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2012年全国高中数学联合竞赛新疆试题 Word版含答案

2012 新疆维吾尔自治区高中数学竞赛
高二试题卷 时间 120 分钟 总分:150 分 第一题:选择题(有 6 小题,每小题 5 分总 30 分) 1.设 x ? y ? z ? 值为: ( A. ) B.

?
12

,且x? y ? z ?

?
2

,则乘积 cosx ? siny ? cosz 的最大值减去两倍的最小

3 8

3 4

C.

3 2

D. 3

2.过抛物线焦点下的直线 交抛物线与 P,Q 两点 , P,Q 的垂直平分线 交抛物线的对称轴于 R, 则

PQ FR
A.5

的值为: ( B.4

) C.3 D.2

3.已知正四棱柱的对角线长为 2 6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为 体积为: ( A.2 B.4 ) C.8

2 则该正四棱柱的 3

D.16

4.袋中盛有 3 个白球和若干个红球,现在从中任取 2 个求,若取的白球个数的期望值等于 则袋中红球的个数为: ( A.1 B.3 C.5 5. 已知复数 ) D.7

3 , 4

z ? x ? yi ( x, y ? R, x ?


1 ), 满足 z ? 1 ? x 那么 2

Z 在复平面上对应点,

( ( x, y) 的轨迹是:

A.圆 B. 抛物线 C.椭圆 D.双曲线 6.在正方体的八个顶点中任取四个顶点,这四个点可以连成四面体的概率为: (
[来源:学科网 ZXXK]



A.

27 35

B.

28 35

C.

29 35

D.

6 7
[来源:Z_xx_k.Com]

第二题:填空题(共有 6 小题 每小题 9 分总 54 分) 7.在数列 ?a n

?中,已 知 a3 ? 18, an?1 ? 3an ,则 a1 =__________.
1 的最小值=__________. x ?1

8.当 x ? 4 时,函数 y ? x ?

9.若直线 l 经过 P(1,-3) ,它与两坐标轴围成等腰直角三角形,则 l 的方程是: ______________________________. 10.若方程

x2 y2 ? ? 1 表示的曲线不是双曲线,则 k 的取值范围是:__ ________. k ?2 6?k

11.正四面体内切球半径为 2,则 此正面体体积为:__________. 12.将一骰子抽掷两次,所得向上点数分别为 m 和 n , 则函数 y ? 上为单调减函数的概率为:__________. 第三题: (总有 4 答题,总 66 分) 13.(本大题 15 分) 解不等式:

m 3 x ? 2nx ? 4 在(-1,1) 3

x 2 ? 3 x ? 10 ? 8 ? x

[来源:学科网]

14.(本大题 15 分)

( x ? 3) 2 ( y ? 2) 2 ? ? 1 于 P1 , P2 两点, ? 为直线的倾斜角 直线 x tan ? 交椭圆 9 4
(1)求 ? 的取值范围 (2)求线段 p1 p 2 中点的轨迹方程。

15.(本大题 18 分) 如图,在斜三菱柱 ABC- A1 B1C1 中,∠ A1 AB = ?A1 AC ,AB=AC, A1 A ? A1 B ? a 侧面 B1 BCC1 与底面 ABC 所成的二面角为 120 ,E,F 分别为棱 B1C1 , A1 A 的 中点
0
[来源:学科网][来源:学,科,网 Z,X,X,K]

(1) 求 A1 A 与底面 A BC 所成的 角; (2) 求经过 A1 , A, B, C 四点的球的体积;

16.(本大题 18 分) 8 位歌手参加艺术节,准备为他们安排 M 次演出,每次由其中四位登台表演,要求 8 位歌手中 任意两位同时演出的次数一样多,请设计一中方案,使演出次数 M 最小


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