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高考函数部分经典大题解析


1.(2009 江苏卷)(本小题满分 16 分) 设

a 为实数,函数 f ( x) ? 2 x2 ? ( x ? a) | x ? a | .
f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; f ( x) 的最小值;
直接写出 (不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的 f ( x), x ? (a, ??) , ....

(1)若 (2)求

(3)设函数 h( x) ? 解集. 解

本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查

灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分 (1)若

f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ?
2

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1
2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? 2 ?? a ? ? 2a f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? ? 3 ? 3

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ( x) min
2

当 x ? a 时, f ( x) ? x2 ? 2ax ? a 2 , f ( x) min ? ?

??2a 2 , a ? 0 ? f (?a), a ? 0 ? ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f (a), a ? 0 ?

综上 f ( x)min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3

(3) x ? (a, ??) 时, h( x) ? 1 得 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 ,

? ? 4a2 ?12(a2 ?1) ? 12 ? 8a2
当a??

6 6 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 或a ? 2 2

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 6 ? ( x ? )( x ? )?0 当? 时,△>0,得: ? ?a? 3 3 2 2 ? ?x ? a

讨论得:当 a ? (

2 6 , ) 时,解集为 (a, ??) ; 2 2

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 2 ] ?[ , ??) ; 当 a ? (? ,? ) 时,解集为 (a, 2 2 3 3
当 a ? [?

a ? 3 ? 2a 2 2 2 , ??) . , ] 时,解集为 [ 2 2 3

2 2.(2007 广东) 已知 a 是实数,函数 f ?x? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间

?? 1,1? 上有零点,求 a 的取值范围.
解析 若 a ? 0 ,

f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上没有零点, 所以 a ? 0 .
2

令 ? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 0 ,

解得 a ?

?3 ? 7 2

①当 a ?

?3 ? 7 时, 2

y ? f ? x ? 恰有一个零点在 ??1,1? 上;

②当 f ?? 1? ? f ?1? ? ?a ? 1??a ? 5? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, y ? f ? x ? 在

??1,1? 上也恰有一个零点.
③当 y ? f ? x ? 在 ??1,1? 上有两个零点时, 则

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2 a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
解得 a ? 5 或 a ?

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 或? ?1 ? ? ?1 2 a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

?3 ? 5 2 ?3 ? 5 2

综上所求实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 a ?

3.(2007 年 安徽 省六 校 ) 已知函数 f ( x ) , g ( x) 在 R 上 有定义,对任意的 x, y ? R 有

f ( x ? y ) ? f ( x) g ( y ) ? g ( x) f ( y )
(1)求证: f ( x ) 为奇函数

且 f (1) ? 0

(2)若 f (1) ? f (2) , 求 g (1) ? g (?1) 的值 解 (1) 对 x?R , 令 x=u-v 则有 f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)g(u)f(v)]=-f(x) ??????4 分 (2)f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0

∴g(-1)+g(1)=1
2 4.(07 上海)已知函数 f ? x ? ? x ?

a ( x ? 0, a ? R) x

(1)判断函数 f ?x ? 的奇偶性; (2)若 f ?x ? 在区间 ?2,??? 是增函数,求实数 a 的取值范围。
2 解析 (1)当 a ? 0 时, f ?x? ? x 为偶函数;当 a ? 0 时, f ?x ? 既不是奇函数也不是

偶函数.
2 (2) 设 x2 ? x1 ? 2 ,f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? x1 ?

x ? x2 a a 2 ?x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? a? , ? 1 ? x2 ? x1 x2 x1 x2

由 x2 ? x1 ? 2 得 x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? 16 , x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 要使 f ?x ? 在区间 ?2,??? 是增函数只需 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 , 即 x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? a ? 0 恒成立,则 a ? 16 。 另解 (导数法) :f ' ? x ? ? 2 x ?

a , 要使 f ?x ? 在区间 ?2,??? 是增函数, 只需当 x ? 2 时, x2 a f ' ?x? ? 0 恒成立,即 2 x ? 2 ? 0 ,则 a ? 2 x 3 ? ?16,??? 恒成立, x

故当 a ? 16 时, f ?x ? 在区间 ?2,??? 是增函数。 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

? 2x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

?1? b ? 0, 解得 b ? 1 2?a 1 ? ?1 ? 2x ?1 ? 2 ?1 . 又由 f (1) ? ? f (?1)知 从而有 f ( x) ? x ?1 ,解得 a ? 2 ?? 2 2 ?a 4?a 1? a ? 2x ?1 1 1 ?? ? x , (2)解法一:由(1)知 f ( x) ? x ?1 2 2 ?1 2 ?2 由上式易知 f ( x) 在 R 上为减函数,又因 f ( x) 是奇函数,从而不等式
解 (1) 因为 f ( x) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0, 即

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (?2t 2 ? k ). 因 f ( x) 是 R 上的减函数,由上式推得 t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k. 1 2 即对一切 t ? R有3t ? 2t ? k ? 0, 从而 ? ? 4 ? 12 k ? 0, 解得 k ? ? 3 x ?2 ?1 , 解法二:由(1)知 f ( x) ? x ?1 2 ?2

又由题设条件得

?0 2 t ?2t ?1 ? 2 2 2t ?k ?1 ? 2 2 2 2 2 即 (22t ?k ?1 ? 2)(?2t ?2t ? 1) ? (2t ?2t ?1 ? 2)(?22t ?k ? 1) ? 0
2 2

?2 t

2

? 2t

?1

?

? 2 2t

2

?k

?1

整理得 2

3t 2 ?2t ?k

? 1 ,因底数 2>1,故 3t 2 ? 2t ? k ? 0
1 3

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12 k ? 0, 解得 k ? ? . 5.(2009 广东三校一模)设函数 f ?x? ? ?1 ? x? ? 2 ln?1 ? x? .
2

(1)求 f ?x ? 的单调区间; (2)若当 x ? ? ? 1, e ? 1? 时,(其中 e ? 2.718 ? )不等式 f ?x ? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)试讨论关于 x 的方程: f ?x ? ? x ? x ? a 在区间 ?0,2? 上的根的个数.
2

?1 ?e

? ?



(1)函数的定义域为 ?? 1,???, f ??x ? ? 2??x ? 1? ?

? ?

1 ? 2 x? x ? 2 ? . ? x ? 1? x ?1 ?

1分

由 f ??x ? ? 0 得 x ? 0 ; 由 f ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 , 分 则增区间为 ?0,??? ,减区间为 ?? 1,0? . (2)令 f ?? x ? ? 上递增, 由 f?

2分 3

4分

2 x? x ? 2 ? ?1 ? ? 0, 得 x ? 0 ,由(1)知 f ?x ? 在 ? ? 1,0? 上递减,在 ?0, e ? 1? x ?1 ?e ?
6分 8分

1 ?1 ? 1 ? 1? ? 2 ? 2, f ?e ? 1? ? e 2 ? 2 ,且 e 2 ? 2 ? 2 ? 2 , e ?e ? e

?1 ? ? x ? ? ? 1, e ? 1? 时, f ?x ? 的最大值为 e 2 ? 2 ,故 m ? e 2 ? 2 时,不等式 f ?x? ? m ?e ?
恒成立. 9分
2 (3)方程 f ?x ? ? x ? x ? a, 即 x ? 1 ? 2 ln?1 ? x ? ? a .记 g ?x ? ? x ? 1 ? 2 ln?1 ? x ? ,则

g ??x ? ? 1 ?

2 x ?1 ? .由 g ??x ? ? 0 得 x ? 1 ;由 g ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 1 . 1? x x ?1

所以 g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增. 而 g(0)=1,g(1)=2-2ln2,g(2)=3-2ln3,∴g(0)>g(2)>g(1) 10 分

所以,当 a>1 时,方程无解; 当 3-2ln3<a≤1 时,方程有一个解, 当 2-2ln2<a≤a≤3-2ln3 时,方程有两个解; 当 a=2-2ln2 时,方程有一个解; 当 a<2-2ln2 时, 方程无解. 字上所述,a ? (1,?? ) ? (?? ,2 ? 2 ln 2) 时,方程无解;
a ? (3 ? 2 ln 3,1]

13 分

或 a=2-2ln2 时,方程有唯一解; 时,方程有两个不等的解. 14 分

a ? (2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3]

6.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)定义在 R 上的函数 y=f(x), f(0)≠0, 当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围。 解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)] ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x) ?
1 f ( x)
2 2

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0 ∴ f ( x) ?
1 ? 0 又 x=0 时,f(0)=1>0 f ( ? x)

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x )=f[x+(2x-x )]=f(-x +3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x )>f(0)得:3x-x >0 ∴ 0<x<3 7.(2009 上海卷文) (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分
2 2 2 2 2

a ? 0.1 ? 15ln ,  x ? 6, ? ? a?x 10 分 .有时可用函数 f ( x) ? ? ? x ? 4.4 ,       ?6 ? x?4 ?
* 描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) , f ( x) 表

示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关.

(1)证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)- f(x)总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. 证明 (1)当 x ? 7 时, f ( x ? 1) ? f ( x) ?

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 x ? 7 时,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 故函数 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减 当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降 (2)有题意可知 0.1 ? 15ln 整理得

a ? 0.85 a?6

a ? e0.05 a?6

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] …….13 分 解得 a ? 0.05 e ?1
由此可知,该学科是乙学科……………..14 分 8. ( 2009 福 州 八 中 ) 某 造 船 公 司 年 造 船 量 是 20 艘 , 已 知 造 船 x 艘 的 产 值 函 数 为 2 3 R(x)=3700x+45x -10x (单位:万元) ,成本函数为 C(x)=460x+5000(单位:万元) ,又 在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x)。 (Ⅰ)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (提示:利润=产值成本) (Ⅱ)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (Ⅲ)求边际利润函数 MP(x)单调递减时 x 的取值范围,并说明单调递减在本题中的实际意 义是什么? 3 2 * 解 ( Ⅰ ) P(x)=R(x)-C(x)=-10x +45x +3240x-5000,(x ? N , 且 1 ≤ x ≤ 20); 2 * MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x +60x+3275,(x ? N ,且 1≤x≤19) (Ⅱ) P?( x) ? ?30 x 2 ? 90 x ? 3240 ? ?30( x ? 12)(x ? 9) . ∴当 0<x<12 时 P?( x) >0,当 x<12 时, P?( x) <0. ∴x=12,P(x)有最大值. 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大. 2 2 (Ⅲ)∵MP(x)=-30x +60x+3275=-30(x-1) +3305, * 所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减,x 的取值范围为[1,19],且 x ? N

MP( x) 是减函数的实际意义:随着产量的增加,每艘船的利润在减少.
9.(2009 福建省)已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国 际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部 分员工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给每位 待岗员工发放生活补贴 O.5 万元.据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1%时,留岗员 工每人每年可为企业多创利润(1-

81 )万元;当待岗员工人数 x 超过原有员工 1%时,留 100 x

岗员工每人每年可为企业多创利润 O.9595 万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待 岗? 解 设重组后,该企业年利润为 y 万元. ∵2000×1%=20,∴当 0<x≤20 且 x∈N 时, y=(2000-x)(3.5+1∵x≤2000×5%

81 324 )-0.5x=-5(x+ )+9000.81. 100 x x

∴x≤100,∴当 20<x≤100 且 x∈N 时,

y=(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595x+8919. ∴y?? ?
? 324 ) ? 9000.81, (0 ? x ? 20且x ? N), x ?? 4.9595 x ? 8919, (20 ? x ? 100且x ? N). ? ? 5( x ?

当 0<x≤20 时,有

324 )+9000.81≤-5×2 324 +9000.81=8820.81, x 324 当且仅当 x= ,即 x=18 时取等号,此时 y 取得最大值. x
y=-5(x+ 当 20<x≤100 时,函数 y=-4.9595x+8919 为减函数, 所以 y<-4.9595×20+8919=8819.81. 综上所述 x=18 时,y 有最大值 8820.81 万元. 即要使企业年利润最大,应安排 18 名员工待岗.



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