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基于ELM的切换非线性动态系统神经网络控制


分类号: 论文编号:

O231.5



级:

公 开









2013 届硕士研究生学位论文

基于 ELM 的切换非线性动态系统神经 网络控制

学科专业: 信号与信息处理 研究方向: 导 师: 智能信息处理 龙 飞 肖 教授 扬

研 究 生:

中国

﹒贵州﹒贵阳

2013 年 04 月

目录
摘要................................................................ 1 Abstract............................................................ 2 第一章 绪论......................................................... 4 1.1 课题的研究背景............................................... 4 1.2 随机系统研究现状............................................. 5 1.3 切换系统研究现状............................................. 6 1.4 论文的研究思路............................................... 8 1.5 论文的结构安排............................................... 9 第二章 预备知识.................................................... 10 2.1 切换系统的李雅普洛夫稳定性 ................................. 10 2.2 随机系统的稳定性 ........................................... 10 2.3 ELM (Extreme Learning Machines)算法 ...................... 11

2.3.1 单隐层前馈神经网络结构................................ 12 2.3.2 基于 ELM 算法训练的单隐层前馈神经网络.................. 12 2.4 基本引理.................................................... 13 第三章 一类基于 ELM 的切换非线性随机系统的神经网络控制.............. 14 3.1 引言 ....................................................... 14 3.2 系统描述 ................................................... 15 3.3 自适应神经网络控制 ......................................... 17 3.3.1 子系统的自适应神经控制器设计.......................... 17 3.3.2 切换律设计............................................ 21 3.4 仿真 ....................................................... 23 3.5 本章小结 ................................................... 30 第四章 一类基于 ELM 的切换非线性随机系统的伪神经网络控制............ 31 4.1 引言 ....................................................... 31 4.2 严格反馈切换非线性随机系统伪神经网络控制 ................... 33 4.2.1 系统描述.............................................. 33 4.2.2 误差动态.............................................. 34
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4.2.3 子系统伪神经控制器设计 ................................ 36 4.2.4 切换律设计............................................ 39 4.2.5 仿真.................................................. 40 4.3 切换非线性随机时滞系统伪神经网络控制........................ 44 4.3.1 系统描述 .............................................. 44 4.3.2 子系统伪神经控制器设计 ................................ 45 4.3.3 切换律设计............................................ 53 4.3.4 仿真.................................................. 55 4.4 本章小结 ................................................... 65 第五章 总结与展望.................................................. 66 5.1 全文总结 ................................................... 66 5.2 尚需进一步研究的问题 ....................................... 66 致 谢.............................................................. 68 参考文献........................................................... 69 附 录.............................................................. 75 1.攻读硕士学位期间发表的论文 ................................... 75 2.主持和参加的科研项目 ......................................... 75

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基于 ELM 的切换非线性动态系统神经网络控制
摘要
随着人工智能和计算机技术在制造业中的广泛应用, 混杂系统控制技术对解 决产品设计、 生产制造和产品的整个生命周期中的多领域间的协调合作提供了一 种智能化的方法,也为系统集成、并行设计和实现智能制造提供了有效的手段。 切换系统是从系统与控制科学的角度来研究混杂系统的一类重要模型。一般来 说, 切换系统是由一簇子系统和描述它们之间联系的切换规则组成。切换规则与 各子系统的动态共同决定整个切换系统的动态行为。目前,切换系统的研究主要 是针对确定型切换线性(非线性)系统。确定型切换系统虽然准确地描述了现实 世界中实际系统的某些特性, 但同时也忽略了很多随机因素。 因此, 切换线性 (非 线性) 随机系统的控制问题研究是一个值得探讨的问题,具有重要的实际意义和 理论价值。本文的主要贡献是将基于ELM算法训练的单隐层前馈神经网络引入到 切换非线性随机系统中, 利用backstepping技术和多李雅普洛夫函数方法设计控 制器以加强鲁棒性与稳定性,同时设计相应的切换规则以保证整个系统的稳定 性。本文所做的主要研究工作如下: (1)提出一种自适应神经切换控制机制,采用一个单隐层前馈神经网络去 补偿系统中的所有非线性项,然后利用 backstepping 技术和多李雅普洛夫函数 方法设计相应的控制器和切换规则以保证整个系统的稳定性。 不同于现有的神经 网络控制方法,单隐层前馈神经网络是基于 ELM 算法所训练的。 (2) 提出了伪神经切换控制机制。伪神经控制机制运用基于ELM算法训练的 单隐层前馈神经网络进行函数逼近, 其控制方案主要由伪自适应律和伪神经控制 律构成, 神经网络算法仅起过渡作用。伪神经控制机制解决了使用backstepping 技术所设计的随机系统控制器的高计算复杂性问题和神经网络隐结点数量最优 化选择的难题。

关键词: 自适应控制;伪神经控制;切换非线性随机系统;backstepping技术; 多李雅普洛夫函数方法;ELM算法。 1

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Based on ELM Switched Nonlinear Dynamic Systems Neural Network Control
Abstract
With the wide application of the artificial intelligence and the computer technique in manufacturing industry, hybrid system control technique not only provide an intelligent method to solve the problem in product design, production-manufacturing and multi-fields cooperation of products’ entire life cycle, but also provide an effective means to achieve system integration, parallel design and intelligent manufacturing. A switched system is a important class of hybrid systems from the research view of system and control science. Generally speaking, switched systems comprise a collection of subsystems together with a switching rule that specifies the switching among the subsystems. Switching rule and the dynamic of each subsystem codetermine the dynamic behavior of the switching system. The investigation of switched systems are mainly aimed at determine switched linear (nonlinear) systems. Athough deterministic switched systems accurately describe certain features of actual systems in real world, determine switched systems neglect many random factor. Therefore, the research of the control problem for switched linear (nonlinear) stochastic systems is a significative question worth further researching, because of the great value in theory and practice. The main contributions of this paper are the single hidden layer feed forward neural network (which is trained by the ELM algorithm) is introduced into switched nonlinear stochastic systems based on the backstepping technique and multiple Lyapunov function method. Also, the controller is designed to enhance robustness and stabilization, and the admissible switching rules are constructed to guarantee the entire system stability. The main work of this paper includes: (1) A new adaptive neural switching control scheme is proposed. A single hidden layer feed forward neural network is used to compensate all nonlinear term. Then the 2

贵州大学硕士学位论文 controller is designed and the admissible switching rules are constructed to guarantee the entire system stability based on the backstepping technique and multiple Lyapunov function method. Different from existing neural network control methods, single hidden layer feed forward neural networks are trained by the ELM algorithm. (2) The forged neural control scheme is proposed. The single hidden layer feed forward neural network (which is trained by the ELM algorithm) is introduced to approximate functions in the forged neural control scheme. The main control scheme is composed of the forged neural control law and the forged adaptive law, the neural network algorithm only played a transitional role. The forged neural control scheme solve the question of ‘explosion of complexity’ of the stochastic systems controller in the backstepping design and the problem of optimization of the number of neural network hidden node.

Key words: Adaptive control; Forged neural control; Switched nonlinear stochastic systems; Backstepping technique; Multiple Lyapunov function method; ELM algorithm

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第一章 绪论
1.1 课题的研究背景
随着当今社会的进步和发展, 众多的现实问题已不能依靠传统的认知体系进 行诠释。 这些问题通常具有较高的复杂程度,因此传统的抽象和建模方法已不能 满足实际需求。复杂性科学应运而生,不仅引发了自然科学界的变革,而且也日 益渗透到哲学、人文社会科学领域。它力图打破传统学科之间互不来往的界限, 寻找各学科之间的相互联系、相互合作的统一机制。在控制理论界,复杂动态系 统的建模、 控制与优化是当前的一个研究热点。作为一类简明的复杂系统的数学 模型,混杂动态系统是当前在理论上探索复杂系统的一个重要研究方向。 混杂动态系统是一类同时包含离散事件动态系统和连续时间动态系统的复 杂动态系统, 其中的离散事件和连续变量是相互作用和相互约束的,它们的演化 过程是一种混合的运动过程。 混杂系统具有深刻的理论研究与工程应用背景。一 方面, 混杂模型可以有效地刻画现实环境中的高复杂性问题,如复杂工业生产过 程、化工工艺过程、电脑控制系统、通信系统等。另一方面,科技的进步为解决 复杂性问题提供了新的思路。 切换动态系统是从系统与控制科学的角度来研究混杂系统的一类重要模型, 是目前混杂动态系统理论研究的前沿方向。一般来说,切换系统是由一簇子系统 和描述它们之间联系的切换规则组成。切换规则通常是一个分段常值函数,它的 变化决定着系统的运行机制, 它与各子系统的动态共同决定整个切换系统的动态 行为。 切换系统在每一时刻只有一个子系统处于激活状态,其他子系统处于冻结 状态; 切换系统在特定时刻的系统状态实际上就是这一时刻处于激活状态的子系 统的系统状态。 每个子系统对应着离散变量的一种取值,子系统之间的切换表示 离散事件动态, 因此切换动态系统可看成一类将离散变量描述进行合理简化的混 杂系统。针对切换系统的研究意义重大。首先,切换技术广泛应用在一般系统中 (智能控制领域的许多设计方法都是基于在不同控制器间切换的思想, 故利用切 换技术容易实现系统设计要求)。第二,切换系统可以准确地描述具有广泛代表 性的实际模型。第三,作为结构形式相对简单的一类混杂系统,切换系统便于理 4

贵州大学硕士学位论文 解、分析和实际应用。 在切换系统中, 系统的运动行为没有考虑到一些随机的因素。确定的切换系 统虽然准确地描述了现实世界中实际系统的某些特性, 但同时也忽略了很多不确 定性(即随机性) ,所以人们提出并开始研究切换随机系统。在设计一个合理系 统的过程中,稳定性是首要条件。因此,针对切换非线性随机系统稳定性问题的 研究具有一定的现实意义和理论价值。

1.2 随机系统研究现状
通常情况下,随机系统可以作为以下两种类型系统的数学模型: 1.由描述系统性能的非线性部分和外部随机部分组成的系统(如受到外部随 机信号影响的终端信号处理系统的数学模型)。 2.由描述系统性能的非线性部分和随机部分组成的系统 (如一把直尺的长度 由直尺本身的测量长度和多余部分的随机长度组成的系统的数学模型) 。 随机系统是一类特殊的非线性系统,可由下式描述:
dx ? f ( x)dt ? g ( x)d?

其中 x ? ? n 是系统状态,随机变量 ? 是定义在全概率空间 ? ?, F , ? ? 上的一个 r 维 独立标准维纳过程。Borel可测函数 f (?) : ? n ? ? n 和 g (?) : ? n ? ? n?r 是局部李普 希兹连续的,且满足条件 f (0) ? 0 和 g (0) ? 0 。 众所周知, 随机扰动现象广泛地存在于科学理论研究和工程应用领域。它们 的存在会致使控制系统出现不稳定状况, 因此近年来有关随机系统控制器设计和 稳定性分析的研究受到了大量关注。 Florchinger[31-34]把确定性系统的可控李 雅普洛夫函数概念和Sontag稳定性准则推广到随机系统领域以解决随机非线性 系统的全局稳定性问题。1999年,Pan Zi Gang和Basar[55]运用二次李雅普洛夫 函数和风险敏感性代价准则,首次解决了随机李雅普洛夫分析方法的技术障碍: 由于运用伊藤微分规则而引进的梯度项和Hessian项所导致的算法处理问题。在 2001年,Deng Hua、Krstic等人[15-16]使用四次李雅普洛夫函数而非传统的二 次李雅普洛夫函数进行分析, 提出了一种更加实用而相对简单的自适应反推设计 5

贵州大学硕士学位论文 算法。目前,这种算法已被推广到不同假设条件下的随机系统,诸如跟踪控制 [18], 分散控制[41,45]和高阶系统控制[23,47]。 最近, Chen Weisheng等人[46] 提出了基于RBF神经网络的自适应神经网络控制机制去研究随机非线性系统,并 获得了一些有意义的结果。 可是,这些方法仍然没有解决随机系统backstepping 技术的高计算复杂性问题。本文第四章成功地解决了这一难题,提出伪神经切换 控制机制极大地降低了使用backstepping技术所设计的随机系统控制器的计算 复杂性。

1.3 切换系统研究现状
切换系统是由一簇连续时间子系统或离散时间子系统和特定类型的切换规 则所组成的一类特殊的混杂动态系统。以数学的视角看,这些子系统通常是由一 系列微分方程或差分方程描述的。基于切换系统子系统的动态特性,切换系统可 分类为确定型切换系统和随机切换系统,连续时间切换系统和离散时间切换系 统,线性切换系统和非线性切换系统等。 连续时间切换非线性系统可由如下式子描述:

? (t ) ? fi ( x(t ), u(t )), t ? ? ? , i ? ? ? ?1, 2,?, l? x
其中系统状态 x ? ? n , 系统的连续控制输入 u ? ? m ,? ? 表示非负实数集, 集合 ? 是一个代表子系统序列的指标集。 类似地,连续时间切换非线性随机系统可由如下式子描述:

dx(t ) ? fi ( x(t ), u(t ))dt ? gi ( x(t ), u(t ))d?, t ? ? ? , i ? ? ? ?1, 2,?, l?
其中系统状态 x ? ? n , 系统的连续控制输入 u ? ? m ,? ? 表示非负实数集, 集合 ? 是一个代表子系统序列的指标集。 随机变量 ? 是定义在全概率空间 ? ?, F , ? ? 上的 一个 r 维独立标准维纳过程。 切换规则组织切换系统在子系统之间进行切换。依据切换规则的性质,切换 系统在每一时刻只有一个子系统处于激活状态,其他子系统处于冻结状态;切换 系统在特定时刻的系统状态实际上就是这一时刻处于激活状态的子系统的系统 状态。一般情况下切换规则(Switching Rule)又称为切换律(Switching Law) 、 6

贵州大学硕士学位论文 切换策略(Switching Strategy)或切换信号(Switching Signal)。切换规则是一 个由时间、它本身的过去值、系统的状态变量、输出变量和系统的外部输入信号 (或系统的外部干扰信号)等因素决定的逐段常数函数,一般表达式如下:

? (t ) ? S ([t0 , t ? ),? ([t0 , t ? )), x([t0 , t ? )), y([t0 , t ? )), u([t0 , t ? ))), t ? t0
其中 t 0 表示系统运行的初始时刻,u 表示系统的外部输入信号或系统的外部干扰 信号。? (t ) ? k 表示在 t 时刻切换系统的第 k 个子系统是激活的。一般地,切换信 号可分为以下四类:切换路径(仅依赖于时间) ? (t ? ) ? S (t ), t ? t0 ,时间驱动的 切换律(依赖于时间和它本身的过去值)? (t ? ) ? S (t, ? (t ? )), t ? t0 ,事件驱动的切 换律(依赖于它本身的过去值和系统状态)? (t ? ) ? S (? (t ? ), x(t ), y(t ), u(t )), t ? t0 和 纯状态反馈切换律(仅依赖于系统的状态变量) ? (t ? ) ? S ( x(t )), t ? t0 。 切换系统研究始于20世纪80年,由于计算机和控制理论的进步,切换系统理 论逐步完善。 研究切换系统的主要动机源于以下两个方面:基于切换系统和切换 多控制器系统的理论在工业生产实践中的大量应用;控制系统发展的必然结果 (例如许多非线性系统在连续静态反馈控制律作用下不稳定,但在切换控制机制 下却能保持稳定)。 目前, 切换控制技术已在汽车引擎控制[2], 机器人控制[30], 交通控制[35], 网络控制[36]等方面成功应用。 计算科学和计算机技术的蓬勃发展为研究切换系 统提供了充分的客观基础和强大的技术支持, 使得切换系统的研究进入了一个高 速发展时期。 作为当前非常崭新和活跃的研究领域, 切换系统吸引了来自不同研究背景人 员(如计算机专家、应用数学家和工程技术人员)的高度关注[3,4,12,22,26]。 切换系统的研究主要集中于四个方面:稳定性与镇定[7,8,37,22,26],可控可达 性[6,53,54,56,58], 可观可重构性[3,21,25]和优化控制[5,43,57,51]。稳定性 是系统研究的首要问题, 早期切换系统的研究大部分着重于建立切换系统的稳定 性定理架构。Daniel Liberzon和A Stephen Morse发表了第一篇关于切换系统稳 定性理论的文章[8],全面深刻地剖析了切换系统稳定性的基本问题。 切换系统稳定性研究中的以下两类问题得到了广泛重视: 7

贵州大学硕士学位论文 1.切换系统在任意切换规则下的稳定性; 2.切换系统在一定约束性切换规则下的稳定性。 第一类稳定性的研究通常是将切换系统视为一组普通的非线性系统的集合, 据此寻找各子系统的公共李雅普洛夫函数[9,11,38]。第二类稳定性的研究则可 借助多李雅普洛夫函数方法[29],分段李雅普洛夫函数方法[27],平均滞留时间 法等手段[20]。 在本文中, 主要运用多李雅普洛夫函数方法对一类连续时间切换 非线性随机系统的稳定性问题进行研究。

1.4 论文的研究思路
针对随机系统和切换系统的研究现状与特点,从当前所得到的研究成果来 看, 主要是针对非切换随机系统或是确定切换系统的理论成果,而对于切换非线 性随机系统却鲜有研究。 因此如何解决切换非线性随机系统的稳定性问题显得尤 其重要。 由于神经网络能够描述输入输出数据之间的非线性关系, 运用神经网络的这 一特性研究系统理论已取得了较多的研究成果并且提出了许多好的方法 [10,43,45,53]。尽管这些方法拥有很多优点,但是大量的不可避免的问题仍待 解决[19]。 这些问题限制了神经网络在复杂系统控制设计中的应用。为了解决问 题,可以利用具有优秀函数逼近能力的基于单隐层前馈神经网络的ELM算法[14] 去参与自适应算法的构成。 本文拟在这方面做研究:针对切换系统的研究现状和 特点, 将实际应用中常见的随机因素融入到系统中,利用基于单隐层前馈神经网 络的ELM算法,backstepping技术和多李雅普洛夫函数法,研究切换非线性随机 系统的动态特性和稳定性问题, 探索一种新的研究切换非线性随机系统的神经网 络控制机制。 本文的主要贡献是提出伪神经切换控制机制,极大地降低了使用 backstepping技术设计的随机系统控制器的计算复杂性, 解决了隐结点数量最优 化选择的难题,并首次在随机系统神经网络控制机制中运用ELM算法进行函数逼 近。 本文首先研究了一类单输入单输出切换非线性随机系统的控制问题。然后, 提出伪神经切换控制机制去研究严格反馈切换非线性随机系统的稳定性问题。 最 8

贵州大学硕士学位论文 后, 采用类似的研究方法, 将严格反馈切换非线性随机系统推广到切换非线性随 机时滞系统,用伪神经切换控制机制和理论分析方法进行稳定性问题的研究。

1.5 论文的结构安排
本文的主要章节安排如下: 第一章 首先概述了本论文的研究背景,然后分别介绍了随机系统和切换系 统的研究现状,最后阐述了论文的研究思路、研究内容及全文结构安排。 第二章 简单介绍了切换系统的李雅普洛夫稳定性定理,随机系统的稳定性 定理和 ELM 算法等基本概念以及一些基本的引理。 第三章 针对一类切换非线性随机系统,本章提出了一种自适应神经切换控 制机制。 在此机制中,仅需要一个基于 ELM 训练的带有附加节点或者径向基节点 的单隐层前馈神经网络去补偿所有已知非线性时滞项, 而基于李雅普洛夫综合方 法和 backstepping 技术设计的控制律和神经网络自适应律则保证了整个系统的 稳定性。 不同于现有的神经网络控制方法,单隐层前馈神经网络是基于所有隐层 节点参数均可以随机产生的 ELM 算法所训练的。 第四章 针对一类切换非线性随机系统,本章提出伪神经切换控制机制。伪 神经控制机制的控制方案主要由伪自适应律和伪神经控制律构成, 神经网络算法 仅起过渡的作用。 不同于现有的神经网络控制方法,伪神经控制器仅是一个由系 统状态所构成的简单函数。 伪神经控制机制极大地降低了使用backstepping技术 设计的随机系统控制器的计算复杂性,解决了隐结点数量最优化选择的难题,并 在随机系统神经网络控制机制中运用ELM算法进行函数逼近。 第五章 结束语和展望。对论文工作总结,并提出了一些需要进一步研究的 问题。

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第二章 预备知识
本章介绍了切换系统的李雅普洛夫稳定性定理,随机系统的稳定性定理和 ELM 算法等基本概念以及后面章节中用到的引理,为后续的讨论作准备。

2.1 切换系统的李雅普洛夫稳定性
考虑如下切换非线性系统:

? ? f? (t ) ( x) x
其中 x ? ? n 为系统状态, ? (?) : ?0, ??? ? ? ? ?1,2,?, l? 表示切换信号。 为了研究切换非线性系统的稳定性,首先引入切换系统的子系统

? ? fi (x )i,? ? 的能量衰减域概念。 ?i : x
定义 2.1 [1]:对于单值标量函数 V ( x) ? 0 和 i ? ? ,若对于区域 ?i ? ? n ,

? ( x) ? 0 。则称 ? 为子系统 ? 对 存在 ?x ??i ,使 x(t ) 在子系统 ?i 的作用下满足 V i i
V ( x) 的能量衰减域,能量衰减域可由下式描述:

?V ? ? ?i ? ? x ? ? n | f i ( x) ? 0 ? ?x ? ?

定理 2.1 [1]:若有单值正定标量函数 V ( x) , V ( x) 沿着各子系统的导数存 在,且各子系统对 V ( x) 的能量衰减域覆盖整个状态空间,即 ? n ? ? ?i 。则存在
i ?1 l

切换规则 ? 使得切换系统是渐进稳定的,这时 ? 可由下式描述:

? (t ) ? arg min ?

?V ?V ? ?V ? f1 ( x), f 2 ( x),?, f l ( x) ? ?x ?x ? ?x ?

其中“ arg min ”表示所取最小值的指标。

2.2 随机系统的稳定性
考虑如下随机系统: 10

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dx ? f ( x)dt ? g ( x)d?

其中 x ? ? n 是系统状态,随机变量 ? 是定义在全概率空间 ? ?, F , ? ? 上的一个 r 维 独立标准维纳过程。Borel可测函数 f (?) : ? n ? ? n 和 g (?) : ? n ? ? n?r 是局部李普 希兹连续的,且满足条件 f (0) ? 0 和 g (0) ? 0 。 定义2.2 [50]:对于任意 t0 ? 0, ? ? 0 和任意初始条件 x(t0 ) ,如果存在

? lim x(t ) ? 0 ? 1
t ??

?

?

? ? lim P ?sup x(t ) ? ? ? ? 0 x ( t0 ) ?0 ? t ?t0 ?
则非线性随机系统 dx ? f ( x)dt ? g ( x)d? 在平衡点 x ? 0 以概率全局渐进稳定。 定理2.2 [50]:如果存在径向无界的二次连续可微正定函数 V ( x) 且满足李 导数

LV ( x) ?

?V 1 ? ? 2V f ? Tr ? g T 2 ?x 2 ? ?x

? g? ?

是负定的,则非线性随机系统 dx ? f ( x)dt ? g ( x)d? 在平衡点 x ? 0 是以概率全局 渐进稳定的。

2.3 ELM (Extreme

Learning

Machines)算法

ELM 算法运作于不需要进行隐层参数(即特征映射)调整的广义单隐层前馈 神经网络上。 广义单隐层前馈神经网络包括支持向量机, 多项式网络, RBF 网络, 传统的(单隐层和多隐层)前馈神经网络等。不同于神经网络的原则(广义单隐 层前馈神经网络的所有隐节点参数需要调整) ,ELM 算法运作时广义单隐层前馈 神经网络的隐节点参数不仅不需要调整,而且还能随机生成。所有的隐节点参数 独立于目标函数或训练数据集。实际上,ELM 算法的所有参数由分析确定且不需 要调整。 ELM 算法具有这样的性质: 1.隐节点参数不仅独立于训练数据集,而且互相之间也独立。 11

贵州大学硕士学位论文 2.传统的神经网络算法在生成隐节点参数时需要训练数据集的先验信息。 与 之不同的是,ELM 算法在生成隐节点参数时不需要任何先验信息。

2.3.1 单隐层前馈神经网络结构
具有 L 个隐节点的单隐层前馈神经网络的输出可由下式描述
f ( x) ? ??i F ( x, ai , bi ), x ? ? n , ai ? ? n
i ?1 L

其中 ai 和 bi 是隐节点的学习参数,?i ? ? m 是连接第 i 个隐节点到输出节点的权重 向量, F ( x, ai , bi ) 是第 i 个隐节点相应于输入 x 的输出。 附加隐节点的激活函数 F ( x, ai , bi ) : ? ? ? 定义如下:

F ( x, ai , bi ) ? F (ai ? x ? bi ), bi ? ?
其中 ai 是连接输入 x 到第 i 个隐节点的权重向量,bi 是第 i 个隐节点的阈值,ai ? x 表示 ai 与 x 的内积。 RBF 隐节点的激活函数 F ( x, ai , bi ) : ? ? ? 定义如下:

? x ? ai ? ? F ( x, ai , bi ) ? F ? ? , bi ? ? ? bi ?
其中 | ? | 表示欧几里得范数, ai 和 bi 分别是第 i 个 RBF 节点的中心和宽度。

2.3.2 基于 ELM 算法训练的单隐层前馈神经网络
对于 l 种任意不同的样本 ( x j , t j ) ,如果具有 L 个附加隐节点或 RBF 隐节点的 标准单隐层前馈神经网络能以零误差逼近这 l 个样本,则存在 ?i , ai 和 bi 满足

?? F ( x , a , b ) ? t
i ?1 i j i i

L

j

这个方程可以简洁地写为
F ( x, a, b)? ? T

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F ( x1 ,? , xl , a1 ,? , aL , b1 ,? bL ) ? F ( x1 , a1 , b1 ) ? F ( x1 , aL , bL ) ? ? ? ?? ? ? ? ? ? F (x , a , b ) ? F (x , a ,b ) ? l 1 1 l L L ?l ? L ?
F 是单隐层前馈神经网络的隐层输出矩阵 [13,14]。 F 的第 i 列是对应于输

其中

入 x1 , x2 ,?, xl 的第 i 个隐节点的输出向量, F 的第 j 行是对应于输入 x j 的隐层输 出向量。按照 ELM 算法的性质,单隐层前馈神经网络的隐藏层节点参数(输入权 重和阈值或者中心值和偏置值)不必在训练期间进行调整;在没有任何目标函数 先验信息的前提下单隐层前馈神经网络的隐藏层节点参数可以依据任意给定的 连续概率分布随机生成。 ELM 算法具有如下性质[14]:对于带有在任意区间上无限可微的附加隐节点 激活函数或 RBF 隐节点激活函数的单隐层前馈神经网络,存在 L ? l 和无限小正 实数 ? ,可使任意不同的输入向量 x j ? j ? 1,2,?, l ? 和按照任意连续概率分布随机 生成的隐节点参数 ? ai , bi ? , i ? 1, 2,?, L 满足条件 ? ? ? k ? k ? ? ? ? ? ? 1 。

2.4 基本引理
? 微分规则) 引理 2.1 [51] (It o : 对于非线性随机系统 dx ? f ( x)dt ? g ( x)d? ,

对于正定,径向无界,二次连续可微函数 V ( x) ,它的随机微分可由下式描述:

dV ( x) ? LV ( x)dt ? Vx ( x) g ( x)d?

LV ( x) ?

?V 1 ? ? 2V ? f ? Tr ? g T 2 g ? ?x 2 ? ?x ?

? ?V ( x) ?V ( x) ? 其中 Vx ( x) ? ? ,? , ?。 ?xn ? ? ?x1
引理 2.2 [28] (young 不等式):对于任意两个实数 x 和 y ,存在
xy ? ? ? p / p ? x ? ?1/ q? q ? y
p q

其中 ? ? 0 ,常数 p ? 1 , q ? 1 且满足 p?1 ? q?1 ? 1。 13

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第三章 一类基于 ELM 的切换非线性随机系统的神经 网络控制
针对一类切换非线性随机系统,本章提出了一种自适应神经切换控制机制。 在此机制中, 仅需要一个基于 ELM 训练的带有附加节点或者径向基节点的单隐层 前馈神经网络去补偿所有已知非线性时滞项,而基于李雅普洛夫综合方法和 backstepping 技术设计的控制律和神经网络自适应律则保证了整个系统的稳定 性。 所设计的控制器是一个由系统状态和神经网络参数共同构成的复合函数。不 同于现有的神经网络控制方法, 单隐层前馈神经网络是基于所有隐层节点参数均 可以随机产生的 ELM 算法所训练。

3.1 引言
切换系统是由有限数量的连续时间子系统或离散时间子系统和特定类型的 切换律所组成的一类特殊的混杂动态系统。依据切换律的性质, 切换系统在每一 时刻只有一个子系统处于激活状态,其他子系统处于冻结状态; 切换系统在特定 时刻的系统状态实际上就是这一时刻处于激活状态的子系统的系统状态。 众多现 实的流程和系统都能用切换系统进行模拟,例如网络控制系统、化工过程系统、 计算机控制系统和通信系统。 此外,基于切换控制器所设计的智能控制策略能够 克服基于单一控制器所设计的控制策略的不足。 目前的科学理论研究和工程应用中广泛的存在随机扰动现象, 当动态系统行 为中的随机因素已经明显影响到系统性能时, 传统的确定性系统分析方法就不再 适用,取而代之的是随机系统分析方法。在这种意义之下,针对切换非线性随机 系统稳定性问题的研究就显得尤外重要。 由于具有良好的函数逼近和自适应学习能力, 神经网络被当作模拟和控制具 有高度不确定性的复杂非线性系统的有效手段之一。而且,一种针对确定性非线 性系统稳定性的自适应神经网络控制机制已经形成,并取得了较好的效果。这种 方法的优点是在不需要进行离线训练的前提下就能保证系统稳定性, 缺点是训练 精度不足。 为了弥补这种不足, 可以利用具有优秀函数逼近能力的 ELM 算法去构 14

贵州大学硕士学位论文 成自适应算法。 综上所述,基于 ELM 的神经网络自适应控制机制将为研究切换非 线性随机系统的镇定问题提供一个行之有效的方法和途径。 本章为解决一类单输入单输出切换非线性随机时滞系统的镇定问题,提出了 一种自适应神经切换控制机制。本机制基于多李雅普洛夫函数方法、 backstepping 技术、神经网络控制技术和系统能量最速衰减原则设计的切换控 制律保证了闭环系统是以概率全局渐近稳定的。本机制主要有以下特点:所有的 已知系统非线性时滞项被归入一个函数, 此函数仅需要一个基于 ELM 训练的带有 附加节点或者径向基节点的单隐层前馈神经网络加以补偿。 在没有任何目标函数 先验信息的前提下,基于 ELM 训练的单隐层前馈神经网络的隐层节点参数(输入 权重和阈值或者中心值和偏置值)可以依据任意给定的连续概率分布随机生成。 这使得基于 ELM 的神经网络控制机制能够克服传统神经网络控制机制需要一定 的目标函数先验信息才能运作的缺点。 本章按如下结构安排: 首先介绍了一类单输入单输出切换非线性随机时滞系 统的系统模型及其模型的变换。 其次依据多李雅普洛夫函数方法、backstepping 技术、 神经网络控制技术和系统能量最速衰减原则推导出系统的切换控制律并给 出了总结性的结论。 最后,用两个数值例子来说明和验证本章提出的自适应神经 切换控制机制。

3.2 系统描述
考虑如下单输入单输出切换非线性随机时滞系统

1 ? i ? n ?1 ?dxi ? xi ?1dt , ? ?dxn ? ? ? f? (t ) ( y) ? m? (t ) ( y, y(t ? d (t ))) ? ?? (t )u? (t ) ? ? dt ? ? ? g? (t ) ( y) ? n? (t ) ( y, y(t ? d (t ))) ? ? d? (3.1) ? y(t ) ? ? (t ), ?? ? t ? 0 ? y ? x1 ,
其中 xi ? ? , i ? 1, 2,?, n 表示系统状态, y ? x1 ? ? 表示系统的可测输出, u? (t ) ? ? 表示系统的连续控制输入。随机变量 ? 是定义在全概率空间 ? ?, F , ? ? 上的一个 r 维独立标准维纳过程。右连续函数 ? (?) :? 0,??? ? ? ??1, 2, ? ,l? 是切换信号,

? (t ) ? k 表示在 t 时刻切换系统的第 k 个子系统是激活的。 fk (?), mk (?), gk (?), nk (?), k ? ?
15

贵州大学硕士学位论文 是 已 知 光 滑 非 线 性 函 数 且 fk (0) ? 0, mk ( y,0) ? 0, gk (0) ? 0, nk ( y,0) ? 0 。

d (t ): ? ? ? ?0,? ?, d ' ?t ? ? d ? 1 是已知时变时滞。 ?? (t ) 是正实数。
本章的研究目标是设计自适应神经控制切换机制使得闭环系统(3.1)以概率 全局渐进稳定。 因为函数 fk (?), mk (?), gk (? ),nk (? ),k ?? 满足 fk (0) ? 0,mk ( y, 0) ? 0,gk (0)? 0,nk (y , 0)? 0 , 所以 x ? 0 是闭环系统(3.1)的平衡点。根据平均值定理,下面的等式成立

fk ( y) ? yfk ( y)
gk ( y) ? ygk ( y)
mk ( y, y(t ? d (t ))) ? y4 (t ? d (t ))mk ( y, y(t ? d (t )))

(3.2) (3.3) (3.4) (3.5)

nk ( y, y(t ? d (t ))) ? y4 (t ? d (t ))nk ( y, y(t ? d (t )))

其中 fk (?), mk (?), gk (?), nk (?), k ? ? 是已知非线性函数。在本章中,所有的这些已知 非线性函数仅需要一个带有附加节点或者径向基节点的单隐层前馈神经网络加 以补偿。 实际上,可以运用 Backstepping 技术设计闭环系统(3.1)的控制器。按照 Backstepping 设计的理念,定义如下坐标变换

z ?y ? ?1 ? ? ? ,h z ? xi ? ? (i ?1)? (t ) y, x2 ,?, xi ?1 ,? ? (t ) ? (t ) , 2 ? i ? n ? ? i

?

?

(3.6)

? , 2? i ? n , k? ? 表示即将在本章中进行设 ? ,h 其中光滑函数 ? (i ?1)k y, x 2 ,? , xi? 1,? k k

?

?

计的虚拟控制器。
? 微分规则)和坐标变换(3.6),闭环系统(3.1)可改写为 依据引理 2.1(It o

?dz1 ? x2 dt ? i ?1 ?? ? ? ?? (i ?1)? (t ) ? ? ? ( i ?1)? ( t ) ? ? dt ? ? ?? (i ?1)? (t ) h dz ? x ? x ? ? ? ? i i ? 1 l ? 1 ? ( t ) ? ( t ) ? ? ? ?xl ?? ?h l ?1 ? ? ? (t ) ? (t ) ? ? ? ? ? f? (t ) ( y ) ? m? (t ) ( y, y (t ? d (t ))) ? ?? (t )u? ( t ) ? ? ? n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? dz ? ? ? ( n ? 1) ? ( t ) ( n ? 1) ? ( t ) ( n ? 1) ? ( t ) n ? ? ? dt ? ? ? ?? xl ?1 ? ? h ? ( t ) ? l ?1 ? ? (t ) ? (t ) ? ? ? ?xl ?? ?h ? (t ) ? ? ? ? ?? ? g? (t ) ( y ) ? n? (t ) ( y, y (t ? d (t ))) ? ? d? ?

(3.7)

16

贵州大学硕士学位论文 在本章中, 基于随机李雅普洛夫方法和各个子系统的能量衰减程度设计子系

? , k ? ? 和切换系统的切换律, ? ,h 统的参数自适应律 ? 以此保证整个闭环系统(3.1) k k
的随机稳定性。

3.3 自适应神经网络控制 3.3.1 子系统的自适应神经控制器设计
? 和控 ? ,h 在 3.3.1 节中,主要介绍用于满足子系统稳定性的参数自适应律 ? k k
制律 uk 的设计。为了完成目标,引入如下的李雅普洛夫函数

Vk ?

1 n 4 1 zi ? ? 4 i ?1 1? d

?2 h 1 ?T ?1 ? 4 k y ( s ) ? ( y , y ( s )) ds ? ? ? ? ? k k k ?t ?d (t ) 2 2 ?k
t

(3.8)

? 各 ? 和h 其中 ?k 是单隐层前馈神经网络的输出权重向量, hk 是有限近似误差。 ? k k
? ? ? ? ? ?h ? ? h ,h ? ?h ? 和? ? ?? ? ?? , h ? ?? ? 。? ?1 是已知的正 为 ?k 和 hk 估计值,且满足 ? k k k k k k k k k k k

定对称矩阵, ?k 是已知常数, ? ( y, y( s)) 是有待确定的正函数。 依据定理 2.2,则李雅普洛夫函数(3.8)沿着切换系统(3.1)的第 k 个子系统 的的轨迹的无穷小算子 LVk 应为
n ?1 ?? ? ?? ( n ?1) k ? ? ( n ?1) k 3 ?? ? ? ?? ( n ?1) k h LVk ? zn f ( y ) ? m ( y , y ( t ? d ( t )) ? ? ? ? xi ?1 ? ? ? k ? k k k k k? ? ? ?xi ?? ?h i ?1 ? ? k k ? ?

n ?1 i ?1 ?? ? ?? (i ?1) k ? ? ( i ?1) k 3 ? ? ? ? ?? (i ?1) k h ? ? zi3 ? xi ?1 ? ? xl ?1 ? ? k k ? ? z1 x2 ? ? ? x ?? k ?hk i ?2 l ?1 ? ? l ? ?

3 2 T ? zn ? g k ( y) ? nk ( y, y(t ? d (t )))?? g k ( y) ? nk ( y, y(t ? d (t )))? 2

? ?h ? h y 4 ? ( y, y ) 1 ? d '(t ) 4 ? T ?1 ? k k ? ? ? y (t ? d (t )) ? ( y, y (t ? d (t ))) ? ? k ? k ? k ? (3.9) 1? d 1? d ?k

注 3.1:不同于基于径向基函数神经网络的传统自适应神经网络控制方法,
? ?T ? ?1? ? ?T ?1 ? ? 本节运用单项式 ? k k k 而不是单项式 ? k ? k ? k 去弥补由 ELM 引入的多余项。

利用坐标变换(3.6)和已知条件 d (t ): ? ? ? ?0,? ?, d ' ?t ? ? d ? 1 ,等式(3.9)变为 17

贵州大学硕士学位论文
n ?1 ?? ? ?? (i ?1) k ? ? ? ( n ?1) k 3 ? ? ? ?? (i ?1) k h LVk ? zn ? ? ? xl ?1 ? ? ? k k ? k k? ? ? ?xl ?? ?h l ?1 ? ? k k ? ? n ?1 i ?1 ?? ? ?? (i ?1) k ? ?? ? ( i ?1) k 3 ?? ? ? zi3 ?? ik ? ? xl ?1 ? ??k ? (i ?1) k h k ? ? z1 ?1k ? ? ? x ?? k ?hk i ?2 l ?1 ? ? l ? ?

3 3 ?? zi3 zi ?1 ? zn f k ( y ) ? zn mk ( y, y(t ? d (t ))) i ?1

n ?1

T T ? ? g k ( y )nk ( y, y (t ? d (t ))) ? 3 2 ? g k ( y ) g k ( y) ? zn ? ? T T 2 ? ? nk ( y, y (t ? d (t )))nk ( y, y (t ? d (t ))) ? ? nk ( y, y (t ? d (t ))) g k ( y) ?

? ?h ? h y 4 ? ( y, y ) ? 4 T ?1 ? k k ? ? ? y (t ? d (t )) ? ( y, y (t ? d (t ))) ? ?? k ? k ? k ? 1? d ?k

(3.10)

根据引理 2.2(Young 不等式)和式(3.2)-(3.5),可以获得如下不等式去方便 地简化上述不等式(3.10)。

? zi3 zi?1 ?
i ?1
3 zn f k ( y) ?

n ?1

1 n zi4 3 n?1 4 ? ? k31i zi4 ? ? 4 4 i ?2 ? k1(i ?1) 4 i ?1
3 4?
4 3 k 2n 4 1 4 zn ? ? k42 n y 4 f k ( y ) 4

(3.11)

(3.12)

3 zn mk ( y, y (t ? d (t ))) ?

3 4?
4 3 k 3n

1 4 4 zn ? ? k43n y 4 (t ? d (t )) mk ( y, y (t ? d (t ))) 4

(3.13)

2 3 2 3 4 3? k24 n 4 T T zn gk ( y) gk ( y) ? 2 zn ? y gk ( y) gk ( y) 2 4? k 4 n 4

(3.14)

3 2 T T ? zn ? g k ( y )nk ( y, y (t ? d (t ))) ? nk ( y, y (t ? d (t ))) g k ( y) ? ? 2

? 3? 2 ? 4 3? k25n? k27 n 4 3 4 ? ? 2 2 ? k25n ? zn ? y gk ( y) 4 ? 4? k 5n? k 6 n 4? k 7 n ?
? 3? k26n 4 4 y (t ? d (t )) nk ( y, y(t ? d (t ))) 2 4? k 5n
(3.15)

3 2 T zn nk ( y, y (t ? d (t )))nk ( y, y (t ? d (t ))) 2

?

3 4? k28n

4 zn ?

2 3? k28n 4 y (t ? d (t )) nk ( y, y(t ? d (t )))nkT ( y, y(t ? d (t ))) (3.16) 4

18

贵州大学硕士学位论文 把式(3.11)-(3.16)代入式(3.10),
n ?1 ?? ?? ? ? ? ( n ?1) k ? ? ? ?? ( n ?1) k h ? ? ? xl ?1 ? ( n ?1) k ? k k ? k k ? ? ? ? x ?? k ?hk l ?1 l ? 3 ? ? LVk ? zn ? ? 1 3? k25n 3 3 3 3 3 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ?? ? 4 4? k 4 n 4? k 5n? k 6 n 4? k 7 n 4? k 8n ? ? 4? k1( n ?1) 4? 3 4? k33n k 2n ? ?

? ? ? ? ? ?z ? ? n? ? ? ? ?

4 n ?1 i ?1 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 3? 3 ? 1 ?z ? ? ? ?? (i ?1) k h ?? zi3 ?? ik ? ? (i ?1) k xl ?1 ? (i ?1) k ? k k k 1 i i 4 ?4 ? ? ?xl 4? k1(i ?1) ? ?? ?h i ?2 l ?1 ? ? k k ? ? ? ?

? ?h ? ? ? ? h 3 4 T ?1 ? k k 3 ? ? z ??1k ? ? k11 y ? ? ? k ? k ? k ? 4 pk ? ?
3 1
4 2 ?1 3? 2 3? 2 ? 2 ? ( y, y ) ? 4 T ? y 4 ? ? k42 n f k ( y) ? k 4n gk ( y) g k ( y) ? k 5n k 7 n g k ( y) ? ? 4 4 1? d ? ?4

?1 4 ? 3? k26 n 4 4 ? ? k 3n mk ( y, y(t ? d (t ))) ? 2 nk ( y, y (t ? d (t ))) ? 4 4? k 5n 4 ? ? (3.17) ? y (t ? d (t )) ? 3? 2 ? 2 ? ? k 8n nk ( y, y (t ? d (t )))nkT ( y, y (t ? d (t ))) ? ? ( y, y(t ? d (t ))) ? ? 4 ? ? ?
所有的非线性时滞项已归入式(3.17)中的划线项。 显然, 函数 ? ( y, y(t ? d (t ))) 应为
3? k26n 1 4 4 4 ? ( y, y(t ? d (t ))) ? ? k 3n mk ( y, y(t ? d (t ))) ? 2 nk ( y, y(t ? d (t ))) 4 4? k 5n

?

2 3? k28n nk ( y, y(t ? d (t )))nkT ( y, y(t ? d (t ))) 4

(3.18)

依据式(3.18), LVk 可进一步简化为
n ?1 ?? ?? ( n ?1) k ? ? ? ( n ?1) k ? ? ? ?? ( n ?1) k h ? ? ? x ? ? ? k k l ? 1 k k ? ? ? ? x ? ? ? h l ?1 l k k ? 3 ? ? LVk ? zn ? ? 1 3? k25n 3 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 4 4 4 2 2 2 2 4? k 4 n 4? k 5n? k 6 n 4? k 7 n 4? k 8n ? ? 4? k1( n ?1) 4? 3 4? k33n k 2n ? ?

? ? ? ? ? ?z ? ? n? ? ? ? ?

n ?1 i ?1 ?? ? ? 4 ? ? ?? ? ? ? ?? 3? 3 ? 1 ?z ? ? ? ?? (i ?1) k h ?? zi3 ?? ik ? ? (i ?1) k xl ?1 ? (i ?1) k ? k k k 1 i i 4 ?4 ? ? ?xl 4? k1(i ?1) ? ?? ?h i ?2 l ?1 ? k k ? ? ? ? ?

19

贵州大学硕士学位论文
? ?h ? ? ? ? h 3 4 T ?1 ? k k 3 ? ? z ??1k ? ? k11 y ? ? ? k ? k ? k ? 4 pk ? ?
3 1
4 2 ?1 3? 2 3? 2 ? 2 ? ( y, y ) ? 4 T ? y 4 ? ? k42 n f k ( y) ? k 4n gk ( y) gk ( y) ? k 5n k 7 n g k ( y) ? ? (3.19) 4 4 1? d ? ?4

为了便于后续的讨论,假定式(3.19)中的划线项为如下函数
ek ( y ) ?

? ( y, y ) 1

? ? k42 n f k ( y ) ? 1? d 4

4

2 3? k24 n 3? 2 ? 2 4 T gk ( y) gk ( y) ? k 5n k 7 n g k ( y ) 4 4

注 3.2:现在,所有的已知系统非线性函数项已被归入单输入单输出函数

ek ( y ) ,此函数仅需要一个基于 ELM 训练的带有附加节点或者径向基节点的单隐
层前馈神经网络加以补偿。 根据 ELM 的性质,单隐层前馈神经网络的隐藏层节点 参数(输入权重和阈值或者中心值和偏置值)不必在训练期间进行调整; 在没有任 何目标函数先验信息的前提下单隐层前馈神经网络的隐藏层节点参数可以依据 任意给定的连续概率分布随机生成。 可用基于 ELM 训练的单隐层前馈神经网络来逼近函数 ek ( y ) ,

?k ( y,?k ) ? hk ? Ek ( y, ak , bk )?k ? hk ek ( y) ? e

(3.20)

其中 Ek ( y, ak , bk ) ? [Ek ( y, ak1, bk1 ),?, Ek ( y, akL , bkL )] 是单隐层前馈神经网络的隐层
T T 输出矩阵, ?k ? [?kT1 ,?,?kL ] 是单隐层前馈神经网络的输出权重向量, hk 是有限

近似误差, L 是隐层节点数。 根据前述式(3.20)中的神经网络近似方法,式(3.19)变为
n ?1 ?? ?? ? ? ? ( n ?1) k ? ? ? ?? ( n ?1) k h ? ? ? xl ?1 ? ( n ?1) k ? k k ? k k ? ? ? ? x ?? k ?hk l ?1 l ? 3 ? ? LVk ? zn ? ? 1 3? k25n 3 3 3 3 3 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ?? ? 4 4? k 4 n 4? k 5n? k 6 n 4? k 7 n 4? k 8n ? ? 4? k1( n ?1) 4? 3 4? k33n k 2n ? ?

? ? ? ? ? ?z ? ? n? ? ? ? ?

n ?1 i ?1 ?? ? ? 4 ? ? ?? ? ? ? ?? 3? 3 ? 1 ?z ? ? ? ?? (i ?1) k h ?? zi3 ?? ik ? ? (i ?1) k xl ?1 ? (i ?1) k ? k k k 1 i i 4 ?4 ? ? ?xl 4? k1(i ?1) ? ?? ?h i ?2 l ?1 ? ? k k ? ? ? ?

? ?h ? ? ? ? h 3 4 T ?1 ? k k 3 ? ? z ??1k ? ? k11 y ? y ? Ek ( y, ak , bk )? k ? hk ? ? ? ? k ? k ? k ? 4 pk ? ?
3 1

20

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? ? ? ,? ? 如果选择如下的控制律 ? ik , uk 和自适应律 h k k

? ? ?h ?1k ? ?ck1 y ? ? k311 y ? y Ek ( y, ak , bk )? k k

3 4

4

?

?

(3.21)

? ik ? ?cki zi ? ?
l ?1

i ?1

?? (i ?1) k ?xl

xl ?1 ?

? 4 ? ?? (i ?1) k ? ?? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? z i ? 2,3,?, n ? 1. (3.22) ??k ? (i ?1) k h ? k ? 4 k1i 4? k41(i ?1) ? i ???k ?h k ? ?

n ?1 ?? ?? ? ? ? ? ( n ?1) k ? ? 1 ? ? ?? ( n ?1) k h ? c z ? xl ?1 ? ( n ?1) k ? zn ? k k ? kn n ? 4 ? ? ?xl 4? k1( n ?1) ? ?? ?h l ?1 k k 1 ? ? (3.23) ?k ? ? ? ? ?k ? ? 3 ? 3? k25 n 3 3 3 3 ? ? ? ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? zn ? 4? k 4 n 4? k 5n? k 6 n 4? k 7 n 4? k 8n ? ? ? 4? 3 3 ? 4 ? k 3n ? ? ? k 2n ?

? ? ? ? y4 h k k ? ? ?T E T ( y , a , b ) y 4 ? k k k k k ?

(3.24) (3.25)

其中 cki , i ? 1, 2,?, n 是已知正实数。基于 ELM 训练的单隐层前馈神经网络的激活 函数 M (a j y ? bj ), j ? 1, 2,?, ? 可选用 Sigmoidal 函数、 Sine 函数、 Hardlim 函数、 三角基函数和径向基函数等。 则李雅普洛夫函数(3.8)沿着切换系统(3.1)的第 k 个子系统的轨迹的无穷小算子 LVk 是负定的。
LVk ? ?? cki zi4
i ?1 n

根据定理 2.2,整个自适应神经控制机制(3.21)-(3.25)可以保证闭环系统 (3.1)的第 k 个子系统是以概率全局渐进稳定的。

3.3.2 切换律设计
在自适应神经控制机制(3.21)-(3.25)作用下, 3.3.2 节主要依据各个子系统 的衰减速度来设计闭环系统(3.1)的切换律。依据 3.3.1 节中的理论和多李雅普 洛夫函数方法, 可以用如下的方式去安排系统切换来保证闭环系统(3.1) 是以概 率全局渐进稳定的[7]。 设 t 0 为初始时刻。设定初始条件 21

贵州大学硕士学位论文

x(t0 ) ? ( x1 (t0 ), x2 (t0 ),?, xn (t0 ))T

(3.26) (3.27)

? (t0 ) ? arg min{LVk (t0 )}
1? k ? N

其中符号“ arg min ”表示达到最小值的指标。 取第一次切换时刻和相应的切换指标分别为
t1 ? inf t ? t0 there exists a i ? ? , i ? ? (t0 ) such that LVi (t1 ) ? LV? (t0 ) (t1 )

?

?

(3.28) (3.29)

? (t1 ) ? arg min ? LVk (t1 )?
1? k ? N

按照递归法,第 j 次切换时刻和相应的切换指标应分别为

t j ? inf t ? t j ?1 there exists a i ? ? , i ? ? (t j ?1 ) such that LVi (t j ) ? LV? (t j?1 ) (t j ) , j ? 2 (3.30)
? (t j ) ? arg min ?LVk (t j )? , j ? 2
1? k ? N

?

?

(3.31)

其中 j 表示第 j 次切换。此外,结合 3.2 节和 3.3 节中的计算方法,可以导出李 雅普洛夫函数(3.8)沿着切换系统(3.1)的第 k 个子系统轨迹的无穷小算子为
? f k ( y ) ? mk ( y, y (t ? d (t )) ? 3 ? ? LVk ? zn ? 3? 2 1 3 3 3 3 3 ? ? ckn ? 4 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 2 ? k25 n ? 2 4? k1( n ?1) 4? k 4 n 4? k 5 n? k 6 n 4? k 7 n 4? k 8 n ? ? ? 4? k32 n 4? k33n ? ?
n ?1 i ?1 ?? ? ?? (i ?1) k ? ? ( i ?1) k ? ? ? ? ?? (i ?1) k h ? ? zi3 ? xi ?1 ? ? xl ?1 ? ? k k? ? ? ?xl ?? ?h i ?2 l ?1 ? ? k k ? ?

? ? ? ? ?z ? ? n? ? ? ?

3 2 T ? zn ? g k ( y) ? nk ( y, y(t ? d (t )))?? g k ( y) ? nk ( y, y(t ? d (t )))? 2
2 3? k24 n 3? k25n? k27 n 1 4 4 4 T ? ? k 2n f k ( y) ? g k ( y ) g k ( y) ? gk ( y) 4 4 4

?1 4 3? k26 n 4 4? ? ? k 3n mk ( y, y (t ? d (t ))) ? 2 nk ( y, y(t ? d (t ))) ? 4? k 5n 1 ? d '(t ) ? 4 ? ? ? 1 ? d ? 3? k28n 2 T nk ( y, y(t ? d (t )))nk ( y, y(t ? d (t ))) ?? ? ? 4 ?

? ? ? ?h ? y3 ? x2 ? y Ek ( y, ak , bk )? k k ? ?

?

?

(3.32)

注 3.3:切换律的设计方法能够保证其有效性。式(3.32)可由伪神经控制 机制(3.21)-(3.25)和式(3.9)计算,相应的切换律可按式(3.26)-(3.31)进行递 22

贵州大学硕士学位论文 归计算。 根据 3.3 节中的稳定性分析,可以得到理论 3.1。 理论 3.1:在自适应神经切换控制机制(3.21)-(3.32)的作用下,单输入单 输出切换非线性随机时滞系统(3.1)是以概率全局渐近稳定的。

3.4 仿真
在 3.4 节中,我们将要给出两个数值仿真例子来验证前面所得结论的正确 性。仿真例子是基于 Matlab Simulink 下编写并在微型计算机(搭载主频 2.6GHZ 的 AMD 速龙双核处理器)下运行的混合程序。 例 3.1: 考虑 N ? 2 的单输入单输出切换非线性随机时滞系统,它的两个子系统
?dx1 ? x2 dt ? 2 ? ?1 ?dx2 ? ? 2 y ? y (t ? d (t ))e ? y ? u1 ? dt ? ?sin y ? yy (t ? d (t )) ? d ? ? ? ? ? ? y ? x1

?dx1 ? x2 dt ? 2 2 y 和 ?2 ?dx2 ? ? ? In( y ? 1) ? y sin( y(t ? d (t ))) ? u2 ? ? dt ? ? ? y ? 2 y (t ? d (t )) ? ? d? ? ? y ? x1
依据本章提出的自适应神经切换控制机制(3.21)-(3.32), 结合 3.2 节和 3.3 节中的计算方法,例 3.1 中闭环系统的自适应律和控制律应为
? ? ? ? y4 h ? (t ) ? (t ) ? T T 4 ??? (t ) ? ?? ( t ) E? ( t ) ( y , a? ( t ) , b? ( t ) ) y 3 4 ? ?1? (t ) ? ?c? (t )1 y ? ? ?3(t )11 y ? y E? (t ) ( y, a? (t ) , b? (t ) )??? (t ) ? h ? (t ) 4 ? ? ? ? ??1? (t ) ??1? (t ) ? ? ? 1 3 ? ? ? ? ? 1? ( t ) ? ? ? ?c? (t )2 z2 ? ?y x2 ? ??? ?? (t ) ? ? h? (t ) ? ? 4? 4 ? 4 ? z2 ? ?h? (t ) ? (t ) ? ? (t )11 4? 3 ? ? ? ( t )22 ? 1 ? ? ? ? ?? (t ) ? ?? (t ) ? ? ? ? 2 3? ? 3 3 3 ? ? ? 3 ? ( t )52 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 z2 2 ?? ? 4 ? ? 4? ? (t )42 4? ? (t )52? ? (t )62 4? ? (t )72 4? ? (t )82 ? ? ? 4? ?3(t )32 ? ? ? ? ?

?

?

其中 ? (t ) 表示在式(3.26)-(3.31)中所设计的切换律, 相应的李雅普洛夫函 数沿着例 3.1 中切换系统的第 k 个子系统的轨迹的无穷小算子为 23

贵州大学硕士学位论文
? f k ( y ) ? mk ( y, y (t ? d (t )) ? 3 ? ? LVk ? z2 3? k252 1 3 3 3 3 3 ? ? ? ck 2 ? 4 ? ? ? ? ? ? 2 4 4 2 2 2 2 4? k 11 4? k 42 4? k 52? k 62 4? k 72 4? k 82 ? ? ? 4? k322 4? k332 ? ? 3 2 T z2 ? g k ( y ) ? nk ( y, y (t ? d (t ))) ?? g k ( y ) ? nk ( y, y (t ? d (t ))) ? 2 2 2 2 2 3? k 3? k 1 4 4 4 T 42 52? k 72 ? ?k f ( y ) ? g ( y ) g ( y ) ? gk ( y) 22 k k k 4 4 4 2 ?1 4 3? k 62 4 4? ? ? k 32 mk ( y, y (t ? d (t ))) ? 2 nk ( y, y (t ? d (t ))) ? 4? k 52 1 ? d '(t ) ? 4 ? ? 2 ? 1 ? d ? 3? k 82 2 T nk ( y, y (t ? d (t )))nk ( y, y (t ? d (t ))) ?? ? ? 4 ? ? ? ? ?h ? y 3 ? x2 ? y Ek ( y, ak , bk )? k k ? ? ? ? ? ? ? ?z ? ? 2? ? ? ?

?

?

在例 3.1 中,初始条件为 x? (t ) (0) ? (0.5, ?0.5)T , h? (t ) (0) ? 0 和 ?? (t ) (0) ? 0 ,时变时 滞 d (t ) 满足 0 ? d (t ) ? 1 ? 0.6cos t ? ? ? 1.6 和 d '(t ) ? 0.6sin t ? 0.6 ? d ? 1 。设控制器设计 参 数 如 下 ?? (t ) ? ?? t( )? ?? t ( ) 1? 1 ?? t
( ) 22 ? t

??

( ) 32 ? t

??

? (? )? 4 2t

?? (? ) 5t 2 ? ?? ( )t 6 2 ? ?? (t ) 7 2? 1,

( ) 82

单隐层前馈神经网络的隐藏层节点数为 10。 此外, ?? (t ) ? E 和 c? (t )1 ? c? (t )2 ? 0.25 。 附 加 节 点 激 活 函 数 E? (t ) ( y, a? (t ) , b? (t ) ) ? e
E? (t ) ( y, a? (t ) , b? (t ) ) ? e
2 ? y ? a? ( t ) / b? (t ) 2

? ( a? ( t ) ? y ? b? ( t ) )2

和径向基节点激活函数

均被用于仿真实例中的计算。依据 ELM 算法的性质,

单隐层前馈神经网络的隐层节点参数 (a? (t ) , b? (t ) ) (输入权重和阈值或者中心值和 偏置值)是各自在区间 [?1,1] 和区间 [0,1] 上随机选取的。
4 3 2 1
control law u?(t)

0 -1 -2 -3 -4 -5 control law u?(t)--using additive hidden nodes control law u?(t)--using RBF hidden nodes 0 5 10 15 time(sec) 20 25 30

图 3-1 控制律 u? (t ) 24

贵州大学硕士学位论文
0.6

0.4

0.2
system state x 1

0

-0.2

-0.4

-0.6

system state x 1--using additive hidden nodes system state x 1--using RBF hidden nodes 0 5 10 15 time(sec) 20 25 30

-0.8

图 3-2 系统状态 x1
0.6

0.4

0.2
system state x 2

0

-0.2

-0.4

-0.6

system state x 2--using additive hidden nodes system state x 2--using RBF hidden nodes

-0.8

0

5

10

15 time(sec)

20

25

30

图 3-3 系统状态 x2
0.06

0.05

0.04
estimates of h?(t)

0.03

0.02

0.01

estimates of h?(t)--using additive hidden nodes estimates of h?(t)--using RBF hidden nodes 0 5 10 15 time(sec) 20 25 30

0

? 图 3-4 自适应律 h ? (t )

25

贵州大学硕士学位论文
0.03

0.025

0.02
estimates of ??(t)

0.015

0.01

0.005 estimates of ??(t)--using additive hidden nodes estimates of ??(t)--using RBF hidden nodes -0.005 0 5 10 15 time(sec) 20 25 30

0

? 图 3-5 自适应律 ? ? (t )
3

2.5

switching signal ? (t)

2

1.5

1

0.5 switching signal ? (t)--using additive hidden nodes switching signal ? (t)--using RBF hidden nodes 0 0 5 10 15 time(sec) 20 25 30

图 3-6 切换信号 ? (t ) 由 图 3-1 到图 3-6 可以看出,本章提出的自适应神 经切换控制机制 (3.21)-(3.32)很好的完成了使闭环系统(3.1)达到全局渐近稳定的控制目标。 例 3.2: 考虑 N ? 3 的单输入单输出切换非线性随机时滞系统,它的三个子系统
?dx1 ? x2 dt ? ?1 ?dx2 ? ? 2 y ? y (t ? d (t )) cos y ? u1 ? dt ? ?sin y ? yy (t ? d (t )) ? d ? , ?y ? x 1 ?

?dx1 ? x2 dt ? 2 ? 2 ?dx2 ? ? ? y ? 2 y sin( y (t ? d (t ))) ? u2 ? ? dt ? ? 4 y ? yy (t ? d (t )) ? d ? ? ? y ? x1

26

贵州大学硕士学位论文

?dx1 ? x2 dt ? ?y 和 ?3 ?dx2 ? ? ? y ? y (t ? d (t )) e ? u2 ? ? dt ? ? 4 y ? yy (t ? d (t )) ? d ? ? ? y ? x1
依据本章提出的自适应神经切换控制机制(3.21)-(3.32), 结合 3.2 节和 3.3 节中的计算方法,例 3.2 中闭环系统的自适应律和控制律应为
? ? ? ? y4 h ? (t ) ? (t ) ? ? ?T E T ( y, a , b ) y 4 ? ? (t ) ? (t ) ? (t ) ? (t ) ? (t ) ?

?1? (t )

3 4 ? ? ?h ? ?c? (t )1 y ? ??3(t )11 y ? y E? (t ) ( y, a? (t ) , b? (t ) )? ? (t ) ? (t ) 4

?

?

?? (t )

? ? ? ? ??1? (t ) ??1? ( t ) ? ??1? ( t ) ? 3 ? ? ? ? 1 ? ? ?? ( t ) ? h? ( t ) ? ? 4 ? 4 ? ?c? (t )2 z2 ? ?y x2 ? ?? ? z2 ? ? ? 4? ? (t )11 ? h ? ( t ) 3 ? ( t ) ? ? 4? ? (t )22 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? (t ) ? ? ? ? 2 3? ? 3 3 3 ? ? ? 3 ? ( t )52 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ?? ? 4 ? ? z2 4 ? 4 ? ? 4 ? 4 ? ? ( t )42 ? ( t )52 ? ( t )62 ? ( t )72 ? ( t )82 ? ? ? 4? ?3(t )32 ? ? ? ? ?

其中 ? (t ) 表示在式(3.26)-(3.31)中所设计的切换,相应的李雅普洛夫函数沿着 例 3.2 中切换系统的第 k 个子系统的轨迹的无穷小算子为
? f k ( y ) ? mk ( y, y (t ? d (t )) ? ? ? ? ? 3 ? ? 2 LVk ? z2 ? 3? 1 3 3 3 3 3 ? ? ck 2 ? 4 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 2 ? k252 ? 2 ? z2 ? 4? k11 4? k 42 4? k 52? k 62 4? k 72 4? k 82 ? ? ? ? ? ? 4? k322 4? k332 ? ? ? ?
3 2 T ? z2 ? g k ( y) ? nk ( y, y(t ? d (t )))?? g k ( y) ? nk ( y, y(t ? d (t )))? 2
2 3? k242 3? k252? k272 1 4 4 4 T ? ? k 22 f k ( y) ? g k ( y) g k ( y) ? g k ( y) 4 4 4

?1 4 3? k262 4 4? ? m ( y , y ( t ? d ( t ))) ? nk ( y, y (t ? d (t ))) ? ? k 32 k 2 4? k 52 1 ? d '(t ) ? 4 ? ? 2 ? 1 ? d ? 3? k 82 2 T nk ( y, y (t ? d (t )))nk ( y, y (t ? d (t ))) ?? ? ? 4 ?

? ? ? ?h ? y3 ? x2 ? y Ek ( y, ak , bk )? k k ? ?
在例 3.2 中, 初始条件为 x? (t ) (0) ? (0.5, ?0.5)T , h? (t ) (0) ? 0 和 ?? (t ) (0) ? 0 , 时变时 滞 d (t ) 满足 0 ? d (t ) ? 1 ? 0.6cos t ? ? ? 1.6 和 d '(t ) ? 0.6sin t ? 0.6 ? d ? 1 。设控制器设计 27

?

?

贵州大学硕士学位论文 参数如下 ?? (t ) ? ?? (t ) ? ?? t( )11 ? ?? t ( ) 22 ? ?? t
( ) 32 ? t

??

( ) 42 ? t

??

( ) 52? t

??

? ( )? 62 ?

t

? (? ) 72 ? t

? (1,) 82

单隐层前馈神经网络的隐藏层节点数为 10。 此外, ?? (t ) ? E 和 c? (t )1 ? c? (t )2 ? 0.25 。 附 加 节 点 激 活 函 数 E? (t ) ( y, a? (t ) , b? (t ) ) ? e
E? (t ) ( y, a? (t ) , b? (t ) ) ? e
2 ? y ? a? ( t ) / b? (t ) 2

? ( a? ( t ) ? y ? b? ( t ) )2

和径向基节点激活函数

均被用于仿真实例中的计算。依据 ELM 算法的性质,

单隐层前馈神经网络的隐层节点参数 (a? (t ) , b? (t ) ) (输入权重和阈值或者中心值和 偏置值)是各自在区间 [?1,1] 和区间 [0,1] 上随机选取的。 由图 3-7 到图 3-12 可以看出,本章提出的自适应神经切换控制机制 (3.21)-(3.32)很好的完成了使闭环系统(3.1)达到全局渐近稳定的控制目标。
8

6

4
control law u?(t)

2

0

-2

-4

control law u?(t)--using additive hidden nodes control law u?(t)--using RBF hidden nodes

-6 0

5

10

15 time(sec)

20

25

30

图 3-7 控制律 u? (t )
0.6 0.5 0.4 0.3
system state x 1

0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 system state x 1--using additive hidden nodes system state x 1--using RBF hidden nodes 0 5 10 15 time(sec) 20 25 30

图 3-8 系统状态 x1 28

贵州大学硕士学位论文
0.5

0

system state x 2

-0.5

-1 system state x 2--using additive hidden nodes system state x 2--using RBF hidden nodes -1.5 0 5 10 15 time(sec) 20 25 30

图 3-9 系统状态 x2
0.04 0.035 0.03
estimates of h?(t)

0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 estimates of h?(t)--using additive hidden nodes estimates of h?(t)--using RBF hidden nodes 0 5 10 15 time(sec) 20 25 30

? 图 3-10 自适应律 h ? (t )
0.04

0.03

0.02
estimates of ??(t)

0.01

0

-0.01 estimates of ??(t)--using additive hidden nodes estimates of ??(t)--using RBF hidden nodes -0.03 0 5 10 15 time(sec) 20 25 30

-0.02

? 图 3-11 自适应律 ? ? (t )

29

贵州大学硕士学位论文
4 3.5 3
switching signal ? (t)

2.5 2 1.5 1 0.5 0 switching signal ? (t)--using additive hidden nodes switching signal ? (t)--using RBF hidden nodes 0 5 10 15 time(sec) 20 25 30

图 3-12 切换信号 ? (t )

3.5 本章小结
本章提出一种自适应神经切换控制机制以解决一类切换非线性随机时滞系 统的稳定性问题。在此机制中,所有的已知系统非线性函数项被归入一个函数, 且此函数仅需要一个基于 ELM 训练的带有附加节点或者径向基节点的单隐层前 馈神经网络加以补偿。不同于现有的神经网络控制方法,这个单隐层前馈神经网 络是基于所有隐层节点参数均可以随机产生的 ELM 算法所训练; 控制律和神经网 络自适应律是基于李雅普洛夫综合方法和 backstepping 技术所设计,而切换律 则是基于子系统的衰减速度设计的。最后,两个数值例子被用于说明和验证本章 提出的自适应神经切换控制机制。

30

贵州大学硕士学位论文

第四章 一类基于 ELM 的切换非线性随机系统的伪神 经网络控制
针对一类切换非线性随机系统, 本章提出伪神经切换控制机制。 在此机制中, 仅需要一个基于 ELM 训练的带有附加节点的单隐层前馈神经网络去补偿所有已 知非线性时滞项,基于李雅普洛夫综合方法和 backstepping 技术设计的伪神经 控制器和伪自适应律保证了整个系统的稳定性。不同于现有的神经网络控制方 法, 伪神经控制器仅是一个由系统状态所构成的简单函数。 本章提出的方法极大 地降低了使用 backstepping 技术或者神经网络控制方法所设计的随机系统控制 器的计算复杂性。

4.1 引言
切换非线性随机系统是由一簇连续时间非线性随机子系统和特定类型的切 换律所组成的一类特殊的混杂系统。依据切换律的性质,切换非线性随机系统在 每一时刻只有一个非线性随机子系统处于激活状态, 其他非线性随机子系统处于 冻结状态; 切换非线性随机系统在特定时刻的系统状态实际上就是这一时刻处于 激活状态的非线性随机子系统的系统状态。 对切换非线性随机系统镇定问题的研 究主要是受以下几个方面的驱使。首先, 随机扰动现象广泛存在与科学研究和工 程领域中。 当动态系统行为中的随机因素已经明显影响到系统性能时,传统的确 定性系统分析方法不再适用,取而代之的是随机系统分析方法。其次,站在工程 实际的角度,许多随机系统具有在不同系统结构之间进行切换的特征。第三,从 建模的的角度看, 多模型方法为复杂随机系统进行全局建模与分析提供了一种有 效的处理手段。第四,从控制的观点来看,基于切换控制器所设计的智能控制策 略能够克服基于单一控制器所设计的控制策略的不足。‘ 由于神经网络能够描述输入输出数据之间的非线性关系, 运用神经网络的这 一性质研究系统特性已取得了较多的研究成果并且提出了许多好的方法。 尽管这 些方法拥有很多优点, 但是大量的不可避免的问题仍待解决。这些问题限制了神 经网络在复杂系统控制设计中的应用。为了解决问题,可以利用具有优秀函数逼 31

贵州大学硕士学位论文 近能力的基于单隐层前馈神经网络的ELM算法去参与自适应算法的构成。 受前述讨论的启发, 本章中提出一种新的神经网络控制方法——伪神经控制 机制去解决一类切换非线性随机系统的镇定问题。本机制主要有以下特点: 首先,与文献[10,17,40,43,45,53]比较,本章提出的方法极大地降低了使 用backstepping技术或者神经网络控制方法所设计的随机系统控制器的计算复 杂性。 本机制中的伪神经控制器具有相对简单的结构,它仅是一个由系统状态所 构成的简单函数而不是传统方法中的一个由系统状态和神经网络参数共同构成 的复杂函数。 所以伪神经控制器的性能不受神经网络算法参数变化的影响,基于 不同种类的神经网络算法所设计的伪神经控制器和基于不同种激活函数的同一 神经网络算法所设计的伪神经控制器具有相同的结构。 神经网络算法仅在伪神经 控制器的设计过程中起过渡的作用。 为此, 我们称这种机制为伪神经控制机制(伪 神经控制机制的控制方案主要由伪自适应律和伪神经控制律构成)。众所周知, 隐结点数量对神经网络控制机制的复杂性与神经控制器的控制品质均影响很大。 一般情况下, 隐结点数越多则神经网络控制器的设计就会越复杂,隐结点数量的 最优化选择已是一个重要的研究课题。在伪神经控制机制中,神经网络算法参数 的变化不影响伪神经控制器的控制品质, 则隐结点数量的变化也不会影响神经网 络控制机制的复杂性。 因此, 伪神经控制机制解决了隐结点数量最优化选择的难 题。 另一方面,与随机系统领域的文献[16,18,24,42,47,49]比较,本章提出在 伪神经网络控制机制中运用ELM算法而非传统的神经网络算法进行函数逼近。系 统非线性项被归入一个单输入单输出(或多输入单输出)函数, 此函数仅需要一个 基于ELM训练的带有附加节点的单隐层前馈神经网络加以补偿。 根据ELM算法的性 质, 单隐层前馈神经网络的隐藏层节点参数(输入权重和阈值)不必在训练期间进 行调整; 在没有任何目标函数先验信息的前提下单隐层前馈神经网络的隐藏层节 点参数可以依据任意给定的连续概率分布随机生成。 本章按如下结构安排: 首先研究了两类切换非线性随机系统的系统模型及其 模型的变换。其次依据多李雅普洛夫函数方法、backstepping技术、神经网络控 制技术和系统能量最速衰减原则提出一种新的神经网络控制机制——伪神经控 制机制并给出了总结性的结论。 最后,分别用数值例子来说明和验证了伪神经控 32

贵州大学硕士学位论文 制机制。

4.2 严格反馈切换非线性随机系统伪神经网络控制 4.2.1 系统描述
考虑如下严格反馈形式的切换非线性随机系统
?dxi ? xi ?1dt ? di? (t ) ( y )d ? , i ? 1, 2,? , n ? 1 ? ?dxn ? m? (t ) ( y )dt ? u? ( t ) dt ? d n? ( t ) ( y )d ? ? ? y ? x1

(4.1)

其中 xi ? ? , i ? 1, 2,?, n 表示系统状态, y ? x1 ? ? 表示系统的可测输出, u? (t ) ? ? 表示系统的连续控制输入。随机变量 ? 是定义在全概率空间 ? ?, F , ? ? 上的一个 r 维独立标准维纳过程。右连续函数 ? (?) :? 0,??? ? ? ??1, 2, ? ,l? 是切换信号,

? (t ) ? k 表示在 t 时刻切换系统的第 k 个子系统是激活的。di? (t ) (?), i ? 1, 2,?n 是已
知光滑非线性函数且 di? (t ) (0) ? 0 , i ? 1, 2,?n , m? (t ) (?) 则是未知光滑非线性函数。 4.2 节的研究目标是设计伪神经切换控制机制使得闭环系统(4.1)以概率全 局渐进稳定。 因为函数 di? (t ) (?), i ? 1, 2,?n 满足 di? (t ) (0) ? 0 , i ? 1, 2,?n , 所以 x ? 0 是闭环系 统(4.1) 的平衡点。根据平均值定理,下面的等式成立

di? (t ) ( y) ? y?i? (t ) ( y), i ? 1, 2,?n
其中 ?i? (t ) ( y), i ? 1, 2,?n 是已知非线性函数。

(4.2)

函数 mk ( y), k ? ? 是未知的,运用带有附加节点的单隐层前馈神经网络去逼 近函数 m? (t ) ( y) 。则闭环系统(4.1)转换为如下形式
?dxi ? xi ?1dt ? di? (t ) ( y )d ? , i ? 1, 2,? , n ? 1 ? ? ? ? ( t ) ( y )dt ? ? m? ( t ) ( y ) ? m ? ? ( t ) ( y ) ? dt ? u? ( t ) dt ? d n? ( t ) ( y )d ? ?dxn ? m ? ? ? y ? x1

(4.3)

? k ( y), k ? ? 是函数 mk ( y), k ? ? 的近似模型。4.2 节介绍由 ELM 训练的带有 其中 m
33

贵州大学硕士学位论文 附加节点的单隐层前馈神经网络作为函数逼近工具的伪神经控制机制。

4.2.2 误差动态
根据 ELM 算法的性质,当闭环系统(4.1)中的未知非线性函数 mk ( y), k ? ? 被 由 ELM 训练的带有附加节点的单隐层前馈神经网络逼近时, 单隐层前馈神经网络 的隐藏层节点参数(输入权重和阈值)不必在训练期间进行调整; 在没有任何目标 函数先验信息的前提下单隐层前馈神经网络的隐藏层节点参数可以依据任意给 定的连续概率分布随机生成。在这种情况下,方程式 ? k ?k ? ? 实际上是一个线 性系统。函数 mk ( y), k ? ? 的近似模型为
? k ( y, ?k ) ? ? j ?1? kj M (akj y ? bkj ) m
?

(4.4)

? k ( y, ?k ) 中存在的隐 其中 ? 表示单隐层前馈神经网络的隐藏层节点数目。既然 m
?? , 是随机指定的,那么我们就用通用参数集 藏层节点参数 ? ak j , bk j? , j ? 1, 2,

?? , 去简化它的表达形式。为此,式(4.4)简化为 ? a , b ? , j ? 1, 2,
j j

? k ( y, ?k ) ? ? j ?1?kj M (a j y ? b j ) m
?

(4.5)

对于确定的隐藏层节点参数 ? a j , b j ? , j ? 1, 2,? , ? ,训练单隐层前馈神经网络 实际上可简单地等效为寻找输出权重向量 ?k ? ?? kT1 ,? kT2 ,?,? kT? ? 的最小二乘解。
T

依据单隐层前馈神经网络的通用逼近理论,在逼近非线性函数 mk ( y) 的过程中存 在最优输出权重向量
? ? kj ? arg min ?sup mk ( y ) ? ? ? kj M (a j y ? b j ) ? ,1 ? j ? ?

? ?

?

? ? ? ?

? kj ??

? y?? ?

(4.6)

j ?1

使非线性函数 mk ( y) 具有如下模型

? k ( y, ?? mk ( y) ? m k ) ? hk ( y), k ? ?
其中 hk ( y), k ? ? 是逼近误差。

(4.7)

注 4.1:文献[14]已证明, 当单隐层前馈神经网络的隐藏层节点数目 H 不多于 34

贵州大学硕士学位论文
? 时, 有区别的训练样本的数目 ? 基于 ELM 算法训练的单隐层前馈神经网络能够以

零误差逼近所有的训练样本。 根据式(4.6)和式(4.7),闭环系统(4.1)进一步转换为

?dxi ? xi ?1dt ? di? (t ) ( y)d?, i ? 1, 2,?, n ? 1 ? * ? ? (t ) ( y, ?? ?dxn ? m ( t ) ) dt ? h? ( t ) ( y ) dt ? u? ( t ) dt ? d n? ( t ) ( y )d ? ? ? y ? x1

(4.8)

注 4.2: 非线性函数 mk ( y), k ? ? 被由 ELM 训练的带有附加节点的单隐层前 馈神经网络逼近。 根据 ELM 算法的性质,单隐层前馈神经网络的隐藏层节点参数 (输入权重和阈值)不必在训练期间进行调整; 在没有任何目标函数先验信息的前 提下单隐层前馈神经网络的隐藏层节点参数可以依据任意给定的连续概率分布 随机生成。不同于原始的 ELM 算法,4.2 节利用一个保证了闭环系统稳定的李雅
* 普洛夫函数综合合成单隐层前馈神经网络的最优输出权重向量 ?? (t ) 。

运用 Backstepping 技术设计闭环系统(4.1)的控制器。按照 Backstepping 设计的理念,定义如下坐标变换

? ? z1 ? y ? ? ? zi ? xi ? ? (i ?1)? (t ) ? y, x2 ,? , xi ?1 ? , 2 ? i ? n

(4.9)

其中光滑函数 ?(i ?1)? (t ) ? y, x2 ,?, xi ?1 ? , 2 ? i ? n 表示即将在 4.2 节中进行设计的虚拟
? 微分规则)和坐标变换(4.9), 控制器。 依据引理 2.1(It o 闭环系统(4.8)变换为
?dz1 ? ? z2 ? ?1? ( t ) ? dt ? d1? ( t ) ( y )d ? ? 2 i ?1 ?? ? ? ? 1 i ?1 ? ? (i ?1)? (t ) T xi ?1 ? ? (i ?1)? (t ) xl ?1 ? ? d e? (t ) ( y )d f ? (t ) ( y ) ? dt ?dzi ? ? ? ? ?xl 2 e, f ?1 ?xe ?x f l ?1 ? ? ? ? i ?1 ?? ? ? ? ? ? di? (t ) ( y ) ? ? (i ?1)? ( t ) dl? (t ) ( y ) ? d ? , 2 ? i ? n ? 1 ? ?xl l ?1 ? ? ? ? ? n ?1 ?? ? ? ? ( n ?1)? ( t ) * ? m ( y , ? ) ? h ( y ) ? u ? xl ?1 ? ? ? ? (t ) ? (t ) ? (t ) ? (t ) ? ?xl l ?1 ? dt ?dz ? ? n 2 ? 1 n ?1 ? ? ? ? ( n ?1)? ( t ) ?? ? ? ? d eT? (t ) ( y )d f ? (t ) ( y ) ? 2 e, f ?1 ?x ?x ? ? e f ? ? ? n ?1 ?? ? ? ? ( n ?1)? ( t ) ? ? d n? (t ) ( y ) ? ? dl? (t ) ( y ) ? d ? ? ?xl l ?1 ? ? ?

(4.10)

35

贵州大学硕士学位论文 4.2 节 提 出 了 伪 神 经 控 制 机 制 。 一 方 面 , 本 机 制 极 大 地 降 低 了 使 用 backstepping 技术或者神经网络控制方法所设计的控制器的计算复杂性。本机 制中的伪神经控制器具有相对简单的结构, 它仅是一个由系统状态所构成的简单 函数。本机制也解决了隐结点数量最优化选择的难题。另一方面,本机制中运用 ELM 算法而非传统的神经网络算法进行函数逼近。未知系统非线性时滞项被归入 一个单输入单输出函数, 此函数仅需要一个基于 ELM 训练的带有附加节点的单隐 层前馈神经网络加以补偿。 4.2.3 节介绍基于 ELM 算法的伪神经控制机制中的子系统伪神经控制器和子 系统伪自适应律的设计过程。

4.2.3 子系统伪神经控制器设计
为了设计子系统伪神经控制器和子系统伪自适应律, 引入如下的李雅普洛夫 函数

Vk ?

1 n 4 1 zi ? ? 4 i ?1 2 pk

* 2 ) ? ? (?kj j ?1

?

hk2 2qk

(4.11)

* 其中 ?kj 是在式(4.6)中定义的单隐层前馈神经网络的最优输出权重向量,hk 是在

式(4.7)中定义的有限近似误差, pk , qk 是已知常数,? 是单隐层前馈神经网络的 隐藏层节点数。 注 4.3 :四次形式李雅普洛夫函数能够轻松地简化引理 1 中的单项式

1 ? T ? 2V Tr ? g 2 ? ?x 2

? g ? ,所以文献[13-14]中选用四次形式李雅普洛夫函数而不是二次 ?

形式李雅普洛夫函数。 为此, 式(4.11)中也选用了四次形式李雅普洛夫函数单项

1 1 n 4 式 ? zi 。另外,式 (4.11) 中使用单项式 4 i ?1 2 pk
backstepping 技术引入的多余项。

hk2 抵消被 (? ) 和单项式 ? 2qk j ?1
* 2 kj

?

根据定理 2.2, 李雅普洛夫函数(4.11)沿着切换系统(4.1)的第 k 个子系统的 轨迹的无穷小算子 LVk 应为

36

贵州大学硕士学位论文
n ?1 ?? ? ? * ? ( n ?1) k ? M ( a y ? b ) ? h ( y ) ? u ? xl ?1 ? ? ? ? kj j j k k ?xl l ?1 ? 3 ? j ?1 LVk ? zn 2 ? 1 n ?1 ? ? ? ( n ?1) k T ?? ? ? d ek ( y )d fk ( y ) ? 2 e, f ?1 ?x ?x ? e f ? ? i ?1 ?? i ?1 ?? ? ? ? ? 3 n ? ? zi2 ? dik ( y ) ? ? ( i ?1) k dlk ( y ) ? ? d ik ( y ) ? ? (i ?1) k d lk ( y ) ? 2 i ?1 ? ?xl ?xl l ?1 l ?1 ? ? ? 2 i ?1 ?? ? ? 1 i ?1 ? ? (i ?1) k T ( i ?1) k ? ? z ? xi ?1 ? ? xl ?1 ? ? d ek ( y )d fk ( y ) ? ? ? ?xl 2 e, f ?1 ?xe ?x f i ?1 l ?1 ? ? n ?1 3 i T

?

1 pk

* ?* ?kj ? ??kj j ?1

?

? hk h k qk

(4.12)

利用坐标变换(4.9)和,式(4.12)变为
2 n ?1 ?? ? ? 1 n ?1 ? ? ( n ?1) k T ( n ?1) k LVk ? z ? uk ? ? xl ?1 ? ? d ek ( y )d fk ( y ) ? ? ? ?xl 2 e, f ?1 ?xe ?x f l ?1 ? ? 3 n

2 n ?1 n ?1 i ?1 ?? ? ? 1 i ?1 ? ? (i ?1) k T ( i ?1) k ? ? zi3 zi ?1 ? ? zi3 ? ? ik ? ? xl ?1 ? ? d ek ( y )d fk ( y ) ? ? ? ?xl 2 e, f ?1 ?xe ?x f i ?1 i ?1 l ?1 ? ? i ?1 ?? i ?1 ?? ? ? ? ? 3 n ? ? zi2 ? dik ( y ) ? ? (i ?1) k dlk ( y ) ? ? dik ( y ) ? ? ( i ?1) k dlk ( y ) ? 2 i ?1 ? ?xl ?xl l ?1 l ?1 ? ? ? T

?* ? 3 ? kj ? ? ? ? zn M ( a j y ? b j ) ? ? pk j ?1 ?
? * kj

? ? ?h 3? ? hk ? k ? zn ? ? ? ? qk ? ?

(4.13)

根据引理 2.2(Young 不等式)和式(4.2),可以获得如下不等式去简化上述等 式(4.13)。

?z z
i ?1

n ?1

3 i i ?1

3 n ?1 4 1 n z4 ? ? ? k31i zi4 ? ? 4 i 4 i ?1 4 i ? 2 ? k1? i ?1?
T

(4.14)

i ?1 ?? i ?1 ?? ? ? ? 3 n 2? ( i ?1) k ( i ?1) k z d ( y ) ? d ( y ) d ( y ) ? d lk ( y ) ? ? ? ik ? ? ? i ? ik lk 2 i ?1 ? ?xl ?xl l ?1 l ?1 ? ? ?

2 2 i ?1 i ?1 ?? ? ?? (i ?1) k ?? (i ?1) k ? ? (i ?1) k ? ? 4 3 n 1 ? ? ? ? 2 1? ? ? z ? ? 2? ? ? ? ? i 4 i ?1 ? k 2i ? m,l ?1 ? ?xm ?xl ? ? x l ?1 ? l ? ? ?

?

2 3 n 2 i T ? k 2i ? ? ?mk ( y)?lk ( y) ? z14 ? 4 i ?1 m,l ?1

(4.15)

把式(4.14)-(4.15)代入式(4.13), 37

贵州大学硕士学位论文
2 n ?1 ?? ? ? zn 1 n ?1 ? ? ( n ?1) k T ( n ?1) k u ? ? x ? d ek ( y )d fk ( y ) ? ? k ? ? l ?1 4 4? k 1? n ?1? l ?1 ?xl 2 e, f ?1 ?xe ?x f ? ? 3 LVk ? zn ? ? 2 2 n ?1 n ?1 ?? ? ?? ( n ?1) k ?? ( n ?1) k ? ? ( n ?1) k ? ? ? ? 3 ? ? zn ? 1? ? ? ? 2? ? ? ? ?? 2 ? ? 4? k 2 n ? m,l ?1 ? ?xm ? ?xl ? ?xl ? ? l ?1 ? ? ? ? ? 2 i ?1 ?? ? ? ?3 4 1 ? 1 i ?1 ? ? (i ?1) k T ? ? ik ? ? ? k31i ? 4 ? zi ? ? (i ?1) k xl ?1 ? ? d ek ( y )d fk ( y ) ? ?4 4? k1?i ?1? ? ?xl 2 e, f ?1 ?xe ?x f ? ? n ?1 l ?1 ? ? 3 ? ? ? ? zi 2 2 i ?1 i ? 1 ? ? ? ? i ?2 ?? (i ?1) k ? ? ?? ? ?? ? 3 ? ? 2 ?1 ? ? ? (i ?1) k ? ? 2? ? (i ?1) k ? ? zi ? ? 4? k 2i ? m,l ?1 ? ?xm ? ?xl ? ?xl ? ? l ?1 ? ? ? ? ? i 2 ? ? 3 4 3 3 n T ? z13 ? ?1k ? ( ? k311 ? 2 ) z1 ? ? ? k22i ? ? ? mk ( y ) ? lk ( y ) ? z1 ? 4 4? k 21 4 i ?1 m ,l ?1 ? ?

* ? ? 3 ? ??kj ?h 3? ??? ? zn M (a j y ? b j ) ? ? ? hk ? k ? zn ? ? ? pk ? j ?1 ? qk ? ? ? * kj

(4.16)

? ,? ?* 和伪神经控制律 u 如果选择如下的伪自适应律 h k k kj

? ? ?q z3 h k k n ?* ? ? p z3M (a y ? b ), j ? 1,2,?, ? ? kj k n j j

(4.17) (4.18) (4.19)

?1k ? ?ck1 z1 ? ? ? k311 ?
?4

?3

4

2 3 ? 3 n 2 i T z ? ? k 2i ? ? ?mk ( y) ?lk ( y) ? z1 ? 2 ? 1 4? k 21 ? 4 i ?1 m,l ?1

2 i ?1 ?? ?3 4 1 ? 1 i ?1 ? ?(i ?1) k T ( i ?1) k 3 ?ik ? ?cki zi ? ? ? k1i ? 4 ? zi ? ? xl ?1 ? ? dek ( y)d fk ( y) ?4 ? 4 ? ? x 2 l ?1 e , f ?1 ?xe ?x f l k 1 i ? 1 ? ? ? ?

i ?1 ?? ? (i ?1) k ? 3 ? i ?1 ? ?? (i ?1) k ?? (i ?1) k ? ? 2 ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 4? k 2i ? m,l ?1 ? ?xm ?xl ? ?xl ? l ?1 ? ? 2

2

? ? zi , i ? 2,3,?, n ? 1(4.20) ? ?

uk ? ?ckn zn ?

4? k41? n ?1?

zn

??
l ?1

n ?1

?? ( n ?1) k ?xl

1 n ?1 ? ? ( n ?1) k T xl ?1 ? ? d ek ( y )d fk ( y ) 2 e, f ?1 ?xe ?x f
2

2 2 n ?1 n ?1 ?? ? ?? ( n?1) k ?? ( n?1) k ? ? ( n?1) k ? ? 3 ? ? 2 ?1 ? ? ? ? ? 2? ? ? ? zn 4? k 2 n ? m,l ?1 ? ?xm ?xl ? ?xl ? ? l ?1 ? ? ?

(4.21)

其中 cki , i ? 1, 2,?, n 是已知正实数。基于 ELM 训练的单隐层前馈神经网络的激活 函数 M (a j y ? bj ), j ? 1, 2,?, ? 可选用 Sigmoidal 函数、 Sine 函数、 Hardlim 函数、 三角基函数和径向基函数等。则李雅普洛夫函数(4.11)沿着切换系统(4.1)的第 38

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k 个子系统的轨迹的无穷小算子 LVk 是负定的。

LVk ? ?? i ?1 cki zi4
n

根据定理 2.2,伪自适应律和伪神经控制律(4.17)-(4.21)可以保证切换系 统(4.1)的第 k 个子系统是以概率全局渐进稳定的。 注 4.4 : 与 文 献 [10,17,40,43,45,53] 比 较 , 本 机 制 极 大 地 降 低 了 使 用 backstepping技术或者神经网络控制方法所设计的随机系统控制器的计算复杂 性。 本机制中的伪神经控制器具有相对简单的结构,它仅是一个由系统状态所构 成的简单函数。 伪神经控制器的性能不受神经网络算法参数变化的影响,基于不 同种类的神经网络算法所设计的伪神经控制器和基于不同种激活函数的同一神 经网络算法所设计的伪神经控制器具有相同的结构。 神经网络算法仅在伪神经控 制器的设计过程中起过渡的作用。为此,我们称这种机制为伪神经控制机制(伪 神经控制机制的控制方案主要由伪自适应律和伪神经控制律构成)。 注4.5:与传统的神经网络控制机制比较,神经控制器仅是一个由系统状态

? ,? ?* 的变化不会影响伪神经控制器的结构,所以伪 所构成的简单函数,参数律 h k kj
神经控制机制并不属于自适应控制方法。 为了区别传统神经网络控制中的自适应

? ,? ?* 为伪自适应律,相应的神经控制器为伪神经控制器。 律, 我们称这种参数律 h k kj

4.2.4 切换律设计
在伪自适应律和伪神经控制律(4.17)-(4.21)的作用下, 4.2.4 节主要依据各 个子系统的衰减速度来设计切换系统(4.1)的切换律。 依据 4.2.3 节中的理论和多李雅普洛夫函数方法,可以用如下的方式去安排 系统切换来保证切换系统(4.1) 是以概率全局渐进稳定的[7]。 设 t 0 为初始时刻。设定初始条件

x(t0 ) ? ( x1 (t0 ), x2 (t0 ),?, xn (t0 ))T

(4.22) (4.23)

? (t0 ) ? arg min{LVk (t0 )}
1? k ? N

其中符号“ arg min ”表示达到最小值的指标。 39

贵州大学硕士学位论文 取第一次切换时刻和相应的切换指标分别为
t1 ? inf t ? t0 there exists a i ? ? , i ? ? (t0 ) such that LVi (t1 ) ? LV? (t0 ) (t1 )

?

?

(4.24) (4.25)

? (t1 ) ? arg min ? LVk (t1 )?
1? k ? N

按照递归法,第 s 次切换时刻和相应的切换指标应分别为
ts ? inf t ? ts ?1 there exists a i ? ? , i ? ? (ts ?1 ) such that LVi (ts ) ? LV? (ts?1 ) (ts ) , s ? 2

?

?

(4.26) (4.27)

? (ts ) ? arg min ?LVk (ts )? , s ? 2
1? k ? N

其中 s 表示第 s 次切换。此外,结合 4.2 节中的计算方法,可以导出李雅普洛夫 函数(4.11)沿着切换系统(4.1)的第 k 个子系统的轨迹的无穷小算子为
2 2 ? n ?1 n ?1 ?? ? ? ?? ( n ?1) k ?? ( n ?1) k ? ? ( n?1) k ? ? ? 1 3 ?1 ? ? ? LVk ? z ? ?ckn ? 4 ? ? ? 2? ? ? ?? ? 4? k1? n ?1? 4? k22 n ? m,l ?1 ? ?xm ?xl ? ?xl ? ? ? l ?1 ? ? ?? ? 4 n 2 i ?1 ?? ? ? 1 i ?1 ? ? (i ?1) k T ( i ?1) k ? ? z ? xi ?1 ? ? xl ?1 ? ? dek ( y )d fk ( y) ? ? ? ?xl 2 e, f ?1 ?xe ?x f i ?1 l ?1 ? ? n ?1 3 i
i ?1 ?? i ?1 ?? ? ? ? ? 3 n ( i ?1) k ( i ?1) k ? ? zi2 ? dik ( y ) ? ? dlk ( y ) ? ? dik ( y ) ? ? dlk ( y ) ? (4.28) 2 i ?1 ? ?xl ?xl l ?1 l ?1 ? ? ? T

注 4.6:切换律的设计方法能够保证其有效性。式(4.28)可由伪神经控制机 制(4.17)-(4.21)和式(4.13)计算, 相应的切换律可按式(4.22)-(4.27)进行递归 计算。 根据 4.2 节中的稳定性分析,可以得到理论 4.1。 理论 4.1:在伪神经切换控制机制(4.17)-(4.28)的作用下,严格反馈形式 的切换非线性随机系统(4.1)是以概率全局渐近稳定的。

4.2.5 仿真
在 4.2.5 节中, 我们将要给出一个数值仿真例子来验证前面所得结论的正确 性。仿真例子是基于 Matlab 下编写并在微型计算机(搭载主频 2.6GHZ 的 AMD 速 龙双核处理器)下运行的程序。 例 4.1: 考虑 N ? 2 的严格反馈形式的切换非线性随机系统,它的两个子系统为

40

贵州大学硕士学位论文

?dx1 ? x2 dt ? x1d? ? ?1 ?dx2 ? x1e x1 In( x12 ? 1)dt ? u1dt ? x1 ( x1 ? 1)d ? , ?y ? x 1 ? ?dx1 ? x2 dt ? x1d? ? 和 ? 2 ?dx2 ? 2 x1 ?1 (1 ? x1 ) 2 sin x1dt ? u2 dt ? x1 sin x1d ? ?y ? x 1 ?
依据 4.2 节提出的伪神经切换控制机制(4.17)-(4.28),结合 4.2 节中的计 算方法,例 4.1 中闭环系统的伪自适应律和伪控制律应为
3 ? h ? ( t ) ? ? q? ( t ) z2 3 ?* ? ? ( t ) j ? ? p? ( t ) z2 M ( a j y ? b j ),

j ? 1, 2,? , ? 3

?1? (t ) ? ?c? (t )1 z1 ? ? ? ?3(t )11 ?
u? (t ) ? ?c? (t )2 z2 ? ? 3
2 4? ? ( t )22

?3 ?4 ?

4

4 4? ? ( t )11

z2

i ? 2 3 2 2 T z ? ? ?m ( y ) ?l? (t ) ( y ) ? z1 ? ? ? ? 1 ? ( t )2 i ? ( t ) 2 2? ? ( t )21 ? 4 i ?1 m ,l ?1 ? 2 ??1? ( t ) 1 ? ?1? ( t ) T ? x2 ? d1? ( t ) ( y )d1? ( t ) ( y ) ?x1 2 ?x12

2 ? ? ??1? ( t ) ?4 ? ??1? (t ) ? ? ?1 ? ? ? 2? ? ? z2 ? ? ?x1 ? ?x1 ? ? ? ? ? ?

其中 ? (t ) 表示在式(4.22)-(4.27)中所设计的切换律, 相应的李雅普洛夫函数沿 着例 4.1 中切换系统的第 k 个子系统的轨迹的无穷小算子为
2 ? ? ? ?? ?4 ? ??1k ? ? ? 3 1 3 1 k ? ? z1 x2 LVk ? z ? ?ck 2 ? 4 ? 2 ?1 ? ? ? ? 2? ? ? ? ? 4? k11 4? k 22 ? ? ?x1 ? ? x ? 1 ? ?? ? ? ? 4 2 i ?1 ?? i ?1 ?? ? ? ? ? 3 2 ( i ?1) k ( i ?1) k ? ? zi2 ? dik ( y ) ? ? dlk ( y ) ? ? dik ( y ) ? ? dlk ( y ) ? 2 i ?1 ? ?xl ?xl l ?1 l ?1 ? ? ? T

* 在 例 4.1 中 , 初 始 条 件 为 x? (t ) (0) ? (0.5, ?0.5)T , h? (t ) (0) ? 0,?? (t ) j (0) ? 0 和

u? (t ) (0) ? 0 。设控制器设计参数如下 q? (t ) ? p? (t ) ? ?? (t )11 ? ?? (t )21 ? ?? (t )22 ? c? (t )1 ? c? (t )2 ? 1 。
单 隐 层 前 馈 神 经 网 络 的 隐 藏 层 节 点 数 为 20 。 此 外 , 附 加 节 点 激 活 函 数

M (a j y ? bj ) ? sin(a j ? y ? bj ) 被用于仿真实例中的计算。依据 ELM 算法的性质,单
隐层前馈神经网络的隐层节点参数 (a j , b j ) (输入权重和阈值)是各自在区间 [?1,1] 和区间 [0,1] 上随机选取的。 由图 4-1 到图 4-6 看出, 本章提出的伪神经切换控制 机制(4.17)-(4.28)很好的完成使闭环系统(4.1)达到全局渐近稳定的控制目标。 41

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1

0

control law u?(t) for switched system

-1

-2

-3

-4 control law u?(t) for switched system -5 0 1 2 3 4 5 6 Time(Sec) 7 8 9 10

图 4-1 控制律 u? (t )
0.6

0.5

system state x 1 for switched system

0.4

0.3

0.2

0.1

0 system state x 1 for switched system -0.1 0 1 2 3 4 5 6 Time(Sec) 7 8 9 10

图 4-2 系统状态 x1
1

0

system state x 2 for switched system

-1

-2

-3

-4

-5 system state x 2 for switched system -6 0 1 2 3 4 5 6 Time(Sec) 7 8 9 10

图 4-3 系统状态 x2

42

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3 x 10
-3

2.5

h?(t) for switched system

2

1.5

1

0.5 h?(t) for switched system 0 0 1 2 3 4 5 6 Time(Sec) 7 8 9 10

图 4-4 伪自适应律 h? (t )
3 x 10
-3

2

for switched system ?* ?(t)

1

0

-1

-2

?* for switched system ?(t)
-3 0 1 2 3 4 5 6 Time(Sec) 7 8 9 10

* 图 4-5 伪自适应律 ?? (t )

3

2.5

switching signal ? (t)

2

1.5

1

0.5 switching signal ? (t) 0 0 1 2 3 4 5 6 Time(Sec) 7 8 9 10

图 4-6 切换信号 ? (t )

43

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4.3 切换非线性随机时滞系统伪神经网络控制 4.3.1 系统描述
考虑如下严格反馈形式的切换非线性随机时滞系统

?dxi ? [ xi ?1 ? fi? (t ) ( xi ) ? mi? (t ) ( xi , xi (t ? d (t )))]dt ? ni? (t ) ( xi , xi (t ? d (t )))d ? ? ?dxn ? [u? (t ) ? f n? (t ) ( xn ) ? mn? (t ) ( xn , xn (t ? d (t )))]dt ? nn? (t ) ( xn , xn (t ? d (t )))d ? (4.29) ? y ? x 1 ? i ? n ? 1 ? 1 ? y (t ) ? ? (t ) ?? ? t ? 0 ?
其 中 x ?[ x , n , x ] i, ? x ( 1 , x 2?
1

x [2 ? x ,

i

, x , i? ? ] x) , ? i ? , 表1示 ,n 2系 , 统 ,状态,

随机变量 ? y ? x1 ? ? 表示系统的可测输出, u? (t ) ? ? 表示系统的连续控制输入。 是定义在全概率空间 ? ?, F , ? ? 上的一个 r 维独立标准维纳过程。右连续函数

? (?) :? 0,??? ?? ?? 1, 2, ? l, ? 是切换信号,? (t ) ? k 表示在 t 时刻切换系统的第 k
个子系统是激活的。已知光滑非线性函 fi? (t ) (?): ? i ? ? , mi? (t ) (?): ? i ? ? , ni? (t ) (?): ? i ? ? 。 时滞 d (t ) 是已知的且满足条件 d (t ): ? ? ? ?0,? ?, d ' ?t ? ? d ? 1 。 4.3 节的研究目标是设计伪神经切换控制机制使得闭环系统 (4.29)以概率 全局渐进稳定。 在 4.3 节中, 所有的已知非线性函数仅需要一个带有附加节点或 者径向基节点的单隐层前馈神经网络加以补偿。 实际上,可以运用 Backstepping 技术设计闭环系统(4.29)的控制器。按照 Backstepping 设计的理念,定义如下坐标变换

? z1 ? y ? ? zi ? xi ? ? (i ?1)? (t ) ( y, x2 ,?, xi ?1 ), 2 ? i ? n

(4.30)

其中光滑函数 ?(i ?1) k ? y, x2 ,?, xi ?1 ? , 2 ? i ? n, k ? ? 表示即将在本章中进行设计的虚 拟控制器。
? 微分规则)和坐标变换(4.30),闭环系统(4.29)变换为 依据引理 2.1(It o

dz1 ? ? ? x2 ? f1? (t ) ( x1 ) ? m1? ( t ) ( x1 , x1 (t ? d (t ))) ? ? dt ? n1? ( t ) ( x1 , x1 (t ? d (t )))d ?

44

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i ?1 ?? ? ? ( i ?1)? ( t ) ? x ? f ( x ) ? m ( x , x ( t ? d ( t ))) ? fl? (t ) ( xl ) ? ml? (t ) ( xl , xl (t ? d (t ))) ? ? i? ( t ) i i ? i ?1 i? (t ) i ? ? ? ?xl l ?1 ? ? dzi ? ? ? dt 2 i ?1 ?? i ?1 ? ? 1 ( i ? 1) ? ( t ) ( i ? 1) ? ( t ) T ?? ? xl ?1 ? ? ne? (t ) ( xe , xe (t ? d (t )))n f ? (t ) ( x f , x f (t ? d (t ))) ? ? ? ? x 2 ? x ? x e , f ?1 l e f ? l ?1 ?

i ?1 ?? ? ? ( i ?1)? ( t ) ? ?ni? (t ) ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nl? (t ) ( xl , xl (t ? d (t ))) ? d? ?xl l ?1 ? ?
n ?1 ?? ? ? ( n ?1)? ( t ) u ? f ( x ) ? m ( x , x ( t ? d ( t ))) ? [ fl? (t ) ( xl ) ? ml? (t ) ( xl , xl (t ? d (t )))]? ? n? ( t ) n n ? ? (t ) n? (t ) n ?xl l ?1 ? ? dzn ? ? ? dt 2 n ?1 ?? n ?1 ? ? 1 ( n ?1)? ( t ) ( n ?1)? ( t ) ?? ? xl ?1 ? ? ne? (t ) ( xe , xe (t ? d (t )))nT ? f ? ( t ) ( x f , x f (t ? d (t ))) ? l ?1 ?xl ? 2 ? x ? x e , f ?1 e f ? ?

n ?1 ?? ? ? ( n ?1)? ( t ) ? ?nn? (t ) ( xn , xn (t ? d (t ))) ? ? nl? (t ) ( xl , xl (t ? d (t ))) ? d? ?xl l ?1 ? ?

(4.31)

4.3 节提出了伪神经控制机制。在没有设计系统观测器或应用任何需要对系 统进行特殊限制才能使用的引理(如平均值定理)的条件下,本机制以简单的方 法保证了系统的稳定性。一方面,本机制极大地降低了使用 backstepping 技术 或者神经网络控制方法所设计的控制器的计算复杂性。另一方面,本机制中运用 ELM 算法而非传统的神经网络算法进行函数逼近。系统非线性时滞项被归入一个 多输入单输出函数, 并用一个基于 ELM 训练的带有附加节点的单隐层前馈神经网 络加以补偿。 4.3.2 节介绍基于 ELM 算法的伪神经控制机制中的子系统伪神经控制器和子 系统伪自适应律的设计过程。

4.3.2 子系统伪神经控制器设计
为了设计子系统伪神经控制器和子系统伪自适应律, 引入如下的李雅普洛夫 函数

Vk ?

1 n 4 1 zi ? ? 4 i ?1 1? d

?

t

t ?d (t )

?1 ? ( x , x (s))ds ? ?kT ?k ?k ?

1 2

hk2 2 ?k

(4.32)

1 其中 ?k 是单隐层前馈神经网络的输出权重向量, hk 是有限近似误差。 ? ? k 是已知

的正定对称矩阵, ?k 是已知常数, ? ( x , x ( s)) 是有待确定的正函数。 45

贵州大学硕士学位论文 注 4.7 :四次形式李雅普洛夫函数能够轻松地简化引理 1 中的单项式
1 ? T ? 2V ? ,所以文献[7-8]中选用四次形式李雅普洛夫函数而不是二次形 Tr ? g g? 2 ? ?x 2 ?

式李雅普洛夫函数。 为此, 式(4.32)中也选用了四次形式李雅普洛夫函数单项式
1 T ?1 hk2 1 n 4 ? zi 。式(4.32)中使用单项式 2 ? k ? k ? k 和单项式 2? 抵消被 backstepping 技 4 i ?1 k

术引入的多余项。为了在计算中消去时滞项,把单项式 入李雅普洛夫函数(4.32)中。

1 1? d

?

t

t ?d (t )

? ( x , x ( s))ds 引

根据定理 2.2,李雅普洛夫函数(4.32)沿着切换系统(4.29)的第 k 个子系统 的轨迹的无穷小算子 LVk 应为
n ?1 ?? ? ? ( n ?1) k ? flk ( xl ) ? mlk ( xl , xl (t ? d (t )))?? ?uk ? f nk ( xn ) ? mnk ( xn , xn (t ? d (t ))) ? ? ?xl l ?1 ? 3? LVk ? zn ? n ?1 ? 2 n ? 1 ? ? ( n ?1) k T ?? ?? ( n ?1) k x ? 1 ? nek ( xe , xe (t ? d (t )))n fk ( x f , x f (t ? d (t ))) ? l ?1 ? ? ? 2 e, f ?1 ?xe ?x f ? l ?1 ?xl ?

i ?1 ?? ? ? ( i ?1) k x ? f ( x ) ? m ( x , x ( t ? d ( t ))) ? flk ( xl ) ? mlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ?? ? ? i ?1 ik i ik i i ? n ?1 ?xl l ?1 ? ? ?? zi3 ? ? 2 i ?1 i ?1 ? ? i ?2 ( i ?1) k T ?? ?? (i ?1) k x ? 1 ? nek ( xe , xe (t ? d (t )))n fk ( x f , x f (t ? d (t ))) ? l ?1 ? ? ? 2 e, f ?1 ?xe ?x f ? l ?1 ?xl ?

? y 3 ? x2 ? f1k ( y ) ? m1k ( y, y (t ? d (t ))) ? ?
?

3 2 y n1k ( y, y (t ? d (t )))n1Tk ( y, y (t ? d (t ))) 2
T

i ?1 ?? i ?1 ?? ?? ? 3 n 2? ( i ?1) k ( i ?1) k zi ?nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? ?nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? ? 2 i ?2 ? l ?1 ?xl l ?1 ?xl ?? ?

?

1 1 ? d ?(t ) ? ?T ??1? ? hk h ? (x , x)? ( x , x (t ? d (t ))) ? ? k k k 1? d 1? d ?k k

(4.33)

注 4.8: 不同于 4.2 节, 为了把 ELM 算法更方便地运用到伪神经控制机制中,
1 ?1 ? k 沿着闭环系统(4.29)的第 k 个子系统的轨迹的无穷 李雅普洛夫单项式 ? kT ? k 2
T ?1 ? ?T ??1? 而非 ? T ??1? ? ?T ?1 小算子计算为 ? k k k k k k 。根据矩阵知识,实际上 ?k ?k ?k 与 ?k ?k ?k 是

相等的。 46

贵州大学硕士学位论文 利用坐标变换(4.30),式(4.33)变为
n ?1 ?? i ?1 ?? n ?1 ? n?1 3 ? ? 3 ( n ?1) k ( i ?1) k 3? LVk ? zn u ? x ? z ? ? x ? y ? ? zi3 zi ?1 ? ? ? ? k ? l ?1 ? i ? ik l ?1 ? 1k ?xl ?xl l ?1 l ?1 i ?1 ? ? i ?2 ? ?

?? zi3 ? fik ( xi ) ? mik ( xi , xi (t ? d (t )))? ? ? zi3 ?
i ?1 i ?2 l ?1

n

n

i ?1

??(i ?1) k ?xl

? flk ( xl ) ? mlk ( xl , xl (t ? d (t )))?

i ?1 ? ? 1 n ( i ?1) k ? ? zi3 ? nek ( xe , xe (t ? d (t )))nT fk ( x f , x f (t ? d (t ))) 2 i ?2 e, f ?1 ?xe ?x f 2
i ?1 ?? i ?1 ?? ?? ? 3 n 2? ( i ?1) k ( i ?1) k zi ?nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? ?nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? ? 2 i ?1 ? ? x ? x l ?1 l ?1 l l ?? ? T

?

?

1 1 ? d ?(t ) ? ?T ??1? ? hk h ? (x , x)? ( x , x (t ? d (t ))) ? ? k k k 1? d 1? d ?k k

(4.34)

根据引理 2.2(Young 不等式),可以获得如下不等式去简化上述等式(4.34)。

? zi3 zi?1 ?
i ?1
n

n ?1

3 n?1 4 1 n zi4 3 4 ? z ? ? k1i i 4 ? 4 4 i ?1 i ? 2 ? k1( i ?1)

(4.35)

?z ? f
i ?1 3 i

ik

( xi ) ? mik ( xi , xi (t ? d (t ))) ?

?
n

4 ? 4 1 n 1 3 n ? 4 1 n 1 4 4 3 3 ? ? ? z ? f ( x ) ? mik ( xi , xi (t ? d (t ))) (4.36) ? k 2i k 3i ? i ? ? ? ik i 4 4 4 i ?1 ? 4 i ?1 ? k 2i 4 i ?1 ? k 3i ?

?? zi3 ?
i ?2 l ?1

i ?1

?? (i ?1) k ?xl

? flk ( xl ) ? mlk ( xl , xl (t ? d (t )))?

4 ? 3 n ? 4 1 n 1 ? ? ? ? k34i ? ? k35i ? zi4 ? ? 4 4 i ?2 ? 4 i ? 2 ? k 4i ?

?
l ?1

i ?1

?? (i ?1) k ?xl
4

4

flk ( xl )

1 n 1 ? ? 4 4 i ? 2 ? k 5i

?
l ?1

i ?1

?? (i ?1) k ?xl

mlk ( xl , xl (t ? d (t )))

(4.37)

i ?1 ? ? 1 n ( i ?1) k ? ? zi3 ? nek ( xe , xe (t ? d (t )))nT fk ( x f , x f (t ? d (t ))) 2 i ?2 e, f ?1 ?xe ?x f 2
2 1 n 2 6 i ?1 ? ? ? (i ?1) k ? ? ? k 6i zi ? ? ? 4 i ?2 e , f ?1 ? ?xe ?x f

? ? ? ?

2

47

贵州大学硕士学位论文

?

1 n 1 ? 4 i ?2 ? k26i

e , f ?1

?n

i ?1

ek

( xe , xe (t ? d (t )))nT fk ( x f , x f (t ? d (t )))

2

(4.38)
T

i ?1 ?? i ?1 ?? ?? ? 3 n 2? ( i ?1) k ( i ?1) k zi ? nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? ?nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? ? 2 i ?1 ? ?xl ?xl l ?1 l ?1 ?? ?

i ?1 ? ?? ?? (i ?1) k 3 n 2 ? ? ? ? k 7 i ?1 ? ? ? (i ?1) k 4 i ?1 ?x f ? e, f ?1 ? ? ?xe ?

2 2 i ?1 ?? ? ? (i ?1) k ? ? 4 ? 2? ? ? ? ? zi ? ? x l ? 1 l ? ? ? ? ?

?

3 n 1 ? 4 i ?1 ? k27 i

e , f ?1

?

i

nek ( xe , xe (t ? d (t )))nT fk ( x f , x f (t ? d (t )))

2

(4.39)

把式(4.35)-(4.39)代入式(4.34),
2 ? ? 2 n ?1 ?? 1 2 3 n ?1 ? ? ? ( n ?1) k ? ( n ?1) k ?u ? ? xl ?1 ? ? k 6 n zn ? ? ? ? k ? ? ? ? ? x 4 ? x ? x l ?1 e , f ?1 ? l e f ? ? ? 4 4 4 4 ? 1? 1 ? ? ? 3 ? 3 3 3 3 LVk ? zn ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? z ? ? ? k 2n k 3n k 4n k 5n ? ??4 ? n 4 ? ? ? k 1( n ?1) ? ? ? 2 2? n ?1 ? ?? n ?1 ?? ? ? 3 2 ? ? ? ( n ?1) k ?? ( n ?1) k ( n ?1) k ? ? zn ? ? 2? ? ? ? ? ? ? k 7 n ?1 ? ? ? ?x f ? ?xl ? ? ? ? e , f ?1 ? l ?1 ? ? ?xe ? ? 4 ? ? ? ? 2 ? ? 2 i ?1 ?? 1 2 3 i ?1 ? ? ? ( i ?1) k ? ( i ?1) k ?? ? ? xl ?1 ? ? k 6i zi ? ? ? ? ik ? ? ? ? ? x 4 ? x ? x l ?1 e , f ?1 ? l e f ? ? ? 4 4 4 4 4 ? 1? 1 ? n ?1 ? ? ? ? ? zi3 ? ? ? 4 ? 3? k31i ? 3? k32i ? 3? k33i ? 3? k34i ? 3? k35i ? zi ? ? ? i ?2 ? 4 ? ? k 1( i ?1) ? ? ? ? 2 2 i ?1 ? ?? i ?1 ? ? 3 2 ? ? ?? ( i ?1) k ? ? ? ( i ?1) k ?? ( i ?1) k ? 2? ? ? ? ? zi ? ? ? ? k 7 i ?1 ? ? ? ? ?x ? 4 ? x ? x ? e , f ? 1 l ? 1 e f l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 ? ? ?T ?1 hk ? 3 4 ? y 3 ??1k ? (? k311 ? ? k321 ? ? k331 ? ? k271 ) y ? ? ? h k ?k ?k ? 4 ?k k ? ? 1 n 1 ? ? 4 ? ? ? ( x , x (t ? d (t ))) ? 4 ? ? 4 mik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? i ?1 k 3i ? ? 4 ? ? n i ?1 ?? 1 ( i ?1) k ?? 1 ? mlk ( xl , xl (t ? d (t ))) 4 ? ? 4? ? ?xl i ? 2 ? k 5 i l ?1 ? ?? ? 1 n 1 i ?1 2? T ? ? ? 2 ? nek ( xe , xe (t ? d (t ))) n fk ( x f , x f (t ? d (t ))) ? ? 4 i ? 2 ? k 6i e , f ?1 ? ? 3 n 1 i ? 2 ? ? ? 2 ? nek ( xe , xe (t ? d (t ))) nT ? ( x , x ( t ? d ( t ))) fk f f 4 ? ? i ?1 ? k 7 i e , f ?1 ? ?

48

贵州大学硕士学位论文
?1 n 1 1 n 1 4 ? ? ? 4 fik ( xi ) ? ? 4 4 ? 4 i ? 2 ? k 4i ? ? i ?1 k 2i

?
l ?1

i ?1

?? (i ?1) k ?xl

4

flk ( xl ) ?

? (x, x) ?
? 1? d ? ?

(4.40)

所 有 的 非 线 性 时 滞 项 已 被 归 入 式 (4.40) 中 的 划 线 项 。 显 然 , 函 数

? ( x, x(t ? d (t ))) 应为
? ( x, x(t ? d (t ))) ?
1 n 1 4 mik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? 4 4 i ?1 ? k 3i 1 n 1 ? ? 4 4 i ? 2 ? k 5i ? ? 1 1 ? 4 i ? 2 ? k26i 3 1 ? 4 i ?1 ? k27 i
n n

?
l ?1

i ?1

?? ( i ?1) k ?xl

4

mlk ( xl , xl (t ? d (t )))
2

(4.41)

e , f ?1

?
i

i ?1

nek ( xe , xe (t ? d (t )))nT fk ( x f , x f (t ? d (t ))) nek ( xe , xe (t ? d (t )))nT fk ( x f , x f (t ? d (t )))

e , f ?1

?

2

依据式(4.41), LVk 可进一步简化为
2 ? ? 2 n ?1 ?? 1 2 3 n ?1 ? ? ? ( n ?1) k ? ( n ?1) k ?u ? ? xl ?1 ? ? k 6 n zn ? ? ? ? k ? ? ? ? ? x 4 ? x ? x l ?1 e , f ?1 ? l e f ? ? ? 4 4 4 4 ? 1? 1 ? ? ? 3 ? 3 3 3 3 LVk ? zn ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? z ? ? ? ? k 2 n k 3 n k 4 n k 5 n n 4 ? ? ? 4 ? ? k 1( n ?1) ? ? ? ? 2 2 n ?1 ? ?? n ?1 ?? ? ? 3 2 ? ? ( n ?1) k ? ? ? ( n ?1) k ?? ( n ?1) k ? 2? ? ? ? ? zn ? ? ? ? k 7 n ?1 ? ? ? ? ?x ? 4 ? x ? x ? e , f ? 1 l ? 1 e f l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 ? ? i ?1 i ?1 ? ? 2? ? ( i ?1) k ?? ? ?? (i ?1) k x ? 1 ? 2 z 3 ? ? l ?1 k 6i i ? ? ? ik ? ? ? ? ?xl 4 l ?1 e , f ?1 ? ?xe ?x f ? ? ? 4 4 4 4 4 ? 1? 1 ? n ?1 ? ? ? ? ? zi3 ?? ? 4 ? 3? k31i ? 3? k32i ? 3? k33i ? 3? k34i ? 3? k35i ? zi ? ? ? i ?2 ? 4 ? ? k 1(i ?1) ? ? ? ? 2 2 ? ? i ?1 ? ?? i ?1 ?? ? ? ? ? 3 2 ? ? ? ( i ?1) k ( i ?1) k ? 2? ? (i ?1) k ? ? zi ? ? ?? ? k 7 i ?1 ? ? ? ? ? 4 ?x f ? ?xl ? ? ? ? e , f ?1 ? ?xe l ?1 ? ? ? ? ? ?

4 4 ? ? ?T ?1 hk ? 3 4 3 3 ? y ??1k ? (? k11 ? ? k 21 ? ? k331 ? ? k271 ) y ? ? ? h k ?k ?k ? 4 ?k k ? ? 3

?1 n 1 1 n 1 4 ? ? ? 4 fik ( xi ) ? ? 4 4 ? 4 i ? 2 ? k 4i ? ? i ?1 k 2i

?
l ?1

i ?1

?? (i ?1) k ?xl

4

flk ( xl ) ?

? (x, x) ?
? 1? d ? ?

(4.42)

为了便于后续的讨论,假定式(4.42)中的划线项为如下函数 49

贵州大学硕士学位论文
ek ( x ) ? 1 n 1 1 n 1 4 f ik ( xi ) ? ? 4 ? 4 4 i ?1 ? k 2i 4 i ? 2 ? k 4i

?
l ?1

i ?1

?? (i ?1) k ?xl

4

f lk ( xl ) ?

? (x, x)
1? d

注 4.9:现在,所有的已知系统非线性函数项已整合入多输入单输出函数

ek ( x ) ,此函数仅需要一个基于 ELM 训练的带有附加节点的单隐层前馈神经网络
加以补偿。根据 ELM 的性质,单隐层前馈神经网络的隐藏层节点参数(输入权重 和阈值)不必在训练期间进行调整;在没有任何目标函数先验信息的前提下单隐 层前馈神经网络的隐藏层节点参数可以依据任意给定的连续概率分布随机生成。 可用基于 ELM 训练的单隐层前馈神经网络来逼近函数 ek ( x ) ,

ek ( x ) ? Ek ( x , a, b)?k ( x ) ? hk ( x )

(4.43)

其中 Ek ( x , a, b) ? [ Ek ( x , a1, b1 ),?, Ek ( x , aL , bL )] 是单隐层前馈神经网络的隐层输出
T 矩阵, hk ( x ) 是 ?k ( x ) ? [?kT1 ( x ),?,?kL ( x )]T 是单隐层前馈神经网络的输出权重向量,

有限近似误差, L 是隐层节点数。 根据前述式(4.43)中的神经网络近似方法,式(4.42)变为
2 ? ? n ?1 n ?1 ? ? 2? ? ( n ?1) k ?u ? ?? ( n ?1) k x ? 1 ? 2 z 3 ? ? l ?1 k 6n n ? ? ? k ? ? ? ? ?xl 4 l ?1 e , f ?1 ? ?xe ?x f ? ? ? 4 4 4 4 ? 1? 1 ? ? ? 3? 3 3 3 3 LVk ? zn ?? ? 4 ? 3? k 2 n ? 3? k 3n ? 3? k 4 n ? 3? k 5n ? zn ? ? ? ? 4 ? ? k 1( n ?1) ? ? ? ? 2 2 n ?1 ? ?? n ?1 ?? ? ? 3 2 ? ? ( n ?1) k ? ? ? ( n ?1) k ?? ( n ?1) k ? 2? ? ? ? ? zn ? ?? ? k 7 n ?1 ? ? ? ? ?x ? 4 ? x ? x ? e , f ? 1 l ? 1 e f l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? i ?1 i ?1 ? ? 2? ? ( i ?1) k ?? ? ?? (i ?1) k x ? 1 ? 2 z 3 ? ? l ?1 k 6i i ? ? ? ik ? ? ? ? ?xl 4 l ?1 e , f ?1 ? ?xe ?x f ? ? ? 4 4 4 4 4 ? 1? 1 ? n ?1 ? ? ? ? ? zi3 ?? ? 4 ? 3? k31i ? 3? k32i ? 3? k33i ? 3? k34i ? 3? k35i ? zi ? ? ? i ?2 ? 4 ? ? k 1(i ?1) ? ? ? ? 2 2? i ?1 ? ?? i ?1 ?? ? ? ? ? 3 2 ? ? ? ? ( i ?1) k ( i ?1) k ? 2? ? (i ?1) k ? ? zi ? ? ?? ? k 7 i ?1 ? ? ? 4 ?x f ? ?xl ? ? ? ? e , f ?1 ? l ?1 ? ? ?xe ? ? ? ? ? ?

4 4 ? ? ? ?T ?1 hk ? 3? 4 ? y 3 ??1k + ? ? k311 +? k321 +? k331 +? k271 ? y ? ? ? hk ? ? Ek ( x , a, b)? k ? hk ? k ?k ?k ? 4 ? ? ? k ? ? ? ?

50

贵州大学硕士学位论文

? ,? ? 和伪神经控制律 u 如果选择如下的伪自适应律 h k k k ? ? ?? h k k ? ? ??T ET ? x , a, b? ? k k k
? ? 3 4 3 4 3 4 3 3 3 ?1k ? ? ? ck1 ? ? k11 ? ? k 21 ? ? k331 ? ? k271 ? y 4 4 4 4 ? ?
? ik ? ? ? cki ?
??
l ?1 i ?1

(4.44) (4.45) (4.46)

? ? ?

1 4? k41(i ?1)

3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 ? ? ? k31i ? ? k32i ? ? k33i ? ? k34i ? ? k35i ? zi ? 4 4 4 4 4 ? ? ? ? ?
2
2

?? (i ?1) k ?xl

2 i ?1 ? ? ? 1 ? i ?1? k xl ?1 ? ? k26i zi3 ? ? ? 4 e , f ?1 ? ?xe ?x f

??
l ?1

i ?1

?? (i ?1) k ?xl

2 1 2 3 i ?1 ? ? ??i ?1?k xl ?1 ? ? k 6i zi ? ? ? 4 e , f ?1 ?xe ?x f ?
2

? ? ? ?

? i ?1 ? ?? 3 ? i ?1? k ?? ? i ?1? k ? ? k27 i ?1 ? ? ? 4 ?x f ? e, f ?1 ? ? ?xe ?

i ?1 ? ?? ? ? i ?1?k ? 2 ? ? ? ? ? ?xl l ?1 ? ?

? ? ? ?

2

? ? zi ? ?

(4.47)

? 1 3 4 3 4 3 4 3 4 ? uk ? ? ? ckn ? 4 ? ? k32 n ? ? k33n ? ? k34 n ? ? k35n ? zn ? ? 4? k1( n ?1) 4 4 4 4 ? ?

??
l ?1

n ?1

??( n?1) k ?xl

2 1 2 3 n?1 ? ? ?? n?1?k xl ?1 ? ? k 6n zn ? ? ? ?xe?x f 4 e, f ?1 ?
2

? ? ? ?

2

? n ?1 ? ?? 3 ? n ?1? k ?? ? n ?1? k ? ? k27 n ?1 ? ? ? 4 ?x f ? e, f ?1 ? ? ?xe ?

n ?1 ? ?? ? ? n ?1? k ? 2 ? ? ? ? ? ?xl l ?1 ? ?

? ? ? ?

2

? ? zn ? ?

(4.48)

其中 cki , i ? 1, 2,?, n 是已知正实数。基于 ELM 训练的单隐层前馈神经网络的激活 函数 M (a j y ? bj ), j ? 1, 2,?, ? 可选用 Sigmoidal 函数、 Sine 函数、 Hardlim 函数、 三角基函数和径向基函数等。 则李雅普洛夫函数(4.32)沿着切换系统(4.29)的第
k 个子系统的轨迹的无穷小算子 LVk 是负定的, 即L V
k

? ?? cz ik i
i ?1

n

4

。 根据定理 2.2,

伪自适应律和伪神经控制律(4.44)-(4.48)可以保证切换系统(4.29)的第 k 个子 系统是以概率全局渐进稳定的。 51

贵州大学硕士学位论文 注 4.10 : 与文献 [10,17,40,43,45,53] 比较 ,本机 制极大 地降 低 了使用 backstepping技术或者神经网络控制方法所设计的随机系统控制器的计算复杂 性。 本机制中的伪神经控制器的性能不受神经网络算法参数变化的影响,基于不 同种类的神经网络算法所设计的伪神经控制器和基于不同种激活函数的同一神 经网络算法所设计的伪神经控制器具有相同的结构。 神经网络算法仅在伪神经控 制器的设计过程中起过渡的作用。为此,我们称这种机制为伪神经控制机制(伪 神经控制机制的控制方案主要由伪自适应律和伪神经控制律构成)。 注4.11:与文献[16,18,24,42,47,49]比较,在没有设计系统观测器或应用 任何需要对系统进行特殊限制才能使用的引理(如平均值定理)的条件下,本机 制以简单的方法保证了系统的稳定性。 本机制运用backstepping技术把所有的系 统非线性函数项整合入一个多输入单输出函数,并用一个基于ELM训练的带有附 加节点的单隐层前馈神经网络加以补偿,进而提出伪神经控制机制。其中,伪神

? ,? ?* 的变化不会影响 经控制器仅是一个由系统状态所构成的简单函数,参数律 h k kj
伪神经控制器的结构, 所以伪神经控制机制并不属于自适应控制方法。为了区别

? ,? ?* 为伪自适应律。 传统神经网络控制中的自适应律,我们称这种参数律 h k kj
总结4.2节和4.3节中伪神经控制机制的特点,给出伪神经控制机制的定义 4.1及特性4.1和特性4.2。 定义4.1:对于动态系统,设计一种神经网络控制机制使系统镇定。若控制 器只是一个与系统状态有关的函数, 神经网络算法在整个控制方案中仅体现过渡 作用,则称这种神经网络控制机制为伪神经网络控制机制,相应的控制器、参数 (自适应)律分别称为伪神经控制器、伪参数(自适应)律。实际上,在伪神经 控制机制作用下,动态系统的稳定性只由系统自身因素决定。 特性4.1:伪神经控制机制极大地降低了使用backstepping技术或者神经网 络控制方法所设计的系统控制器的计算复杂性。 伪神经控制器具有相对简单的结 构, 它仅是一个由系统状态所构成的简单函数。所以伪神经控制器的性能不受神 经网络算法参数变化的影响, 基于不同种类的神经网络算法所设计的伪神经控制 器和基于不同种激活函数的同一神经网络算法所设计的伪神经控制器会具有相 同的结构。神经网络算法仅在伪神经控制器的设计过程中起过渡的作用。 52

贵州大学硕士学位论文 特性4.2: 伪神经控制机制解决了隐结点数量最优化选择的难题。 众所周知, 隐结点数量对神经网络控制机制的复杂性与神经控制器的控制品质均影响很大。 一般情况下, 隐结点数越多则神经网络控制器的设计就会越复杂。在伪神经控制 机制中, 伪神经控制器仅是一个由系统状态所构成的简单函数,神经网络算法参 数(隐结点数量)的变化不会影响神经网络控制机制的复杂性。

4.3.3 切换律设计
在伪自适应律和伪神经控制律(4.44)-(4.48)的作用下,4.3.3 节主要依据 各个子系统的衰减速度来设计切换系统(4.29)的切换律。 依据 4.3.2 节中的理论和多李雅普洛夫函数方法, 可以用如下的方式去安排 系统切换来保证切换系统(4.29) 是以概率全局渐进稳定的 [7] 。设 t 0 为初始时 刻。设定初始条件
x(t0 ) ? ( x1 (t0 ), x2 (t0 ),?, xn (t0 ))T

(4.49) (4.50)

? (t0 ) ? arg min{LVk (t0 )}
1? k ? N

其中符号“ arg min ”表示达到最小值的指标。 取第一次切换时刻和相应的切换指标分别为
t1 ? inf t ? t0 there exists a i ? ? , i ? ? (t0 ) such that LVi (t1 ) ? LV? (t0 ) (t1 )

?

?

(4.51) (4.52)

? (t1 ) ? arg min ? LVk (t1 )?
1? k ? N

按照递归法,第 s 次切换时刻和相应的切换指标应分别为

t j ? inf t ? t j ?1 there exists a i ? ? , i ? ? (t j ?1 ) such that LVi (t j ) ? LV? (t j?1 ) (t j ) , j ? 2 (4.53)
? (t j ) ? arg min ?LVk (t j )? , j ? 2
1? k ? N

?

?

(4.54)

其中 j 表示第 j 次切换。此外,结合 4.3 节中的计算方法,可以导出李雅普洛夫 函数(4.32)沿着切换系统(4.29)的第 k 个子系统的轨迹的无穷小算子为

53

贵州大学硕士学位论文
2 ? ? 2 n ?1 ? ? ? ? ? n ?1? k ?? 1 ? 2 z 3 ? ? ? ? 4 k 6 n n e? ? ? ? , f ?1 ? ?xe ?x f ? ? ? 4 4 4 4 ? ? ? ? 1 3 3 3 3 ? 3? LVk ? zn ckn ? 4 ? ? k32 n ? ? k33n ? ? k34 n ? ? k35n ? zn ?? ? ? ? ? 4? k 1( n ?1) 4 4 4 4 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? n ?1 ? ?? n ?1 ? ?? ? ? ? ? ? 3 2 ? ? n ?1? k ? n ?1? k ? n ?1? k ?z ? 2? ? ? ? ?? ? k 7 n ?1 ? ? ? ? ? ? n? ? ? 4 ? x ? x ? x ? e , f ? 1 l ? 1 e f l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

i ?1 ?? n ? ? 3 ( i ?1) k ?? z ? xi ?1 ? ? xl ?1 ? ? y x2 ? ? zi3 ? fik ( xi ) ? mik ( xi , xi (t ? d (t )))? ?xl i ?2 l ?1 i ?1 ? ? n ?1 3 i

?? zi3 ?
i ?2 l ?1

n

i ?1

?? (i ?1) k ?xl
2

? flk ( xl ) ? mlk ( xl , xl (t ? d (t )))?

i ?1 ? ? 1 n ( i ?1) k ? ? zi3 ? nek ( xe , xe (t ? d (t )))nT fk ( x f , x f (t ? d (t ))) 2 i ?2 e, f ?1 ?xe ?x f
i ?1 ?? i ?1 ?? ?? ? 3 n ? ( i ?1) k ( i ?1) k ? ? zi2 ?nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? ?nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? 2 i ?1 ? l ?1 ?xl l ?1 ?xl ?? ? T

1 n 1 1 n 1 4 ? ? 4 fik ( xi ) ? ? 4 4 i ?1 ? k 2i 4 i ? 2 ? k 4i

?
l ?1

i ?1

?? (i ?1) k ?xl

4

flk ( xl )

?1 n 1 ? 4 ? 4 ? ? 4 mik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? i ?1 k 3i ? 4 ? 1 n 1 i ?1 ?? ? ( i ?1) k ?? ? 4 ? ? mlk ( xl , xl (t ? d (t ))) 1 ? d ?(t ) ? 4 i ? 2 ? k 5i l ?1 ?xl ? ? ? (4.55) n i ? 1 1? d 2 1 T ?? 1 nek ( xe , xe (t ? d (t )))n fk ( x f , x f (t ? d (t ))) ? ? 2 ? 4? ? i ? 2 ? k 6 i e , f ?1 ? ? n 2? 1 i ? 3 T ? ? 4 ? ? 2 ? nek ( xe , xe (t ? d (t )))n fk ( x f , x f (t ? d (t ))) ? i ?1 k 7 i e , f ?1 ? ?

注 4.12:切换律的设计方法能够保证其有效性。式(4.55)可由伪神经控制 机制(4.44)-(4.48)和式(4.34)计算, 相应的切换律可按式(4.49)-(4.54)进行递 归计算。 、 根据 4.3 节中的稳定性分析,可以得到理论 4.2。 理论 4.2:在伪神经切换控制机制(4.44)-(4.55)的作用下,严格反馈形式 的切换非线性随机时滞系统(4.29)是以概率全局渐近稳定的。 54

贵州大学硕士学位论文

4.3.4 仿真
例 4.2:考虑 N ? 2 的严格反馈形式的切换非线性随机时滞系统, 它的两个子系统
?dx1 ? ? x2 ? x1e?0.5 x1 ? x1 (t ? d (t ))sin x1 ? dt ? x1 x1 (t ? d (t ))d ? ? ? ? ? 2 ?1 ?dx2 ? ? ?u1 ? x1 x2 ? x1 (t ? d (t )) x2 (t ? d (t )) ? ? dt ? x1 (t ? d (t )) x2 (t ? d (t ))d ? ? y ? x1 ? ?

?dx1 ? ? x2 ? x12 ? x1 sin( x1 (t ? d (t ))) ? dt ? x1 x1 (t ? d (t ))d ? ? ? ? ? 2 和 ?2 ?dx2 ? ? ?u2 ? 4 x1 x2 ? sin( x2 x1 (t ? d (t ))) ? ? dt ? 4 x1 (t ? d (t )) x2 (t ? d (t ))d ? ? y ? x1 ? ?
依据 4.3 节提出的伪神经切换控制机制(4.44)-(4.55),结合 4.3 节中的计 算方法,例 4.2 中闭环系统的伪自适应律和伪神经控制律应为
? ? ?? h ? (t ) ? (t ) ? ? ??T E T ? x , a, b ? ? ? (t ) ? (t ) ? (t )
2 ?1? (t ) ? ?c? (t )1 y ? ? ? ?3(t )11 ? ? ?3(t )21 ? ? ?3(t )31 ? ? ? ( t )71 ? y

3? 4?

4

4

4

? ?

4 4 4 4 ? ?? 1? 1 u? (t ) ? ?c? (t )2 z2 ? ? 4 ? 3? ?3(t )22 ? 3? ?3(t )32 ? 3? ?3(t )42 ? 3? ?3(t )52 ? z2 ? 1? ( t ) x2 ? ? 4 ? ? ? (t )11 ?y ?

? ? 2?1? ( t ) 1 2 3 ? ?? z ( t )62 2 ? ? ?y 2 4 ?

2 ? ? ??1? ( t ) ?4 ? 3 2 ? ??1? ( t ) ? ? ? ? ? 2? ?1 ? ? ? ? z2 ? 4 ? ( t )72 ? ? ?y ? ?y ? ? ? ? ? ? ? ?

2

其中 ? (t ) 表示在式(4.49)-(4.54)中所设计的切换律, 相应的李雅普洛夫函数沿 着例 4.2 中切换系统的第 k 个子系统的轨迹的无穷小算子为
? ? ? ? 1 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 3 ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ? k352 ? z2 ? ? k2 ? k 22 k 32 k 42 4 4? k 11 4 4 4 4 ? ? ? 3 ? 3 LV ? z2 ? ? ? y x2 2 4 2 2 ? ? ? ??1k ? ? ??1k ? 3 2 ? 1 2 3 ? ? ?1k ? ? ?? 4 ? k 62 z2 ? ?y 2 ? ? 4 ? k 72 ?1 ? ? ?y ? ? 2 ? ?y ? ? z2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3 ?? zi3 ? fik ( xi ) ? mik ( xi , xi (t ? d (t )))? ? z2 i ?1 2

??1k ? f1k ( x1 ) ? m1k ( x1, x1 (t ? d (t )))? ?y

1 3 ? 2?1k T ? z2 n1k ( x1 , x1 (t ? d (t )))n1 k ( x1 , x1 (t ? d (t ))) 2 2 ?y
i ?1 ?? i ?1 ?? ?? ? 3 2 ? ( i ?1) k ( i ?1) k ? ? zi2 ? nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? ?nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? 2 i ?1 ? ? x ? x l ?1 l ?1 l l ?? ? T

55

贵州大学硕士学位论文

1 2 1 1 ??1k 4 ? ? 4 fik ( xi ) ? 4 f1k ( x1 ) 4 i ?1 ? k 2i 4? k 42 ?y

4

?1 2 1 ? 4 ? 4 ? ? 4 mik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? i ?1 k 3i ? 4 ? ? 1 ??1k ?? 4 ? m1k ( x1 , x1 (t ? d (t ))) 1 ? d '(t ) ? 4? k 52 ?y ? ? ? ? 1? d ? 2 1 ? T ? n ( x , x (t ? d (t )))n1k ( x1 , x1 (t ? d (t ))) ? 4? 2 1k 1 1 ? k 62 ? ? 2? ? 3 2 1 i T ?? 4 ? ? 2 ? nek ( xe , xe (t ? d (t )))n fk ( x f , x f (t ? d (t ))) ? i ?1 k 7 i e , f ?1 ? ?
在例 4.2 中,初始条件为 x? (t ) (0) ? (1, ?1)T , h? (t ) (0) ? 0,?? (t ) (0) ? 0 ,时变时滞
d (t ) 满足 0 ? d (t ) ? 1 ? 0.6cos t ? ? ? 1.6 和 d '(t ) ? 0.6sin t ? 0.6 ? d ? 1 。设控制器设计参

数如下 c? (t )1 ? ?? (t )11 ? ?? (t )21? ?? t( )31? ?? t ( )71 ? ?? t ( )22 ? ?? t ( )32 ? ?? t

( )42 ? t ( )52 ? t ( )62 ? t ) (

??

??

??

? 1,

c? (t )2 ? 0.75, ?? (t )72 ? 0.01, ?? (t ) ? E 。单隐层前馈神经网络的隐藏层节点数为 10。
此外, 附加节点激活函数 E? (t ) ( x , a, b) ? exp(?(a ? x ? b)2 ) 被用于仿真实例中的计算。依 据 ELM 算法的性质, 单隐层前馈神经网络的隐层节点参数 ( a, b) (输入权重和阈值) 是各自在区间 [?1,1] 和区间 [0,1] 上随机选取的。 由图 4-7 到图 4-10 可以看出, 4.3 节提出的伪神经切换控制机制(4.44)-(4.55)很好的完成了使闭环系统(4.29)达 到全局渐近稳定的控制目标。
20 15 10 5

control law u?(t)

0 -5 -10 -15 -20 control law u?(t)--ELM with additive hidden nodes -25 0 2 4 6 8 10 12 time(sec) 14 16 18 20

图 4-7 控制律 u? (t ) 56

贵州大学硕士学位论文
1.2

1

0.8

system state x 1

0.6

0.4

0.2

0 system state x 1--ELM with additive hidden nodes -0.2 0 2 4 6 8 10 12 time(sec) 14 16 18 20

图 4-8 系统状态 x1
3

2

1

system state x 2

0

-1

-2 system state x 2--ELM with additive hidden nodes -3 0 2 4 6 8 10 12 time(sec) 14 16 18 20

图 4-9 系统状态 x2
3

2.5

switching signal ? (t)

2

1.5

1

0.5 switching signal ? (t)--ELM with additive hidden nodes 0 0 2 4 6 8 10 12 time(sec) 14 16 18 20

图 4-10 切换信号 ? (t )

57

贵州大学硕士学位论文 例 4.3:考虑 N ? 3 的严格反馈形式的切换非线性随机时滞系统, 它的三个子系统

?dx1 ? ? x2 ? x1e? x1 ? x1 (t ? d (t )) cos x1 ? dt ? x1 sin( x1 (t ? d (t )))d ? ? ? ? ? 2 2 ?1 ?dx2 ? ? ?u1 ? 5 x1 x2 ? x1 (t ? d (t )) x2 (t ? d (t )) ? ? dt ? x1 (t ? d (t )) x2 (t ? d (t ))d ? , ? y ? x1 ? ?
?dx1 ? ? x2 ? x1 cos x1 ? x1 sin( x1 (t ? d (t ))) ? dt ? 0.1e ? x1 x1 (t ? d (t ))d ? ? ? ?0.5 x2 2 2 ? ? 2 ?dx2 ? ? ?u2 ? x1 x2 ? x1 (t ? d (t ))e ? dt ? x1 (t ? d (t )) x2 (t ? d (t ))d ? ? ? ? y ? x1
?dx1 ? ? x2 ? x1 sin x1 ? x1 (t ? d (t )) cos( x1 ) ? dt ? x1 (t ? d (t )) cos( x1 )d ? ? ? 2 2 和 ?3 ?dx2 ? ? ?u2 ? 4 x1 x2 ? sin( x2 x1 (t ? d (t ))) ? ? dt ? x1 (t ? d (t )) x2 (t ? d (t ))d ? ? ? ? y ? x1

依据 4.3 节提出的伪神经切换控制机制(4.44)-(4.55),结合 4.3 节中的计 算方法,例 4.3 中闭环系统的伪自适应律和伪神经控制律应为
? ? ?? h ? (t ) ? (t ) ? ? ??T E T ? x , a, b ? ? ? (t ) ? (t ) ? (t )
4 4 ? 3? 4 2 3 3 ? ?c? (t )1 y ? ? ? ? (t )11 ? ? ? (t )21 ? ? ?3(t )31 ? ? ? ( t )71 ? y 4? ?

?1? (t )

4 4 4 4 ? ?? 1? 1 u? (t ) ? ?c? (t )2 z2 ? ? 4 ? 3? ?3(t )22 ? 3? ?3(t )32 ? 3? ?3(t )42 ? 3? ?3(t )52 ? z2 ? 1? (t ) x2 ? 4? ?y ? ? ? (t )11 ?

? ? 2?1? (t ) 1 2 3 ? ? ? (t )62 z2 ? ? ?y 2 4 ?

2 ? ? ??1? ( t ) ?4 ? 3 2 ? ??1? (t ) ? ? ? ? ? 2? ?1 ? ? ? ? z2 ? 4 ? ( t )72 ? ? ?y ? ?y ? ? ? ? ? ? ? ?

2

其中 ? (t ) 表示在式(4.49)-(4.54)中所设计的切换律, 相应的李雅普洛夫函数沿 着例 4.3 中切换系统的第 k 个子系统的轨迹的无穷小算子为
? ? ? ? 1 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 3 ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ? k352 ? z2 ? ? k2 ? k 22 k 32 k 42 4 4? k 11 4 4 4 4 ? ? ? ? 3 3 LV ? z2 ? ? ? y x2 2 4 2 2 ? ? ? ??1k ? ? ??1k ? ? 1 2 3 ? ? ?1k ? 3 2 ? ? ? 4 ? k 62 z2 ? ?y 2 ? ? 4 ? k 72 ?1 ? ? ?y ? ? 2 ? ?y ? ? z2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 ??1k ? ? zi3 ? f ik ( xi ) ? mik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? z2 ? f1k ( x1 ) ? m1k ( x1 , x1 (t ? d (t )))? ?y i ?1 ? 1 3 ? 2?1k T z2 n1k ( x1 , x1 (t ? d (t )))n1 k ( x1 , x1 (t ? d (t ))) 2 ?y 2

58

贵州大学硕士学位论文
?
i ?1 ?? i ?1 ?? ?? ? 3 2 2? ( i ?1) k ( i ?1) k zi ? nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? ?nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? ? 2 i ?1 ? ?xl ? x l ?1 l ? 1 l ?? ? T

1 2 1 1 ??1k 4 ? ? 4 fik ( xi ) ? 4 f1k ( x1 ) 4 i ?1 ? k 2i 4? k 42 ?y

4

?1 2 1 ? 4 ? 4 ? ? 4 mik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? i ?1 k 3i ? 4 ? ? 1 ??1k ?? 4 ? m1k ( x1 , x1 (t ? d (t ))) 1 ? d '(t ) ? 4? k 52 ?y ? ? ? ? 1? d ? 2 1 ? T ? n ( x , x (t ? d (t )))n1k ( x1 , x1 (t ? d (t ))) ? 4? 2 1k 1 1 ? k 62 ? ? 2 ? 3 2 1 i ? T ?? 4 ? ? 2 ? nek ( xe , xe (t ? d (t )))n fk ( x f , x f (t ? d (t ))) ? i ?1 k 7 i e , f ?1 ? ?

在例 4.3 中,初始条件为 x? (t ) (0) ? (1, ?1)T , h? (t ) (0) ? 0,?? (t ) (0) ? 0 ,时变时滞
d (t ) 满足 0 ? d (t ) ? 1 ? 0.6cos t ? ? ? 1.6 和 d '(t ) ? 0.6sin t ? 0.6 ? d ? 1 。设控制器设计参

数如下 c? (t )1 ? ?? (t )11 ? ?? (t )21 ? ?? (t )31 ? ?? (t )71 ? ?? (t )22 ? ?? (t )32 ? ?? (t )42 ? ?? (t )52 ? ?? (t )62 ? ?? (t ) ? 1,

c? (t )2 ? 0.75, ?? (t )72 ? 0.055, ?? (t ) ? E 。单隐层前馈神经网络的隐藏层节点数为 10。
此外, 附加节点激活函数 E? (t ) ( x , a, b) ? exp(?(a ? x ? b)2 ) 被用于仿真实例中的计算。依 据 ELM 算法的性质, 单隐层前馈神经网络的隐层节点参数 ( a, b) (输入权重和阈值) 是各自在区间 [?1,1] 和区间 [0,1] 上随机选取的。由图 4-11 到图 4-14 可以看出, 4.3 节提出的伪神经切换控制机制 (4.44)-(4.55) 很好的完成了使闭环系统 (4.29)达到全局渐近稳定的控制目标。
4

2

0

control law u?(t)

-2

-4

-6

-8 control law u?(t) --ELM with additive hidden nodes -10 0 5 10 15 20 25 30 time(sec) 35 40 45 50

图 4-11 控制律 u? (t ) 59

贵州大学硕士学位论文
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 system state x 1--ELM with additive hidden nodes -0.4 0 5 10 15 20 25 30 time(sec) 35 40 45 50

system state x 1

图 4-12 系统状态 x1
0.4 0.2 0 -0.2

system state x 2

-0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4 -1.6

system state x 2--ELM with additive hidden nodes 0 5 10 15 20 25 30 time(sec) 35 40 45 50

图 4-13 系统状态 x2
4 3.5 3
switching signal ? (t)

2.5 2 1.5 1 0.5 switching signal ? (t)--ELM with additive hidden nodes 0 0 5 10 15 20 25 30 time(sec) 35 40 45 50

图 4-14 切换信号 ? (t )

60

贵州大学硕士学位论文 例 4.4: 考虑 N ? 2 的严格反馈形式的切换非线性随机时滞系统,它两个子系统

?dx1 ? ? x2 ? x12 ? x13 x1 (t ? d (t )) cos( x1 (t ? d (t ))) ? dt ? x1 x12 (t ? d (t ))d ? ? ? ? ?dx2 ? ? x3 ? x2 sin( x1 ) ? x1 (t ? d (t )) x2 (t ? d (t )) ? dt ? x1 (t ? d (t )) x2 (t ? d (t ))d ? ? ? 2 2 ?1 ?dx3 ? ? ?u1 ? 2 x1 ?18 x3 ? 0.05 x2 ? ? x1 (t ? d (t ))(6 x3 ? 0.1x3 (t ? d (t ))) ? ? dt ? ? sin( x12 (t ? d (t )))(25 x2 (t ? d (t )) ? x3 (t ? d (t )))d ? ? ?y ? x 1 ? ?
?dx1 ? ? x2 ? x13 ? x13 x1 (t ? d (t )) sin( x1 (t ? d (t ))) ? dt ? x12 x12 (t ? d (t ))d ? ? ? ? ?dx2 ? ? x3 ? x1 cos( x2 ) ? x1 (t ? d (t )) x2 (t ? d (t )) ? dt ? x1 (t ? d (t )) x2 (t ? d (t ))d ? ? 4 ? ? x3 ? 2 ? ?u2 ? 2 ? exp(? x1 ) ? x2 ? ? x3 ? 1 和 ? 2 ?dx3 ? ? ? dt ? ? ? x 2 (t ? d (t )) cos( x (t ? d (t )))(20 x ? 0.1x (t ? d (t ))) ? 3 3 1 ? 3 ? ? 2 ? ? x2 (t ? d (t )) cos( x2 (t ? d (t )))(4 x1 (t ? d (t )) ? x3 (t ? d (t ))) d ? ? ? y ? x1 ?
依据 4.3 节提出的伪神经切换控制机制(4.44)-(4.55),结合 4.3 节中的计 算方法,例 4.4 中闭环系统的伪自适应律和伪神经控制律应为
? ? ?? h ? (t ) ? (t )
T T ??? (t ) ? ??? ( t ) E? ( t ) ? x , a, b ? 4 4 ? 3? 4 2 3 3 ? ?c? (t )1 y ? ? ? ? (t )11 ? ? ? (t )21 ? ? ?3(t )31 ? ? ? ( t )71 ? y 4? ?

?1? (t ) ? 2? (t )

? ? ??1? (t ) 1 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 3 3 ? ? ? c? (t )2 ? 4 ? ? ? (t )12 ? ? ? (t )22 ? ? ? (t )32 ? ? ? (t )42 ? ? ?3(t )52 ? z2 ? x2 ? ? 4? ? (t )11 4 4 4 4 4 ?y ? ?
4 2 ? ? 2?1? (t ) ? 3 2 ? ? ??1? (t ) ? ? ??1? (t ) ? ? 1 2 3 ? ? ? (t )62 z2 ? ? ? ? 2? ?1 ? ? ? z2 ? ?y 2 ? ? 4 ? (t )72 ? ? ?y ? 4 ?y ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2

2 ?? ? 1 3 4 3 4 3 4 3 4 ? u? (t ) ? ? ? c? (t )3 ? 4 ? ? ?3(t )23 ? ? ?3(t )33 ? ? ?3(t )43 ? ? ?3( t )53 ? z3 ? ? 2? (t ) xl ?1 ? ? 4? ? (t )12 4 4 4 4 ?xl l ?1 ? ? 2 2 2 2 ? ? 2? 2 ? ?? 2 ? 3 2 ? ? ? ?? 2? (t ) ? ? 1 2 2? ( t ) 2? ( t ) ?? 2? ( t ) 3 ? ? ? ? (t )63 z3 ? ? ? ? ? (t )73 1 ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? z3 ? ? ? ? 4 ? x ? x 4 ? x ? x ? x ? e , f ?1 ? l ?1 ? e f ? e f l ? ? ? ? e, f ?1 ? ?

其中 ? (t ) 表示在式(4.49)-(4.54)中所设计的切换律, 相应的李雅普洛夫函数沿 着例 4.4 中切换系统的第 k 个子系统的轨迹的无穷小算子为 61

贵州大学硕士学位论文
2 ? ? 2 ? ? 2? 2 k ? ?? 1 ? 2 z 3 ? ? ? ? 4 k 63 3 e? ? ? ? , f ?1 ? ?xe ?x f ? ? ? 4 4 4 4 ? 1 3 3 3 3 3 3 3 3 ? ? ? 3? ? LVk ? z3 ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ? k 53 ? z3 ? ? ? k3 k 23 k 33 k 43 4 4? k12 4 4 4 4 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? ?? 2 k ? ? ? ?? 2 k ?? 2 k ? ? 3 2 ? 1? ? ? ? ? 2? ? ? ? z3 ? ?? 4 ? k 73 ? ? ?x f ? ? x ? e , f ?1 ? ?xe l ? 1 l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

??1k ? 3 ? 3 ? z2 ? x3 ? ?y x2 ? ? y x2 ? ? ? ? zi3 ? fik ( xi ) ? mik ( xi , xi (t ? d (t ))) ?
i ?1 3 3

? ? zi3 ?
i ?2 l ?1

i ?1

?? (i ?1) k ?xl
2

? flk ( xl ) ? mlk ( xl , xl (t ? d (t )))?

?

1 3 3 i ?1 ? ? (i ?1) k zi ? nek ( xe , xe (t ? d (t )))nT ? fk ( x f , x f (t ? d (t ))) 2 i ?2 e, f ?1 ?xe ?x f
T

i ?1 ?? i ?1 ?? ?? ? 3 3 ? ( i ?1) k ( i ?1) k ? ? zi2 ?nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? ?nik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? nlk ( xl , xl (t ? d (t ))) ? 2 i ?1 ? l ?1 ?xl l ?1 ?xl ?? ?

1 3 1 1 3 1 4 ? ? 4 fik ( xi ) ? ? 4 4 i ?1 ? k 2i 4 i ? 2 ? k 4i

?
l ?1

i ?1

?? (i ?1) k ?xl

4

flk ( xl )

?1 3 1 ? 4 ? 4 ? ? 4 mik ( xi , xi (t ? d (t ))) ? ? i ?1 k 3i ? 4 ? 1 3 1 i ?1 ?? ? ( i ?1) k ?? ? 4 ? ? mlk ( xl , xl (t ? d (t ))) 1 ? d ?(t ) ? 4 i ? 2 ? k 5i l ?1 ?xl ? ? ? 3 i ? 1 1? d 2 1 T ?? 1 nek ( xe , xe (t ? d (t )))n fk ( x f , x f (t ? d (t ))) ? ? 2 ? 4? ? i ? 2 ? k 6 i e , f ?1 ? ? 3 2? 1 i ? 3 T ? ? 4 ? ? 2 ? nek ( xe , xe (t ? d (t )))n fk ( x f , x f (t ? d (t ))) ? i ?1 k 7 i e , f ?1 ? ?

在例 4.4 中,初始条件为 x? (t ) (0) ? (0.5, ?0.5,0)T , h? (t ) (0) ? 0,?? (t ) (0) ? 0 ,时变 时滞 d (t ) 满足 0 ? d (t ) ? 1 ? 0.6cos t ? ? ? 1.6 和 d '(t ) ? 0.6sin t ? 0.6 ? d ? 1 。设控制器设 计参数如下 ?? (t )11 ? ?? (t )21 ? ?? (t )31 ? ?? (t )71 ? ?? (t )12 ? ?? (t )22 ? ?? (t )32 ? ?? (t )42 ? ?? (t )52 ? ?? (t )62 ? 1,

?? (t )23 ? ?? (t )33 ? ?? (t )43 ? ?? (t )53 ? ?? (t )63 ? ?? (t ) ? c? (t )1 ? c? (t )2 ? 1, ?? (t )72 ? ?? (t )73 ? 0.001,
62

贵州大学硕士学位论文

c? (t )3 ? 0.75, ?? (t ) ? E 。单隐层前馈神经网络的隐藏层节点数为 10。此外,附加节
点激活函数 E? (t ) ( x , a, b) ? exp(?(a ? x ? b)2 ) 被用于仿真实例中的计算。 依据 ELM 算法的 性质,单隐层前馈神经网络的隐层节点参数 ( a, b ) (输入权重和阈值)是各自在区 间 [?1,1] 和区间 [0,1] 上随机选取的。由图 4-15 到图 4-19 可以看出,4.3 节提出 的伪神经切换控制机制(4.44)-(4.55)很好的完成了使闭环系统(4.29)达到全局 渐近稳定的控制目标。

15

10

5

0

control law u?(t)

-5

-10

-15

-20 control law u?(t)--ELM with additive hidden nodes -25 0 2 4 6 8 10 time(sec) 12 14 16 18 20

图 4-15 控制律 u? (t )

0.6

0.5

0.4

system state x 1

0.3

0.2

0.1

0

system state x 1--ELM with additive hidden nodes -0.1 0 2 4 6 8 10 time(sec) 12 14 16 18 20

图 4-16 系统状态 x1

63

贵州大学硕士学位论文
0.2

0.1

0

-0.1

system state x 2

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

-0.7 system state x 2--ELM with additive hidden nodes -0.8 0 2 4 6 8 10 time(sec) 12 14 16 18 20

图 4-17 系统状态 x2
2

1.5

1

system state x 3

0.5

0

-0.5

system state x 3--ELM with additive hidden nodes -1 0 2 4 6 8 10 time(sec) 12 14 16 18 20

图 4-18 系统状态 x3
3

2.5

2

switching signal ? (t)

1.5

1

0.5

switching signal ? (t)--ELM with additive hidden nodes 0 0 2 4 6 8 10 time(sec) 12 14 16 18 20

图 4-19 切换信号 ? (t )

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4.4 本章小结
针对一类切换非线性随机系统, 本章提出伪神经切换控制机制。 在此机制中, 仅需要一个基于 ELM 训练的带有附加节点的单隐层前馈神经网络去补偿已知非 线性时滞项,基于李雅普洛夫综合方法和 backstepping 技术设计的伪神经控制 器和伪自适应律保证了整个系统的稳定性。最后给出 3 个仿真实例,验证本章所 给出的理论结果的有效性。本章的主要贡献在于: (1)本章提出的方法极大地降低了使用backstepping技术或者神经网络控制 方法所设计的随机系统控制器的计算复杂性。 本机制中的伪神经控制器具有相对 简单的结构, 它仅是一个由系统状态所构成的简单函数而不是传统方法中的一个 由系统状态和神经网络参数共同构成的复杂函数。 所以伪神经控制器的性能不受 神经网络算法参数变化的影响, 基于不同种类的神经网络算法所设计的伪神经控 制器和基于不同种激活函数的同一神经网络算法所设计的伪神经控制器具有相 同的结构。神经网络算法仅在伪神经控制器的设计过程中起过渡的作用。 (2)众所周知,隐结点数量对神经网络控制机制的复杂性与神经控制器的控 制品质均影响很大。 一般情况下,隐结点数越多则神经网络控制器的设计就会越 复杂。 在伪神经控制机制中, 神经网络算法参数(隐结点数量)的变化不会影响神 经网络控制机制的复杂性。 因此,伪神经控制机制解决了隐结点数量最优化选择 的难题。 (3)本章首次在随机系统神经网络控制机制中运用ELM算法进行函数逼近。 系 统非线性项被整合到一个单输入单输出(或多输入单输出)函数,并用一个基于 ELM训练的带有附加节点的单隐层前馈神经网络加以补偿。根据ELM算法的性质, 单隐层前馈神经网络的隐藏层节点参数(输入权重和阈值)不必在训练期间进行 调整; 在没有任何目标函数先验信息的前提下单隐层前馈神经网络的隐藏层节点 参数可以依据任意给定的连续概率分布随机生成。

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第五章 总结与展望
5.1 全文总结
本文以多李雅普洛夫函数稳定性理论为基础,运用神经网络控制方法和 backstepping 技术,围绕着一类切换非线性随机系统的稳定性问题在如下几个 方面展开研究: (1)基于 ELM 的单输入单输出切换非线性随机系统的神经网络控 制; (2)基于 ELM 的严格反馈切换非线性随机系统的伪神经网络控制。重点对严 格反馈切换非线性随机系统的伪神经网络控制展开探讨。 现将本文的主要研究工 作总结如下: (1) 针对一类单输入单输出切换非线性随机系统,提出一种自适应神经切换 控制机制。 自适应神经切换控制机制采用一个单隐层前馈神经网络去补偿系统中 的所有非线性项,然后利用 backstepping 技术和多李雅普洛夫函数方法设计相 应的控制器和切换规则以保证整个系统的稳定性。 不同于现有的神经网络控制方 法,单隐层前馈神经网络是基于 ELM 算法所训练的。最后给出了两个仿真实例, 验证本章所给出的结论的有效性。 (2)针对一类严格反馈切换非线性随机系统,提出了伪神经切换控制机制。 伪神经控制机制运用基于ELM算法训练的单隐层前馈神经网络进行函数逼近,系 统中的所有非线性项被一个单隐层前馈神经网络补偿。 控制方案主要由伪自适应 律和伪神经控制律构成, 神经网络算法仅起过渡作用。伪神经控制机制解决了使 用backstepping技术所设计的随机系统控制器的高计算复杂性问题和神经网络 隐结点数量最优化选择的难题。最后给出了四个仿真实例,验证本章所给出的结 论的有效性。

5.2 尚需进一步研究的问题
本文在课题的研究过程中, 虽然对一类切换非线性随机系统的稳定性问题进 行了研究和探讨,提出了伪神经切换控制机制。但是面对实际的工程应用背景, 这样的伪神经切换控制机制还不能满足设计需要, 仍然有很多有待进一步研究和 改进的问题。下面是作者认为在今后需要继续深入研究的若干问题。 66

贵州大学硕士学位论文 (1)伪神经控制机制在系统科学领域的研究 (2)隐模型-伪神经切换控制机制研究 (3)线性矩阵不等式(LMI)-伪神经切换控制机制研究 (4)马尔可夫切换动态系统的伪神经控制问题 (5)非线性切换动态系统的伪神经控制问题 (6)伪神经控制机制运用于非切换系统控制问题

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致 谢
硕士研究生的学习即将结束,三年的学习生活使我受益匪浅。硕士毕业论文 完稿之际,我要向我的导师龙飞教授表示感谢,正是因为有了他的严格、无私、 高质量的教导, 我才能在这几年的学习过程中汲取专业知识和迅速提升能力。在 论文的选题、搜集资料和写作阶段,龙老师都给予了极大的关怀和帮助。他严谨 的工作态度和对事业的虔诚追求将影响和激励我的一生, 他对我的关心和教诲更 将使我永生难忘。借此机会,我谨向龙老师致以深深地谢意。 同时也感谢这三年来与我互勉互励的诸位同门,在大家的共同努力之下,我 们始终拥有一个良好的生活环境和一个积极向上的学习氛围, 能在这样一个团队 中度过, 是我极大的荣幸。 我还要感谢我的父母, 他们给了我极大的鼓励和帮助。 最后, 我要感谢参与我论文评审和答辩的各位老师,他们给了我一个审视几 年来学习成果的机会, 让我能够明确今后的发展方向,他们对我的帮助是一笔无 价的财富。我将在今后的工作、学习中加倍努力,以期能够取得更多成果回报他 们、回报社会。再次感谢他们,祝他们一生幸福、安康!

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参考文献
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附 录
1.攻读硕士学位期间发表的论文
[1] Yang Xiao, Fei Long, Zhigang Zeng, Adaptive Backstepping Neural Control for Switched Nonlinear Stochastic System with Time-Delay Based on Extreme Learning Machine, the 19th International Conference on Neural Information Processing, Lecture Notes in Computer Science, 7667 (5) 713-721, 2012 (EI) [2] Fei Long, Yang Xiao, Xin Chen, Zhuhong Zhang, Disturbance Attenuation for Nonlinear Switched Descriptor Systems based on Neural Network, Neural Computing & Applications, 2012 (In press) (SCI,EI) [3] Yang Xiao, Fei Long, Yunqi Zhao, Based on ELM forged neural control for a class of strict feedback stochastic nonlinear switched system with time varying delay, the 32th chinese control conference, 2013(accept) (EI) [4] Yang Xiao, Fei Long, Indirect Adaptive Neural Control for a Class of Switched Nonlinear Stochastic System Based on ELM, IET Control Theory & Applications, 2012 (Submit) (SCI,EI) [5] Yang Xiao, Fei Long, Zhigang Zeng, Based ELM Adaptive Backstepping Neural Networks Control for SISO Stochastic Nonlinear Switched System with Time Varying Delay, Systems & Control Letters, 2012 (Submit) (SCI,EI) [6] Yang Xiao, Fei Long, Adaptive Forged Neural Networks Control for Strict Feedback Stochastic Nonlinear Switched System with Time Varying Delay based on ELM, IEEE Transactions on Automatic Control, 2012 (Submit) (SCI,EI)

2.主持和参加的科研项目
[1] 主持贵州大学硕士研究生创新基金: 基于 ELM 的切换非线性动态系统神经网 络控制研究(NO.2012031) [2] 参加国家自然科学基金: 具有奇异特性的多模型混杂系统的神经网络控制研 究(No.61065010) 75

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原 创 性 声 明
本人郑重声明:所呈交的学位论文,是本人在导师的指导下, 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外,本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究在做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。

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