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高中数学专题1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(1)教案2_2


基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(1) 【教学目标】 1 2 1.能根据定义求函数 y=c,y=x,y=x ,y= ,y= x的导数. x 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。 【教法指导】 本节学习重点:能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 1 2 本节学习难点:能根据定义求函数 y=c, y=x,y=x ,y= ,y= x的导数. x 【教学过程】 ☆复习引 入☆ 在前面,我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数,那么能不能利用导数的定义求出比较简 单的函数及基本函数的导数呢?这就是本节要研究的问题. ☆探索新知☆ 探究点一 几个常用函数的导数 思考 1 怎样利用定义求函数 y=f(x)的导数? 答 Δy (1)计算 ,并化简; Δx Δy 趋近于哪个定值; Δx (2)观察当 Δ x 趋近于 0 时, Δy (3) 趋近于的定值就是函数 y=f(x)的导数. Δx 思考 2 利用定义求下列常用函数的导数: ①y=c,②y=x,③y=x , 1 ④y= ,⑤y= x. 2 x 答 ①y′=0,②y′=1,③y′=2x,④y′=Δ lim x→0 1 - 1 Δy = Δx x+Δ x x -1 1 lim =Δ lim =- 2(其 它类同), Δ x→0 x→0 x Δx x+Δ x x 1 ⑤y′= . 2 x 思考 3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 1 (1)函数 y=f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么? (2)函数 y=f(x)=x 的导数的物理意义呢? 思考 4 在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=2x,y=3x,y=4x 的图象,并根据导数定义,求它们的导 数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数 y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关? 答 函数 y=2x,y=3x,y=4x 的图象如图所示,导数分别为 y′=2,y′=3, y′=4. (1)从图象上看,函数 y=2x,y=3x,y=4x 的导数分别表示这三条直线的斜率. (2)在这三个函数中,y=4x 增加得最快,y=2x 增加得最慢. (3)函数 y=kx(k>0)增加的快慢与 k 有关系,即与函数的导数有关系,k 越大, 函数增加得越快,k 越小,函数增加得越慢. 函数 y=kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系,即与函数导数的绝对值有关系,|k| 越大,函数减少得越快,|k|越小,函数减少得越慢. 1 思考 5 画出函数 y= 的图象. 根据图象, 描述它的变化情况, 并求出曲线在点(1,1) x 处的切线方程. 答 1 1 函数 y= 的图象如图所示,结合函数图象及其导数 y′=- 2发现,当 x<0 时, x x 1 随着 x 的增加, 函数 y= 减少得越来越快; 当 x>0 时, 随着 x 的增加, 函数减少得 越 x 来越慢. 1 点(1,1)处切线的斜率就是导数 y′|x=1=- 2=-1,故斜率为-1,过点(1,1)的切线方程为 y=-x+2. 1 思考 6 利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样 解决这个问题? 答 可以使用给出的导数公式进行求导,简化运算过程,降低运算难度. 探究点二 基本初等函数的导数公式 思考 你能发现 8 个基本初等函数的导数公式之间的联系吗? 答

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