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高中数学_第四章《圆的标准方程》课件_新人教A版必修2_图文

高中数学必修二

§4.1圆 的 方 程

问题:试推导圆心是C(a,b),半 径是r的圆的方程。 自学提纲 (1) 求曲线方程的一般步骤是
建系设点 找几何条件 坐标化

y

r
C

M(x,y)

O 化简

x 查漏补缺 .

(2) 圆是 平面内到定点的距离等于定长 的点的集合; (3) 推导中利用了 两点间的距离 公式进行坐标化; (4)圆心是C(a,b),半径是r的圆的标准方程是 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 . (5) 圆的标准方程有哪些特点?
①是关于x、y的二元二次方程; ②方程明确给出了圆心坐标和半径; ③确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。

y

r
y
C(a,a)

O

y r (a,0) x

2 (x-a)2+y2=a C(a,b) x2+y2=r2

x 2+(y-b)2=a2+b2 2 2 2 (x-a) (x-a) +(y-a) =a
O O

x

练习1.写出下列各圆的方程:

(1)圆心在点C(3,4 ),半径是 5

(2)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
(1)(x-3)2+(y-4)2 =5 (2)(x-8)2+(y+3)2 =25 练习2. 写出下列各圆的圆心坐标和半径:

(1)(x-1)2+y2 =6
(2)(x+1)2+(y-2)2 =9 (3)(x+a)2+y2 =a2

(1,0)

6

(-1,2)

3

(-a,0)

|a|

例1:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。
思考:(1)本题关键是求出什么? (2)直线和圆的位置关于有哪几种? (3)怎样求出圆的半径?

解:因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以

圆心C到这条直线的距离等于半径r
根据 点到直线的距离公式 ,得
r= | 3×1— 4×3 — 7 | 32+(-4)2 16 = 5

y C
M

256 2 2 因此所求圆的方程是 (x-1) +(y-3) = 25

O

x

r

d

用r 表示圆的半径,d 表示圆心到直线的距离,则 (1)直线和圆相交 d<r
(2)直线和圆相切 (3)直线和圆相离

d=r d>r

例2. 已知圆的方程是 x ? y ? r ,求经 过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
2 2 2

思考

y

1.圆的切线有哪些性质? 2.求切线方程的关键是什么? 3.切线的斜率一定存在吗? 4.除了课本解法,你还能想 到哪些方法?
O

M ( x0 , y0 )
x

例2. 已知圆的方程是

x ?y ?r
2 2

2

,求经过圆上一点

M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
解:当M不在坐标上时,设切线的斜率为k,则k= -

1 kOM

kOM =

y0 x0

,

经过点M 的切线方程是
0

x0 k ?- . y0

y

.

x y - y0 ? - y0 (x - x0 ),
2 0 2 0

M ( x0 , y0 )
O

所求的切线方程是 x0 x ?

x0 x ? y0 y ? x ? y . 2 2 2 ? r , 因为点M在圆上,所以 x 0 ? y 0
整理得

x

y0 y ? r .
2

当点M在坐标轴上时,可以验证,上面方程同样适用.

2 例2. 已知圆的方程是 x 2 ? y 2 ? r,求经过圆上一 点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。

分析:当M不在坐标上时, 设切线方程为 y

y-y0=k(x-x0)

整理成一般式,利用 点到直线的距离公式求k, 代入所设方程即可.

M ( x0 , y0 )
O

当点M在坐标轴上时,同解 法一可以验证.

x

练习巩固
1.以(3,-4)为圆心,且过点(0,0) 的圆的方程是 (x-3) 2+(y+4)2=25 .
2.已知直线x-y+b=0与圆x 2+y2=8相切, 则b= 4或-4 .

小结 (1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0,圆的标准方程为: x2 + y 2 = r 2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数, 因此必须具备三个独立的条件才能确定圆;对于由已 知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐 标列方程的问题一般采用圆的标准方程。

(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方 程解决实际问题。

作 业
习题7.7 P81 1(2)、2 、 4

课外思考题
1.求圆心C在直线 x+2y+4=0 上,且过两定点 A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程。 2.试推导过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线 方程. 3.自圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)向圆引切线,求 切线的长.


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