 有 a<0,应填(-≦,0).

方法二(分离变量法):上述也可等价于方程 2ax+ =0 在(0,+≦)内有解,显然可得 a=答案:(-≦,0) 15.【解析】(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3.

∈(-≦,0).

当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+

,

于是

解得

故 f(x)=x- .

(2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ y-(x0- )=(1+ )(x-x0).

知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(1+

)(x-x0),即

令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为(0,- ).令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的 交点坐标为(2x0,2x0), 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 S= |||2x0|=6.

故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6. 3 【变式备选】已知函数 f(x)=x +x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程. (2)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. 3 2 ≧f′(x)=(x +x-16)′=3x +1, ?在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13, ?切线的方程为 y=13(x-2)+( -6), 即 y=13x-32. (2)≧切线与直线 y=- x+3 垂直, ?切线的斜率 k=4. 设切点的坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=3 ?x0=〒1, ? 或 ?切点坐标为(1,-14)或(-1,-18), +1=4,

切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14.

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