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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第4章 2 微积分基本定理]


第四章

§ 2

一、选择题 1.(2014· 昆明一中模拟)曲线 y=sinx(0≤x≤π)与 x 轴所围成图形的面积为( A.1 π C. 2 [答案] B
π [解析] ?πsinxdx=-cosx|0 =-cosπ+cos0=2. ? 0

)

B.2 D.π

1 2.若?a(2x+ )dx=3+ln2,则 a 的值是( x ?
1

)

A.6 C.3 [答案] D 1 1 [解析] ?a(2x+ )dx=?a2xdx+?a dx x ? ? ?x
1 1 1 a 2 =x2|a 1+lnx|1=a -1+lna=3+ln2.

B.4 D.2

∴a=2. 3.(2014· 山东理,6)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( ) A.2 2 C.2 [答案] D [解析] 如图所示 B.4 2 D.4

? ?y=4x ? 3 ?y=x ?

∴第一象限的交点坐标为(2,8) 由定积分的几何意义:S=?2(4x-x3)dx

?0

x4 =(2x2- )|2 =8-4=4. 4 0 求曲边图形的面积通常是应用定积分计算. 二、填空题 4.(2013· 湖南,12)若?Tx2dx=9,则常数 T 的值为________.

?0

[答案] 3 x3 T3 [解析] 由?Tx2dx= |T 0 = =9,解得 T=3. 3 3 ?
0

5.已知函数 f(x)=3x2+2x+1,若?1 f(x)dx=2f(a)成立,则 a=________.

?-1

1 [答案] -1 或 3 [解析] ?1 f(x)dx=?1 ? ?
-1

(3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|1 -=4,

-1

所以 2(3a2+2a+1)=4, 即 3a2+2a-1=0, 1 解得 a=-1 或 a= . 3 三、解答题 6.计算下列定积分: (1)?e 3

?03x+2

dx;

(2)?12xdx;

?0

3 [解析] (1)因为[ln(3x+2)]′= , 3x+2 所以?e 3e+2 3 dx=ln(3x+2)|e 0+2)=ln . 0=ln(3e+2)-ln(3× 2 ?03x+2

2x 2x 2 1 1 (2)因为( )′=2x,所以?12xdx=( )|1 - = . 0= ln2 ln2 ln2 ln2 ln2 ?
0

(3)因为(sinx+x2)′=cosx+2x,所以 π π -sin(- )-(- )2=2. 2 2 (4) 对 原 式 化 简 sin2xdx= sin2xdx =

(2x+cosx)dx=(sinx+x2)|

π π π π - =sin +( )2 2 2 2 2

1-cos2x 1-cos2x 1 1 dx , 因 为 ( x - sin2x)′ = ,所以 2 2 4 2 π = . 2

1-cos2x 1 1 dx=( x- sin2x)| 2 2 4

一、选择题
0 a b 1.给出下列命题① ? ? dx=? dt=b-a(a,b 为常数且 a<b);②

?b

?a

? -1

x2dx=?1x2dx;③ 曲

?0

线 y=sinx,x∈ [0,2π]与直线 y=0 围成的两个封闭区域面积之和为 2,其中正确命题的个数 为( ) A.0 C.2 [答案] B [解析] ?bdt=b-a≠?adx=a-b,故① 错,而 y=x2 是偶函数其在[-1,0]上的积分结果 ? ?
a b

B.1 D.3

等于其在[0,1]上的积分结果,故② 正确,对于③ 有 S=2?πsinxdx=4.故③ 错.

?0

2.?1(ex+e x)dx 等于(


?0

) B.2e 1 D.e- e

1 A.e+ e 2 C. e [答案] D [解析] ?1(ex+e x)dx=?1exdx+?1e xdx ? ? ?
- -

0

0

0

x 1 0 1 0 =ex|1 0+(-e )|0=e-e -e +e
- -

1 =e- . e 3.(2014· 陕西理,3)定积分?1(2x+ex)dx 的值为(

?0

)

A.e+2 C.e [答案] C

B.e+1 D.e-1

[解析] ?1(2x+ex)dx=(x2+ex)|1 0=1+e-1=e. ?
0 2 4.设 a>0,a≠1,若?2axdx==-2ax0 ,则 a 的值为(

?0

)

A.e

-2

B.e2
1 D.e2

1 C.e 2


[答案] C

1 a2 1 [解析] ?2axdx= ax2 - =-2ax2 0= 0 ln a ln a ln a ?
0

=-2a +2 ∴ (a2-1)( 1 +2)=0 lna

2

1 1 ∵ a>0 且 a≠1,∴ lna=- ,∴ a=e- 2 2 5.已知 f(x)是一次函数,且?1f(x)dx=5,?1xf(x)dx=

?0

?0

17 ,则 f(x)的解析式为( 6

)

A.4x+3 C.-4x+2 [答案] A [解析] 设 f(x)=ax+b(a≠0),则?1f(x)dx

B.3x+4 D.-3x+4

?0

1 =?1(ax+b)dx=( ax2+bx)|1 0 2 ?
0

1 = a+b=5, 2 xf(x)dx=? (ax +bx)dx ? ?0 ?0 1 1 1 1 17 =( ax3+ bx2)|1 0= a+ b= . 3 2 3 2 6 联立① ② ,解得 a=4,b=3, ∴ f(x)=4x+3. 二、填空题
1 1 2





6.若 a=?2x2dx,b=?2x3dx,c=?2sinxdx,则 a、b、c 的大小关系是________.

?0

?0

?0

[答案] c<a<b [解析] 1 8 1 42 2 2 3 2 a=?2x2dx= x3|2 0= ,b=? x dx= x |0 = 4,c=? sinxdx= (- cosx)|0 =- cos2 3 3 4 ? ? ?
0 0 0

+1<2,∴ c<a<b. x2 7. (2014· 汕头模拟)由三条曲线 y=x2, y= , y=1 所围成的封闭图形的面积为________. 4 [答案] 4 3

[解析]

? ?y=x2, ?y= 4 , ? 解方程组? 和? ? ?y=1 ? ?y=1

x2

得交点坐标(-1,1),(1,1),(-2,1),(2,1).

x2 x2 则 S=2[?1(x2- )dx+?2(1- )dx] 4 4 ? ?
0 1

1 1 32 4 =2( x3|1 +x|2 1- x |1)= . 4 0 12 3 三、解答题 8.求 lg 1+x dx 的值. 1-x

1+x 1-x 1+x -1 [解析] 记 f(x)=lg , 易知定义域为(-1,1), 因为 f(-x)=lg =lg( ) =-f(x), 1-x 1+x 1-x 所以 f(x)是奇函数,因此有 9.求下列函数的定积分: (1)?2(3x2+4x3)dx;(2) lg 1+x dx=0. 1-x

?0

0sin

2x

dx;(3)?2( x-1)dx. 2 ?
1

[解析]

1 3? 2 x (1) 原 式 = ?2 3x2dx + ?2 4x3dx = 3 ?2 x2dx + 4 ?2 x3dx = 3× 3 ?0+ ? ? ? ?
0 0 0 0

1 2 3?2 4?2 4× x4?0 0=8+16=24. 4 ? =x ?0+x ? ? (2)原式= 1 2 1 = x 2 1-cosx dx= 2

?1-1cosx?dx= ?2 2 ?
cosxdx

1 (1-cosx)dx= 2

1 1dx- 2 π 1 = - . 4 2

1 (3)原式?2 xdx-?21dx=?2x dx-1= ? ? ? 2
1 1 1

2 2 4 2 = × ( 8-1)-1= × (2 2-1)-1= 3 3 3

2 4 2 5 4 2-5 - -1= - = . 3 3 3 3 10.已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f′(0)=0,?1 f(x)dx=-2,求 a、b、c

?0

的值. [解析] 由 f(-1)=2,得 a-b+c=2,又 f′(x)=2ax+b,所以 f′(0)=b=0,而?1 f(x)dx

?0

1 3 1 2 1 1 1 1 ax + bx +cx? 1 = ?1 (ax2 + bx + c) = ? 0 = a + b + c ,所以 a + b + c =- 2 ,解方程组 3 2 ? ? 3 2 3 2 ?
0

a-b+c=2, ? ?b=0, ?1 1 ?3a+2b+c=-2, ? a=6, ? ? 解得?b=0, ? ?c=-4.



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