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2015年浙江名校高考模拟试卷 数学卷(五)(理科)(含答案答卷)


2015 年浙江名校高考模拟试卷 数学卷(五)(理科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分(共 40 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。 参考公式: 球的表面积公式 S ? 4? R 2 棱柱的体积公式 V ? Sh 球的体积公式 V ? ? R3 其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高
1 3 4 3

其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱台的体积公式 V ? h ? S1 ? S1S2 ? S2 ?
1 3

其中 S1 , S2 分别表示棱台的上底、下底面积,
h 表示棱台的高

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.(原创)设 a ? R ,则 a ? 1 是 A.充分条件 C.充分必要条件

1 ? 1 的( a



B.必要条件 D.既不充分也不必要条件

2.(原创)下列函数中,既是奇函数,又在区间 (0, +?) 上为增函数的是 A. y ? ln x B. y ? x3 C. y ? 3x D. y ? sin x )

3.(原创)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.10 B.20 C.40 D.60

4.(原创)在△ABC 中,已知

AB ? AC ? 4 , BC ? 3 ,M、N 分别是 BC
的值是( C. 6 ) D. 8 )

边上的三等分点,则 AM ? AN A.5 B.

21 4
2

5.(原创)若不等式 2kx A. (?3,0)

? kx ?

3 ? 0 的解集为空集,则实数 k 的取值范围是( 8
C. ?? 3,0? D. (??,?3) ? (0,??)

B. (??,?3)

6. (根据浙江省温州市 2015 届高三第一次适应性测试第 14 题改编)若直线 l: ax-by=1 与不等式组

? ?y ?1 ?3x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域无公共点,则 3a-2b 的最小值为( ? ?3x ? y ? 2 ? 0
1



A.

7 2

B. ?

11 2

C. 2

D. -2

x2 y 2 7. (根据湖北省荆门市高三元月调研卷第 10 题改编)设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的右焦点为 F , a b
过点 ? , ? 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A, B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P ,设 O 为坐标 原点,若 OP ? ?OA ? ?OB(?, ? ? R) , ? ? ? ?

3 16

,则双曲线的离心率为

A.

2 3 3

B.

3 5 5

C.

3 2 2

D.

9 8

8. (根据河南省长葛市三模第 10 题改编)设函数 f ?x ? 的定义域为 D , 若函数 f ?x ? 满足条件:存在
x ?a, b? ? D ,使 f ?x ? 在 ?a, b? 上的值域是 ? a , b ? 则称 f ?x ? 为“倍缩函数” ,若函数 f ?x? ? log2 ?2 ? t ?为

? ?2 2? ?

“倍缩函数” ,则的范围是( A. ? ,?? ?



?1 ?4

? ?

1? B. ?0,

? 1? C.? 0, ? ? 2?

D. ? 0, ?

? ?

1? 4?

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 至 12 题每小题 6 分,第 13 至 15 题每题 4 分,共 36 分. 9.(原创)设

A ? ? x 1 ? x ? 3?



B ? ?x m ? 1 ? x ? 2m ? 4, m ? R?

, , 则 Cu A ? ________ , 若 m=1, 则

A ? B ? ________若 A ? B 则 m 的取值范围是________.
考点:集合的关系.

10.(原创)已知等差数列 考点:等差数列.

?an ? 中, a3 ? 7, a7 ? 3 ,则通项公式为 an ? _________,前 n 项和 S

n

=________.

?| x ? 1| ( x ≤ 1) 11 . ( 原创 ) 已知函数 f ( x) ? ? x ,若 f ( x ) ? 2 ,则 x ? ( x ? 1) ? 3

.若 f ( x) ? 4, 则解集为

__________

1 ,则 c ? ; sin A ? . 4 13. (根据江苏省宿迁市一模第 13 题改编)如图,已知 ?ABC 中, AB ? AC ? 4 ,?BAC ? 90 , D 是 BC 1 的中点,若向量 AM ? AB ? m ? AC ,且 AM 的终点 M 在 ?ACD 的内部(不含边界) ,则 AM ? BM 的 4
12.(原创)在 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , cos C ? 取值范围是 .
2

C

D

A

B

14. (根据浙江省瑞安中高三学期中考试第 15 题改编)设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,已知 A, B 为抛物线上的两个动点,且满足 ?AFB ? 60? ,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N , 则

| MN | 的最大值为 | AB |



15. (根据三轮专题体系通关训练第 17 题改编)设函数 f(x),g(x)的定义域分别为 M,N,且 M 是 N 真子 集,若对任意的 x∈M,都有 g(x)=f(x),则称 g(x)是 f(x)的“拓展函数”.已知函数 f(x)=

1 log2x, 3

若 g(x)是 f(x)的“拓展函数”,且 g(x)是偶函数,则符合条件的一个 g(x)的解析式是________.

三、解答题:本大题共 5 个题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 16.(原创)(本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? cos x ? 3 sin x cos x ?

1 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期及值域; (2)已知 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 f ( B ? C ) ?

3 , a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 2

?ABC 的面积.
17. (原创) (本题满分 15 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AD ? 平面 A1 BC , 其垂足 D 落在直线 A1 B 上. (1)求证: BC ⊥ A1 B (2)若 AD ? 3 , AB ? BC ? 2 , P 为 AC 的中点,求二面角 P ? A1 B ? C 的平面角的余弦值

3

A1

C1

B1

D
A

P

C

B

4

5

点. (1)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2 ,求线段 AB 的长; 3

6

7

轴长的最大值.

19. (根据辽宁沈阳东北育才学校阶段考第 20 题改编) (本小题满分 15 分)数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且
* n Sn ? 2an ? 1, 设 bn ? 2(loga 2 ? 1) , n ? N .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {bn ? an } 的前 n 项和 Tn ; (3)证明:对于任意 n ? N ? ,不等式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 ? ? …? n ? n ? 1 恒成立. b1 b2 bn

20 . ( 根 据 温 州 市 十 校 联 合 体 高 三 上 学 期 期 中 联 考 第 20 题 改 编 ) ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数

f ( x) ? x 2 ? 2 | x ? a | .
(1)若函数 y ? f ( x ) 为偶函数,求 a 的值; (2)若 a ?

1 ,求函数 y ? f ( x ) 的单调递增区间; 2

(3)当 a ? 0 时,若对任意的 x ? [0, ??) ,不等式 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

8

2015 年高考模拟试卷数学卷(理科)答题卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题,每小题 6 分,第 13-15 题,每小题 4 分,共 36 分. ) 9 _________ ___________ ____________ 10 _____________ _______________ 12 _____________ _______________ 15 ________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8

11 ________________ ____________________ 13 __________________

14 ______________________

三、解答题(共 74 分)

9

16. (15 分)

17. (15 分)

10

A1

C1

B1

D
A

P

C

B

18. (15 分)

19. (15 分)

11

20. (14 分)

12

2015 年高考模拟试卷数学卷(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 C 5 C 6 B 7 A 8 D

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题,每小题 6 分,第 13-15 题,每小题 4 分,共 36 分. )

9、 (??,1) ? (3,??) ,[2,3], [ ?

1 1 ,0] 10 、10-n, ? n 2 ? 45n 2 2
12、 2,

11、-1, {x | x ? ?3, x ? log3 4}

15 8

13、

?? 2,6?

14 、____1_______

15、 g(x)=

1 log2|x|(其它符合条件的函数也可以) 3

三、解答题:本大题共 5 个题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2] ; 16. (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ,值域为 [0, (Ⅱ)

3 . 2

试题解析: (Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? 所以 f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ,

?? 1 ? = cos ? 2 x ? ? ? 1 ,???????????????3 分 2 3? ?

?? ? 2] , ∵ x ? R ∴ ?1 ? cos ? 2 x ? ? ? 1 ,故 f ( x) 的值域为 [0, ???????????????7 分 3? ? ?? 3 ? ? 1 ? (Ⅱ)由 f ( B ? C) ? cos ?2( B ? C) ? ? ?1 ? ,得 cos(2 A ? ) ? ,又 A ? (0,? ) ,得 A ? ,????9 分 3 3 2 3 2 ? ?
在 ?ABC 中,由余弦定理,得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos

?
3

= (b ? c)2 ? 3bc ,又 a ? 3 , b ? c ? 3 ,?????11 分
1 2

所以 3 ? 9 ? 3bc ,解得 bc ? 2 ,所以, ?ABC 的面积 S ? bc sin

?
3

?

1 3 3 ? 2? ? . 2 2 2

???????15 分

考点:三角函数的恒等变形;函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像及其性质;余弦定理.

2 7 17. (1)证明:见解析; (2) 7 .
试题解析: (1)证明: 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,

? A1 A ? 平面 ABC ,又 BC ? 平面 ABC , ? A1 A ? BC ?????????????????2 分
-

AD ? 平面 A1BC ,且 BC ? 平面 A1BC ,

? AD ? BC . 又

AA1 ? 平面 A1 AB , AD ? 平面 A1 AB , A1 A ? AD ? A ,
??????????????????5 分

? BC ? 平面 A1 AB ,
又 A1 B ? 平面 A1 BC ,

? BC ? A1 B

??????????????????7 分

AB ? 平面 A1 AB ,从而 BC ? AB 如图,以 B 为原点建立空间直角坐标 (2)由(1)知 BC ? 平面 A 1 AB ,
系 B ? xyz

AD ? 平面 A1BC ,其垂足 D 落在直线 A1B 上,? AD ? A1 B .
z
A1 C1

B1

y

D
A

x

P

C

B
在 Rt ??ABD 中, AD ? 3 ,AB=2,

sin ?ABD ?

AD 3 0 , ?ABD ? 60 ? AB 2
????????????????9 分

在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 A ? AB . 在 Rt??ABA1 中, AA 1 ? AB ? tan 60 ? 2 3
0

,

则 B (0,0,0), A(0,2,0) ,C(2,0,0),P(1,1,0), A1 (0,2,2 3 ), BP ? (1,1,0)

BA1 ? (0,2,2 3 ) BC ? (2,0,0)
设平面 PA 1 B 的一个法向量 n1 ? ( x, y, z ) 则

? ?n 1 ? BP ? 0 ? ?x ? y ? 0 即? ? ? ?2 y ? 2 3z ? 0 ?n1 ? BA1 ? 0 ?

可得 n1 ? (3,?3, 3)

????????????11 分

设平面 CA1 B 的一个法向量 n2 ? ( x, y, z) 则

? ? n 2 ? BC ? 0 ? x ? 0 即? ? n ? BA ? 0 ? ?2 y ? 2 3 z ? 0 ? 2 1
??????????????13 分

可得 n2 ? (0,?3, 3)

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 n2

?

2 7 7
2 7 7
???????????????15 分

? 二面角 P ? A1 B ? C 平面角的余弦值是

考点:1.空间几何体的特征;2.垂直关系;3.空间的角;4.空间向量方法. 18. (1)

8 3 ; (2) 6 . 5
c 3 3 ,2 c =2,即 ? ∴ a ? 3 则 b ? a2 ? c2 ? 2 a 3 3
???????????????2 分

试题解析: (1)? e ?

x2 y2 ∴椭圆的方程为 ? ? 1, 3 2
将 y ? ? x ? 1 代入消去 y 得: 5 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )

? OA ? OB ? OA ? OB ? 0 ,即 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0
2 2 ? ? x ? y ?1 由 ? a 2 b2 ,消去 y 得: (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ? ? y ? ?x ?1

?????????????7 分

由 ? ? (?2a 2 ) 2 ? 4a 2 (a 2 ? b 2 )(1 ? b 2 ) ? 0 ,整理得: a 2 ? b 2 ? 1 又 x1 ? x 2 ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , x x ? 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2

? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
由 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,得: 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0

?

2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? ? 1 ? 0 ,整理得: a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ? 0 a2 ? b2 a2 ? b2

??????????????9 分

b2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2e2 代入上式得: 2a 2 ? 1 ?

1 1 1 ,? a 2 ? (1 ? ) 2 2 1 ? e 2 ???????11 分 1? e

?

1 2 1 1 1 3 ?e? ,? ? e 2 ? ,? ? 1 ? e 2 ? 2 2 4 2 2 4

?

4 1 7 1 7 3 ? ? 2,? ? 1 ? ? 3,? ? a 2 ? ,条件适合 a 2 ? b 2 ? 1 ,?????????13 分 2 2 3 1? e 3 6 2 1? e
42 6 42 ?a? ,? ? 2a ? 6 ,故长轴长的最大值为 6 . ???????????15 分 6 2 3

由此得:

考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与椭圆位置关系综合问题. 19. (1)? an ? 2n ?1,(n ? N*) ; (2) Tn = (n ? 1) 2 试题解析: (1) Sn ? 2an ? 1
n ?1

(3)见解析. ? 2; ①

Sn?1 ? 2an?1 ? 1
由①-②得

② 由于 S1 ? 2a1 ?1

an ? 2an?1
a

a1 ? 1

?an ? 2n ?1,(n ? N*) (4 分)

(2) bn ? 2(log2n ? 1) ? 2n 由题意得: Tn ? 2 ? 20 ? 4 ? 21 ? 6 ? 22 ? …2n ? 2n?1

??????????????????5 分 ③ ④

2Tn ? 2 ? 21 ? 4 ? 22 ? …? (2n ? 2) ? 2n?1 ? 2n ? 2n

③-④得 ?Tn ? 2 ? 2(21 ? 22 ? …2n?1 ) ? 2n ? 2n

? (2 ? 2n) ? 2n ? 2
?Tn ? (2n ? 2) ? 2n ? 2 = (n ? 1) 2n?1 ? 2
(3)证明:两边平方得 (

????????????????????8 分 ????????????????????9 分

2 ?1 4 ?1 6 ?1 2n ? 1 ? ? ?…? ) ? n ? 1 ????????????????11 分 2 4 6 2n
????????????????????12 分

由于 (

2n ? 1 2 4n 2 ? 4n ? 1 4n(n ? 1) n ? 1 ) ? ? ? 2n 4n 2 4n 2 n

?(

2 ?1 4 ?1 6 ?1 2n ? 1 2 2 3 n ?1 ? ? ?…? ) ? ? ? …? ? n ?1 2 4 6 2n 1 2 n
????????????????????15 分

?

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 b3 ? 1 ? ? ? …? n ? n ? 1. b1 b2 b3 bn

考点:等差数列,等比数列,错位相减,放缩法证明不等式. 20. (1) a ? 0 ; (2)函数的单调递增区间为 ? ?1, ? ,[1, ??) ;(3) 6 ? 2 ? a ? . 2 2? ? 试题解析: (1)任取 x ? R ,则有 f (? x) ? f ( x) 恒成立, 即 (? x)2 ? 2 | ? x ? a |? x2 ? 2 | x ? a | 恒成立

?

1?

1

2ax ? ?2ax 恒成立 ? | x ? a |?| x ? a | 恒成立,?平方得:

?a ? 0
(特殊值法求出酌情给分) ??????????????3 分

1 ? 2 x ? 2 x ? 1( x ? ) ? 1 1 ? 2 2 (2)当 a ? 时, f ( x) ? x ? 2 | x ? |? ? 1 2 ? 2 2 x ? 2 x ? 1( x ? ) ? ? 2
由函数的图像可知,函数的单调递增区间为 ? ?1, ? ,[1, ??) 。 2

? ?

1? ?

??????????????6 分

2 (3)不等式 f ? x ? 1? ? 2 f ? x ? 化为 ? x ? 1? ? 2 x ? 1 ? a ? 2 x ? 4 x ? a 2

即: 4 x ? a ? 2 x ? ?1 ? a ? ? x 2 ? 2 x ? 1 (*) 对任意的 x ? ? 0, ?? ? 恒成立 因为 a ? 0 ,所以分如下情况讨论:
2 ① 0 ? x ? a 时,不等式(*)化为 ?4( x ? a) ? 2[ x ? (1 ? a)] ? x ? 2x ?1 恒成立

??????????????7 分

即 x2 ? 4 x ? 1 ? 2a ? 0对?x ?[0, a]恒成立

g ( x) ? x2 ? 4x ? 1 ? 2a ? 0在[0, a] 上单调递增
只需 g ( x)min ? g (0) ? 1 ? 2a ? 0

?0 ? a ?

1 2

??????????????9 分

②当 a ? x ? a ? 1 时,不等式(*)化为 4( x ? a) ? 2[ x ? (1 ? a)] ? x 2 ? 2 x ?1 恒成立 即 x2 ? 4x ? 1 ? 6a ? 0对?x ? (a, a ? 1]恒成立 由①知 0 ? a ?

1 ,?h( x) ? x2 ? 4x ? 1 ? 6a在(a, a ? 1]上单调递减 2

?只需h( x)min ? h(1 ? a) ? a2 ? 4a ? 2 ? 0 ? a ? ?2 ? 6或a ? 6 ? 2
6 ?2? 1 1 ? 6 ?2? a ? 2 2
???????????????12 分

③当 x ? a ? 1 时,不等式(*)化为 4( x ? a) ? 2[ x ? (1 ? a)] ? x 2 ? 2 x ?1 恒成立 即 x2 ? 2a ? 3 ? 0对?x ? (a?, ??)恒成立

? ( x) ? x 2 ? 2a ? 3 ? 0在(a ? 1, ??)上单调递增
?只需? ( x)min ? ? (a ? 1) ? a 2 ? 4a ? 2 ? 0

? a ? ?2 ? 6或a ? 6 ? 2
由②得: 6 ? 2 ? a ?

1 2 1 2

????????????????13 分 ????????????????14 分

综上所述, a 的取值范围是: 6 ? 2 ? a ?

考点:1.函数的单调性;2.函数的最值;3.分类的数学思想、转化与化归思想.


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