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南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试题(含答案)


南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试 数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 参考公式: 锥体体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 为底面积, h 为高; 3

柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 样本数据 x1 , x2 , ???, xn 的方差 s ?
2

1 n 1 n 2 ,其中 ( x ? x ) x ? ? i ? xi . n i ?1 n i ?1

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指 定位置上) 1.已知集合 A ? ??1,0,1? , B ? (??,0) ,则 A I B ? 2.设复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2 ,其中 i 为虚数单位, 则 z 的虚部为 ▲ . ▲ . 3.已知样本数据 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的方差 s 2 ? 3 ,则样本 数据 2 x1 , 2 x2 , 2 x3 , 2 x4 , 2 x5 的方差为 4.如图是一个算法流程图,则输出的 x 的值是 ▲ . 5.在数字 1、2、3、4 中随机选两个数字,则选中的数字 中至少有一个是偶数的概率为 ▲ . ▲ . 开始 x←1 y←9 是 输出x 结束

?x ? 0 y ? 6.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 7 ,则 的最小值 x ?x ? 2 ? 2 y ?
是 ▲
2

x>y 否 x←x+4 y←y-2

.

7.设双曲线

为 30 ? ,则该双曲线的离心率为

x ? y 2 ? 1(a ? 0) 的一条渐近线的倾斜角 2 a
▲ .

第4题图

8.设 ?an ? 是等差数列,若 a4 ? a5 ? a6 ? 21,则

S9 ?



.

9.将函数 y ? 3sin(2 x ? ▲ .

?
3

) 的图象向右平移 ? ( 0 ? ? ?

?
2

)个单位后,所得函数为偶函数,则 ? ?

高三数学试题第 1 页(共 4 页)

10.将矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到一个圆柱, AB ? 3 , BC ? 2 ,圆柱上底面圆心 为 O , ?EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形,则三棱锥 O ? EFG 体积的最大值 是 ▲ . 11.在 ?ABC 中,已知 AB ? 3 , C ?

?
3

,则 CA ? CB 的最大值为 y

uu r uur



.

12.如图,在平面直角坐标系中,分别在 x 轴与直线

3 y? ? x ? 1? 上从左向右依次取点 Ak 、 Bk , 3 k ? 1, 2, ??? ,其中 A1 是坐标原点,使 ?Ak Bk Ak ?1
都是等边三角形,则 ?A 10 B 10 A 11 的边长 是 ▲ . 13 .在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 为函数 A1

B3 B1 A2 B2 A3
第 12 题图

… A4 x

y ? 2 ln x 的图象与圆 M : ( x ? 3)2 ? y 2 ? r 2 的公共点,且它们在点 P 处有公切线,若二次函数 ▲ . y ? f ( x) 的图象经过点 O, P, M ,则 y ? f ( x) 的最大值为
14.在 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2c ? 8 ,则 ?ABC 面积的最大值为
2 2 2





二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答 案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC ? AC , D , E 分别是 AB , AC 的中点. (1)求证: B1C1 ∥平面 A 1DE ; (2)求证:平面 A1DE ? 平面 ACC1 A1 . A1 B1 A D E B C C1

16.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 的对边,且 b sin 2C ? c sin B . (1)求角 C ; (2)若 sin( B ?

第 15 题图

?
3

)?

3 ,求 sin A 的值. 5

17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O : x ? y ? b 经过椭圆 E :
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (0 ? b ? 2) 的焦点. 4 b2

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m 交椭圆 E 于 P, Q 两点, T 为弦 PQ 的中点, M (?1,0), N (1,0) ,记直
高三数学试题第 2 页(共 4 页)

线 TM , TN 的斜率分别为 k1 , k2 ,当 2m ? 2k ? 1 时,求 k1 ? k2 的值.
2 2

y Q l T · O P
第 17 题图

x

18.(本小题满分 16 分) 如图所示,某街道居委会拟在 EF 地段的居民楼正南方向的空白地段 AE 上建一个活动中心,其 中 AE ? 30 米.活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长 方形 ABCD ,上部分是以 DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半 圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长 GE 不超过 2.5 米, 其中该太阳光线与水平线的夹角

3 . 4 (1)若设计 AB ? 18 米, AD ? 6 米,问能否保证上述采光要求? (2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计 AB 与 AD 的长度,可使得活动中心的截面面积最

? 满足 tan ? ?

大?(注:计算中 ? 取 3) ←南
活 动 中 心 居 民 楼 G E F

D

C

?
B 第 18 题图

A

19.(本小题满分 16 分)

a ?1 ? 3 ( a ? R ). x x (1)当 a ? 2 时,解关于 x 的方程 g (e ) ? 0 (其中 e 为自然对数的底数) ; (2)求函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间; (3) 当 a ? 1 时, 记 h( x) ? f ( x) ? g ( x) , 是否存在整数 ? , 使得关于 x 的不等式 2? ? h( x) 有解? 若存在,请求出 ? 的最小值;若不存在,请说明理由. (参考数据: ln 2 ? 0.6931 , ln 3 ? 1.0986 )
设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ax ?
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20.(本小题满分 16 分)

n ? an ? d , ? N ? , ? ? k 若存在常数 k (k ? N * , k ? 2) 、q 、d ,使得无穷数列 ?an ? 满足 an ?1 ? ? 则称数列 ?qa , n ? N ? , n ? k ? ,其中常数 k 、 q 、 d 分别叫做段长、段比、段差. 设数列 ?bn ? 为“段比差 ?an ? 为“段比差数列”
数列”. (1)若 ?bn ? 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、 q 、3. ①当 q ? 0 时,求 b2016 ; ②当 q ? 1 时,设 ?bn ? 的前 3n 项和为 S3n ,若不等式 S3n ? ? ? 3n?1 对 n ? N 恒成立,求实数
?

? 的取值范围; (2)设 ?bn ? 为等比数列,且首项为 b ,试写出所有满足条件的 ?bn ? ,并说明理由.

南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分
(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)
21.[选做题](在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指 定区域内) A.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,AB 是半圆 O 的直径, 点 P 为半圆 O 外一点,PA, PB 分别交半圆 O 于点 D, C .若 AD ? 2 ,

PD ? 4 , PC ? 3 ,求 BD 的长.
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P

C D

B.(选修 4-2:矩阵与变换) 设矩阵 M ? ?

? m 2? ? 1? 的一个特征值 ? 对应的特征向量为 ? ? ,求 m 与 ? 的值. ? ?2 ? 3 ? ? ?2 ?

C. (选修 4-4:坐标系与参数方程)

3 ? x? t ? ? 5 (t 为参数). 现以坐标原点 O 为极点,以 x 轴非负 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l : ? ?y ? 4 t ? 5 ? 半轴为极轴建立极坐标系,设圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,求
弦 AB 的长.

D.(选修 4-5:不等式选讲) 若实数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? z ? 1 ,求 x ? y ? z 的最小值.
2 2 2

[必做题](第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22. (本小题满分 10 分) 某年级星期一至星期五每天下午排 3 节课,每天下午随机选择 1 节作为综合实践课(上午不排该 课程) ,张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. (1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率; (2) 设这两个班 “在一周中同时上综合实践课的节数” 为 X, 求 X 的概率分布表与数学期望 E(X).

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23. (本小题满分 10 分) 设 n ? N* , n ? 3 , k ? N* . (1)求值: ② k Cn ? n ? n ?1? Cn?2 ? nCn?1 ( k ? 2 ) ;
2 k k ?2 k ?1
2 0 2 1 2 2 k n (2)化简: 1 Cn ? 2 Cn ? 3 Cn ? ??? ? ? k ? 1? Cn ? ??? ? ? n ? 1? Cn . 2 2

① kCn ? nCn?1 ;
k

k ?1

南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.

??1?

2. ?1 9.

3. 12 10. 4

4. 9 11.

5.

5 6

8. 63

5? 12

3 2

12.512

3 4 9 13. 8
6.

2 3 3 2 5 14. 5
7.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答 案写在答题纸的指定区域内. 15.证明: (1)因为 D , E 分别是 AB , AC 的中点,所以 DE // BC , ...............2 分 又因为在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, B1C1 // BC ,所以 B1C1 // DE .
高三数学试题第 6 页(共 4 页)

...............4



DE ? 平面 A1DE ,所以 B1C1 ∥平面 A1DE . 又 B1C1 ? 平面 A 1DE ,
分 (2)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 底面 ABC , 又 DE ? 底面 ABC , 所以 CC1 ? DE . 分 又 BC ? AC , DE // BC ,所以 DE ? AC , 分 又 CC1 , AC ? 平面 ACC1 A1 , 且C C1? A C C ? 分 又 DE ? 平面 A 1. 1DE ,所以平面 A 1 DE ? 平面 ACC1 A 分 , 所以 DE ? 平面 ACC1 A1 .

...............6

...............8 ...............10 ...............12 ...............14

(注:第(2)小题也可以用面面垂直的性质定理证明 DE ? 平面 ACC1 A1 ,类似给分) 16.解: (1)由 b sin2 C ? csin B ,根据正弦定理,得 2sin B sin C cos C ? sin C sin B , …………2 分 因为 sin B ? 0,sin C ? 0 ,所以 cos C ? 分 又

1 , 2
, 所 …………6 分

…………4 以

C ? (0, ? )
.

C?

?
3

(2)因为 C ?

2? ? ? ? ) ,所以 B ? ? (? , ) , 3 3 3 3 3 ? 3 ? ? 4 2 又 sin( B ? ) ? , 所以 cos( B ? ) ? 1 ? sin ( B ? ) ? . 3 5 3 3 5

?

,所以 B ? (0,

…………8

分 又 A? B ? 所

2? 2? ?B, ,即 A ? 3 3


s

A?

2? ?B ?s 3 3 4 1 3 4 ? ? ? ? ? 2 5 2 5

?

B 3 3 ?3 . 10

i分 ………12
…………1

4分 17.解: (1)因 0 ? b ? 2 ,所以椭圆 E 的焦点在 x 轴上, 又圆 O : x ? y ? b 经过椭圆 E 的焦点,所以椭圆的半焦距 c ? b ,
2 2 2

……………3



x2 y 2 ? ? 1. 所以 2b ? 4 ,即 b ? 2 ,所以椭圆 E 的方程为 4 2
2
2

……………6


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(2)方法一:设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , T ( x0 , y0 ) ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 联立 ? 4 ,消去 y ,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 4 ? 0 , 2 ? y ? kx ? m ? 4km 2k 2 2 所以 x1 ? x2 ? ? ,又 2m ? 2k ? 1 ,所以 x1 ? x2 ? ? , 2 1 ? 2k m k k 1 所以 x0 ? ? , y0 ? m ? k ? ? , ……………10 分 m m 2m 1 1 1 1 1 则 k1 ? k2 ? 2m ? 2m ? …………14 分 ? ?? . 2 2 2 2 k k 4 k ? 4 m ? 2(2 m ? 2 k ) 2 ? ?1 ? ?1 m m ? x12 y12 ? ?1 ? ?4 2 方法二:设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , T ( x0 , y0 ) , 则 ? , 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ?4 2 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 , 两式作差,得 4 2 x0 ? x1 ? x2 ? x y ?y ? y ? ? y0 ? y1 ? y2 ? ? 0 ,∴ 0 ? 0 1 2 ? 0 , 又 x1 ? x2 ? 2 x0 , y1 ? y2 ? 2 y0 ,∴ 2 2 x1 ? x2 y ? y2 又 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 在直线 y ? kx ? m 上,∴ 1 ? k ,∴ x0 ? 2ky0 ? 0 ,① x1 ? x2 又 T ( x0 , y0 ) 在直线 y ? kx ? m 上,∴ y0 ? kx0 ? m ,② 2km m 由①②可得 x0 ? ? , y0 ? . ……………10 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
分 以下同方法一. 18.解:如图所示,以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系. y (1)因为 AB ? 18 , AD ? 6 ,所以半圆的圆心为 H (9,6) , 半径 r ? 9 .设太阳光线所在直线方程为 y ? ? 即 3x ? 4 y ? 4b ? 0 , 则由

3 x ?b, 4
D

←南

...............2 分 · H
C

| 27 ? 24 ? 4b | 3 ?4
2 2

? 9,

3 解得 b ? 24 或 b ? (舍). 2
故太阳光线所在直线方程为 y ? ? 分 令 x ? 30 ,得 EG ? 1.5 米 ? 2.5 米.
高三数学试题第 8 页(共 4 页)

?
B 第 18 题

G E

A

x ...............5

3 x ? 24 , 4

所以此时能保证上述采光要求. ...............7 分 (2)设 AD ? h 米, AB ? 2r 米,则半圆的圆心为 H (r , h) ,半径为 r .

3 x ?b, 4 | 3r ? 4h ? 4b | 即 3x ? 4 y ? 4b ? 0 ,由 ? r, 32 ? 42 解得 b ? h ? 2r 或 b ? h ? 2r (舍). ...............9 分 3 故太阳光线所在直线方程为 y ? ? x ? h ? 2r , 4 45 5 令 x ? 30 ,得 EG ? 2r ? h ? ,由 EG ? ,得 h ? 25 ? 2r . ...............11 分 2 2 1 2 3 2 3 2 所以 S ? 2rh ? ? r ? 2rh ? ? r ? 2r (25 ? 2r ) ? ? r 2 2 2 5 5 ? ? r 2 ? 50r ? ? (r ? 10) 2 ? 250 ? 250 . 2 2 r ? 10 当且仅当 时取等号. 所以当 AB ? 20 米且 AD ? 5 米时,可使得活动中心的截面面积最大. .............16 分 方法二:欲使活动中心内部空间尽可能大,则影长 EG 恰为 2.5 米,则此时点 G 为 (30, 2.5) ,
方法一:设太阳光线所在直线方程为 y ? ? 5 3 设过点 G 的上述太阳光线为 l1 ,则 l1 所在直线方程为 y- =- (x-30), 2 4 即 3x ? 4 y ? 100 ? 0 . 由直线 l1 与半圆 H 相切,得 r ? ........10 分

| 3r ? 4h ? 100 | . 5

而点 H(r,h)在直线 l1 的下方,则 3r+4h-100<0,

3r ? 4h ? 100 ,从而 h ? 25 ? 2r . ...............13 分 5 1 2 3 2 5 2 5 2 又 S ? 2rh ? ? r ? 2r (25 ? 2r ) ? ? r ? ? r ? 50r ? ? (r ? 10) ? 250 ? 250 . 2 2 2 2 r ? 10 当且仅当 时取等号. 所以当 AB ? 20 米且 AD ? 5 米时,可使得活动中心的截面面积最大. ...........16 分 1 x 19.解: (1)当 a ? 2 时,方程 g (ex ) ? 0 即为 2e ? x ? 3 ? 0 ,去分母,得 e 1 …………2 分 2(ex )2 ? 3ex ? 1 ? 0 ,解得 e x ? 1 或 e x ? , 2 故所求方程的根为 x ? 0 或 x ? ? ln 2 . ………4 分 a ?1 ? 3( x ? 0) , (2)因为 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ax ? x 1 a ? 1 ax 2 ? x ? (a ? 1) (ax ? (a ? 1))( x ? 1) ? 所以 ? ?( x) ? ? a ? 2 ? (x ? 0) , ……6 分 x x x2 x2 ①当 a ? 0 时,由 ? ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 ;
即r ? ?

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a ?1 ; a ③当 0 ? a ? 1 时,由 ? ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 ; ④当 a ? 1 时,由 ? ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 ; a ?1 ⑤当 a ? 0 时,由 ? ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . a a ?1 ); 综上所述,当 a ? 0 时, ? ( x) 的增区间为 (0, a 当 0 ? a ? 1 时, ? ( x) 的增区间为 (0, ??) ; a ?1 a ? 1 时, ? ( x) 的增区间为 ( , ??) . ………10 分 a (3)方法一:当 a ? 1 时, g ( x) ? x ? 3 , h( x) ? ( x ? 3) ln x , 3 3 3 3 所以 h?( x) ? ln x ? 1 ? 单调递增, h?( ) ? ln ? 1 ? 2 ? 0 , h?(2) ? ln 2 ? 1 ? ? 0 , x 2 2 2 3 3 所以存在唯一 x0 ? ( , 2) ,使得 h?( x0 ) ? 0 ,即 ln x0 ? 1 ? ……………12 分 ? 0, 2 x0 当 x ? (0, x0 ) 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时, h?( x) ? 0 ,
②当 a ? 1 时,由 ? ?( x) ? 0 ,解得 x ? 所以 hmin ( x) ? h( x0 ) ? ( x0 ? 3) ln x0 ? ( x0 ? 3)(

( x ? 3)2 3 9 ? 1) ? ? 0 ? 6 ? ( x0 ? ) , x0 x0 x0
……14 分

记函数 r ( x) ? 6 ? ( x ? ) ,则 r ( x) 在 ( , 2) 上单调递增, 所以 r ( ) ? h( x0 ) ? r (2) ,即 h( x0 ) ? ( ? 由 2? ? ?

9 x

3 2

3 2

3 1 ,? ), 2 2

3 ,且 ? 为整数,得 ? ? 0 , 2 所以存在整数 ? 满足题意,且 ? 的最小值为 0 . 方法二:当 a ? 1 时, g ( x) ? x ? 3 ,所以 h( x) ? ( x ? 3) ln x , 由 h(1) ? 0 得,当 ? ? 0 时,不等式 2? ? h( x) 有解, 下证:当 ? ? ?1 时, h( x) ? 2? 恒成立,即证 ( x ? 3)ln x ? ?2 恒成立. 显然当 x ? (0,1] ? [3, ??) 时,不等式恒成立, 只需证明当 x ? (1,3) 时, ( x ? 3) ln x ? ?2 恒成立. 2 2 ? 0 .令 m( x) ? ln x ? 即证明 ln x ? , x ?3 x ?3 1 2 x2 ? 8x ? 9 所以 m?( x) ? ? ,由 m?( x) ? 0 ,得 x ? 4 ? 7 , ? x ( x ? 3)2 x( x ? 3)2 当 x ? (1, 4 ? 7) , m?( x) ? 0 ;当 x ? (4 ? 7,3) , m?( x) ? 0 ;
所以 mmax ( x) ? m(4 ? 7) ? ln(4 ? 7) ? 所以当 ? ? ?1 时, h( x) ? 2? 恒成立.

………16 分 ……………12 分

………14 分

7 ?1 2 ?1 ? ln(4 ? 2) ? ? ln 2 ? 1 ? 0 . 3 3
.……………16 分

综上所述,存在整数 ? 满足题意,且 ? 的最小值为 0 .
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20. (1)①方法一:∵ ?bn ? 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、0、3, 方法二:∵ ?bn ? 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、0、3, ∴当 n ? 4 时, ?bn ? 是周期为 3 的周期数列. ∴ b2016 ? b6 ? 6 .

?b2014 ? 0 ? b2013 ? 0 ,?b2015 ? b2014 ? 3 ? 3 ,?b2016 ? b2015 ? 3 ? 6 .

………3 分

∴ b1 ? 1 ,b2 ? 4 ,b3 ? 7 ,b4 ? 0 ? b3 ? 0 ,b5 ? b4 ? 3 ? 3 ,b6 ? b5 ? 3 ? 6 ,b7 ? 0 ? b6 ? 0 ,… …………3 分

②方法一:∵ ?bn ? 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、1、3, ∴ b3n ? 2 ? b3n ?1 ? ? b3n ?1 ? d ? ? b3n ?1 ? ? qb3n ? d ? ? b3n ?1 ? ? ? q ? b3n ?1 ? d ? ? d ? ? ? b3n ?1 ? 2d ? 6 , ∴ ?b3n?1? 是以 b2 ? 4 为首项、6 为公差的等差数列, 又?b3n?2 ? b3n?1 ? b3n ? ?b3n?1 ? d ? ? b3n?1 ? ?b3n?1 ? d ? ? 3b3n?1 ,

?S3n ? ?b1 ? b2 ? b3 ? ? ?b4 ? b5 ? b6 ? ??? ?b3n?2 ? b3n?1 ? b3n ?

n ? n ? 1? ? ? ……………6 分 ? 3 ? b2 ? b5 ? ? b3n?1 ? ? 3 ?4n ? ? 6? ? 9n 2 ? 3n , 2 ? ? S S ? S3n ? ? ? 3n?1 ,? n3?n1 ? ? ,设 cn ? n3?n1 ,则 ? ? ? cn ?max , 3 3 2 2 9 ? n ? 1? ? 3 ? n ? 1? 9n2 ? 3n ?2 ? 3n ? 2n ? 2 ? 又 cn?1 ? cn ? , ? ? 3n 3n?1 3n?1 2 2 当 n ? 1 时, 3n ? 2n ? 2 ? 0 , c1 ? c2 ;当 n ? 2 时, 3n ? 2n ? 2 ? 0 , cn?1 ? cn ,
∴ c1 ? c2 ? c3 ? ??? ,∴ ? cn ?max ? c2 ? 14 , ∴ ? ? 14 ,得 ? ??14, ??? . …………9 分 …………10 分

方法二:∵ ?bn ? 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、1、3, 数列, ∴ b3 ? b6 ? ? ? b3n ? 7n ?

∴ b3n?1 ? b3n ,∴ b3n?3 ? b3n ? b3n?3 ? b3n?1 ? 2d ? 6 ,∴ ?b3n ? 是首项为 b3 ? 7 、公差为 6 的等差

易知 ?bn ? 中删掉 ?b3n ? 的项后按原来的顺序构成一个首项为 1 公差为 3 的等差数列,

n ? n ? 1? ? 6 ? 3n 2 ? 4n , 2

? b1 ? b2 ? b4 ? b5 ? ? ? b3n?2 ? b3n ?1 ? 2n ?1 ?
? S3n ? ? 3n 2 ? 4n ? ? ? 6n 2 ? n ? ? 9n 2 ? 3n ,
以下同方法一.

2n ? 2n ? 1? ? 3 ? 6n 2 ? n , 2

……………6 分

(2)方法一:设 ?bn ? 的段长、段比、段差分别为 k 、 q 、 d , 则等比数列 ?bn ? 的公比为
?

bk ?1 ? q ,由等比数列的通项公式有 bn ? bqn?1 , bk
k m ?1

当 m ? N 时,bk m?2 ? bk m?1 ? d ,即 b q 分

? b q km ? b q km q? ? 1? ? d

恒成立,

……………12

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①若 q ? 1 ,则 d ? 0 , bn ? b ; ②若 q ? 1 ,则 q
km

?

d n ?1 ,则 q km 为常数,则 q ? ?1 , k 为偶数, d ? ?2b ,bn ? ? ?1? b ; ? q ? 1? b
n ?1

经检验, 满足条件的 ?bn ? 的通项公式为 bn ? b 或 bn ? ? ?1? 分 方法二:设 ?bn ? 的段长、段比、段差分别为 k 、 q 、 d ,

b.

……………16

①若 k ? 2 ,则 b1 ? b , b2 ? b ? d , b3 ? ?b ? d ? q , b4 ? ?b ? d ? q ? d ,
2 2 由 b1b3 ? b2 ,得 b ? d ? bq ;由 b2b4 ? b3 ,得 ? b ? d ? q2 ? ?b ? d ? q ? d ,

联立两式,得 ? 分

?d ? 0 ?d ? ?2b n ?1 或? ,则 bn ? b 或 bn ? ? ?1? b ,经检验均合题意. ?q ? 1 ?q ? ?1

…………13

②若 k ? 3 ,则 b1 ? b , b2 ? b ? d , b3 ? b ? 2d ,
2 由 b1b3 ? b2 ,得 ? b ? d ? ? b ? b ? 2d ? ,得 d ? 0 ,则 bn ? b ,经检验适合题意.
2

综上①②,满足条件的 ?bn ? 的通项公式为 bn ? b 或 bn ? ? ?1? 分

n ?1

b.

……………16

附加题答案
21. A、解:由切割线定理得: PD ? PA ? PC ? PB 则 4 ? (2 ? 4) ? 3 ? (3 ? BC ) ,解得 BC ? 5 , 分 又 因 为 …………4 圆

AB





O











?ADB ?


?
2

, 在 三 角

…………6 分 形 PDB …………10 分 …………4 中 有

BD ? PB2 ? PD2 ? 64 ? 16 ? 4 3 . ? m 2? ? 1? ? 1? B、解:由题意得 ? ??? ?, ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ?2? ? ?2?


高三数学试题第 12 页(共 4 页)

则? 分

? m?4 ? ? , ?2 ? 6 ? ?2?

…………8

解得 m ? 0 ,? ? ?4 . 分

…………10

3 ? x ? t ? ? 5 (t 为参数)化为普通方程为 4 x ? 3 y ? 0 , C、解:直线 l : ? 4 ?y ? t ? 5 ?
分 圆 C 的极坐标方程 ? ? 2cos ? 化为直角坐标方程为 ?x ? 1? ? y 2 ? 1,
2

…………2

…………4

分 则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 d ? 分 所 以

4 4 ? ?? 3?
2 2

?

4 , 5

…………6

AB ? 2 1 ? d 2 ?

6 . 5

…………10 分

D、解:由柯西不等式,得 ( x ? 2 y ? z)2 ? (12 ? 22 ? 12 ) ? ( x2 ? y 2 ? z 2 ) ,
2 2 2 2 2 2 即 x ? 2 y ? z ? 1 ? 2 ?1 ? x ? y ? z ,

…………5

分 又因为 x ? 2 y ? z ? 1 ,所以 x ? y ? z ?
2 2 2

1 , 6

x y z 1 1 ? ? ,即 x ? z ? , y ? 时取等号. 1 2 1 6 3 1 2 2 2 综上,x ? y ? z min ? . 6
当且仅当

?

?

…………10

分 22.解: (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为 P ? 1 ? 分

3 2 ? . 3? 3 3

…………4

1 k ?1? ? 2? (2)由题意得 X ~ B (5, ) ,P( X ? k ) ? C5 ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3?
分 所以 X 的概率分布表为: X 0 P 1 2

k

5? k

, k ? 0,1, 2,3, 4,5 .

…………6

3

4

5

32 243

80 243

80 243

40 243

10 243

1 243
…………

高三数学试题第 13 页(共 4 页)

8分 所以, X 的数学期望为 E ( X ) ? 5 ? 分

1 5 ? . 3 3

…………10

k k ?1 23.解: (1)① kCn ? nCn ?1 ? k ?

? n ?1?! n! ? n? k !? n ? k ?! ? k ?1?!? n ? k ?! n! n! ? ? ?0. ? k ? 1?!? n ? k ?! ? k ?1?!? n ? k ?! ? n ? 2 ?! n! ? n ? n ? 1? ? k !? n ? k ?! ? k ? 2?!? n ? k ?!

……………

2分
k k ?2 k ?1 2 ② k 2Cn ? n ? n ? 1? Cn ?2 ? nCn ?1 ? k ?

?n ?
?


? n ?1?! ? k ? n! n! n! ? ? ? k ?1?!? n ? k ?! ? k ? 2?!? n ? k ?! ? k ?1?!? n ? k ?! ? k ?1?!? n ? k ?!
………………4

n! 1 ? ? k ?1? ? ? ? 0. k ?1 ? ? k ? 2?!? n ? k ?! ? k ?1
2

k 2 k 2 k k k (2)方法一:由(1)可知当 k ? 2 时 ? k ? 1? Cn ? k ? 2k ? 1 Cn ? k Cn ? 2kCn ? Cn
k ?2 k ?1 k ?1 k k ?2 k ?1 k ?? ? n ? n ? 1? Cn ? 2 ? nCn ?1 ? ? ? 2nCn ?1 ? Cn ? n ? n ? 1? Cn ? 2 ? 3nCn ?1 ? Cn .

?

?

……………6


2 0 2 1 2 2 k n 故 1 Cn ? 2 Cn ? 3 Cn ? ??? ? ? k ? 1? Cn ? ??? ? ? n ? 1? Cn 2 2 0 1 ? ?12 Cn ? 22 Cn ? ? n ? n ? 1? ?Cn0?2 ? Cn1?2 ? L ? Cnn??22 ? ? 3n ?Cn1?1 ? Cn2?1 ? L ? Cnn??11 ? 2 3 n ? ? Cn ? Cn ? L ? Cn ? ? ?1 ? 4n ? ? n ? n ? 1? 2n?2 ? 3n ? 2n?1 ? 1? ? ? 2n ? 1 ? n ?

? 2 n ? 2 ? n 2 ? 5n ? 4 ? .
0分

……………1
n

1 2 2 k k n n 方法二:当 n ? 3 时,由二项式定理,有 ?1 ? x ? ? 1 ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? Cn x ,
1 2 2 3 k k ?1 n n ?1 两边同乘以 x ,得 ?1 ? x ? x ? x ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? Cn x , n




n



x







得 ……………

?1 ? x ?
6分

? n ?1 ? x ?

n ?1

1 2 2 k k n n x ? 1 ? 2Cn x ? 3Cn x ? ? ? ? k ? 1? Cn x ? ? ? ? n ? 1? Cn x ,

两边再同乘以 x ,得

?1 ? x ?

n

x ? n ?1 ? x ?

n ?1

1 2 2 3 k k ?1 n n ?1 x 2 ? x ? 2Cn x ? 3Cn x ? ? ? ? k ? 1? Cn x ? ? ? ? n ? 1? Cn x , n n ?1

两边再对 x 求导,得 ?1 ? x ? ? n ?1 ? x ?
2

x ? n ? n ? 1??1 ? x ?
2

n?2

x 2 ? 2n ?1 ? x ?

n ?1

x
……………

1 2 2 k k n n ? 1 ? 2 2 Cn x ? 32 Cn x ? ? ? ? k ? 1? Cn x ? ? ? ? n ? 1? Cn x .

8分
高三数学试题第 14 页(共 4 页)

令 即

x ?1
2


2



1 2 k n ? 32 Cn ? ??? ? ? k ? 1? Cn ? ??? ? ? n ? 1? Cn , 2n ? n2n?1 ? n ? n ?1? 2n?2 ? 2n2n?1 ? 1 ? 22 Cn
0 1 2 k n 1 Cn ? 2 2 Cn ? 32 Cn ? ??? ? ? k ? 1? Cn ? ??? ? ? n ? 1? Cn ? 2 n ? 2 ? n 2 ? 5n ? 4 ? . 2 2 2

…………10 分

高三数学试题第 15 页(共 4 页)



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