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空间的异面直线


b

a

定义:不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
注:概念应理解为:
“经过这两条直线无法作出一个平面” . 或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”.

不能理解为:“分别在两个平面内的两直线为异面直线”.
(1) 特点: 不相交也不平行; (2) 注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.

异面直线的画法:
b A

?
b

?

a

?
b

a

?

a

b

a?b
a
?

a'

O

?

如果两条异面直线所成的角为直角, 那么就称这两条异面直线垂直。
异面直线a和b所成的角的范围:
0 ? ? ? 90
o

] 强调:1)范围 ? ? (0, 2 2)与0的位置无关 ; 3)为了方便点O选取应有利于解决问题,可取 特殊点(如a 或 b上); 4)找两条异面直线所成的角,要作平行移动 (平行线),把两条异面直线所成的角,转化为两 条相交直线所成的角.

?

5)分类: 两直线垂直

共面垂直(相交)

异面垂直

概念判别练习题:
1)若a、b是异面直线, b、c也是异面直线, 则a、c位置关 异面直线不具有传递性. 系是( A ) A. 相交、平行或异面 B. 平行
C. 异面 D. 平行或异面 2)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。( x ) 3)空间两条不相交的直线一定是异面直线。 ( x) 4)垂直于同一条直线的两条直线必平行。 ( x) 5)过一点能引且只能引一条直线和已知直线垂直。( x ) 6)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与 另一条直线垂直。 (? )

异面直线判定定理:
过平面内一点与平面外一点的直线,和这 个平面内不经过该点的直线是异面直线。
已 知 : 若 A B ? ? ? B , A ? ? , l ? ? , B ? l.
A

求证:直线AB和l 是异面直线.

证明: (反证法)

?

l

B

假设直线AB和l 不是异面直线, 则直线AB和l 共面, 设这个平面为? ,
? A ? AB , AB ? ? ? A??

这与已知点A在平面? 外矛盾. 所以直线AB和l 是异面直线.


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