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2011届高三数学下册高考冲刺检测试题14

高考数学最后冲刺必读题解析(14)
20. (本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a2 ? 5 ,其前 n 项和 Sn 满足 Sn ? Sn?2 ? 2Sn?1 ? 2n?1 ? n ≥ 3? . 令 bn ?

1 . an ? an ?1

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 ( n ≥ 1 ). 6 20. (Ⅰ)由题意知 Sn ? Sn?1 ? Sn?1 ? Sn?2 ? 2n?1 ? n ≥ 3? 即 an ? an?1 ? 2n?1 ? n ≥ 3?
(Ⅱ)若 f ? x ? ? 2x ?1 ,求证: Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2? ? ? ? bn f ? n ? ? ∴ an ? ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ? ? ? ? a3 ? a2 ? ? a2

? 2n?1 ? 2n?2 ? ? ? 22 ? 5 ? 2n?1 ? 2n?2 ? ? ? 22 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2n ? 1? n ≥ 3?
检验知 n ? 1 、 2 时,结论也成立,故 an ? 2n ? 1 . ( Ⅱ ) 由 于
n ?1 n 1 1 ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? 1 ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? ? ? ? n ? n ?1 ? n n ?1 n n ?1 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ? 1?? 2 ? 1?

bn f ? n ? ?


1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2 ? ? ? ? bn f ? n ? ? ?? ? ?? ? ??? ? n ? n?1 ? ? 2 ? 2 3 ? 2 ?? 1 ? 2 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 1 ? 2 ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ??
1? 1 1 ? 1 1 1 ? ? ? n ?1 ? . ?? ? 2 ?1? 2 2 ?1? 2 1? 2 6

21. (本题满分 12 分)

x2 y 2 已知椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的焦点坐标为 F1 ( ? 2,0 ) ,点 M( ? 2 , 2 )在椭 a b
圆 E 上. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 Q(1,0) ,过 Q 点引直线 l 与椭圆 E 交于 A, B 两点,求线段 AB 中点 P 的轨

D 且 OC ? OD , 迹方程; (Ⅲ) O 为坐标原点, ⊙ O 的任意一条切线与椭圆 E 有两个交点 C ,
求⊙ O 的半径.

21. (本题满分 12 分)解: (Ⅰ)∵椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a,b>0)经过 M(-2, 2 ) , a 2 b2

?a 2 ? 8 x2 y 2 ? ? 1 ; …………………4 一个焦点坐标为 F1 ( ? 2,0 ) ,∴ ? 2 , 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4
分 (Ⅱ) 当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 与椭圆 E 的两个交点为 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 ) ,

? x1 2 y1 2 ? ? 1① ? ? 8 4 相交所得弦的中点 P( x, y) ,∴ ? 2 2 ? x 2 ? y 2 ? 1② ? 4 ? 8
①-②得,



( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0, 8 4

∴弦 AB 的斜率 k ?

y1 ? y 2 4 x1 ? x2 x , ?? ? ? , ( y ? 0). x1 ? x2 8 y1 ? y 2 2y
x y ? , ( y ? 0且x ? 1) , 2y x ?1

∵ A, B, P, Q 四点共线,∴ k AB ? k PQ ,即 ? 经检验(0,0) , (1,0)符合条件,

∴线段 AB 中点 P 的轨迹方程是 x ? 2 y ? x ? 0 .…………………8 分
2 2

(Ⅲ)当⊙ O 的切线斜率存在时,设⊙ O 的切线方程为 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 , 设 C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) , 则 ?1 ? ? 4 ?8
4km ? x3 ? x 4 ? ? ? 2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? 1 ? 2k 2 ? ? 0, ∵ OC ? OD ,∴ x3 x4 ? y3 y 4 ? 0 ,即 ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? x x ? 2m ? 8 3 4 ? 1 ? 2k 2 ?
3m 2 ? 8 ∴ 3m ? 8k ? 8 ? 0 ,即 k ? ,∵直线 y ? kx ? m 为⊙ O 的一条切线, 8
2 2

2

∴圆的半径 r ?

m 1? k 2

, 即r ?
2

m2 ? 1? k 2

m2 8 ? , 2 3m ? 8 3 1? 8

经检验,当⊙ O 的切线斜率不存在时也成立.∴ r ? 22.(本小题满 12 分)

2 6 .…………12 分 3
??? ? ??? ? ????

OB、 OC 满足 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,O 是直线 l 外一点,向量 OA、 ??? ? ??? ? ???? OA =[f(x)+2f ′(1)] OB -ln(x+1) OC

(Ⅰ)求函数 y=f(x)的表达式; (Ⅱ)若 x>0,证明:f(x)>
2x ; x?2

1 (Ⅲ)若不等式 x2≤f(x2)+m2-2m-3 对 x∈[-1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

22.解:(Ⅰ)∵OA=[ f ( x) +2 f ?(1) ]OB- ln( x ? 1) OC,且 A、B、C 在直线 上,
l

? f ( x) +2 f ?(1) ― ln( x ? 1) =1, ? y= f ( x) = ln( x ? 1) +1-2 f ?(1) , f ?( x ) = ? f ( x) = ln( x ? 1)
(Ⅱ)令 g ( x) = f ( x) -

…………(2 分)

1 1 ,于是 f ?(1) = , x ?1 2
………(4 分)

2x 1 2( x ? 2) ? 2 x x2 ,由 g ?( x ) = - = , x?2 x ?1 ( x ? 2) 2 ( x ? 1)( x ? 2) 2

以及 x>0,知 g ?( x ) >0,? g ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,又 g ( x) 在 x=0 处右连续,

? 当 x>0 时,得 g ( x) > g (0) =0,? f ( x) >
(Ⅲ)原不等式等价于

2x x?2

…………(8 分)

1 2 x ? f ( x 2 ) ? m 2 ? 2m ? 3 , 2

令 h( x ) =

1 2 1 2x x3 ? x x ? f ( x 2 ) = x 2 ? ln(1 ? x 2 ) ,则 h?( x) = x ? = , (10 分) 2 2 1 ? x2 1 ? x2

∵ x ? (?1, 0) 时, h?( x) >0, x ? (0,1) 时, h?( x) <0,

? h( x) 在 (?1, 0) 为增函数,在 (0,1) 上为减函数,

…………(11 分)

? 当 x ?[?1,1] 时, h( x)max = h(0) =0,从而依题意有0 ? m2 ? 2m ? 3 ,
解得 m ? 3或m ? ?1 ,故 m 的取值范围是 (??, ?1] ? [3, ??) …………(12 分)

19、 (本题 13 分) 某县为了贯彻落实党中央国务院关于农村医疗保险 (简称“医保” )政策, 制定了如下实施方案:2009 年底通过农民个人投保和政府财政投入,共集资 1000 万元作为 全县农村医保基金,从 2010 年起,每年报销农民的医保费都为上一年底医保基金余额的 10%,并且每年底县财政再向医保基金注资 m 万元( m 为正常数) 。 (1)以 2009 年为第一年,求第 n 年底该县农村医保基金有多少万元? (2)根据该县农村人口数量和财状况,县政府决定每年年底的医保基金要逐年增加,同 时不超过 1500 万元,求每年新增医保基金 m (单位:万元)应控制在什么范围内。 19、解: (1)设第 n 年底该县农村医保基金为 an 万元, 则 (3 分) 于是 an ? 10m ? 即 (6 分) 故 第 n 年 底 该 县 农 村 医 保 基 金 有 10m ? (1000 ? 10m)( (7 分) (2)若每年年底的医保基金逐年增加,则数列 ?an ? 单调递增, 因 为 (10 分) 又 an ? 10m ? (1000 ? 10m)( 即

a1 ? 1000, an ? (1 ? 10%)an ?1 ? m(n ? 2), 即an ?

9 an ?1 ? m(n ? 2). 10

9 9 (an ?1 ? 10m)(n ? 2), 所以an ? 10m ? (a1 ? 10m)( ) n ?1 , 10 10 an ? 10m ? (1000 ? 10m)( 9 n ?1 ) . 10

9 n ?1 ) 万 元 。 10

y?(

9 n ?1 0 0m ?1 0时 , 0 即 m ? 100. 时 ) 是 减 函 数 , 则 1 0 ? 10
9 n ?1 an ) ? 1500 恒成立,则 lim n?? ? 1500. 10

10m ? 1500, 所以m ? 150.

(12 分) 故 每 年 新 增 医 保 基 金 m 的 应 控 制 在 100 万 元 到 150 万 元 之 间 。 (13 分) 20、 (本题 13 分)过圆 C : ( x ? 6) ? ( y ? 4) ? 8 上一点 A(4,6)作圆的一条动弦 AB,
2 2

点 P 为弦 AB 的中点。 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 P 关于点 D(9,0)的对称点为 E,O 为坐标原点,将线段 OP 绕原点 O 依逆 时针方向旋转 90 度后,所得线段为 OF,求 | EF | 的取值范围。 20、 (1)解:连接 PC,由垂径分弦定理知, PC ? AB, 所以点 P 的轨迹是以线段 AC 为直 径的圆(除去点 A) 。

(2 分) 因为点 A(4,6), C (6, 4) ,则其中点坐标为(5,5) ,又圆半径 r ? 故 点 P 的 轨 迹 方 程 是

| AC | ? 2. 2

( x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 2( x ? 4, y ? 6).

(5 分) (2)因为点 P、E 关于点 D(9,0)对称,设点 P( x, y), 则点 E (18 ? x, ? y). 设点 F ( x1 , y1 ), 因为线段 OF 由 OP 绕原点逆时针旋转 90 度得到, 则 OF ? OP, 且 | OF |?| OP |, 即 ? (6 分)

y y1 ? ?1, 且x 2 ? y 2 ? x12 ? y12 . x x1



x y y y1 ? ? ?1 ,得 ? ? 1 .令y ? ?tx1 , x ? ty1 (t ? 0), x y1 x x1

2 则 t 2 ( x1 ? y12 ) ? x12 ? y12 (t ? 0), 所以t ? 1. 因 此 点 F 的 坐 标 为

(? y ,x ) .
所以 | EF |? 设 (10 分) 因为点 P 为圆 ( x ? 5) ? ( y ? 5) ? 2 上的点,设圆心为 N (5,5),
2 2

(18 ? x ? y ) 2 ? (? y ? x) 2 ? 2 ? ( x ? 9) 2 ? ( y ? 9) 2 .


M( ?



?

9

E

则 | PM |min ?| MN | ? 2 ?

(9 ? 5) 2 ? (?9 ? 5) 2 ? 2 ? 2 53 ? 2,

| PM |max ?| MN | ? 2 ? 2 53 ? 2.
(12 分) 故 (13 分)

| EF |













[2 106 ? 2,2 106 ? 2].

21 、 ( 本 题

13

?? , 分 ) 给 出 定 义 在 ( 0

上) 的 三 个 函 数 :

f ? x ? ? 1nx, g ( x) ? x 2 ? af ( x), h( x) ? x ? a x , 已知 g ( x) 在 x ? 1 处取得极值。
(1)确定函数 h ? x ? 的单调性;

(2)求证:当 1 ? x ? e 时,恒有 x ?
2

2 ? f ? x? 成立; 2 ? f ? x?

( 3 )把函数 h ? x ? 的图象向上平移 6 个单位长度得到函数 h1 ( x) 的图象,试确定函数

y ? g ? x ? ? h1 ( x) 的零点个数,并说明理由。
21 、 解 : ( 1 ) 由 题 设 ,

a g ? x ? ? x 2 ? a ln x, 则g `( x) ? 2 x ? . x

(1 分) 由 (2 分) 于 (3 分) 由 h`( x) ? 1 ? (4 分) ( (5 分) 欲 证 x? (6 分) 设 ? ( x) ? f ( x) ? 则 ? `( x) ? 2 ) 当 是 已 知 ,

g`

? 即 (

?1 a

)?

a

h?

??

2



x

1 ? x

,

1 ? 0 ? x ? 1, 所以 h( x)在(1, ??) 上是增函数,在(0,1)上是减函数。 x

1? x

2



?e

, 即

0? n

1 x?

2 x( ? 1 ) 2? f x ( ) . 2 f ( x ?) ] ? 2 f 即x 证 ( )f ?,x ? ? , 只 需 证 x[ ? x ?1 2? f x ( )

2( x ? 1) 2( x ? 1) ? 1nx ? , x ?1 x ?1

1 2( x ? 1) ? 2( x ? 1) ( x ? 1)2 ? ? . x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2
2

当 1? x ? e (7 分)

( ?) 时 , ?` x

0 , 以 ? ( x) 在 区 间 ( 1 所 e2,

上 ) 为 增 函 数 。

从 而 当 1 ? x ? e 时, ? ( x) ? ? (1) ? 0,
2

即 1nx ?

2( x ? 1) , x ?1



x?

2 ? f ( x) . 2 ? f ( x)

(8 分) (3)由题设, h1 ( x) ? x ? 2 x ? 6.令g ? x ? ? h1 ( x) ? 0, 则

x2 ? 2ln x ? ( x ? 2 x ? 6) ? 0,即2 x ? 2ln x ? ? x2 ? x ? 6.

(9 分) 设 h2 ( x) ? 2 x ? 2ln x, h3 ( x) ? ?x2 ? x ? 6( x ? 0), 则 h`2 ( x) ?

1 2 ? ? x x

x ?2 ,由 x ? 2 ? 0, 得x ? 4. x

所 以 h2 ( x 在 是 增 函 数 , 在 ( 0 , 4 ) 上 是 减 了 函 数 。 ) (?? 4, 上) (10 分) 又 h3 ( x)在(0, ) 上是增函数,在 ( , ??) 上是减函数。 因为当 x ? 0时, h2 ( x) ? ??, h3 ( x) ? 6. 又 h2 (1) ? 2, h3 (1) ? 6, h2 (4) ? 4 ? 2ln 4 ? 0, h3 (4) ? ?6, 则函数 h2 ( x)与h3 ( x) 的大致图象如右: 由 图 可 知 , 当 x ? 0时, 两 个 函 数 图 象 有 2 个 交 点 , 故 函 数

1 2

1 2

y ? g ( x) ? h1 ( x) 有 2 个零点。

(13 分)


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