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3.2.3直线的一般式方程


复习回顾
名 称 条 件 方程 适用范围
有斜率的 直线 有斜率的 直线

点斜式 点P(x0,y0)和斜率k
斜率k, 斜截式 y轴上的纵截距b

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? kx ? b

y ? y1 x ? x1 不垂直于x、 ? 两点式 P1(x1,y1),P2(x2,y2) y2 ? y1 x2 ? x1 y轴的直线
截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b

x y ? ?1 a b

不垂直于x、y 轴,且不过原 点的直线

上述四种直线方程,能否写成如下统一形式? ? x+ ? y+ ? =0
y ? y1? k ( x ? x1 )
kx ? (?1) y ? y1 ? kx1 ? 0

y ? kx ? b

kx ? (?1) y ? b ? 0

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 ( y ? y ) x ? ( x ? x ) y ? x ( y ? y ) ? y ( x ? x ) ? 0 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 x y bx ? ay ? ( ?ab) ? 0 ? ?1 a b

上述四式都可以写成二元一次方程的形式: Ax+By+C=0, A、B不同时为0.

思考:
? (1)平面直角坐标系中的每一条直线都可 以用一个关于x , y的二元一次方程表示吗? ? (2)每一个关于x , y的二元一次方程都表 示直线吗?

分析:直线方程

二元一次方程

(1)当斜率存在时 L可表示为 y=kx+b 或 y - y0 = k ( x - x0 ) 显然为二元一次方程。 (2)当斜率不存在时L可表示为 x - x0=0,亦 可看作y的系数为0的二元一次方程。(xx0+0y=0) 结论1:平面上任意一条直线都可以用一个关 于 x , y 的二元一次方程表示。

直线方程

二元一次方程

? 即:对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0 (A.B不同时为0),判断它是否表示一条直线?
A C (1)当B 0时,方程可变形为 y ? ? x ? B B C A ( 0 , ? ) 它表示过点 ,斜率为 ? 的直线。 B B

?

(2)当B=0时,因为A,B不同时为零,所以A一定不为零,

C 于是方程可化为 x ? ? ,它表示一条与 y 轴平行或重合的直线。 A

结论2:关于 x , y 的二元一次方程,它都表示一条 直线。

由1,2可知:直线方程
在平面直角坐标 系中,任意一条直线 都可以用二元一次方 程Ax+By+C=0(A、 B不同时为0)来表示。 在平面直角坐标 系中,任何一个关于 x、y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B 不同时为0)都表示 一条直线。

二元一次方程

我们把关于 x , y 的二 元一次方程 Ax+By+C=0(其中A,B 不同时为0) 叫做直线的一般式方 程,简称一般式。

探 究
(1)在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方 程表示的直线:平行于x轴?
y

l

O

x

(1) A=0 , B≠0 ,C≠0。

(2)在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时, 方程表示的直线:平行于y轴?
y

l

O

x

(2) B=0 , A≠0 , C≠0。

(3)在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方 程表示的直线:与x轴重合?
y

O

l
x

(3) A=0 , B≠0 ,C=0。

(4)在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时, 方程表示的直线:与y轴重合?
y

l

O

x

(4) B=0 , A≠0, C=0。

(5)在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时, 方程表示的直线:过原点?
y

l

O

x

(5) C=0,A、B不同时为0。

(6)在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时, 方程表示的直线:与x轴和y轴相交?
y

l

O

x

(6)A≠0,B≠0。

4 1.:已知直线经过点A(6, ?4), 斜率为 ? , 例2 3

求直线的点斜式和一般 式方程. 4 解: 点斜式方程式为 : y ? 4 ? ? ( x ? 6)

化成一般式得: 4x ? 3 y ?12 ? 0
注意 :对于直线方程的一般式,规定:
1)x的系数为正;
2)x,y的系数及常数项一般不出现分数;

3

3)按含x项,含y项、常数项顺序排列.

练习
已知直线经过点P(3,-1),斜率为 2 ,求直线的点 斜式和一般式方程。
解:经过点P(3,- 1)并且斜率等于 2 的直线 方程的点斜式是 y ? 1 ? 2(x ? 3) 化成一般式, 得

2x ? y ? 3 2 ? 1 ? 0


例 2 把直线L的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜截式, 求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图 形。
? 解:化成斜截式方程
y=
1 x+3 2

1 因此,斜率为k= ,它在y轴上的截距是3。 2 令y=0 得x=-6。即L在x轴上的截距是-6.

由以上可知L与x 轴,y轴的交点 分别为A(-6,0)B(0,3),过 A,B做直线,为L的图形。

总结

求直线的一般式方程Ax+By+c=0(A,B不同时为零) 斜率和截距的方法:

A (1)直线的斜率 k ? ? B

(2)直线在y轴上的截距b

C C 令x=0,解出 y ? ? ,则 b ? ? B B (3) 直线与x轴的截距a C C 令y=0,解出 x ? ? ,则 a ? ? A A

练习 把直线l的方程2x+3y-6=0化成斜截式,求出直 线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距,并画图。
y . B

O

A

.

x

y
. B O A

.

x

解:将直线的一般式化为斜截式
2 因此,直线l的斜率 ? ,它在y轴上的截距是2 , 3 令y=0,可得 x=3, 即直线l在x轴上的截距是3。
2 y ? ? x?2 3

小结:
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

两点式
两点坐标 点斜式 两个截距 化成一般式 截距式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
x y ? ?1 a b

Ax+By+C=0



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