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2012湖南《夺冠之路》高三数学理一轮复习精品课件新课标第6单元第31讲数列的概念与通项公式_图文

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1.了解数列的概念和几种简单的表 示方法(列表、图象、通项公式).

2.了解数列是自变量为正整数的一 类函数. 3.会用观察法、递推法等求数列的 通项公式.

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1.以下关于数列的叙述: ①数列是以正整数集为定义域的函数; ②数列都有通项,且是惟一的; ③数列只能用通项公式的方法来表示; ④既不是递增也不是递减的数列,则为常数列; ⑤数列1,1,2,3,5,8与数列8,5,3,2,1,1是同一数列; ⑥对所有的n∈N*,都有an+3=an,则数列{an} 是以3为周期的周期数列. 其中正确的结论有( B ) A.0个 B.1个 C.3个 D.5个 3

解析 本题是考查数列及相关概念的题, 在解题过程中,每一个叙述都有可能判断错 误,故需一一给予剖析:命题①,数列可以 看作是一个定义域为正整数集 N+ (或它的 有限子集 {1 , 2 , 3 , … , n}) 的函数;命题 ②,不是每一个数列都有通项,有的数列不 存在通项;另外,有通项公式的数列,通项 公式也不一定惟一;命题③,数列除了用通 项公式表示外还可以用列表法和图象法表示; 命题④,数列存在递增数列、递减数列、常 数数列,还有摆动数列;命题⑤,数列是有 序的;⑥正确. 4

2.数列-1,7,-13,19,…的一个通项公式 n(6n-5) (-1) 是an= . 解析 符号问题可通过 (-1)n或(-1)n+1表示, 其各项的绝对值的排列规律为:后面的 数的绝对值总比它前面数的绝对值大 6 , 故通项公式为an=(-1)n(6n-5).

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3.如果数列{an}的前n项的和Sn=n2,那么 这个数列的通项公式是 an=2n-1 . 解析 a1=S1=1,所以a1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1.

经检验,a1符合上式,所以an=2n-1.

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4. 在数列?an ?中,若an ?1
1 则a4 = ______   7

an ? ,a1 ? 1, 2an ? 1

解析 因为an ?1
1 3

an a1 1 ? ? a2 ? ? , 2an ? 1 2a1 ? 1 3 1 5

1 1 a3 ? ? ,a4 ? ? . 2 2 5 7 ?1 ?1 3 5

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5. (2010 温州模拟)设数列?an ?的前n项和为S n, S1 ? S 2 ? ... ? S n 令Tn ? ,称Tn为数列a1,a2, ?, n an的“理想数”,已知数列a1,a2, ?,a501的“理想 数”为2008,那么数列2,a1,a2, ?,a501 的" 理想 数”为 2006

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解析 因为a ,a , 1 2 ?,a501的“理想数”为2008,
S1 ? S 2 ? ... ? S501 所以 ? 2008, 501 所以2,a1,a2, ?,a501的理想数为 2 ? ? S1 ? 2 ? ? ? S 2 ? 2? ? ... ? ? S501 ? 2? 502 ? S1 ? S 2 ? ... ? S501 ? ? 2 ? 502 ? 502 501 ? 2008 ? 2? 502 ? 2 ? 4 ? 501 ? 2006.

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1.数列的概念

(1)数列是按一定① 顺序 排列的一列数, 记作a1,a2,a3,…,an,…,简记{an}. (2)数列{an}的第n项an与项数n的关系 若能用一个公式an=f(n)给出,则这个公式 叫做这个数列的② 通项公式 .

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(3)数列可以看做定义域为 N*(或其子 集)的函数,当自变量由小到大依次取 值时,对应的一列函数值,它的图象是 一群③ 孤立的点 . 2.数列的表示方法 数列的表示方法有:列举法、图示法、 解析法(用通项公式表示)和递推法 (用递推关系表示).

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3.数列分类 (1) 按 照 数 列 的 项 数 分 ④ 有穷数列 、 无穷数列 . (2) 按照任何一项的绝对值是否超过某 一正常数分:⑤ 有界数列 、 无界数列 . (3) 从函数单调性角度考虑分:递增数 列、⑥ 递减数列、常数列、⑦ 摆动数列 . 4.数列通项an与前n项和Sn的关系 (1)Sn=a1+a2+a3+…+an; S1(n=1) (2)an=⑧ . Sn-Sn-1(n≥2) 12

题型一

用观察法写数列的通项公式

例1

求下列数列的一个通项公式:

(1)1,-1,1,-1,…;

(2)3,5,9,17,33,…;
9 1 25 2 2

(3)

,2,

,8,

,…;

(4)1,0,-1,0,1,0,-1,0,…. 13

n 2

2

解析 (2)an=2n+1.

(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π.

(3)an=

. n? (4)an=sin . 2
评析 已知数列的前 n 项,写出数列的通 项公式,主要从以下几个方面来考虑: (1) 符号用 (-1)n 与 (-1)n+1( 或 (-1)n-1) 来 调节,这是因为n和n+1奇偶交错. 14

(2) 分式形式的数列,分子找通项, 分母找通项,要充分借助分子、分母的 关系.
(3) 对于比较复杂的通项公式,要借 助等差数列、等比数列(后面将学到) 和其他方法来解决. (4) 此类问题虽无固定模式,但也有 其规律可循,主要靠观察(观察规律)、 比较(比较已知的数列)、归纳、转化 (转化为等差或等比数列)等方法. 15

素材1 有一数列 {an},a1=a ,由递推公
2an 1 ? an

式an+1=

,写出这个数列的前4项,

并根据前 4 项观察规律,写出该数列 的一个通项公式.

分析 可根据递推公式写出数列的前4项, 然后分析每一项与该项的序号之间的关 系,归纳概括出 an与n之间的一般规律, 从而做出猜想,写出满足前4项的该数列 的一个通项公式. 16

解析 因为a1=a,an+1=
2a2 2a 所以a2= ,a3= = 1 ? a2 1? a

,
4a 1? a 2a 1? 1? a

2an 1 ? an
4a = , 1 ? 3a

a4=

8a 2a3 3a = 1? 4 1 ? a3 1 ? a 1 ? 3a

8a = . 1 ? 7a

xa 观察规律:an= 1 ? ya 形式,其中x与n的
n-1.而y比x小1, 可由n=1,2,3,4得出 x =2 n ?1

2 所以an=1 ? (2n?1 ? 1)a .

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评析 从特殊的事例,通过分析、归 纳,总结出一般规律,再进行科学地 证明,这是创新意识的具体体现,这 种探索问题的方法,在解数列的有关 问题中经常用到,应引起足够的重视.

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题型二 利用数列前n项和公式求通项

例2 已知数列{an}的前n项和为Sn,分 别求其通项公式.
1 8

(1)Sn=3n-2; (2)Sn= (an+2)2(an>0).

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解析 (1)当n=1时,a1=S1=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2) =2· 3n-1. 由于a1=1不适合上式,因此数列{an}的通 项公式为 an= 1 2· 3n-1 (n=1) (n∈N*,且n≥2).

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(2)当n=1时,a1=S1=

(a1+2)2,解得a1=2.
1 1 2 (an+2) - (an-1+2)2, 8 8

1 8

当n≥2时,Sn=Sn-Sn-1=

所以(an-2)2-(an-1+2)2=0,

所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0,
又an>0,所以an-an-1=4,

可知{an}为等差数列,公差为4,
所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)· 4=4n-2,

a1=2也适合上式,故an=4n-2. 21

评析 本例的关键是应用an=

S1

(n=1)

Sn-Sn-1 (n≥2)求 数列的通项,特别要注意验证a1的值是否 满 足 “ n≥2” 的 通 项 公 式 ; 同 时 认 清 “ an+1-an=d (常数) (n≥2)” 与“ an-an-1=d (d为常数,n≥2)”的细微差别.

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1 素材2 已知数 列?an ?的前n项和Sn ? n ? n, 2 3 则这个数列的通项公式为 an ? 2n ?
2

1 1 解析 由Sn ? n ? n,知当n ? 1时,a1 ? S1 ? ; 2 2 3 当n ? 2时,an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? . 2 经验证,上式当n ? 1时也适合,
2

2

3 所以an ? 2n ? . 2

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题型三

已知数列的前n项和 Sn与 an 的递推关系,求通项公式

例3 设数列?an ?的前n项和为Sn,若a1 ? 1,
? n ? 1?an 且Sn ? .求证:数列?an ? 为等差数列. 2

分析 要证明数列?a ? 为等差数列,可先求 n
出?an ?的通项公式或an的递推关系式.

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解析由已知,得2Sn ? ? n ? 1? an, 2Sn ?1 ? nan ?1 (n ? 2),
an n 两式相减得 ? n ? 1? an ? nan ?1,所以 ? . an ? 1 n ? 1

an a2 2 a3 3 a4 4 n 于是有 ? , ? , ? , ?, ? (n ? 2), a1 1 a2 2 a3 3 an ?1 n ? 1 以上各式相乘,得an ? na1 ? n(n ? 2,n ? N * ). 因为an ? an ?1 ? 1,所以数列?an ? 为等差数 又a1 ? 1,所以an ? n.

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评析

?1? 给出Sn 与an的递推关系,求其通项an,

一般解题策略是用an ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2)求出通项, an n 但要注意a1是否满足an ; ? , ? 2 ? 形如 an ? 1 n ? 1 用累乘法求an .

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题型四

数列的增减性与最值

n 9 ? 1? 例4 已知数列?an ?的通项an ? ? n n (n ? N * ), 10 试问数列?an ? 是否存在最大项?如果存在,求出

这个最大项;如果不存在,请说明理由.

?an ?中是否存 分析 本题要利用?an ?的单调性,
在最大项,关键是看 ?an ? 是否有 " 拐点",即先 找 " 平衡位置",令an ?1 ? an ? 0,求出n ,再分类 讨论.

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解析

9n ?1 ? n ? 2? 9n ? n ? 1? 9n ?8 ? n ? an ?1 ? an ? ? ? . n ?1 n n ?1 10 10 10 当n ? 8时,an ?1 ? an ? 0,此时an ?1 ? an; 即a8 ? a7 ? a6 ? a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1; 当n ? 8时,an ?1 ? an ? 0,即a9 ? a8; 当n ? 8时,an ?1 ? an ? 0,此时an ?1 ? an, 即a9 ? a10 ? a11 ? ?. 综上所述,数列?an ? 存在最大项,且这个最大项

99 为第8项和第9项,即a8 ? a9 ? . 108

28

评析 求数列{a }的最值时,可先找平衡位置, n 若解得n为整数,则最值有两项 、an;若解 an ?1 得n不是整数,则考虑与n相近的两个项的大 小.

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n?c (c ? R), 素材4 在数列?an ?中,已知an ? n ?1 则对于任意正整数n,下列判断 正确的是

(B )
A.an ? an ?1 B.an 与an ?1的大小关系和c有关 C.an ? an ?1 D.an 与an ?1的大小关系和c无关

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备选题

在数列?an ?中,其前n项和

10 n Sn ? 120 ? 10 ? n ? 12 ? ( ) (n ? N * ),试问该数 11 列有没有最大的项?若有,求其项数;若没 有,请说明理由.  

解析

20 a1 ? S1 ? , 11 当 n ? 2时 ,
31

10 n 10 n ?1 an ? S n ? S n ?1 ? [120 ? 10 ? n ? 12 ? ( ) ???120 ? 10 ? n ? 11? ? ( ) ] 11 11 10 n ? ? n ? 1? () , 11 10 n 由于a1也适合,因此an ? ? n ? 1? ( ) . 11 ?an ? an ?1 设 ?an ?中第n项最大,则 ? , ?an ? an ?1

所以 9 ? n ? 10,故该数列第 9项或第 10项最大.

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数列通项公式的求法:

①观察分析法;
②公式法:an= S1 (n=1)

Sn-Sn-1

(n≥2);

③转化成等差、等比数列;

④迭加、累乘法(见第34讲). 33

n ?1 若数列?an ? 满足a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ?? 3 an ? 3 (n ? N * ),则an ?
2 n ?1

n ?1 ,① 错解 因为a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ? ? 3 an ? 3 所以a1 ? 3a2 ? ? ? 3n ?2 an ?1 ? , ②
2 n ?1

1 1 ① ? ②,得3 an ? ,an ? , 3 3n 1 所以该数列的通项公式为an ? . 3n
n ?1

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错解分析:

正解:

2 当n ? 1时,a1 ? ; 3 当n ? 2时,a1 ? 3a2 ? ? ? 3n ?1 an ? a1 ? 3a2 ? ? ? 3
n ?2

n ?1 , ① 3 ②

an ?1

n ? , 3

1 1 ① ? ②,得3n ?1 an ? ,an ? n , 3 3 ?2 (n=1) ? ?3 所以an ? ? . ?1 (n ? 2) n ? ?3

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