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高中数学专题1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(1)教案2_2

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(1) 【教学目标】 1 2 1.能根据定义求函数 y=c,y=x,y=x ,y= ,y= x的导数. x 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。 【教法指导】 本节学习重点:能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 1 2 本节学习难点:能根据定义求函数 y=c, y=x,y=x ,y= ,y= x的导数. x 【教学过程】 ☆复习引 入☆ 在前面,我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数,那么能不能利用导数的定义求出比较简 单的函数及基本函数的导数呢?这就是本节要研究的问题. ☆探索新知☆ 探究点一 几个常用函数的导数 思考 1 怎样利用定义求函数 y=f(x)的导数? 答 Δy (1)计算 ,并化简; Δx Δy 趋近于哪个定值; Δx (2)观察当 Δ x 趋近于 0 时, Δy (3) 趋近于的定值就是函数 y=f(x)的导数. Δx 思考 2 利用定义求下列常用函数的导数: ①y=c,②y=x,③y=x , 1 ④y= ,⑤y= x. 2 x 答 ①y′=0,②y′=1,③y′=2x,④y′=Δ lim x→0 1 - 1 Δy = Δx x+Δ x x -1 1 lim =Δ lim =- 2(其 它类同), Δ x→0 x→0 x Δx x+Δ x x 1 ⑤y′= . 2 x 思考 3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 1 (1)函数 y=f(x)=c(常数)的导数的物理意义是什么? (2)函数 y=f(x)=x 的导数的物理意义呢? 思考 4 在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=2x,y=3x,y=4x 的图象,并根据导数定义,求它们的导 数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数 y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关? 答 函数 y=2x,y=3x,y=4x 的图象如图所示,导数分别为 y′=2,y′=3, y′=4. (1)从图象上看,函数 y=2x,y=3x,y=4x 的导数分别表示这三条直线的斜率. (2)在这三个函数中,y=4x 增加得最快,y=2x 增加得最慢. (3)函数 y=kx(k>0)增加的快慢与 k 有关系,即与函数的导数有关系,k 越大, 函数增加得越快,k 越小,函数增加得越慢. 函数 y=kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系,即与函数导数的绝对值有关系,|k| 越大,函数减少得越快,|k|越小,函数减少得越慢. 1 思考 5 画出函数 y= 的图象. 根据图象, 描述它的变化情况, 并求出曲线在点(1,1) x 处的切线方程. 答 1 1 函数 y= 的图象如图所示,结合函数图象及其导数 y′=- 2发现,当 x<0 时, x x 1 随着 x 的增加, 函数 y= 减少得越来越快; 当 x>0 时, 随着 x 的增加, 函数减少得 越 x 来越慢. 1 点(1,1)处切线的斜率就是导数 y′|x=1=- 2=-1,故斜率为-1,过点(1,1)的切线方程为 y=-x+2. 1 思考 6 利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎样 解决这个问题? 答 可以使用给出的导数公式进行求导,简化运算过程,降低运算难度. 探究点二 基本初等函数的导数公式 思考 你能发现 8 个基本初等函数的导数公式之间的联系吗? 答 公式 6 是公式 5 的特例,公式 8 是公式 7 的特例. 例 1 求下列函数的导数: 2 π 1 4 3 x (1)y=sin ;(2)y=5 ;(3)y= 3;(4)y= x ; 3 x (5)y=log3x. 解 (1)y′=0; x x (2)y′=(5 )′=5 ln 5; ?1? -3 -4 (3)y′=? 3?′=(x )′=-3x ; ?x ? 3 3 1 3 4 3 (4)y′=( x )′=(x )′= x- = ; 4 4 4 4 4 x (5)y′=(log3x)′= 1 xln 3 . 反思与感悟 对于教材中出现的 8 个基本初等函数的导数公式,要想在解题过程中应用自如 ,必须做到以 π 3 π ? π? 下两点:一是正确理解,如 sin = 是常数,而常数的导数一定为零,就不会出现?sin ?′=cos 这样 3 3 2 3 ? ? 的错误结果.二是准确记忆,灵活变形.如根式、分式可转化为指数式,利用公式 2 求导. 跟踪训练 1 求下列函数的导数: 1 x 1 8 (1)y=x ;(2)y=( ) ;(3)y=x x;(4)y=log x. 2 3 例 2 判断下列计算是否正确. π 求 y=cos x 在 x= 处的导数,过程如下: 3 y′|x= =?cos ?′=-sin 3 π 3 ? ? π? ? π 3 =- . 3 2 解 错误.应为 y′=-sin x, π π 3 ∴y′|x= =-sin =- . 3 3 2 反思与感悟 函数 f(x)在点 x0 处的导数等于 f′ (x)在点 x=x0 处的函数值.在求函数在某点处的导数时可 以先利用导数公式求出导函数,再将 x0 代入导函数求解,不能先代入后求导. 3 跟踪训练 2 求函数 f (x)=ln x 在 x=1 处的导数. 解 f′(x)=(ln x)′= , x 1 ∴f′(1)=1, ∴函数 f(x)在 x=1 处的导数为 1. 探究点三 导数公式的综合应用 按照基本初等函数的导数公式,我们 可以解决两类问题: (1)可求基本初等函数图象在某一点 P(x0,y0)处的切线方程. (2)知切线斜率可求切点坐标. 例3 已知直线 l: 2x-y+4=0 与抛物线 y=x 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,试求与

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