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北京丰台第十中学2018届高三上学期期中考试数学文试题 含解析 精品

北京市第十中学 2017-2018 第一学期高三期中考试 文科数学
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.设集合 A ? ??1,0,1,2? , B ? ?x | x2 ? x? ,在集合 A A. ??1,0,1? 【答案】B 【解析】 B ? {x | x ? 0 或 x ? 1} ,
A ? ??1,0,1,2? ,
B ?(

) . D. ??1,1,2?

B. ?1,2?

C. ?0,1,2?

∴ A B ? ??1,2? , 故选 B . 2.设命题 p : ?x ? 0 , 2x ? log2 x ,则 ?p 为( A. ?x ? 0 , 2x ? log2 x C. ?x ? 0 , 2x ? log2 x 【答案】B 【解析】 p 命题: ?x ? 0 , 2x ? log2 x ,
?p : ?x ? 0 , 2x ≤ log2 x ,

) . B. ?x ? 0 , 2x ≤ log2 x D. ?x ? 0 , 2x ≥ log2 x

故选 B .
C 所对的边分别为 a , b, sin B ? 3. 在 △ ABC 中, 角 A ,B , 若 A 为锐角,a ? 2b , c,

3 . 则 4



) . A. A ?

π 3

B. A ?

π 6

C. sin A ?

3 3

D. sin A ?

2 3

【答案】A 【解析】∵ a ? 2b , sin B ?
3 , 4

sin A sin B , ? a 2b
∴ sin A ? ∴ A?
a sin B 3 ? , b 2

π . 3

故选 A . 4.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,如果 a1 ? 2 , a3 ? a5 ? 22 ,那么 S 3 等于( A. 8 【答案】C 【解析】∵ a1 ? 2 , B. 24 C. 15 D. 30 ) .

a3 ? a5 ? 2a1 ? 6d ? 4 ? 6d ? 22 ,

∴d ?3, ∴ an ? a1 ? d (n ? 1) ? 3n ? 1 ,

n Sn ? (a1 ? an ) , 2
S3 ? 15 .

故选 C . 5.执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为( ) .

A. 4 【答案】C

B. 5

C. 6

D. 7

【解析】 x ? 3 , y ? 23 ? 8 ? 10 ? 3 ? 3 继续,
x ? 4 , y ? 24 ? 16 ? 10 ? 4 ? 3 继续, x ? 5 , y ? 25 ? 32 ? 10 ? 5 ? 3 继续, x ? 6 , y ? 26 ? 64 ? 10 ? 6 ? 3 停止.

输出 x ? 6 , 故选 C . 6.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,则“ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x) 为奇函数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B 【解析】 f (0) ? 0 不能推出 f ( x) 是奇函数, 但若 f ( x) 是奇函数且定义域为 R , 则 f (0) ? 0 , ∴“ f (0) ? 0 ”是“ f ( x) ”为奇函数的必要不充分条件. B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) .

7.设 a ? 0 , b ? 0 ,若 3 是 3 a 与 3 b 的等比中项,则 A. 8 【答案】D 【解析】由题知 3 ? 3a ?b , ∴ a ? b ?1, ∴
1 1 ?1 1? ? ? ? ? ? ( a ? b) a b ?a b?

1 1 ? 的最小值为( a b

) . D. 4

B.

1 4

C. 1

?1?

b a ? ?1 a b
b a ? a b

≥2? 2

? 4.
当且仅当 故选 D . 8.如图,在空间四边形 ABCD 中,两条对角线 AC , BD 互相垂直,且长度分别为 4 和 6 , 平行于这两条对角线的平面与边 AB , BC , CD , DA 分别相交于点 E , F , G , H ,记 四边形 EFGH 的面积为 y ,设

b a ? 时等号成立. a b

BE ? x ,则( AB

) .

A H E G B F C
B.函数 y ? f ( x) 的最大值为 8 D.函数 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? f (1 ? x)

A.函数 y ? f ( x) 的值域为 (0,4]
? 2? C.函数 y ? f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减 ? 3?

【答案】D 【解析】∵ AC∥平面 EFGH ,
BD∥平面 EFGH , HG∥AC∥EF , EH ∥FG∥BD ,

且 BD ⊥ AC , ∴ EH ⊥ EF , ∴ EFGH 是矩形,

EH AE ? ? 1? x , BD AB EF BE ? ?x, AC BA ∴ EH ? (1 ? x) ? BD ? 6 ? 6 x ,

又∵

EF ? x ? AC ? 4 x ,

∴ y ? 4x(6 ? 6x) ? ?24x2 ? 24x , ∵ 0 ? x ?1, ∴0? y ?6,

A 错, B 错.
∵ y ? f ( x) ? ?24 x2 ? 24 x ,
f (? x) ? ?24(1 ? x)2 ? 24(1 ? x)
? ?24 x2 ? 24 x ? f ( x)

即 f (1 ? x) ? f ( x) ,

D 对.
第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数 z ? 【答案】
i ,则 | z |? __________. 1? i

2 2

【解析】 z ?

i i(1 ? i) 1 ? ? (i? i2 ) 1 ? i 1 ? i2 2

1 1 ? ? i, 2 2
∴ | z |?
1 1 2 ? ? . 4 4 2

π? ? 10.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? ? ? 0,0 ? ? ? ? 的图象如图所示,则 ? ? __________. 2? ?

y 1 O 1 π 3
π 3

7π 12 x

【答案】 2 ,

【解析】由图知,周期 T ? 解得 ? ? 2 , ∴ f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,
?π? ?2 ? f ? ? ? sin ? π ? ? ? ? 0 , ?3? ?3 ?



?π π ? ? 4? ? ? , ? ? 3 12 ?

??

π . 3

11.一个四棱锥的三视图如图所示,那么这个四棱锥最长棱的棱长为__________.

2 1 1 正(主)视图 1 1 俯视图
【答案】 3

2 1 侧(左)视图

【解析】将该四棱锥放在正方体中,

B A D

C

A1

B1 E1 D1

C1

BC1 ? 22 ? 22 ? 8 ? 2 2 , BE1 ? 22 ? 22 ? 12 ? 9 ? 3 ,
故该四棱锥中最长棱长为 3 . 12. 若 | a| ? 若( 1 ,| b |? 2 ,a 与 b 的夹角为 60 ? , 3 a? 5) b ⊥ ( m a b )? 【答案】 , 则 m 的值为__________.

23 8

【解析】由题意可知

a ? b ?| a || b | ? cos60? ? 1 ,
∵ (3a ? 5b) ⊥ (ma ? b) , ∴ (3a ? 5b)(ma ? b)

? 3m | a |2 ?5ma ? b ? 3a ? b ? 5| b |2
? 3m ?1 ? (5m ? 3) ?1 ? 5 ? 4
? 8m ? 23
?0.

∴m?

23 . 8

8 13.在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? ?24 , a4 ? ? ,则公比 q ? __________,当 n ? __________ 9

时, ?an ? 的前 n 项积最大.

1 【答案】 , 4 3
? a ?3 1 【解析】在等比数列中, q ? ? 4 ? ? , 3 ? a1 ?
1

an ? a1q n?1

?1? ? (?24) ? ? ? ? 3?
Tn ? a1a2
n

n ?1



设 ?an ? 前 n 项积为 Tn .
an ,
0?1? ? ( n?1)

?1? ? (?24) ? ? ? ? 3?
? (?8)n ? 3
?

n2 3n ? 2 2



∵此等比数列各项均为负数, 当 n 为偶数时, Tn 为正, 故当 Tn 取最大值时 n 为偶数. 设当 n ? 2k 时, Tn 取得最大值 (k ? Z) ,
T2 k ? (?8)2 k ? 3
? 64k ? 3?2 k
2

?

(2 k )2 3?2 k ? 2 2

?3 k


2( k ?1)

∵ T2( k ?1) ? (?8)
? 64k ?1 ? 3?2k
2

?3

?

[2( k ?1)]2 3?2( k ?1) ? 2 2

?k ?1



∴ T2k ? T2( k ?1) , ∴ 64k ? 3?2k
2

?3k

? 64k ?1 ? 3?2k

2

?k ?1



整理后: 34 k ?1 ? 64 , 又∵ 34 ? 64 ? 33 ,

∴ 4 k ? 1≥ 4 ,

5 解出 k ≥ , 4
∵k ?Z, ∴k ? 2, 故 n 取 4 时, Tn 取得最大值.
?| x ? a |, x ≤1 14.设函数 f ( x) ? ? . ?log3 x, x ? 1

( 1 )如果 f (1) ? 3 ,那么实数 a ? __________. ( 2 )如果函数 y ? f ( x) ? 2 有且仅有两个零点,那么实数 a 的取值范围是__________. 【答案】 ( 1 ) ?2 或 4 ( 2 ) ( ?1,3] 【解析】 ( 1 )∵ f (1) ?|1 ? a |? 3 ,解出 a ? ?2 或 4 . ( 2 )由题意 f ( x) ? 2 有 2 个不同解, 如图, y ?| x ? a | 图象是 2 条以 (a,0) 为顶点的射线组成, 由图看出,当 (a,0) 在 A , B 之间(包含 B 不包含 A )符合要求.

y

y=2

A 1

1

B 3

x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 14 分)
π? π? ? ? 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? , x ? R . 6? 6? ? ? ? π? (Ⅰ)求 f ? ? 的值. ? 12 ?

?π ? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , π ? 上的最大值和最小值,及相应的 x 的值. ?2 ? ?π ? (Ⅲ)求函数 f ( x) 在区间 ? , π ? 的单调区间. ?2 ? ? π? 【答案】 (Ⅰ) f ? ? ? 2 ? 12 ?

(Ⅱ) x ?

7 π 时, f ( x)min ? ?2 12

x ? π 时, f ( x)max ? 3 .

?π ? (Ⅲ) f ( x) 在 ? , π ? 上, ?2 ? ?7 ? 单调增区间 ? π, π ? , 12 ? ? ?π 7 ? 单调减区间 ? , π ? . ? 2 12 ? π? π? ? ? 【解析】 (Ⅰ)∵ f ( x) ? 2sin x cos x ? cos ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? 6? 6? ? ?

π π π π ? sin 2 x ? cos2 x cos ? sin 2 x sin ? cos2 x cos ? sin 2 x sin 6 6 6 6
? sin 2 x ? 3 cos2 x

?1 ? 3 ? 2? sin 2 x ? cos 2 x ? ?2 ? 2 ? ?
π? ? ? 2sin ? 2 x ? ? 3? ?
π π? ? π? ? ∴ f ? ? ? 2sin ? 2 ? ? ? 12 12 3? ? ? ?

? 2sin

π 2

? 2. π (Ⅱ)∵ ≤ x ≤ π , 2 4 π 7 x ≤ 2x ? ≤ π , 3 3 3
?2 ≤ f ( x) ≤ 3 ,
当 2x ?
π 3 7 ? π 时, x ? π , 3 2 12

? 7 ? 此时 f ( x) min ? f ? π ? ? ?2 , ? 12 ?

当 2x ?

π 7 , ? π 时, x ? π , 3 3

此时 f ( x)max ? f (π) ? 3 .

π (Ⅲ)∵ ≤ x ≤ π , 2 4 π 7 π ≤ 2x ? ≤ π , 3 3 3 由正弦函数图象知, 4 π 3 当 π ≤ 2 x ? ≤ π 时, 3 3 2 π 7 即 ≤ x ≤ π 时, f ( x) 单调递减, 2 12 3 π 7 当 π ≤ 2 x ? ≤ π 时, 2 3 3



7 π ≤ x ≤ π 时, f ( x) 单调递增. 12

?π 7 ? 故 f ( x) 单调减区间为 ? , π ? , ? 2 12 ? ?7 ? 单调增区间为 ? π, π ? . ?12 ?

16. (本小题满分 13 分) 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 Sn ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公 比为 q ,且 b2 ? S2 ? 12 , q ? (Ⅰ)求 a n 与 bn . (Ⅱ)设数列 ?cn ? 满足 cn ?
1 ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . Sn

S2 . b2

【答案】 (Ⅰ) an ? 3n , bn ? 3n?1 (Ⅱ) Tn ?
2n 3( n ? 1)

【解析】 (Ⅰ)设等差数列公差为 d , 由题目列出各方程:
b2 ? S2 ? 12 即 b1q ? a1 ? a2 ? 12 ,
q? S2 a ?a 即q ? 1 2 , b2 b2

?q ? d ? 6 得? 2 ,解出 q ? 3 , d ? 3 , ?q ? 6 ? d

∴ an ? a1 ? d (n ? 1) ? 3n ,
bn ? b1q n?1 ? 3n?1 .

n (Ⅱ)∵ Sn ? (a1 ? an ) 2 n ? (3 ? 3n) 2 3 3 ? n2 ? n . 2 2
cn ? 1 1 2? 1 ? ? ? ? Sn 3 n2 ? 3 n 3 ? n(n ? 1) ? ? 2 2

2? 1 1 ? ? ? ? ?. 3 ? n n ?1? 2? 1 1 1 Tn ? ?1 ? ? ? ? 3? 2 2 3 2? 1 ? ? ?1 ? ? 3 ? n ?1? ? 1 1 ? ? ? n n ?1?

2 n . ? ? 3 n ?1

17. (本小题满分 13 分) 为了解某地区中学生的身体发育状况,拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取 6 个教学班进行调查.已知甲、乙、丙三所中学分别有 12 , 6 , 18 个教学班. (Ⅰ)求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数. (Ⅱ)若从抽取的 6 个教学班中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,求这 2 个教学班中至少 有一个来自甲学校的概率. 【答案】 (Ⅰ) 1 , 2 , 3 (Ⅱ)

3 5

【解析】 (Ⅰ)由已知可知在甲、乙、丙三所中学, 共有教学楼之比为 12 : 6 :18 ? 2 :1: 3 , ∴甲、乙、丙三所中学教学班所占比例分别为

2 1 3 , , . 6 6 6

2 甲: 6 ? ? 2 个, 6 1 乙: 6 ? ? 1 个, 6 3 丙: 6 ? ? 3 个. 6
∴分别抽取甲、乙、丙教学班 2 , 1 , 3 个. (Ⅱ)设从甲抽取 2 个教学班为 A1 、 A2 , 从乙抽取 1 个教学班为 B1 , 从丙抽取 3 个教学班为 C1 , C2 , C3 . 则从 6 个班中抽取 2 个班的基本事件为: ( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , C1 ) , ( A1 , C2 ) , ( A1 , C3 ) ,
( A2 , B1 ) ,( A2 , C1 ) ,( A2 , C2 ) ,( A2 , C3 ) ,( B1 , C1 ) ,( B1 , C2 ) ,( B1 , C3 ) ,(C1 , C2 ) ,(C1 , C3 ) ,(C2 , C3 )

一共有 15 个. 设“从 6 个班抽 2 个班,至少有一个来自甲校”为事件 D ,则事件 D 包含的基本事件如下
( A1 , A2 ) ,( A1 , B1 ) ,( A1 , C1 ) ,( A1 , C2 ) ,( A1 , C3 ) ,( A2 , B1 ) ,( A2 , C1 ) ,( A2 , C2 ) ,( A2 , C3 ) 共 9 个,

∴ P( D) ?

9 3 ? , 15 5

3 故从 6 个班中抽 2 个班,至少有一个来自甲校的概率为 . 5
18. (本小题满分 13 分) 在 △ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a sin B ? b cos C ? c cos B . (Ⅰ)判断 △ ABC 的形状. (Ⅱ)若 f ( x) ? sin x ? cos x ,求 f ( A) 的最大值. 【答案】 (Ⅰ) △ ABC 为直角三角形 (Ⅱ) 2

【解析】 (Ⅰ)∵ a sin B ? b cos C ? c cos B , ∴ sin A sin B ? sin B cos C ? sin C cos B ,
sin A sin B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C ) ,

∴ sin Asin B ? sin( π ? A) ? sin A , ∵ sin A ? 0 , ∴ sin B ? 1 , ∴B?
π . 2

△ ABC 为直角三角形.

(Ⅱ)∵ f ( x) ? sin x ? cos x
? 2 ? 2 ? 2? sin x ? cos x ? ? 2 ? 2 ? ?
π π ? ? ? 2 ? sin x cos ? sin cos x ? 4 4 ? ?

π? ? ? 2 sin ? x ? ? 4? ?
π? ? f ( A) ? 2 sin ? A ? ? , 4? ?

∵B?

π , 2 π 0? A? , 2 π π 3 ? A? ? π , 4 4 4
2 π? ? ? sin ? A ? ? ≤1 , 2 4? ?

1 ? f ( A) ≤ 2 ,
∴ f ( A)max ? 2 . 19. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, A1 A⊥ 底面 ABCD , ?BAD ? 90? , AD∥BC ,且
A1 A ? AD ? 2BC ? 2 , AB ?1 .点 E 在棱 AB 上,平面 A1 EC 与棱 C1D1 相交于点 F .

(Ⅰ)求证: A1 F ∥平面 B1CE . (Ⅱ)求证: AC ⊥ 平面 CDD1C1 . (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? A1EF 的体积的取值范围.

A1 B1 C1 F

D1

A E B C

D

【答案】 (Ⅰ)略 (Ⅱ)略,见解析
?1 2 ? (Ⅲ) ? , ? ?3 3?

【解析】 (Ⅰ)∵在棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1 , 又∵平面 ABCD 平面 A1B1C1D1 ∴ A1F∥CE , ∵ A1F ? 平面 B1CE , CE ? 平面 B1CE , ∴ A1 F ∥平面 B1CE . (Ⅱ)在底面 ABCD 中,
?BAD ? 90? , AD∥BD ,

平面 A1ECF ? EC ,

平面 A1ECF ? A1F ,

AD ? 2 , BC ? 1 , AD ? 2 BC ,
∴ AC 2 ? 12 ? 12 ? 2 ,
CD2 ? 12 ? 12 ? 2 , AC 2 ? CD2 ? 2 ? 2 ? 4 ? AD2 ,

∴ ?ACD ? 90? , AD ⊥ CD , ∵ A1 A⊥ 平面 ABCD ,
AC ? 平面 ABCD ,

∴ A1 A⊥ AC , 在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,
A1 A∥C1C ,

∴ C1C ⊥ AC , ∵ CD ? 平面 CDD1C1 ,
C1C ? 平面 CDD1C1 , CD C1C ? C ,

∴ AC ⊥ 平面 CDD1C1 . (Ⅲ) VB1? A1EF ? VE ? A1B1F

1 ? S△ A1B1F ? h 3 ∵ h 为定值,即为 AA1 长度为 2 . 1 而 S△ A1B1F ? | A1B1 | ?h? , 2
过 F 点作 FM ⊥ A1B1 , ∴ | FM |? h? , ∵ FM 长度界于 B1C1 与 A1D1 之间, 即 h? ?[1,2] ,

1 ∴ ? S△ A1B1F ? h 3
1 1 ? ? ?1? h? ? 2 3 2
1 ?1 2 ? ? h? ? ? , ? , 3 ?3 3? ?1 2 ? ∴三棱锥 B1 ? A1EF 体积在 ? , ? 间. ?3 3?

20. (本小题满分 13 分)

x2 x2 , g ( x) ? ? x . 2 2 (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程.
已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间. (Ⅲ)设 h( x) ? af ( x) ? (a ? 1) g ( x) ,其中 0 ? a ≤ 1 ,证明:函数 h( x) 仅有一个零点.

1 2 (Ⅱ)单调增区间为 (0,1)
【答案】 (Ⅰ) y ? ? 单调减区间为 (1, ??) (Ⅲ)见解析

1 【解析】 (Ⅰ)∵ f ( x) ? ln x ? x2 , 2 1 f ? ( x) ? ? x , x 1 ∴ f ? (1) ? ? 1 ? 0 . 1 1 1 f (1) ? ln1 ? ?1 ? ? , 2 2
1? ? ? 1? ∴ f ( x) 在 ? 1, ? ? 处切线为 y ? ? ? ? ? 0 , 2? ? ? 2?

1 即为 y ? ? . 2
(Ⅱ)令 f ? ( x) ? 0 ,解出 0 ? x ? 1 ,

令 f ? ( x) ? 0 ,解出 x ? 1 . ∴ f ( x) 的单调增区间为 (0,1) , 单调减区间为 (1, ??) .
? ? x2 ? x2 ? (Ⅲ) h( x) ? a ? ln x ? ? ? (a ? 1) ? ? x ? 2? ? ? 2 ?

1 ? x2 ? (a ? 1) x ? a ln x , 2

a h? ( x) ? x ? ? (a ? 1) x 1 ? [ x2 ? (a ? 1) x ? a] x 1 ? ( x ? 1)( x ? a) . x
令 h? ( x) ? 0 ,解出 0 ? x ? a 或 x ? 1 , 令 h? ( x) ? 0 ,解出 a ? x ? 1 . ∴ h( x) 在 (0, a) 单调递增在 (a,1) 单调递减, 在 (1, ??) 单调递增.
1 h( x) 极大值 ? h(a) ? ? a2 ? a ? a ln a ? 0 , 2 1 h( x) 极小值 ? h(1) ? ? ? a ? 0 , 2

∵在 x ? a 时, h( x) 极大值小于零, 在 x ? 1 时, h( x) 极小值小于零. 在 (1, ??) , h( x) 单调递增, 说明 h( x) 在 (0,1) 无零点, 在 (1, ??) 有一个零点, ∴ h( x) 有且仅有一个零点.
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