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北师大版 二元一次方程组小结教案


二元一次方程组小结
课程目标 一、知识与技能目标 1.通过举例使学生准确理解二元一次方程、 二元一次方程组解的概念, 并熟练地运用代 入消元法、加减消元法解二元一次方程组。 2.举出生活中用二元一次方程组解决问题的实例, 抓住列二元一次方程组解决实际问题 中的关键,找到相等关系,熟练地建模。 3.通过列方程组解决实际问题,提高分析和综合的能力。 二、过程与方法目标 1.通过复习巩固解二元一次方程组的方法, 进一步体会解二元一次方程组的基本思想─ ─消元,体会化归思想。 2.通过列方程组解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,传授数学思想、 数学方法。 三、情感态度与价值观目标 1.通过实际问题,对学生进行思想教育,提高学习数学的积极性、培养学生合作交流的 意识。 2.在交流和反思的过程中建立知识体系,体验学习数学的成就感。 教材解读 本节课主要是举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组, 并用二元一次方程组 解决一些具体的实际问题。 学情分析 本章内容是初中数学中对于培养价值观要求极为理想的教学内容──既有知识、技能, 又可培养学生分析问题、解决问题的能力,还有几种重要的数学思想──化归思想、方程思 想等,难点在于列方程组解决实际生活中的问题,应多鼓励学生独立思考。 一、创设情境,导入新课 我们与现实生活中一些实际问题打交道这么久, 用二元一次方程组解决了许多问题, 今 天我们对这段时间所接触的内容一起来回顾一下。 二、师生互动,课堂探究 (一)提出问题,引发讨论 1.举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组,?“代入”与“加减”的目标是什 么? 2.用二元一次方程组解决一个实际问题,你能说说用方程组解决实际问题的基本思路 吗? (二)导入知识,解释疑难 1.举列说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组: 例 1:解方程组 ?

?2 x ? 3 y ? 16 ? x ? 4 y ? 12

① ②

分析:对于方程组中的②中,有一个未知数的系数为 1,因此可以把②变形为 x=?13-4y,

用代入法消去方程①中的未知数 x,从而求出 y 的值. 解:由②,得 x=13-4y ③ 把③代入①,得 2(13-4y)+3y=16 -5y=-10 y=2 把 y=2 代入③,得 x=5 所以原方程组的解是 ?

?x ? 5 ?y ? 2
① ②

例 2:解方程组 ?

?2 x ? 3 y ? 12 ?3x ? 4 y ? 17

分析:未知数的系数没有绝对值为 1 的,也没有哪一个未知数的系数相同或相反,我们观 察可以发现,x 的系数绝对值较小,因此,我们找到 2 和 3 的最小公倍数 6,?然后把①×3,②× 2,便可将①②的 x 的系数化为相同,这样通过相减就可以把未知数 x?消去. 解:①×3,得 6x+9y=36 ③ ②×2,得 6x+8y=34 ④ ③-④,得 y=2 将 y=2 代入①,得 x=3 所以原方程组的解是 ?

?x ? 3 ?y ? 2

用代入法和加减法解二元一次方程组时,?“代入”与“加减”的目的就是“消元” ,化 “二元”为“一元” 。 2.用二元一次方程组解决实际问题 例 3:某商店购进一批衬衫,甲顾客以 7 折的优惠价格买了 20 件,而乙顾客以 8 折的优惠 价格买了 5 件,结果商店都获得利润 200 元,求这批衬衫的进价是多少元??标价是多少元? 分析:利润=售价-进价.问题中的两个等量关系为:①当商店把 20?件衬衫卖给甲顾客时 的相等关系是(标价×70%-进价)×20=200;②当商店把 5 件衬衫卖给乙顾客时的相等关系是 (标价×80%-进价)×5=200.由此可以发现两个等量关系中只涉及到标价和进价不知,故可直 接设出标价和进价. 解:设这批衬衫的进价为 x 元,标价为 y 元,根据题意,得

?(70% y ? x) ? 20 ? 200 ? ?(80% y ? x) ? 5 ? 200
化简方程组,得 ?

?0.7 y ? x ? 10 ?0.8 y ? x ? 40

① ②

②-①,得 0.1y=30 y=300 把 y=300 代入①,得 0.7×300-x=10 x=200 所以方程组的解为 ?

? x ? 200 ? y ? 300

答:这批衬衫进价是 200 元,标价是 300 元.

例 4:某超市出售的某种茶壶每只定价 20 元,茶杯每只定价 3 元,?该超市在营销淡季特 规定一项优惠方法,即买一只茶壶赠送一只茶杯,小明花了 170 元,买回茶壶和茶杯一共 38 只,问小明买回茶壶和茶杯各多少只? 分析:先要联系实际,结合生活经历去审题,弄清数量关系.必须明白在买回的茶杯中,有 一些是商场赠送的,不需要花钱,而这个数目恰好是买回茶壶的数目.问题中的两个等量关系: 茶壶只数+茶杯只数=38 只;买茶壶的钱+买茶杯的钱(?送的除外)?=170 元. 解:设小明买回茶壶 x 只,买回茶杯 y 只,则茶杯数目中花了钱的为(y-x)只,?根据题意 得,

? x ? y ? 38 ? ?20 x ? 3( y ? x) ? 170
解得 ?

?x ? 4 ? y ? 34

答:小明买回茶壶 4 只,茶杯 34 只. 在上面设未知数时采用了直接设法,也可采用间接的方法设未知数,如: 设小明买了茶壶 x 只,茶杯 y 只(不包括赠送的),根据题意,得 ?

? x ? y ? 38 ? x ?20 x ? 3 y ? 170

解得 ?

?x ? 4 ? y ? 30

x+y=4+30=34 答:小明买回茶壶 4 只,茶杯 34 只. 师生共析:用方程组解决实际问题时,应先分析题目中的已知量、 未知量是什么, 各个量 之间的关系是什么,找出它们之间的相等关系,列出方程组,然后求出这个方程组的解。 用方程组解决实际问题的主要步骤为: (1)弄清题意和题目中的等量关系,用字母表示题目中的两个未知数。 (2)找出能够表示问题中全部含义的两个相等关系。 (3)根据这两个相等关系列出相关的代数式,从而列出方程并组成方程组。 (4)解这个方程组并求出未知数的值。 (5)根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理。 (6)写出符合题意的解。 3.做一做 (1)判断下列方程(或方程组)是否为二元一次方程(组),并说明理由. ①3x-4y=5 ②2x-

1 =1 2y

③?

?x ? y ? 1 ? y ? 2z ? 2

④?

?y ? 3 ?3x ? 4 y ? 6

(2)若方程组 ?

?ax ? by ? 6 ?2 x ? 3 y ? ?4 与方程组 ? 有相同的解,求 a、b 的值. ?ax ? by ? 2 ?4 x ? 5 y ? ?6

(3)若 ?

?x ? 1 ?x ? 2 ?x ? 3 及? 都是方程 ax+by+2=0 的解,试判断 ? 是否为方程 ax+by+z=0 ?y ?1 ?y ? 3 ?y ? 5

的又一个解? [答案:(1)①是二元一次方程 ④是二元一次方程组 4.本章知识体系

(2)a=4,b=-1 (3)是]

实际问题

设未知数,列方程组

数学问题 (二元一次方程组) 解 代入法 方 加减法 程 (消元) 组 数学问题的解 (二元一次方程组的解)

实际问题答案

检验

(三)归纳总结,知识回顾 通过对这一章所学知识的系统总结,我们已能从实际问题情境中加强对概念、 ?方法意义 的理解,掌握了解二元一次方程组的方法及所渗透的重要的数学思想. 作业设计 (一)双基练习 1.已知 x=1-m,y=2-3m,用 y 的代数式表示 x 的式子是___________. 2.已知 ?

?x ? 1 ?2ax ? 3 y ? 10 ? b 是方程组 ? 的一个解,则(b-a)3=__________. ? y ? ?2 ?ax ? by ? ?1

3.一个三位数的个位数字是 7,十位数字与百位数字之和为 3,若把个位数字移到首位,则新 数比原数的 5 倍还多 77,求这个三位数. (二)创新提升 4.某中学新建了一栋 4 层的教学大楼,每层楼有 8 间教室,进出这栋大楼共有 4?道门,其中两 道正门大小相同,两道侧门大小也相同,安全检查中,对 4 道门进行了测试:当同时开启一 道正门和两道侧门时,2 分钟内可以通过 560 名学生;?当同时开启一道正门和一道侧门 时,4 分钟可以通过 800 名学生. (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门效率将降低 20%,安全检查规定,在紧急情 况下全大楼的学生应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离.?假设这栋大楼每间教室最多有 45 名学生,问:建造的这 4 道门是否符合安全规定?请说明理由. (三)探究拓展 5.甲乙两人现在年龄之和为 98 岁,当甲的年龄是乙现在的年龄的一半时,乙恰是甲现在的年 龄,求甲、乙现年各是多少岁?

教学目的
1、使学生二元一次方程、的概念,会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一 个未知数的形式。 2、使学生了解二元一次方程、的解的含义,会检验一对数是不是它们的解。 3、通过和一元一次方程的比较,加强学生的类比的思想方法。通过“引例”的学习,使学 生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点。 教学分析 重点: (1)使学生认识到一对数必须同时满足两个二元一次方程,才是相应的的解。

(2)掌握检验一对数是否是某个二元一次方程的解的书写格式。 难点:理解的解的含义。 突破:启发学生理解概念。 教学过程 一、复习 1、是什么方程?是什么一元一次方程?一元一次方程的标准形式是什么?它的解如何表 达?如何检验 x=3 是不是方程 5x+3(9-x)=33 的解? 2、 列方程解应用题: 香蕉的售价为 5 元/千克, 苹果的售价为 3 元/千克, 小华共买了 9 千克, 付款 33 元。香蕉和苹果各买了多少千克? (先要求学生按以前的常规方法解,即设一个未知数,表示出另一个未知数,再列出方程。 ) 既然求两种水果各买多少?那么能不能设两个未知数呢?学生尝试设两个未知数, 设买香蕉 x 千克,买苹(转载自第一范文网 http://www.diyifanwen.com,请保留此标记。 )果 y 千克, 列出下列两个方程: x+y=9 5x+3y=33 这里 x 与 y 必须满足这两个方程,那么又该如何表达呢?数学里大括号表示“不仅??而 且??” 因此用大括号把两个方程联立起来: 这又成了什么呢?里面的是不是一元一次 , 方程呢?这就是我们今天要学习的内容。板书课题。 二、新授 1、有关概念 (1)给出二元一次方程的概念 观察上面两个方程的特点, 未知数的个数是多少, 含未知数项的次数是多少?你能根据一元 一次方程的定义给出新方程的定义吗?教师给出定义(见 P5) 。 结合定义对“元”与“次”作进一步的解释: “元”与“未知数”相通,几个元就是指几个 未知数, “次”指未知数的最高次数。二元一次方程和一元一次方程都是整式方程,只有整 式方程才能说几元几次方程。 (2)给出的定义。 (见 P5)式子: 表示一个,它由方程①、②构成。当某两个未知数相同的成一个时应加上大括号。 (3)给出的解的定义及表示法。 三、练习 四、小结 1、什么是二元一次方程?什么是? 2、什么是的解?如何检验一对数是不是某个方程组的解



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