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第一章 1.6 NO.2 课下检测

一、选择题

1.图为一简谐运动的图像,则下列判断正确的是( A.该质点的振动周期为 0.7 s B.该质点的振幅为 5 cm C.该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时速度最大 D.该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时加速度最大

)

解析:周期为 2×(0.7-0.3)=0.8 s,故 A 错;由题中图像可知,振幅为 5 cm,故 B 对; 在最高点时,速度为零,加速度最大,故 C,D 错. 答案:B 2.某人的血压满足函数式 f(t)=24sin(160πt)+110,其中 f(t)为血压,t 为时间,则此人 每分钟心跳的次数为( A.60 C.80 ) B.70 D.90

2π 2π 1 1 1 解析:由 T= ω = = ,又 f=T= =80,故每分钟心跳次数为 80. 160π 80 1 80 答案:C 3.如图为一半径为 3 m 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水 轮自点 A 开始旋转, 15 s 旋转一圈. 水轮上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(s)满足函数关系 y=Asin(ωx+φ)+2,则有( A.ω= C.ω= 2π ,A=3 15 2π ,A=5 15 )

15 B.ω= ,A=3 2π 15 D.ω= ,A=5 2π

2π 2π 解析:∵T=15,故 ω= T = ,显然 ymax-ymin 的值等于圆 O 的直径长,即 ymax-ymin 15 =6, 故 A= ymax-ymin 6 = =3. 2 2

答案:A 4. 动点 A(x, y)在圆 x2+y2=1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 12 s 旋转一周. 已 3? ?1 知时间 t=0 时,点 A 的坐标是 , ?2 2 ?,则当 0≤t≤12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位: s)的函数的单调递增区间是( )

A.[0,1] C.[7,12]

B.[1,7] D.[0,1]和[7,12]

解析:由已知可得该函数的最小正周期为 T=12, 则 ω= 2π π = , T 6

3? ?1 又当 t=0 时,A 的坐标为 , ?2 2 ?, π π? ∴此函数为 y=sin? ?6t+3?,t∈[0,12], 可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]. 答案:D 二、填空题 5.一个物体相对于某一固定位置的位移 y(cm)和时间 t(s)之间的一组对应值如下表所 示: t y 0 -4.0 0.1 -2.8 0.2 0.0 0.3 2.8 0.4 4.0 0.5 2.8 0.6 0.0 0.7 -2.8 0.8 -4.0

则可近似地描述该物体的位移 y 和时间 t 之间关系的一个三角函数模型为________. 解析:设 y=Acos(ωt+φ),则 A=4,T=0.8,∴ω=2.5π. 代入最高点(0.4,4.0),得 φ=π. ∴y=-4cos 2.5πt. 答案:y=-4cos 2.5πt 6.如图,显示相对于平均海平面的某海湾的水面高度 h(m)在某天从 0~24 时的变化情 况,则水面高度 h 关于时间 t 的函数关系式为________________.

解析:设 h=Asin(ωt+φ),由图像知 A=6,T=12, 2π 2π π π ∴ ω =12,得 ω= = ,点(6,0)为“五点法”中的第一点,故 ×6+φ=0,得 φ=- 12 6 6 π, π π ∴h=6sin( t-π)=-6sin t. 6 6 π 答案:h=-6sin t 6 7.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转.当时间

t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A、B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数, 则 d=________,其中 t∈[0,60]. 解析:经过 t s 秒针转了 π t rad. 30

d πt 2 πt 由图知 sin = ,所以 d=10sin . 60 5 60 πt 答案:10sin cm 60 π? 8. 电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin? ω≠0) ?ωt+6 ? (A>0, 1 的图像如图所示,则当 t= 秒时,电流强度是________安. 50 4 1 ? 1 2π 解析:由图像可知 A=10,周期 T=2×? ?300-300?=50,∴ω= T = π? 100π.∴I=10sin? ?100πt+6?. 当 t= 1 秒时, 50

π? I=10sin? ?2π+6?=5. 答案:5 三、解答题 9.如图所示,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一 部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图像,且图像的 最高点为 S(3,2 3); 赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全, 限定∠MNP =120° .求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离.

T 解:依题意,有 A=2 3, =3, 4 2π π 又 T= ω ,∴ω= . 6 π ∴y=2 3sin x,x∈[0,4]. 6 ∴当 x=4 时,y=2 3sin 2π =3.∴M(4,3). 3

又 P(8,0),∴MP= ?8-4?2+?0-3?2= 42+32=5(km).

即 M、P 两点间的距离为 5 km. 10.在一个港口,相邻两次高潮发生时间相距 12 h,低潮时水的深度为 8.4 m,高潮时 为 16 m,一次高潮发生在 10 月 10 日 4:00.每天涨潮落潮时,水的深度 d(m)与时间 t(h)近 似满足关系式 d=Asin(ωt+φ)+h. (1)若从 10 月 10 日 0:00 开始计算时间,选用一个三角函数来近似描述该港口的水深 d(m)和时间 t(h)之间的函数关系; (2)10 月 10 日 17:00 该港口水深约为多少?(精确到 0.1m) (3)10 月 10 日这一天该港口共有多少时间水深低于 10.3 m? 2π 解:(1)依题意知 T= ω =12, 8.4+16 π 故 ω= ,h= =12.2, 6 2 A=16-12.2=3.8, π ? 所以 d=3.8sin? ?6t+φ?+12.2; 又因为 t=4 时,d=16, 4π ? 所以 sin? ? 6 +φ?=1, π 所以 φ=- , 6 π π? 所以 d=3.8sin? ?6t-6?+12.2. (2)t=17 时, 17π π? d=3.8sin? ? 6 -6?+12.2 2π =3.8sin +12.2≈15.5(m). 3 π π? (3)令 3.8sin? ?6t-6?+12.2<10.3, π π? 1 有 sin? ?6t-6?<-2, 因此 2kπ+ 所以 2kπ+ 7π π π 11 < t- <2kπ+ π(k∈Z), 6 6 6 6 4π π < t<2kπ+2π,k∈Z, 3 6

所以 12k+8<t<12k+12. 令 k=0,得 t∈(8,12); 令 k=1,得 t∈(20,24). 故这一天共有 8 h 水深低于 10.3 m.


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