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山西省(忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中)2019届高三第一次四校联考数学(文)试题

2019 届 高 三 年 级 第 一 次 四 校 联 考

数学(文)试题
命题: 康杰中学 忻州一中 临汾一中 长治二中 (满分 150 分,考试时间 120 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项 是 符合题目要求的.) 1. 记集合 M ? {x | x ? 1 ? 1 }, N ? {x | x2 ? 3x ? 0} ,则 M ? N ? A. x 2 ? x ? 3

?

?

B. x x ? 0 或x ? ?2

?

?

C. x ?2 ? x ? 3

?

?

D. x 0 ? x ? 2

?

?

2. 若 a, b ? R, 且ab ? 0, 则a ? b是 A.充分不必要条件 C.充要条件

1 1 ? 的 a b
B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知数列 {an } 是等差数列,且 a7 ? 2a4 ? ?1, a3 ? 0 ,则公差 d ? A.-2 B. ?

1 2

C.

4. 已知 ? 为第四象限的角,且 sin(

?

1 2

D.2

2 3 3 4 A. ? B. D. 4 4 3 5. 设 {an } 是由正数组成的等 比数列, Sn 为数列的前 n 项的和,已知 a2 a4 =1, S3 ? 7 ,则 S5 ?
A.

??) ?

4 , 则 tan ? ? 5 4 C. ? 3
33 4

15 2

B.

6.平面向量 a, b ,已知 a =(4,3), 2a ? b =(3,18),则 a, b 夹角的余弦值等于 8 A. 65 8 B.- 65 16 C. 65 则 2 x ? y 的最大值为 16 D.- 65

? ?

31 4

C.

D.

?

?

?

? ?

17 2

? x ? y ? ?1 ? 7 .若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ?3 x ? y ? 3 ?
A. 7 B.1

C.2

D.9

8.已知函数 f ( x ) 在 ? ??,2? 为增函数,且 f ( x ? 2) 是 R 上的偶函数,若 f (a) ? f (3) ,
·1·

则实数 a 的取值范围是 A. a ? 1 B. a ? 3 C. 1 ? a ? 3 D. a ? 1 或 a ? 3

9.设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? ) (? ? 0, ? ? ,则 A. f ( x) 在 (0, C. f ( x) 在 (0,

?
2

) 的 最小正周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x)

?
2

) 单调递减 ) 单调递增

B. f ( x) 在 ( D. f ( x) 在 (

? 3?
4 4 , , 4 4

) 单调递减 ) 单调递增

?
2

? 3?

10.设 P 为等边 ?ABC 所在平面内一点,满足 CP ? CB ? 2CA ,若 AB ? 1 ,则

PA ? PB 的值为
A.4 B. 3 C . 2 D. 1

n ?1 n ?1 11. 已知数列 {an } 的通项公式 a n ? ( ) [( ) ? ] ,则 {an }

1 2

1 2

1 3

A.最大项为 a1 ,最小项为 a3 C .最大项为 a1 ,最小项不存在

B.最大项为 a1 ,最小项为 a4 D.最大项不存在,最小项为 a4

12. 已 知 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f (1) ? 2 , 且 f ( x ) 的 导 函 数 f ?( x) 在 R 上 恒 有

f ' ( x) ? 1, 则不等式f ( x) ? x ? 1 的解集为
A. (1,??) B. (??,?1) C. (?1,1) D. (??,?1) ? (1,??)

二、填空 题: (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答题纸的相应位置. ) 13. 曲线 y ? x(2ln x ?1) 在点(1,1)处的切线方 程是__________ _____________

1 0 ? a ? n 2 a , ? n 2 ,若 a =3,则 a =____________ 14. 数列 {an } 满足 a n ?1 = ? 1 2012 5 1 ?2a n ? 1, ? a n ? 1 2
15. 在 ?ABC 中 , D 是 边 AC 上 的 点 , 且 AB ? AD,

2 AB ? 3BD, BC ? 2BD,



sin C ? ____________
16.设 f ( x) ? ?

?

2e x ?1
2

x?2

?log3 ( x ? 1) x ? 2

,则不等式 f (x ) ? 2 的解集为_ ___________
·2·

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分. 把解答过程书写在答题纸的相应位置. ) 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中 , 角 A 为 锐 角 , 记 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 设 向 量

π ? ? ? ? m ? (cos A, sin A), n ? (cos A,? sin A) ,且 m与n 的夹角为 . 3 ? ? (1)求 m ? n 的值及角 A 的大小;
(2)若 a ? 7, c ? 3 ,求 ?ABC 的面积 S .

18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 20, 前 n 项和记为 S n , 满足S10 ? S15 ,求 n 取何值时, S n 取 得最 大值,并求出最大值.

19. (本小题满分 12 分) 设锐角 ?ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 a, b, c 成等比数列,且

sin A sin C ?

3 4

(1) 求角 B 的大小; (2) 若 x ? [0, ? ) ,求函数 f ( x) ? sin(x ? B) ? sin x 的值域.

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 1 ? an (n ? N * ). (1)试求 {an } 的通项公式;

·3·

(2)若 bn ?

n ,试求数列 {bn } 的前 n 项和. an

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a ) ln x ?

1 ? 2ax , (a ? R) x

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (2)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间.

22.(本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? x(ln x ? m), g ( x ) ?

a 3 x ? x. 3

(1)当 m ? ?2 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 m ?

3 时,不等式 g ( x) ? f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

·4·

2019 届 高 三 第 一 次 四 校 联 考 数 学 ( 文 ) 参考答案
一、选择题:ADBAB 二、填空题: 13. CADAB BA

3x ? y ? 2 ? 0

14.

4 5

15.

6 6

16.

(1,2) ? ( 10,??)

三、解答题: 17.(1)

m ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1, n ? cos 2 A ? (? sin A) 2 ? 1,

π 1 ? . …………………………………………2 分 3 2 1 m ? n= cos2 A ? sin2 A ? cos 2 A ,? cos 2 A ? . …………………3 分 2 π π π 0 ? A ? , 0 ? 2 A ? π, ? 2 A ? , A ? . ………………5 分 3 6 2

? m ? n= m ? n ? cos

(2)

a ? 7, c ? 3 , A ?

π , 及 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,……7 分 6

? 7 ? b2 ? 3 ? 3b , 即 b ? ?1 (舍去)或 b ? 4. ……………………9 分
故S ?

1 bc sin A ? 3. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 2

19.解: (1) 因为 a, b, c 成等比数列,则 b2 ? ac .由正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C .
3 3 又 sin A sin C ? ,所以 sin 2 B ? .……………………2 分 4 4
·5·

因为 sinB>0,则 sin B ?

3 . 2

B ? (0, ) ,B= . 6 分 3 2
? ?

?

?

(2) 因为 B ?

π ? , 则 f ( x)? s i nx? ( 3 3

?)

s x i?n

xs i n ? cosx co ?s s x in 3 3

sin

3 3 ? ? sin x ? cos x ? 3sin( x ? ) . …………9 分 2 2 6
x ? [0,? ) ,则 ?

?
6

? x?

?
6

?

5? ? 1 ,所以 sin( x ? ) ?[? ,1] . 6 6 2

故函数 f ( x ) 的值域是 [?
1 20. ( 1 )n ? 1时, a1 ? 1 ? a1 ,? a1 ? 2

3 , 3] . 2

……………………12 分

…………………2 分

? S n ? 1 ? a n , S n ?1 ? 1 ? a n ?1 ,? a n ?1 ?

1 a n (n ? N ? ) 2

…………………4分

1 1 1 ? 数列{a n }是 首 项 为 , 公 比 为 的 等 比 数 列 , a n ? ( ) n , ?n ? N ? ? ………6 分 2 2 2
(2)bn ? n ? n ? 2 n , ??????????8分 an

? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n 2Tn ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n ?1 ?????9分 相减整理得: Tn ? (n ? 1 ) 2 n ?1 ? 2 ??????12分

21. 解: (I)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ?

f ?( x) ?

2 1 2x ?1 ? ? x x2 x2

1 x

( x ? 0) …………………………………………………2 分
1 (0, ) 2


x
f ?( x )

1 2
0 极小值

1 ( , ??) 2
+ 单调递增

f ( x)

单调递减

………………………………… ………………………………………………………4 分
∴当 x =

1 1 时, f ( x ) 极小值= f ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值…………………………5 分 2 2

(II) f ?( x) ?

2?a 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? 2 ? 2a ? x x x2

·6·

1 1 2a( x ? )( x ? ) 2 a ? ( x ? 0) …………………………………………6 分 x2 1 1 (1)当 ? ? 即a ? ?2 时, f ?( x) ? 0 恒成立. 2 a
∴ f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ??) …………………………………………………7 分

?a ? 0 ? (2)当 ? 1 1 即 ?2 ? a ? 0 时 ?? ? a ?2
1 1 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ), ( ? , ?? ) 2 a 1 1 f ( x) 的单调递增区间为 ( , ? ) ……………………………………………………9 分 2 a

?a ? 0 1 1 ? (3)当 ? 1 1 即 a ? ?2 时, f ( x) 的单调递减区间为 (0, ? ), ( , ?? ) a 2 ?? ? a ?2
1 1 f ( x) 的单调递增区间为 (? , ) …………………………………………… … …11 分 a 2 1 1 综上所述:当 a ? ?2 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ? ), ( , ?? ) a 2 1 1 f ( x) 的单调递增区间为 (? , ) a 2
当 a ? ?2 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ??) 当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x ) 的 单调递减区间为 (0, ), ( ?

1 1 , ?? ) 2 a 1 1 f ( x) 的单调递增区间为 ( , ? ) ……………………12 分 2 a

·7·

所 以 3 h(x)在 x = 1 处取得极大值 h(1)= ,也就是函数 h(x)在定义域上的最大值.因此要使 2 1? ? 3?ln x+ ? 2? ?

a≥

x2

3 3 恒成立,需有 a ≥ , a 的取值范围为 [ ,?? ) . ??12分 2 2

·8·


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