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贵州省遵义航天高级中学2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

2017—2018 学年度第一学期期末考试

高二数学(理科)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。每小题只.有.一.个.选项符合题意)

1. 设集合



,若 ,则 的取值范围是

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】由题意,集合 A={x||x-2|<1}={x|1<x<3},∵集合 B={x|x<m},A? B

∴m≥3,∴m 的取值范围是{m|m≥3}

故选 A.

2. 下列双曲线中,焦点在 轴上且渐近线方程为

的是

A.

B.

C.

D.

【答案】C

.................. 考点:1.双曲线的标准方程;2.双曲线的简单几何性质.

3. 已知

,则 =

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】





故选 B. 4. 下列说法正确的是 A.

,则

的充分条件是

B. 若

,则

的充要条件是

C. 对任意 , 的否定是存在



- 1 - / 14

D. 是一条直线, , 是两个不同的平面,若 , ,则 【答案】D 【解析】对于 A,当 a<0 时,由 b2-4ac≤0 不能得到 f(x)≥0,则“ax2+bx+c≥0”的充分 条件是“b2-4ac≤0”错误. 对于 B,若 m,k,n∈R,由 mk2>nk2 的一定能推出 m>n,但是,当 k=0 时,由 m>n 不能推 出 mk2>nk2,故 B 错误, 对于 C,命题“对任意 x∈R,有 x2≥0”的否定是“存在 x0∈R,有 x02<0”,故 C 错误, 对于 D,因为垂直于同一直线的两个平面互相平行,故 D 正确, 故选 D. 5. 体积为 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】试题分析:因为正方体的体积为 8,所以棱长为 2,所以正方体的体对角线长为 ,

所以正方体的外接球的半径为 ,所以该球的表面积为

,故选 A.

【考点】 正方体的性质,球的表面积 【名师点睛】与棱长为 的正方体相关的球有三个: 外接球、内切球和与各条棱都相切的球,

其半径分别为 、 和 .

6. 设 为抛物线

的焦点,曲线

与 交于点 ,

轴,则

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】试题分析:由抛物线的性质可得

,故选 D.

考点:1、直线与抛物线;2、抛物线的几何性质;3、反比例函数.

7. 已知 为等差数列 的前 项和,若

,则 =

A.

B.

C.

D.

【答案】C

- 2 - / 14

【解析】∵3a1+4a9=a17,∴4a1+4a9=a1+a17,即 4(a1+a9)=2a9,即 4a5=a9,则
故选 C. 8. 若执行右侧的程序框图,当输入的 的值为 时,输出的 的值为 ,则空白判断框中的条件 可能为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】由题意得

时判断框中的条件应为不满足,所以选 B.

9. 设函数

,则 是

A. 奇函数,且在 上是增函数

B. 奇函数,且在 上是减函数

C. 偶函数,且在 上是增函数

D. 偶函数,且在 上是减函数

【答案】A

【解析】函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),函数的定义域为(-1,1),函数 f(-x)=ln(1-x)

- 3 - / 14

-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f(x),所以函数是奇函数.排除 C,D,正确结果在 A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0 时,f(0)=0;x= 时,
,显然 f(0)<f ,函数是增函数,所以 B 错误,A 正确. 故选 A. 10. 如图,网格纸上小正方形的边长为 ,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该 多面体的体积为

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥,其直观图如下图所示:

故其体积 V



故选 A.

11. 已知三棱锥

的所有顶点都在球 的球面上, 满足





为球 的直径,且

,则点 到底面 的距离为

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】∵三棱锥 P-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,PA 为球 O 的直径且 PA=4,∴球心 O

是 PA 的中点,球半径 R=OC= PA=2,过 O 作 OD⊥平面 ABC,垂足是 D,∵△ABC 满足 AB=2 ,∠ACB

- 4 - / 14

=90°,∴D 是 AB 中点,且 AD=BD=CD= ∴OD= 离为 d=2OD=2 ,

∴点 P 到底面 ABC 的距

故选 C. 点睛:本题考查点到平面的距离的求法,关键是分析出球心 O 到平面 ABC 的距离,找到 的外接圆的圆心 D 即可有 OD⊥平面 ABC,求出 OD 即可求出点 到底面 的距离.

12. 过抛物线

的焦点 ,且斜率为 的直线交 于点 ( 在 轴上方), 为 的准线,

点 在 上且

,则 到直线 的距离为

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】抛物线 C:y2=4x 的焦点 F(1,0),且斜率为 的直线:y= (x-1),过抛物线 C:

y2=4x 的焦点 F,且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴上方),联立

可得 N(-1,2 ),NF 的方程为:y=- (x-1),即

则 M 到直线 NF 的距离为:



故选 D.

点睛:本题考查了直线与抛物线的位置关系,联立直线与抛物线得出点 M 坐标,从而得出点 N

坐标是关键,注意计算的准确性.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 已知向量

.若向量 与 垂直,则 =_______________

- 5 - / 14

【答案】

【解析】向量



7.

14. 若 满足约束条件

【答案】

, ,则

,则

,解得 m=7,故填

的最小值为 ______

【解析】

由约束条件

作出可行域如图,联立

,解得 ,化目标函数



,由图可知,当直线

过 时,直线在 轴上的截距最大, 有最小值为

,故答案为 . 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数 最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线); (2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最 后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.

15. 函数

的最大值为___________________

【答案】

【解析】∵

,∴当

时, 有最大值为 4,故答案为 4.

- 6 - / 14

16. 平面直角坐标系 中,双曲线

的渐近线与抛物线

交于点

.若

的垂心为 的焦点,则 的离心率为_______________

【答案】

【解析】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为

,

解方程组

得:

,所以点 的坐标为

,

抛物线的焦点 的坐标为: .因为 是

的垂心,所以

,

所以,

.

所以,

.

考点:1、双曲线的标准方程与几何性质;2、抛物线的标准方程与几何性质. 视频
三、解答题(本题 6 小题,第 17 小题 10 分,第 18-22 小题,每小题 12 分, 共 70 分。解. 答.应.写.出.文.字.说.明.、.证.明.过.程.或.演.算.步.骤.)

17. 已知 分别是

内角

的对边,

(I)求 的值; (II)若角 为锐角,求 的值及

的面积.

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析:(I)由已知等式化简得:sin2A=6sin2C,结合 sinA>0,sinC>0,可得

sinA=

,进而可求 sinA,由正弦定理可求 a 的值;

(II)由同角三角函数基本关系式可求 cosA 的值,由余弦定理得 b2-2b-15=0,解得 b 的值,

进而利用三角形面积公式即可计算得解.

试题解析:

- 7 - / 14

(I)由 得
均为三角形内角, ,

化简得:

又因为



所以

. 结合已知 ,

由正弦定理

,得

(II)由





由余弦定理

,得

解得 或

(舍负). 所以

18. 为数列 的前项 和,已知 , (I)求 的通项公式;

(II)设

,求数列 的前项 和.

【答案】(1)

(2)


. .
.

试题解析:(1)由

,可知



可得

,即



- 8 - / 14

由于 ,可得





,解得

(舍去), .

所以 是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为

(2)由

可知,



设数列 的前 项和为 ,则

考点:等差数列的通项公式;数列的求和.

19. 某大学艺术专业 名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法

从中随机抽取了 名学生,记录他们的分数,将数据分成 组:



,…,



并整理得到如下频率分布直方图:

(I)从总体的 名学生中随机抽取一人,估计其分数小于 的概率;

(II)已知样本中分数小于 的学生有 人,试估计总体中分数在区间

内的人数;

(III)已知样本中有一半男生的分数不小于 ,且样本中分数不小于 的男女生人数相等.

试估计总体中男生和女生人数的比例.

【答案】(1)0.4(2)20(3)

【解析】试题分析:(Ⅰ)根据频率=组距×高,可得分数小于 70 的概率为:1﹣(0.04+0.02)

×10;(Ⅱ)先计算样本中分数小于 40 的频率,进而计算分数在区间[40,50)内的频率,可

估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;

- 9 - / 14

(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于 70,且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等.进

而得到答案.

试题解析:

(1)由频率分布直方图知,

分数在

的频率为



分数在

的频率为



则分数小于 70 的频率为



故从总体的 400 名学生中随机抽取一人,估计其分数小于 70 的概率为 .

(2)由频率分布直方图知,

样本中分数在区间

的人数为

(人),

已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人,

所以样本中分数在区间

内的人数为

(人),

设总体中分数在区间

内的人数为 ,



,得 ,

所以总体中分数在区间

内的人数为 20 人.

(3)由频率分布直方图知,

分数不小于 70 的人数为

(人),

已知分数不小于 70 的男女生人数相等,

故分数不小于 70 分的男生人数为 30 人,

又因为样本中有一半男生的分数不小于 70,

故男生的频率为: ,

即女生的频率为: ,

即总体中男生和女生人数的比例约为: .

点睛:利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时,易出错,应注意区分这三者.在频

率分布直方图中:

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘

以小长方形底边中点的横坐标之和.

- 10 - / 14

20. 如图,在四棱锥

中,



.设 分别为

的中点.

(I)求证:平面

平面 ;

(II)求二面角

的平面角的余弦值.





【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析:(1)证明

,推出 平面 ,证明

,即可证明 平面

,然后证明平面

平面 ;(2)以点 为原点, 为 轴, 为 轴建立空间直角

坐标系,求出平面 的法向量,平面 的法向量,利用空间向量的数量积求解面角

的平面角的余弦值.

试题解析:(1)证明:∵ 、 分别为 , 的中点, 则

.又∵ 平面 ,

平面 ,∴ 平面 .在

中,



,∴

,又



,∴

.∵ 平面 , 平面 ,∴ 平面 ,又



,∴平面

平面 .

(2)∵ 平面

,∴平面

平面 ,又∵

,平面

平面



∴ 平面 ,

- 11 - / 14

如图,以点 为原点, 为 轴, 为 轴建立空间直角坐标系,∴











,设

是平面 的法向量,则

,即

,可取

,又平面 的法向量为





,由图可知,二面角

的平面角为锐角,∴二面



的平面角的余弦值为 .

21. 中心在原点的双曲线 的右焦点为

,渐近线方程为

.

(I)求双曲线 的方程;

(II)直线

与双曲线 交于 两点,试探究,是否存在以线段 为直径的圆过原点.

若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由.

【答案】(1)

(2) 存在,

【解析】试题分析:(Ⅰ)设双曲线的方程为

,(a>0,b>0),则有 c= , ,

c2=a2+b2,解得即可;

(Ⅱ)由

得(2-k2)x2+2kx-2=0,根据韦达定理和向量的数量积

试题解析:

得出关于 k 的方程,即可求出 k 的值.

(Ⅰ)设双曲线的方程为

,则有



,所以双曲线方程为



(Ⅱ)由





依题意有

解得



,①

- 12 - / 14













依题意有

,所以







所以

,化简得 ,

符合①,所以存在这样的圆.

22. 已知函数



(I)当

时,求函数

的最值;

(II)如果对任意的

,不等式

恒成立,求实数 的取值范围.

【答案】(1)



;(2)

【解析】试题分析:(I)化简函数

调性,然后求解函数的最值;

(II)由

,得

,判断函数的单

利用换元法令

,所以



恒成立.利用分类

讨论①当 时, ;②当 的取值范围.
试题解析: (Ⅰ) 又 在上 单调递减,


时,分离得

,求右侧函数的最小值即得实数 ;

(Ⅱ)由

,得



所以



①当 时, ;

恒成立.

- 13 - / 14

②当

时,

,令

由于 在 递减,在 递增.

所以

,则



综上知

.

点睛:本题考查不等式恒成立,分类讨论以及转化思想的应用,利用对数的运算性质对函数

进行化简,采用换元法,把函数化繁为简,进行变量分离解决恒成立问题是解题的关键.

- 14 - / 14


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