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【2012高考数学理科苏教版课时精品练】8-2.5指数与指数函数

【2012 高考数学理科苏教版课时精品练】 作业8 第五节 指数与指数函数 1.(2010 年高考陕西卷改编)下列四类函数中,具有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+ y)=f(x)f(y)”的是________. ①幂函数 ②对数函数 ③指数函数 ④余弦函数 ? ?f?x?,f?x?≤K, 2.设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定义函数 fK(x)=? 取 ?K, f?x?>K. ? 1 - 函数 f(x)=2 |x|,当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间为________. 2 3.(2011 年徐州调研)过原点的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y =4x 的图象于点 C,若直线 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是________. 1 1 - 4.函数 y=a1 x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn>0)上,则 + 的 m n 最小值为________. 5.(2011 年泰州质检)设函数 f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(3) 1 2 3 =3x-1,则 f( ),f( ),f( )的大小关系是________. 3 3 2 6.若 x1、x2 为方程 2 ? ( )
x

1 2

1 ? ?1 x

的两个实数解,则 x1+x2=________.

?x,x<0 7.若函数 f(x)=? 1 ??3? ,x≥0
1
x

1 1 ,则不等式- ≤f(x)≤ 的解集为________. 3 3

??a-2?x,x≥2 ? 8.若函数 f(x)=? 1 x 是 R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值范围是________. ? ??2? -1,x<2
9.已知 2x
2+x

1 - - ≤( )x 2,求函数 y=2x-2 x 的值域. 4

1 41 - 10.已知函数 f(x)= (ax+a x)(a>0 且 a≠1)的图象经过点(2, ). 2 9 (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:f(x)在[0,+∞)上是增函数.

1 11.(探究选做)已知函数 f(x)=2x- |x|. 2 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围.

1

【2012 高考数学理科苏教版课时精品练】 作业8 第五节 指数与指数函数 1.(2010 年高考陕西卷改编)下列四类函数中,具有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+ y)=f(x)f(y)”的是________. ①幂函数 ②对数函数 ③指数函数 ④余弦函数 x x+y x y 解析:若 f(x)=a (a>0,且 a≠1),则 a =a · ,即 f(x+y)=f(x)f(y)符合题目要求.答案:③ a ? ?f?x?,f?x?≤K, 2.设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定义函数 fK(x)=? 取 ? ?K, f?x?>K. 1 - 函数 f(x)=2 |x|,当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间为________. 2

?2 ,x≥1或x≤-1, ? 1 -|x| 解析:由 f(x)=2 ≤ 得 x≥1 或 x≤-1,∴fK(x)=?1 2 ? ?2,-1<x<1.
则单调增区间为(-∞,-1].答案:(-∞,-1] 3.(2011 年徐州调研)过原点的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y =4x 的图象于点 C,若直线 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是________. 解析:设点 A 的横坐标为 x0,则 A(x0,2x0),C(x0,4x0),B(2x0,22x0).∵A、B 两点在过原点的同一条直线 2x0 22x0 上,∴ = ,解得 x0=1,∴A(1,2).答案:(1,2) x0 2x0 1 1 - 4.函数 y=a1 x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn>0)上,则 + 的 m n 最小值为________. 解析:法一:A 点坐标为(1,1),∴m+n=1, 1 1 1 1 n m 1 1 1 ∴ + =(m+n)( + )=2+ + ≥4,m=n= 时取等号.故 + 的最小值为 4. m n m n m n 2 m n 1 1 m+n m+n n m n m 法二: + = + =1+ + +1= + +2≥2+2=4.答案:4 m n m n m n m n 5.(2011 年泰州质检)设函数 f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(3) 1 2 3 =3 -1,则 f( ),f( ),f( )的大小关系是________. 3 3 2
x

-|x|

解析:由题设知,x≤1 时单调递减,x≥1 时单调递增且 x=1 为对称轴, 3 1 1 1 1 3 2 2 3 1 ∴f( )=f(1+ )=f(1- )=f( ),∴f( )>f( )>f( ).答案:f( )<f( )<f( ) 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 6.若 x1、x2 为方程 2 ? ( )
x

1 2

1 ? ?1 x

的两个实数解,则 x1+x2=________. 1 .∴x= -1,∴x2+x-1=0,∴x1+x2=-1. x

解析:∵ 答案:-1

,∴

?x,x<0 7.若函数 f(x)=? 1 ??3? ,x≥0
1
x

1 1 ,则不等式- ≤f(x)≤ 的解集为________. 3 3

2

?x,x<0 解析: 函数 f(x)=? 1 ??3? ,x≥0
1
x

1 和函数 f(x)=± 的图象如图所示, 从 3

图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间. x<0 时, 当 是区间(-∞, 1 1 -3],当 x≥0 时,是区间[1,+∞),故不等式- ≤f(x)≤ 的解集为(- 3 3 ∞,-3]∪[1,+∞).答案:(-∞,-3]∪[1,+∞) ??a-2?x,x≥2 ? 8.若函数 f(x)=? 1 x 是 R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值范围是________. ? ??2? -1,x<2 1 13 解析:如图,若 f(x)在 R 上单调递减,则 a-2<0,∴a<2,且当 x=2 时,( )2-1≥(a-2)· 2?a≤ , 2 8 13 13 ∴a∈(-∞, ].答案:(-∞, ] 8 8 2+x 1 - - 9.已知 2x ≤( )x 2,求函数 y=2x-2 x 的值域. 4 解:∵2x2 x≤2 2(x 2),∴x2+x≤4-2x,即 x2+3x-4≤0, - - - 得-4≤x≤1.又∵y=2x-2 x 是[-4,1]上的增函数, ∴2 4-24≤y≤2-2 1.故所求 255 3 函数 y 的值域是[- , ]. 16 2 1 41 - 10.已知函数 f(x)= (ax+a x)(a>0 且 a≠1)的图象经过点(2, ). 2 9 (1)求 f(x)的解析式;(2)证明:f(x)在[0,+∞)上是增函数. 41 1 41 1 - 解:(1)∵f(x)的图象过点(2, ),∴ (a2+a 2)= ,即 9a4-82a2+9=0,解得 a2=9 或 a2= . 9 2 9 9 1 1 x 1 1 1 x 1 -x 1 x - ∵a>0 且 a≠1,∴a=3 或 a= ,当 a=3 时,f(x)= (3 +3 x).当 a= 时,f(x)= [( ) +( ) ]= (3 3 2 3 2 3 3 2 1 x -x -x +3 ).∴ 所求解析式为 f(x)= (3 +3 ). 2 - - 3x1+3 x1 3x2+3 x2 1 x 3x2-3x1 1-3x2)+ x (2)证明:设 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= - = [(3 ] 2 2 2 3 1·x2 3 x1+x2 3 -1 1 + = (3x1-3 x2) x1+x2 .∵0≤x1<x2,∴3x1-3x2<0 且 3x1 x2>1,∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 2 3 因此 f(x)在[0,+∞)上是增函数. 1 11.(探究选做)已知函数 f(x)=2x- |x|. 2 (1)若 f(x)=2,求 x 的值;(2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 1 1 解:(1)当 x<0 时,f(x)=0;当 x≥0 时,f(x)=2x- x.由条件可知 2x- x=2,即 22x-2·x-1=0, 2 2 2 解得 2x=1± 2.∵2x>0,∴x=log2(1+ 2). 1 1 (2)当 t∈[1,2]时,2t(22t- 2t)+m(2t- t)≥0, 2 2 即 m(22t-1)≥-(24t-1). ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1). ∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞).
+ - -

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