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2013届高三数学(理科)一轮复习单元评估检测(2)第2章 函数、导数及其应用(新人教A版)

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2013 届高三数学(理科)一轮复习单元评估检测(2)第 2 章 函数、导数及其应用(新 人教 A 版)

(120 分钟

150 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列图形中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,以 N={y|0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )

2.(2012·韶关模拟)已知函数 f(x)=ax3+bx-3,若 f(-2)=7,则 f(2) =( (A)13 ) (B)-13 (C)7 (D)-7

3.(2011·广东高考)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函 数,则下列结论恒成立的是( (A)f(x)+|g(x)|是偶函数 (B)f(x)-|g(x)|是奇函数 (C)|f(x)|+g(x)是偶函数 (D)|f(x)|-g(x)是奇函数 4.已知函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)是定义在 R 上的单调递减函数,则 函数 g(x)=loga(x+1)的图象大致是( ) )

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1 5.设函数 f(x)= x-lnx(x>0),则 y=f(x)( 3 1 (A)在区间( ,1),(1,e)内均有零点 e 1 (B)在区间( ,1),(1,e)内均无零点 e

)

1 (C)在区间( ,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点 e 1 (D)在区间( ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点 e 6.(2012·珠海模拟)函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所 示,则 f(x)的解析式可能是( )

(A)y=ax (C)y=xex

(B)y=logax (D)y=xlnx

π π 7.(易错题)设函数 f(x)=x·sinx,若 x1,x2∈[- , ],且 f(x1) 2 2 >f(x2),则下列不等式恒成立的是( (A)x1>x2 (C)x1+x2>0 (B)x1<x2 (D)x12>x22
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)

金太阳新课标资源网 8.(2011·湖南高考)已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若 有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为( (A)[ 2- 2,2+ 2] (C)[1,3] )

(B)(2- 2,2+ 2) (D)(1,3)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把正确答案 填在题中横线上)
1 1 ? 9.(2011·四川高考)计算(lg -lg25)÷100 2 = 4

.

10.定积分∫0ln2exdx 的值为

. .

11.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切, 则 a 的值为

12.当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,则实数 a 的取值 范围为 .

13.函数 f(x)=(x+a)3 对任意 t∈R,总有 f(1+t)=-f(1-t),则 f(2)+ f(-2)等于 .

14.(2011·四川高考)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1) =f(x2)时总有 x1=x2, 则称 f(x)为单函数.例如, 函数 f(x)=2x+1(x ∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b∈B,A 中至多有一个元素与之 对应; ④函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数.
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金太阳新课标资源网 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 2 15.(12 分)(2012·广州模拟)设函数 f(x)=lg( -1)的定义域为 x+1 集合 A,函数 g(x)= 1-a2-2ax-x2的定义域为集合 B. (1)求证:函数 f(x)的图象关于原点成中心对称; (2)a≥2 是 A∩B= ? 的什么条件(充分不必要条件、 必要不充分条件、 充要条件、既不充分也不必要条件),并证明你的结论. 16.(13 分)两个二次函数 f(x)=x2+bx+c 与 g(x)=-x2+2x+d 的 图象有唯一的公共点 P(1,-2). (1)求 b,c,d 的值; (2)设 F(x)=(f(x)+m)·g′(x),若 F(x)在 R 上是单调函数,求 m 的取值范围,并指出 F(x)是单调递增函数,还是单调递减函数. 17.(13 分)(2011·北京高考)已知函数 f(x)=(x-k) e . (1)求 f(x)的单调区间; 1 (2)若对于任意的 x∈(0,+∞),都有 f(x)≤ ,求 k 的取值范围. e 18.(14 分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品, 每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不 变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售 价提高的百分率为 x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为 x2. 记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y(元).
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2
x k

金太阳新课标资源网 (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的 月平均利润最大. 19.(14 分)已知幂函数 f(x)= x-m +2m+3 (m∈Z)为偶函数, 且在区间(0, +∞)上是单调增函数. (1)求函数 f(x)的解析式; 1 9 (2)设函数 g(x)= f(x)+ax3+ x2-b(x∈R),其中 a,b∈R.若函数 4 2 g(x)仅在 x=0 处有极值,求 a 的取值范围. 1 20.(14 分)(预测题)已知 f(x)=xlnx,g(x)= x2-x+a. 2 (1)当 a=2 时,求函数 y=g(x)在[0,3]上的值域; (2)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; g′(x)+1 2 (3)证明:对一切 x∈(0,+∞),都有 xlnx> - 成立. ex e
2

答案解析
1. 【解析】选 C.由题意知,自变量的取值范围是[0,1],函数值的 取值范围也是[0,1],故可排除 A、B;再结合函数的定义,可知对于 集合 M 中的任意 x,N 中都有唯一的元素与之对应,故排除 D.
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金太阳新课标资源网 2.【解析】选 B.≧f(-2)=-a·23-2b-3=-(a·23+2b)-3=7, ?a·23+2b=-10, ?f(2)=a·23+2b-3=-10-3=-13. 3. 【解析】选 A.≧g(x)是奇函数,其图象关于原点对称, ?|g(x)|的图象关于 y 轴对称,是偶函数, 又 f(x)为偶函数,?f(x)+|g(x)|是偶函数. 【方法技巧】函数奇偶性与函数图象的关系 (1)函数的奇偶性, 揭示了函数图象的对称性.已知函数的奇偶性可得 函数图象的对称性; 反之, 已知函数图象的对称性可得函数的奇偶性. (2)从图象判断函数的奇偶性是很有效的方法.利用图象变换, 可以很 容易地画出形如|f(x)|或 f(|x|)的函数图象,进而可判断函数的奇 偶性. 4. 【解题指南】由指数函数的单调性可得 a 的取值范围,再判断函 数 g(x)=loga(x+1)的图象. 【解析】选 D.由题可知 0<a<1,函数 g(x)的图象由函数 y=logax 的 图象向左平移一个单位得到,故选 D. 1 1 5. 【解析】选 D.≧f′(x)= - , 3 x ?x∈(3,+≦)时,y=f(x)单调递增; x∈(0,3)时,y=f(x)单调递减. 1 而 0< <1<e<3, e 1 1 1 e 又 f( )= +1>0,f(1)= >0,f(e)= -1<0, e 3e 3 3
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金太阳新课标资源网 1 ?在区间( ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点. e 1 【一题多解】 选 D.令 g(x)= x, h(x)=lnx, 如图, 作出 g(x)与 h(x) 3 1 在 x>0 的图象,可知 g(x)与 h(x)的图象在( ,1)内无交点,在(1, e e)内有 1 个交点,故选 D.

?4x-4,x≤1 ? 【变式备选】已知函数 f(x)=? 2 ? ?x -4x+3,x>1

,则关于 x 的方

程 f(x)=log2x 解的个数为( (A)4 (B)3 (C) 2

) (D)1

【解析】选 B.在同一直角坐标系中画出 y=f(x)与 y=log2x 的图象, 从图象中可以看出两函数图象有 3 个交点,故其解有 3 个.

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金太阳新课标资源网 6.【解析】选 D.由图知,导函数的定义域为(0,+≦), ≧(ax)′=axlna,(xex)′=ex+xex,导函数的定义域为 R, ?排除选项 A,C. 由图象知导函数的值是先负后正, 1 又(logax)′= ,导函数的符号与参数 a 有关, xlna 排除 B,故选 D. 7.【解析】选 D.显然 f(x)为偶函数, π 当 x∈(0, ]时,f′(x)=sinx+xcosx>0, 2 ?f(x)在(0, π ]上单调递增. 2

又 f(x1)>f(x2) ? f(|x1|)>f(|x2|) ? |x1|>|x2| ? x12>x22. 8.【解析】选 B.≧f(a)>-1,?g(b)>-1, ?-b2+4b-3>-1,?b2-4b+2<0, ?2- 2<b<2+ 2.故选 B. 1 1 4 1 1 1 1 ? 9. 【解析】 (lg -lg25)〔 100 2 =lg 〔 =lg 〔 =10〓lg10 4 25 100 10 100
-2



-20. 答案:-20 10.【解析】∫0ln2exdx=ex|0ln2=eln2-e0=2-1=1. 答案:1

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金太阳新课标资源网 1 1 11.【解析】y′= (x+a)′= ,设切点为(x0,x0+1),则 x+a x+a 1 ? ?x +a=1 ? ?x +1=ln(x +a) ?
0 0 0

,解得 a=2.

答案:2 12.【解析】设 y1=(x-1)2,则 y1 的图象如图所示:

设 y2=logax,则当 x∈(1,2)时,y2 的图象应在 y1 的图象上方, ?a>1 且 loga2≥(2-1)2=1, ?a≤2,?1<a≤2. 答案:{a|1<a≤2} 13.【解析】令 t=1,则 f(2)=-f(0). ?(2+a)3=-a3, ?a=-1, ?f(2)+f(-2)=(2-1)3+(-2-1)3=-26. 答案:-26 14.【解析】 选项 ① 具体分析 由 x2=4 可得 x1=2,x2=-2,则 x1≠x2 不 结论 假命题

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金太阳新课标资源网 合定义. “x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2)”的 逆否命题是“若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2) ② 时总有 x1=x2”. 互为逆否命题的两个命题等价.故②的逆否 命题为真,故②为真命题. ③ ④ 符合唯一的函数值对应唯一的自变量. 在某一区间单调并不一定在定义域内单调. 真命题 假命题 真命题

答案:②③ 2 15.【解析】(1)A={x| -1>0}, x+1 2 x-1 -1>0 ? <0 ?(x+1)(x-1)<0, x+1 x+1 ?-1<x<1. ?A=(-1,1),故 f(x)的定义域关于原点对称. 1-x 又 f(x)=lg , x+1 1+x 1-x -1 1-x 则 f(-x)=lg =lg( ) =-lg , -x+1 x+1 x+1 ?f(x)是奇函数. 即函数 f(x)的图象关于原点成中心对称. (2)B={x|x2+2ax-1+a2≤0}, 得-1-a≤x≤1-a,即 B=[-1-a,1-a], 当 a≥2 时,-1-a≤-3,1-a≤-1,
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金太阳新课标资源网 由 A=(-1,1),B=[-1-a,1-a],有 A∩B= ? . 反之,若 A∩B= ? ,可取-a-1=2,则 a=-3,a 小于 2. 所以,a≥2 是 A∩B= ? 的充分不必要条件.

16.【解题指南】(1)把点 P 的坐标代入两函数解析式,结合 x2+bx +c=-x2+2x+d 有唯一解,可求得 b,c,d, (2)若 F(x)在 R 上是单调函数, 则 F′(x)在 R 上恒有 F′(x)≥0 或 F′ (x)≤0.
? ?1+b+c=-2 【解析】(1)由已知得? ?-1+2+d=-2 ? ? ?b+c=-3 ,化简得? ?d=-3 ?



且 x2+bx+c=-x2+2x+d,即 2x2+(b-2)x+c-d=0 有唯一解, 所以Δ=(b-2)2-8(c-d)=0,即 b2-4b-8c-20=0, 消去 c 得 b2+4b+4=0,解得 b=-2,c=-1,d=-3. (2)由(1)知 f(x)=x2-2x-1,g(x)=-x2+2x-3, 故 g′(x)=-2x+2, F(x)=(f(x)+m)·g′(x) =(x2-2x-1+m)·(-2x+2) =-2x3+6x2-(2+2m)x+2m-2, F′(x)=-6x2+12x-2-2m. 若 F(x)在 R 上为单调函数,则 F′(x)在 R 上恒有 F′(x)≤0 或 F′ (x)≥0 成立. 因为 F′(x)的图象是开口向下的抛物线,
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金太阳新课标资源网 所以 F′(x)≤0 在 R 上恒成立, 所以Δ=122+24(-2-2m)≤0,解得 m≥2, 即 m≥2 时,F(x)在 R 上为单调递减函数.
x 1 17.【解析】(1)f′(x)= (x2-k2)e k ,令 f′(x)=0,得 x=〒k. k

当 k>0 时,f(x)与 f′(x)的情况如下: x f′ + (x) f(x) 4k2e-1 0 0 - 0 + (-≦,-k) -k (-k,k) k (k,+≦)

所以 f(x)的单调递增区间是(-≦,-k)和(k,+≦);单调递减区 间是(-k,k). 当 k<0 时,f(x)与 f′(x)的情况如下: (-k,+ x f′ - (x) f(x) 0 4k2e-1 0 + 0 - (-≦, k) k (k,-k) -k ≦)

所以 f(x)的单调递减区间是(-≦,k)和(-k,+≦);单调递增区 间是(k, -k). (2)当 k>0 时,因为 f(k+1)=e
k ?1 k

1 > ,所以不会有 ? x∈(0,+≦), e

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金太阳新课标资源网 1 f(x)≤ . e 4k2 当 k<0 时,由(1)知 f(x)在(0,+≦)上的最大值是 f(-k)= . e 1 4k2 1 1 所以 ? x∈(0,+≦),f(x)≤ ,等价于 f(-k)= ≤ ,解得- ≤ e e e 2 k<0. 1 1 故对 ? x∈(0,+≦),f(x)≤ 时,k 的取值范围是[- ,0). e 2 18.【解析】(1)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1+x)元,月 平均销售量为 a(1-x2)件,则月平均利润 y=a(1-x2)·[20(1+x) -15](元), ?y 与 x 的函数关系式为 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1). 1 2 (2)y′=5a(4-2x-12x2),令 y′=0 得 x1= ,x2=- (舍), 2 3 1 1 当 0<x< 时 y′>0; <x<1 时 y′<0, 2 2 1 ?函数 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1)在 x= 处取得最大值. 2 1 故改进工艺后,产品的销售价为 20(1+ )=30 元时,旅游部门销售 2 该纪念品的月平均利润最大. 【变式备选】某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距 m 米,余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个 桥墩的工程费用为 256 万元, 距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程
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金太阳新课标资源网 费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且 不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? m 【解析】(1)设需要新建 n 个桥墩,(n+1)x=m,即 n= -1, x 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x m m =256( -1)+ (2+ x)x x x 256m = +m x+2m-256. x
3 256m 1 -1 m 2 (2)由(1)知,f′(x)=- 2 + mx = 2(x 2 -512). x 2 2x 3

令 f′(x)=0,得 x 2 =512,所以 x=64, 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)上为减函数; 当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)上为增函数, 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值,此时, m 640 n= -1= -1=9, x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 19.【解题指南】(1)由函数 f(x)在区间(0,+≦)上为增函数,可得 -m2+2m+3>0,再由 f(x)为偶函数得 m 的值. (2)g(x)仅在 x=0 处有极值, 则意味着 g′(x)=0 有唯一一个变号零 点是 0. 【解析】(1)≧f(x)在区间(0,+≦)上是单调增函数,
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金太阳新课标资源网 ?-m2+2m+3>0 即 m2-2m-3<0, ?-1<m<3.又 m∈Z,?m=0,1,2, 而 m=0,2 时,f(x)=x3 不是偶函数,m=1 时,f(x)=x4 是偶函数, ?f(x)=x4. 1 9 (2)g(x)= x4+ax3+ x2-b, 4 2 g′(x)=x(x2+3ax+9), 显然 x=0 不是方程 x2+3ax+9=0 的根. 为使 g(x)仅在 x=0 处有极值,则有 x2+3ax+9≥0 恒成立, 即有Δ=9a2-36≤0,解不等式,得 a∈[-2,2]. 这时,g(0)=-b 是唯一极值,?a∈[-2,2]. 1 3 20.【解析】(1)≧g(x)= (x-1)2+ ,x∈[0,3], 2 2 3 当 x=1 时,g(x)min=g(1)= ; 2 7 当 x=3 时,g(x)max=g(3)= , 2 3 7 故 g(x)在[0,3]上的值域为[ , ]. 2 2 1 (2)f′(x)=lnx+1,当 x∈(0, ),f′(x)<0,f(x)单调递减, e 1 当 x∈( ,+≦),f′(x)>0,f(x)单调递增. e 1 ①0<t<t+2< ,t 无解; e 1 1 1 ②0<t< <t+2,即 0<t< 时,f(x)min=f( ) e e e
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金太阳新课标资源网 1 =- ; e 1 1 ③ ≤t<t+2, 即 t≥ 时, f(x)在[t, t+2]上单调递增, f(x)min=f(t) e e =tlnt; 1 1 - ,0<t< ? ? e e =? 1 tlnt , t ≥ ? ? e

所以 f(x)min

.

x 2 (3)g′(x)+1=x,所以问题等价于证明 xlnx> x- (x∈(0,+≦)), e e 1 由(2)可知 f(x)=xlnx(x∈(0,+≦))的最小值是- ,当且仅当 x e 1 = 时取到; e x 2 设 m(x)= x- (x∈(0,+≦)), e e 则 m′(x)= 1-x , ex

1 易得 m(x)max=m(1)=- , 当且仅当 x=1 时取到, 从而对一切 x∈(0, e g′(x)+1 2 +≦),都有 xlnx> - 成立. ex e

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