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广州市第二中学2013届高二上学期第一次月考(文数)


广州市第二中学 2013 届高二上学期第一次月考 文科数学
满分为 150 分.考试用时 120 分钟.
2 参考公式: 若方程 ax? b? x

c ( ? 0

a 0 的 两 个 实 根 分 别 为 x1 、 x2 , 则 ? )

b c x1 ? x 2? ? , x ?1x ? . 2 a a
一、选择题:本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.函数 y ? sin A.

? 2

x 的最小正周期是 2
B. ? C. 2? D. 4?

2.直线 3x ? y ? 1 ? 0 的斜率是 B. ? 3

A. 3

C.

3 3

D. ?

3 3

2 3.已知集合 A ? x x ? x ? 0 , B ? x ?2 ? x ? 2 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. x ? 2 ? x ? 1 C. x 1 ? x ?2

?

?

B. x 0 ? x ? 1

?

?
?

?

?
1 4

D. x ?2 ? x ? 0 或 1 ? x ? 2

?

4.已知等比数列 ?an ? 的公比是 2, a3 ? 1 ,则 a5 = A.

1 16

B.

C.4

D.16

5.如图 1 所示的算法流程图中(注: = x + 2” “x 也可写成“x:= x + 2” ,均表示赋值语句) , 若输入的 x 值为 ? 3 , 则输出的 y 值是 A.

1 8

B. D. 8

1 2

C. 2

6.在 ?ABC 中, AD ? A.

????

1 1 a? b 4 2

? 1 ???? AB , E 为 BC 边的中点,设 AB ? a , AC ? b , 则 DE ? 4 3 1 1 1 3 1 B. a ? b C. a ? b D. a ? b 4 2 4 2 4 2

7.已知 a ? b ? 0 , 则下列不等式一定成立的是 A. a ? ab
2

1 1 B. ? a b

C. a ? b

?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ? 2? ? 2?

a

b

8. 一个空间几何体的正视图是长为 4, 宽为 3 的长方形, 侧视图是边长为 2 的等边三角形, 俯视图如图 2 所示,则这个几何体的体积为

A.

2 3 3

B. 2 3

C.

4 3 3

D. 4 3 图2

?2 x ? y ? 5 ? 9.某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 ?x ? 6 ?
该校招聘的教师人数最多是 A.6 B.8 C.10 D.13

10.定义:对于函数 f ?x ? , 在使 f ? x ? ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值 叫做函数 f ?x ? 的下确界.例如函数 f ?x ? ? ( x ? 2) ? 4 的下确界是4, 则函数
2

x2 ? 2 x ? 2 g ? x? ? ? x ? 1? 的下确界是 x ?1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.经过点 A ?1, 0 ? 和点 B ? 0, 2? 的直线方程是 .

12.某大型超市销售的乳类商品有四种:纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉,且纯奶、酸 奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有 30 种、10 种、 35 种、 25 种不同的品牌.现采用分层抽 样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本进行三聚氰胺安全检测, 若抽取的婴幼儿奶粉的品牌 数是 7 ,则 n ? .

13.已知函数 f ? x ? ? ? 取值范围为____

?? a ? 2 ? x ? 1, x≤1, ? 若 f ? x ? 在 ? ??, ??? 上单调递增,则实数 a 的 x ? 1. ?log a x, ?


14. 已知两个非零向量 a 与 b ,定义 a ? b ? a b sin ? ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角.若

a = ? ?3, 4? , b = ? 0,2? ,则 a ? b ?



三、 解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图象经过点 ? (1)求实数 a 和 b 的值; (2)当 x 为何值时, f ( x ) 取得最大值.

?? ? ?? ? , 0 ? 和 ? ,1? . ?3 ? ?2 ?

16. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a2 ? 2, S5 ? 0 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)当 n 为何值时, S n 取得最大值. 17. (本小题满分 14 分) 在 △ ABC 中, cos A ? ? (1)求 sin C 的值; (2)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积.

5 3 , cos B ? . 13 5

18. (本小题满分 14 分) 如图 3,在底面是菱形的四棱锥 P ? ABCD 中,

?BAD ? 60? , PA ? PD , E 为 PC 的中点.
(1)求证: PA // 平面 EBD ; (2)求证: PB ? BC .

图3 19. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 经过坐标原点, 且与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切,切点为 A? 2, 4? . (1)求圆 C 的方程; (2)若斜率为 ? 1 的直线 l 与圆 C 相交于不同的两点 M、N , 求 AM ? AN 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数, 2a4 , a3 , 4a5 成等差数列,且 a3 ? 2a2 2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

2n ? 5 a ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . ? 2n ? 1?? 2n ? 3? n

参考答案
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题, 每小题 5 分, 满分 50 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 C 6 A 7 B 8 D 9 D 10 C

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题, 每小题 5 分, 满分 20 分. 11. 2 x ? y ? 2 ? 0 12. 20 13. ? 2,3? 14. 6

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图象经过点 ?

?? ? ?? ? , 0 ? 和 ? ,1? , ?3 ? ?2 ?

? ? ? ?a sin 3 ? b cos 3 ? 0, ? ∴? ???????????3 分 ?a sin ? ? b cos ? ? 1. ? ? 2 2
? 3 1 ? a ? 1, ? ? a ? b ? 0, 即? 2 解得 ? .???????????6 分 2 ?b ? ? 3. ? ?a ? 1. ?
( 2 ) 由 ( 1 ) 得

f(

?

?) x
? ?

?1 ? 3 ?? ? ? 2 ?s sin x ? i cos x ? ? 2 x ? x ? s .??????9 分 n i x 3 c ? ?2 ? n ? 2 3? ? ?

o

s

∴当 sin ? x ? 即 x ? 2 k? ?

??

? ? ? ? 1 ,即 x ? 3 ? 2k? ? 2 ,???????????11 分 3?

5? (k ?Z) 时, f ( x) 取得最大值 2.???????????12 分 6

16. (本小题满分 12 分)

? a1 ? d ? 2, ? 解: (1)? a2 ? 2, S5 ? 0 , ? ? 5 ? 4d ?5a1 ? 2 ? 0. ?

???????????2 分

解得 a1 ? 4, d ? ?2 .???????????4 分

? an ? 4 ? ?n ? 1? ? ?? 2? ? 6 ? 2n .
(2) S n ? na1 ?

?????????6 分

n?n ? 1?d ? 4n ? n?n ? 1? ? ?n 2 ? 5n ????????8 分 2
2

5 ? 25 ? ? ?? n ? ? ? . 2? 4 ?

???????????10 分

? n ?N * ,? 当 n ? 2 或 n ? 3 时, S n 取得最大值 6.
17. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 cos A ? ?

???12 分

12 5 ,得 sin A ? ,???????????2 分 13 13 3 4 由 cos B ? ,得 sin B ? .???????????4 分 5 5 16 所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? .???????????7 65



4 5? BC ? sin B 5 ? 13 .???????????10 分 (2)由正弦定理得 AC ? ? 12 sin A 3 13 △ ABC 所 以 的 面 1 1 13 16 8 S ? ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? ? .???????????14 分 2 2 3 65 3
18. (本小题满分 14 分)



证 明 : ( 1 ) 连 接 AC, AC 与 BD 相 交 于 点 O , 连 接 OE , 则 O 为 AC 的 中 点.????????2 分

? E 为 PC 的中点, ? EO // PA .???????????4 分

? EO ? 平 面 EBD



PA ? 平 面 EBD



? PA // 平 面

EBD . ???????????6 分
( 2 ) 设 F 为 AD 的 中 点 ,

, 连 接 P F

B. F

? PA ? PD ,

? PF ? AD .?????????8 分
? ? ABCD 是菱形, ?BAD ? 60 , ? ?ABD 是等边三角形.

? BF ? AD .

???????????10 分

? PF ? BF ? F , ???????????11 分
? AD ? 平面 PBF . ???????????12 分

? BC // AD, ? BC ? 平面 PBF .???????????13 分
? PB ? 平面 PBF , ? PB ? BC . ???????????14 分
19. (本小题满分 14 分) 解: (1)解法一:设圆 C 的圆心为 C , 依题意得直线 AC 的斜率 k AC ? ? 1 ,

? 直线 AC 的方程为 y ? 4 ? ??x ? 2? , 即 x ? y ? 6 ? 0 .????????1 分 ? 直线 OA 的斜率 k OA ? ? 直 线 OA
4 ? 2, 2

的 垂 直 平 分 线 为

y?2? ?

1 ?x ? 1? , 2



x ? 2 y ? 5 ? 0 .????????3 分
解方程组 ? 分

? x ? y ? 6 ? 0, 得圆心 C 的坐标为 (7, ? 1) . ? x ? 2 y ? 5 ? 0.

?????????4

? 圆 C 的半径为 r ? AC ?
5分

? 7 ? 2? ? ? ?1 ? 4?
2

2

??????????? ?5 2 ,

? 圆 C 的方程为 ?x ? 7? ? ? y ? 1? ? 50.
2 2

???????????6 分

解法二: 设圆 C 的方程为 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,
2 2

??2 ? a ?2 ? ?4 ? b ?2 ? r 2 , ? a ? 7, ? a?b?2 ? ? 依题意得 ? 解得 ?b ? ?1, ? r, ?r ? 5 2 . ? 2 22 2 ? ?a ? b ? r . ?
2 2 ? 圆 C 的方程为 ?x ? 7? ? ? y ? 1? ? 50. ???????????6 分

解法三: 设圆心 C 的坐标为 ?a, b ? .

?b ? 4 ? 1 ? ?1, ?a ? 7, ? 依题意得 ? a ? 2 解得 ? ?b ? ?1. ? a 2 ? b 2 ? ?a ? 2?2 ? ?b ? 4?2 . ?

? 圆心 C 的坐标为 ? 7, ? 1? . ? 圆 C 的半径为 r ? OC ? 72 ? ? ?1? ? 5 2 .
2

2 2 ? 圆 C 的 方 程 为 ?x ? 7? ? ? y ? 1? ? 50 .

????????6 分

( 2 ) 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? ? x ? m,

M ? 1x ,

?1y , ?

N 2 ,?x . y由 2

? y ? ? x ? m, ? 2 2 ??x ? 7? ? ? y ? 1? ? 50.
消去 y 得 2x2 ? ? 2m ?16? x ? m2 ? 2m ? 0 .???????????8 分

m 2 ? 2m ? x1 ? x2 ? m ? 8, x1 x2 ? .???????????9 分 2

? AM ? AN ? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? ( y1 ? 4)( y2 ? 4)
? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? (? x1 ? m ? 4)(? x2 ? m ? 4)

? 2x1 x2 ? ?m ? 2??x1 ? x2 ? ? ?m ? 4? ? 4
2

? m2 ? 2m ? ?m ? 2??m ? 8? ? ?m ? 4? ? 4
2

? m2 ? 12m ? 36 ? ? m ? 6 ? .
2

???????????12 分

? 直线 l 与圆 C 相交于不同两点,?

7 ?1? m 2

? 5 2 .? ?4 ? m ? 16. ???13 分

? AM ? AN 的取值范围是 ?0,100? . ???????????14 分
20. (本小题满分 14 分) 解: (1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,依题意,有

2a4 ? 4a5 ? , ?a3 ? a4 ? 2a5 , ? ?a3 ? 即? 2 ? 2 ?a3 ? 2a2 . ? ? a ? 2a 2 . 2 ? 3
?a1q 2 ? a1q 3 ? 2a1q 4 , ? 所以 ? 2 2 2 ?a1q ? 2a1 q . ?

???????????2 分

1 ? ? a1 ? 2 , ? a1 ? 1 , ? ? 由于 a1 ? 0 , q ? 0 ,解之得 ? 或? 2 ???????????4 分 1 ? q ? . ? q ? ?1. ? ? ? 2
又 a1 ? 0, q ? 0 ,所以 a1 ?

1 1 , q ? ,???????????5 分 2 2

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? ( n ? N ) .???????????6 分
*

?1? ?2?

n

(2) (1) 得 bn ? 由 , 7分 所

2n ? 5 2n ? 5 1 ??????????? ? an ? ? n. ? 2n ? 1?? 2n ? 3? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2


? 2 ? bn ? ? ? ?? n? ? ? 2n ?


n

?

1 1 ? .???????????11 分 n ?1 (2n ? 1)2 (2n ? 3)2n


1 1

? ? 1 ? 1 1 ?1 1 ? ? 1 ? ?L ? ? ? Sn ? b1 ? b2 ? L ? bn ? ? ? ??? 2 ? n ?1 n ? ? 2n ? 3? 2 ? ? 3 5? 2 ? ? 5?2 7 ?2 ? ? ? 2n ? 1? 2

1 1 . ???????????13 分 ? ? 3 ? 2n ? 3 ? 2 n
故数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ?

1 1 .???????????14 分 ? 3 ? 2n ? 3 ? 2 n


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