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2014年2月22日13.5_复数的平方根与立方根

复数的平方根与立方根

引入

设z ? x ? yi ( x, y ? R ), 若满足 z 2 ? 3 ? 4i, 求z

解: ( x ? yi) 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xyi ? 3 ? 4i
? x ? y ? 3 ? x ? 2 ? x ? ?2 ?? 或? ? ? y ? 1 ? y ? ?1 ? 2 xy ? 4
2 2

?z ? 2 ? i 或 ? 2 ? i

新课

1、复数的平方根

若复数 a ? bi 和c ? di (a, b, c, d ? R)满足 (a ? bi) =c ? di,称a ? bi是c ? di的一个
2

平方根。 ?[ ? (a ? bi) ]2=c ? di,则 ? a ? bi也是c ? di

的一个平方根。

特别地,( ? i) ? ?1 ? ?i是 ?1 的一个平方根。
2

例1:求复数-3的平方根

.

例2:求下列复数的平方根
(1) 4i (2) 7 ? 24i
解:(1)设a+bi(a,b∈R)是4i的平方根,则
(a ? bi) 2 ? 4i

a ? b ? 2abi ? 4i
2 2

由两个复数相等的条件,得
?a ? 2 ?a 2 ? b 2 ? 0 ?? ? ?b ? 2 ?2ab ? 4



?a ? ? 2 ? ?b ? ? 2

所以,4i的平方根为

2 ? 2i

或 ? 2 ? 2i

(2)设a+bi(a,b∈R)是7+24i的平方根,则
(a ? bi) 2 ? 7 ? 24i
a 2 ? b 2 ? 2abi ? 7 ? 24i

由两个复数相等的条件,得
?a 2 ? b 2 ? 7 ? ? ?2ab ? 24

?a ? 4 ? ?b ? 3



?a ? ?4 ? ?b ? ?3

所以,7+24i的平方根为 4 ? 3i 或 ? 4 ? 3i

归纳:

1.若a ? bi是c ? di(a, b, c, d ? R)的 一个平方根,则? (a ? bi)也是c ? di 的一个平方根。
2.若z1是z的一个平方根,则 z1也是z的一 个平方根。 即:z1 ? z, 则, z1 ? z
2 2

2、复数的立方根
类似地,若复数z1,z2满足z13=z2, ,则 称z1是z2的立方根,求一个复数的立方根 或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们只研究1的立方根.

1 3 例3:设? ? ? ? i,求证: 2 2 2 ( 1 )? , ? , 1都是1的立方根 ; (2)1 ? ? ? ? ? 0
2

例4:利用1的立方根,求复数64的立方根 解:设z为64的立方根,则:
z 3 ( ) ?1 4
2 2

z ? 64
3



z ?1 或 4

? 或 ?



z ? 4 或 4? 或 4?

例5:计算下列各式的值
1 3 8 (1) (? ? i) 2 2 (2) (1 ? 3i) 6

解:(1) (2)

1 3 1 3 1 3 1 3 (? ? i ) 8 ? (? ? i ) 6 ? (? ? i ) 2 ? ? ? i 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3 6 1 3 6 6 (1 ? 3i) ? [?2(? ? i)] ? (?2) (? ? i) ? 64 2 2 2 2
6

? ? k k ?0 ? k ?0 ? 0 ?? | k | i k ? 0 ? 1、实数 k的平方根是 __________ _
2、求下列复数的平方根 ( 1 ) ? 4i (2)3 ? 4i

1 3 例6设? ? ? ? i, 求证?, ? 2 ,1都是1的立方根 2 2

1 解: ? 3 ? (? ? 2 1 ? (? ? 2

3 3 1 3 2 1 3 i) ? (? ? i ) (? ? i) 2 2 2 2 2 3 1 3 i )( ? ? i) 你发现什么 2 2 2

1 2 3 2 1 3 ? (? ) ? ( i) ? ? ? 1 2 2 4 4

规律吗 ?

(? 2 )3 ? (? 3 ) 2 ? 12 ? 1, 13 ? 1

??,? 2 ,1都是 1 的立方根

1 3 1 3 设?=- + i , ? ? ? ? i 2 2 2 2

(1)? ? 1
3

( 2)? ? ? ? 1
(3)? ? ?
2

(4)? ? ? ? ?1

(5)? ? ? ? 1 ? 0
2

(6)? ? 1 ?
3n

3n?1

?? ?

3n? 2

??

2

计算:

1 3 10 (1)( ? ? i ) 2 2
(2)( ?1 ? 3 i )
5

1 3 (3) 已知? ? ? ? i 2 2 2 3 10 求1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?


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