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必修2第二章《点线面之间的位置关系》知识点及练习

2.1 点、线、面之间的位置关系
1.平面概述 (1)平面的两个特征:①无限延展 ②平的(没有厚度) (2)平面的画法:通常画平行四边形来表示平面 (3)平面的表示:用一个小写的希腊字母 ? 、 ? 、 ? 等表示,如平面 ? 、平面 ? ;用表示平行四 边形的两个相对顶点的字母表示,如平面 AC。 (4)点 A 在直线 l 上,记作: A ? l ;点 A 在平面 ? 内,记作: A ? ? ;直线 l 在平面 ? 内,记 作l ? ? 2.平面的基本性质: 公理 1 图形 语言 文字 语言 符号 语言 如果一条直线上的两点在 一个平面内, 那么这条直线 上的所有点都在这个平面 内 经过不在同一条直线上 的三点有且只有一个平 面(不共线的三点确定 一平面) A、B、C 不共线 ? A、B、C 确定平面 ? 如果两个平面有一个公共 点,那么它们还有其他公共 点,且所有这些公共点的集 合是一条直线 公理 2 公理 3

A ? l, B ? l ? ? ? l ?? A ?? , B ?? ?

?? ? ? ? l A ?? , A ? ? ? ? ?A?l

推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。

异面直线的画法常用的有下列三种:
b ? b a a ? ? a b

?

公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行,即 a // b, b // c ? a // c 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 相等 或 互补

2.2 线面平行的判定与性质
1.线面平行的判定定理: 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平 行,那么这条直线和这个平面平行。推理模式: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? .
a b P ? ? b P a

2. 线面平行的性 质定理: 如果一条直 线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平 行。推理模式: a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a // b .
? a b ?

3.两个平面的位置关系有两种:两平面相交(有一条公共直线) 两平面平行(没有公共点) (1)两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个 平面,那么这两个平面平行。
a?? ? ? 定理的模式: b ? ? ? ? a ? b ? P ? ? ? // ? a // ? ? ? b // ? ? ?

? ?

a

b

c

推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直 线,那么这两个平面互相平行。 推论模式: a ? b ? P, a ? ? , b ? ? , a? ? b? ? P?, a? ? ? , b? ? ? , a // a?, b // b? ? ? // ? (2)两个平面平行的性质 a) 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面; b) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习
1.下列命题正确的是 ( ) A 一直线与平面平行,则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行,则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行,则平面内有无数直线与已知直线平行,它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行,则平面内任意直线都与已知直线异面 2、空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( ) A.0 B.1 C.1 或 4 D.无法确定 3、在三角形、四边形、梯形和圆中,一定是平面图形的有 个 4、 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P、 Q 分别为 AA1 , CC1 的中点, 则四边形 D1 PBQ 是 ( )

A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.空间四边形 5、在空间四边形 ABCD 中,点 E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点,若 AC=BD, 且 AC ? BD ,则四边形 EFGH 为 6、下列命题正确的是( ) A.若 a ? ? , b ? ? ,则直线 a , b 为异面直线 B.若 a ? ? , b ? ? ,则直线 a , b 为异面直线 C.若 a ? b ? ? ,则直线 a , b 为异面直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、在空间中:①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有 公共点,则这两条直线是异面直线,以上两个命题中为真命题的是 8、过直线 L 外两点作与直线 L 平行的平面,可以作( ) A.1 个 B.1 个或无数个 C.0 个或无数个 D.0 个、1 个或无数个 a // b 9、 ,且 a 与平面 ? 相交,那么直线 b 与平面 ? 的位置关系是( ) A.必相交 B.有可能平行 C.相交或平行 D.相交或在平面内 10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的( ) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.任意一条直线不相交 D.无数条直线不相交 11、如果两直线 a // b ,且 a // 平面 ? ,则 b 与平面 ? 的位置关系是( ) A.相交 B. b // ? C. b ? ? D. b // ? 或 b ? ? 12、已知直线 a 与直线 b 垂直, a 平行于平面 ? ,则 b 与平面 ? 的位置关系是( ) A. b // ? B. b ? ? C. b 与平面 ? 相交 D.以上都有可能 13、若直线 a 与直线 b 是异面直线,且 a // 平面 ? ,则 b 与平面 ? 的位置关系是( ) b // ? b ? ? b A. B. 与平面 ? 相交 C. D.不能确定 14、已知 a // 平面 ? ,直线 b ? ? ,则直线 a 与直线 b 的关系是( ) A.相交 B.平行 C.异面 D.平行或异面 15、平面 ? ? 平面 ? ? a ,平面 ? ? 平面 ? ? b ,平面 ? ? 平面 ? ? c ,若 a // b ,则 c 与

a , b 的位置关系是(
A. c 与 a , b 异面

) B. c 与 a , b 相交 D. c 与 a , b 都平行

C. c 至少与 a , b 中的一条相交

16、下列各命题: (1) 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线; (2) 若一条直线平行于两相交平面,则这条直线和交线平行; (3) 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。 其中错误的命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 17、 a , b 是异面直线,则过 a 且与 b 平行的平面有 ____ 个 18、判断下列命题是否正确: (1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 (2)若直线 l ? ? ,则 l 不可能与α 内无数条直线相交 (3)若直线 l 与平面α 不平行,则 l 与α 内任一直线都不平行 (4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 (5)若平面α 内有一条直线和直线 l 异面,则 l ? ?

( ( ( ( (

) ) ) ) )

19、已知 E、F、G、M 分别是四面体的棱 AD、CD、BD、BC 的中点,求证:AM // 面 EFG

20、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 为 DD1 的中点,求证: BD1 ∥面 AEC

21、 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E、 F 分别为 BC、 求证: EF//平面 BDD1 B1 C1 D1 的中点,

22、如图,四边形 ABCD 是矩形, P ? 面 ABCD,过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于 E, 交 DP 于 F,求证:四边形 BCFE 是梯形 P F E D C

A

B

23 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,S 为 B1 D1 的中点,E,F,G 分别是 BC,DC,SC 的中点, 求证: (1)直线 EG//面 BB1 D1 D (2)平面 EFG//平面 BB1 D1 D

点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习答案
1、C 2、C 3、3 4、B 5、正方形 6、D 7、① 8、D(提示:当 L ? ? 时,就为 0 个) 9、A 10、C 11、D 12、D 13、D 14、D 15、D 16、B 17、1 18 对、错、错、错、对 19、提示:连结 MD 交 GF 于 H,则点 H 为 MD 的中点 20、提示:连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO,则 EO// BD1 ,又 EO ? 面 AEC , 故 BD1 //面 AEC 21、提示:取 B1 D1 的中点为 O1 ,连接 FO1 , BO1 ,则 FO1 // BE 且 FO1 ? BE ,则 四边形 BEFB 1 是平行四边形,故 BO 1 // EF 22、分析:因为 BC // AD ,所以 BC//面 ADP,所以 BC//EF,所以 EF//AD,但 EF 的长度 小于 AD 的长度,而 BC ? AD ,所以 EF 的长度小于 BC 的长度

2.3 直线、平面垂直的判定以及性质
1.线线垂直 判断线线垂直的方法:所成的角是直角,两直线垂直;垂直于平行线中的一条,必垂直 于另一条。 2.线面垂直 (1)定义:如果一条直线 l 和一个平面α 相交点 P, 并且和平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 和平面α 互相垂直 其中直线 l 叫做平面的垂线,平面α
王新敞
奎屯 新疆

叫做直线 l 的垂面,直线与平面的交点 P 叫做垂足。直线 l 与平面α 垂直记作:l⊥α 。 (2)直线和平面垂直的画法:画直线和平面垂直时, 通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直, 如图,记作 l ? ? 。 (3)直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直。 符号表示:若 a ? ? , b ? ? , a ? b ? p, l ? a, l ? b, 则 l ? ? 。 推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面。 符号表示: a ? ? , a // b ? b ? ? (4)直线和平面垂直的性质定理: a)如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 符号表示: a ? ? , b ? ? ? a // b b)如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直. 符号表示 : l ? ? , a ? ? ? l ? a 3.面面垂直 (1)两个平面垂直的定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。平面?、? 互相垂直,记作 ? ? ? (2)两平面垂直的判定定理: (线面垂直 ? 面面垂直) 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 符号表示: a ?

? , a ? ?,则 ? ? ? 。

(3)两平面垂直的性质定理: (面面垂直 ? 线面垂直) 若两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

符号表示: a ?

? , ? ? ? ? l , a ? ?,a ? l,则 ? ? ? 。

【直线和平面垂直的判定和性质练习】
一、 选择题: 1、直线l//平面 ? , ? ? ? ,那么l和平面? 的位置关系是( D ) 。 (A) 线在面内 (B)平行 (C)相交 (D)以上情况都有可能 2、直线l⊥平面α ,直线 m ? α 内,则有 ( D ) A.l和m异面 C.l∥m B.l和m相交 D.l不平行于m )

3、 直线l和平面α 内无数直线垂直,则( D A.l和α 相互平行 C.l在α 内

B.l和α 相互垂直 D.不确定 )

4、 直线 a 与直线b垂直,b又垂直于平面α ,则 a 与α 的位置关系是 ( D A.a⊥α B.a∥α C.a ? α ) D.a ? α 或 a∥α

5、 下列命题中,假命题 是( D ...

A.如果一条直线与一个平面垂直,则这条直线与这个平面内的任意一条直线垂直 B.如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行 C.平面的垂线与这个平面一定相交 D.如果一条直线上有两点到一个平面的距离相等,则这条直线与这个平面平行 6、 若斜线段 AB 是它在平面α 内的射影长的 2 倍,则 AB 与α 所成的角( A ) A.60° B.45° C.30° D.120° )

7、 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( B A.AC B.BD C.A1D1 ? D.A1A

8、 一直线和两条相交直线都相交,那么它们所确定的平面的个数是( D (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)1或3

) 。

9、 已知直线 l 与平面α 成30°角,则在α 内( C ) 。 (A)没有直线与 l 垂直 (B)至少有一条直线与 l 平行

(C)一定要无数条直线与 l 异面 (D)有且只有一条直线与 l 共面

10、在空间四边形ABCD中,若AB=CD,BC=AD,AC=BD,则∠BAC+∠CAD+∠DAB 的大小是( A ) 。 (A)180° (B)90° (C)小于180° (D)在区间[90°, 180°]内

11、有下面几个问题: (1)若a//平面 ? ,b ? a,则平面 ? ? b.(2)若a//平面 ? ,平面 ? ? 平面? , 则a ? 平面? .(3)若a,b是两平行线,b ? 平面 ? ,则a// ? .(4)若平面 ? ? 平面? ,平面 ? ? 平 面 ? ,则平面 ? //平面 ? 。其中不正确的命题个数是( A ) 。 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

12、下列六个命题,其中正确命题的个数是几个( D ) ①过已知直线外一点, 有且只有一条直线与已知直线平行 ②过已知平面外一点, 有且 只有一条直线与已知平面平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④过一 点有且只有一条直线与已知平面垂直 ⑤过一点有且只有一个平面与已知直线垂直⑥ 过已知直线外一点,有且只有一个平面与已知直线平行. A.6 B.5 C.4 D.3

13、如图,PA⊥面 ABC,△ABC 中 BC⊥AC,则图中直角三角形的个 数有 ( A ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 13 题图

14、已知三条相交于一点的线段 PA、PB、PC 两两垂直,且 A、B、C 在同一平面内,P 在平面 ABC 外,PH⊥平面 ABC 于 H,则垂足 H 是△ABC 的( C ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心

15、已知 P 是△ABC 所在平面α 外一点, 且 PA=PB=PC, 则 P 在α 上的射影一定是△ABC 的( B ) A.内心 二、填空题: 16 、 三 个 平 面 两 两 垂 直 , 那 么 它 们 的 交 线 共 有 是 。 【答案】3;两两垂直 条。这些交线的相互关系 B.外心 C.垂心 D.重心

17、已知三角形 ABC 中,AB⊥BC,∠BCA=30°,AC=20,PA⊥面 ABC,且 PA=5,则 P 到

BC 的距离为

. 【答案】5 5

18、如图,BC是Rt△ABC的斜边,AP⊥平面ABC,连结PB、PC,作PD⊥BC于D,

连结AD,则图中共有直角三角形

个. 【答案】8

19、如图,AB 是圆 O 的直径,C 是异于 A、B 的圆周上的任意一点,PA 垂直于圆 O 所在的平 面,则 BC 和 PC . 【答案】垂直

18 题图 三、解答题

19 题图

20、如图,设 ABCD 是空间四边形,AB=AD,CB=CD,求证:AC⊥BD. 证明:设 BD 的中点为 K,连结 AK、CK, ∵AB=AD,K 为 BD 中点 ∴AK⊥BD 同理 CK⊥BD,且 AK∩KC=K ∴BD⊥平面 AKC ∴BD 垂直于平面 AKC 内的所有直线 ∴BD⊥AC 21、 如图, 已知从一点出发的三条线段 SA = SB = SC = a, 且 ?BSC = 90?, ?ASB = ?ASC = 60?, D 为 BC 中点,求证:AD?平面 SBC 证明:在 ? ASC 中,∵SA = SC = a,?ASC = 60? ∴ ? ASC 为等边三角形,∴AC = a 同理,在 ? ASB 中,可得 AB = a 在 ? ABC 中,∵D 为 BC 中点,又 AB = AC ∴AD?BC 于 D,连结 SD, ∵AB = AC = a ∴ ? SBC≌ ? ABC,∴?BAC = ?BSC = 90? 在 Rt ? BAC 中, AD ? 在 Rt ? SBC 中, SD ?
1 2 BC ? a 2 2 1 2 BC ? a 2 2

20 题图

21 题图

在 ? ASD 中,∵ AD2 ? SD2 ? SA2 = a2,∴AD2 + SD2 = SA2 ∴ ? ASD 为 Rt ?

a2 a2 ? ? a2 2 2

?SDA = 90?,即 AD?SD, 已知 AD?BC, SD ? BC = D ∴AD?平面 SBC

22、已知:如图,P 是∠BAC 所在平面外一点,PD⊥AB,D 为垂足,PE⊥AC,E 为垂足, 在平面 BAC 内过 D 作 DF⊥AB,过 E 作 EF⊥AC,使得 EF∩DF=F.连结 PF,求证:PF ⊥平面 BAC. 证明:∵PD⊥AB,DF⊥AB,PD ? DF=D ∴AB⊥平面 PDF ∵PF ? 平面 PDF ∴ AB⊥PF 同理,AC⊥PF ∵ PF⊥AB,PF⊥AC,BA ? AC=A ∴ PF⊥平面 BAC

23、已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证 MN⊥面 PCD.(12 分) 解析:
(1)取PD中点E , 又N为PC中点, 连NE , 则NE // CD, NE ? 又 ? AM // CD, AM ? ? MN // AE ? PA ? 平面ABCD? CD ? PA ? CD ? 平面ADP? , ?? ?? ? ? CD ? AE.(注 : 或直接用三垂线定理 CD ? 面ABCD ? CD ? AD? AE ? 平面ADP? 1 CD. 2

1 CD,? AM // NE ,?四边形AMNE为平行四边形 ? 2

(2)当?PDA ? 45? 时, Rt?PAD为等腰直角三角形 则AE ? PD, 又MN // AE,? MN ? PD, PD ? CD ? D ? MN ? 平面PCD.

24、在正方体 ABCD—A1B1C1D1,G 为 CC1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心。 求证:A1O⊥平面 GBD 解析:
? A1 A ? BD? BD ? 平面A1 AD? ?? ? ? BD ? A1O AC ? BD ? A1O ? 面A1 AO ? 2 2 3 2 a) ? a 2 2 2 2 a 3 OG 2 ? OC 2 ? CG 2 ? ( a) ? ( ) 2 ? a 2 2 2 4 2 a 9 2 A1G 2 ? A1C1 ? C1G 2 ? ( 2a) 2 ? ( ) ? a 2 2 4 ? A1O 2 ? OG 2 ? A1G 2 又 ? A1O 2 ? A1 A 2 ? AO 2 ? a 2 ? ( ? A1O ? OG 又BD ? OG ? 0 A1O ? 平面GBD


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