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对数函数例题

对数函数综合题
【例 1】 (2) (3) 求函数 (1) 求函数 1 y = 1 ? log a ( x ? a) [0 log
1 2

3x 2 ? 2 x 1 的定义域. ? (a , 0 a 1) > ,且 ≠ 的定义域. 1] ,求函数 y = f[log
1 3

y = f(x)

已知函数

的定义域是

(3



x)]

的定义域

【例2】 已知函数y =

10 x ,试求它的反函数,以及反函数的定义域和值域. 1 ? 10 x

【例 3】

作出下列函数的图像,并指出其单调区间. (1)y=lg(-x),(2)y=log2|x+1|

(3)y =|log 1 (x-1)| , (4)y=log 2 (1-x) .
2

【例 4】 图 2.8-7 分别是四个对数函数,①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx 的图像,那 么 a、b、c、d 的大小关系是 [ ] A.d>c>b>a C.b>a>d>c B.a>b>c>d D.b>c>a>d

【例 5】

已知 loga3>logb3,试确定 a 和 b 的大小关系.

【例6】 若a 2 >b>a>1,则log a

a b 、log b 、log b a、log a b的大小 顺序是:________. b a

【例7】

设 0<x<1,a>1,且 a≠1,试比较|loga(1-a)|与|loga(1+x)|的大小.

【例8】 已知函数f(x) = log a (x+ 1 ? x2 )(a>0,且a≠1),判断其 奇偶性.

【例9】 (1) 已知函数f(x) = log 2
并证明.

x ,那么它在(0,1) 上是增函数 还是减函数? 1? x

(2)讨论函数 y=loga(ax-1)的单调性其中 a>0,且 a≠1.

【例 10】

(1)设 0<a<1,实数 x、y 满足 logax+3logxa-logxy=3,

如果y有最大值

2 ,求这时a与x的值. 4
2 2

(2) 讨论函数f(x) = -log 2 x-3log 1 x-2的单调性及值域. 1

答案:

3x ? 2 ? ? x ?1 log 1 ≥ 0 ? 3x ? 2 ? 2x ? 1 ? 2x ? 1 ≤0 ? 2 x ? 1 ≤1 ? 2 ? ? ? 3x ? 2 1 2 ? 解 (1)由 ? >0 ? ?(3x ? 2)(2 x ? 1) > 0 ? ?x< 或x> ? 2 3 1、 ? 2x ? 1 ? ? 1 1 ?2 x ? 1≠ 0 ?x≠ ? 2 ? ? ?x≠ 2 ? ?

?1 ? 2 <x≤1 ? 1 2 2 ? ?x< 或x> ? <x≤1 2 3 3 ? 1 ? ?x≠ 2 ?
2 ∴ 所求定义域为{x| <x≤1} 3
解 (2)∵1-loga(x+a)>0,∴loga(x+a)<1.

当 a>1 时,0<x+a<a,∴函数的定义域为(-a,0). 当 0<a<1 时,x+a>a,∴函数的定义域为(0,+∞).

解 (3) ∵f(x) 的定义域为[0,1],∴函数y = f[log 1 (3-x)]有意义,
3

必须满足0≤log 1 (3-x) ≤1,即log 11 ≤log 1 (3-x) ≤log 1
3 3 3 3

1 1 ,∴ ≤3- 3 3

8 8 x≤1,∴2 ≤x≤ .故函数y = f[log 1 (3-x)]的定义域为[2 , ]. 3 3 3
10 x 10 x 解 已知函数的定义域为R,∵y = ∴y≠1,由y = 得 1 ? 10 x 1 ? 10 x 2、 y (1-y)10 x = y,∴10 x = > 0 ? 0<y<1,即为函数的值域. 1? y
由10 x = y y x 得x = lg ,即反函数f ?1 (x) = lg . 1? y 1? y 1? x

反函数的定义域为(0,1),值域为 y∈R. 3、解 (1)y=lg(-x)的图像与 y=lgx 的图像关于 y 轴对称,如图 2.8-3 所示,单调减 区间是(-∞,0).



(2)先作出函数 y=log2|x|的图像,再把它的图像向左平移 1 个单位就得 y=log2|x+

1|的图像如图 2.8-4 所示. 单调递减区间是(-∞,-1). 单调递增区间是(-1,+∞).

解 (3) 把y = log 1 x的图像向右平移1个单位得到y = log 1 (x-1)
2 2

的图像,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变,把 x 轴下方的图像以 x 轴为

对称轴翻折到x轴上方,就得到y =|log 1 (x-1)| 的图像.如图 2 .8-5
2

所示.

单调减区间是(-1,2]. 单调增区间是[2,+∞). 解 (4)∵函数 y=log2(-x)的图像与函数 y=log2x 的图像关于 y 轴对称,故可先作

y=log2(-x)的图像, 再把 y=log2(-x)的图像向右平移 1 个单位得到 y=log2(1-x)的图像. 如 图 2.8-6 所示. 单调递减区间是(-∞,1).

4、 解 选 C, 根据同类函数图像的比较, 任取一个 x>1 的值, 易得 b>a>1>d>c. 故 选 C. 5、解法一 令 y1=logax,y2=logbx,∵logax>logb3,即取 x=3 时,y1>y2,所以它 们的图像,可能有如下三种情况:

(1)当 loga3>logb3>0 时,由图像 2.8-8,取 x=3,可得 b>a>1. (2)当 0>loga3>logb3 时,由图像 2.8-9,得 0<a<b<1. (3)当 loga3>0>logb3 时,由图像 2.8-10,得 a>1>b>0.

解法二 由换底公式,化成同底的对数.

当log a 3>log b 3>0时,得

1 1 > >0,∴log 3 b>log 3a>0, log 3 a log 3 b

∵函数 y=log3x 为增函数,∴b>a>1.

当log b 3<log a 3<0时,得

1 1 < <0,∴0>log 3 b>log 3a, log 3 b log 3 a

∵函数 y=log3x 为增函数,∴0<a<b.

当log a 3>0>log b 3时,得
即 a>1>b>0. 6、

1 1 >0> ∴log 3a>0>log 3 b, log 3 a log 3 b

a b a b 解 ∵a 2 >b>a>1,∴ 0< <1, >1,∴log a < 0,log b > b a b a b b 0, 0<log b a<1,log a b>1.由a 2 >b>a>1得a> >1∴log b <log b a< a a a b 1,故得:log a <log b <log b a<log a b. b a
说明 本题解决的思路,是把已知的对数值的正负,或大于 1,小于 1 分组,即借助 0、 1 作桥梁这个技巧,使问题得以解决. 7、解法一 求差比大小. |loga(1-x)|-|loga(1+x)|

=|

lg(1 ? x) lg(1 ? x) |?| | lga lg a 1 ? (|lg(1 ? x)|?|lg(1 ? x)| |lg a|

1 ( -lg(1-x) -lg(1+x) ( ∵ 0<1-x<1<1+1+x) |lga| 1 =- ·lg(1-x 2 ) > 0 |lg a| =
∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法二 求商比较大小

|log a (1 ? x)| log a (1 ? x) ?| | |log a (1 ? x)| log a (1 ? x)
=|log(1+x)(1-x)|=-log1+x(1-x) ∵(1+x>1,而 0<1-x<1)

∴原式 = log (1+x)

1 1? x = log (1+x) >log (1+x) (1+x) = 1 1? x 1 ? x2

∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 8、解法一 已知函数的定义域为 R,则-x∈R

f( -x) = log a ( 1 + x 2 -x) = log a ( 1 ? x 2 ? x)( 1 ? x 2 ? x) 1 ? x2 ? x

= log a = log a

1 ? x2 ? x2 1 ? x2 ? x 1 1 ? x2 ? x

= ?log a ( 1 ? x 2 ? x) ? ? f ( x)
∴f(x)是奇函数. 解法二 已知函数的定义域为 R

由f(x) +f( -x) = log a ( 1 + x 2 +x) +log( 1 + x 2 -x) = log a [( 1 + x 2 ? x)( 1 + x 2 ? x)]

=loga1=0 ∴f(x)=-f(x),即 f(x)为奇函数. 9、 (1)证明 方法一 f(x)在(0,1)上是增函数. 设任取两个值 x1,x2∈(0,1),且 x1<x2.

∵f(x 1 ) -f(x 2 ) = log 2

x1 x2 -log 2 1 ? x1 1 ? x2

x1 1 ? x1 x 1 (1 ? x 2 ) = log 2 ? log 2 x2 x 2 (1 ? x 1 ) 1 ? x2 = log 2 x1 ? x1x 2 x 2 ? x1x 2 <log 2 =0 x 2 ? x1x 2 x 2 ? x1x 2

(∵0<x1<x2<1,∴x1-x1x2<x2-x1x2). ∴f(x1)<f(x2) 故 f(x)在(0,1)上是增函数.

方法二

令u =

x 1 ? ?1 ? 1? x x ?1

∵u = 1-

1 在(0,1) 上是增函数,又∵u>0,y = log 2 u在(0, x ?1

+∞) 上是增函数,∴f(x) =log 2

x 在(0,1) 上是增函数. 1? x

(2)解 由对数函数性质,知 ax-1>0,即 ax>1,于是,当 0<a<1 时,函数的定义域 为(-∞,0),当 a>1 时,定义域为(0,+∞). 当 0<a<1 时,u=ax-1 在(-∞,0)上是减函数,而 y=logau 也是减函数,∴y=loga(ax -1)在(-∞,0)上是增函数. 当 a>1 时,u=ax-1 在(0,+∞)上是增函数,而 y=logau 也是增函数,∴y=loga(ax -1)在(0,+∞)上是增函数. 综上所述,函数 y=loga(ax-1)在其定义域上是增函数.

10、 解

(1) 由已知,得log a x+

log a y 3 ? = 3,∴log a y = log 2 x- a log a x log a x

3 3 3log a x+3 = (log a x- ) 2 + . 2 4
∵0<a<1,∴log a y关于y为减函数.即y有最大值 2 时,log a y 4

有最小值log a
∴当log a x =
3

2 4

3 2 3 时,log a = , 2 4 4

∴a 4 ?

3 2 1 1 ,x = a 2 ,得a = ,x = . 4 4 8

解 (2) 设t = log 1 x,则x> 0,t∈R ,且t = log 1 x是 (0,+∞ ) 上的
2 2

减函数.

3 3 f(t) = -t 2 -3t-2是( -∞,- ]上的增函数,是[ - ,+∞) 上的 2 2

3 减函数.t = - 时,x = 2 2 2
∴函数f(x) = -log 2 x-3log 1 x-2 在(0,2 2]上是增函数,在[2 2 , 1
2 2

+∞)上是减函数.

3 1 1 又∵f(x) = -(t+ ) 2 + ,∴值域是( -∞, ]. 2 4 4


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