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用构造法求数列通项公式

用构造法求数列的通项公式 摘 要:数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法备受高考命 题者的青睐,历年来都是高考命题的热点,求数列的通项公式更是 高考重点考查的内容,作为常归的等差数列或等比数列可直接根据 它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造来形成等差数列 或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解。 关键词:归纳猜想构造 例 1.(2006 年福建高考题)在数列{an} 中,a1=1,an+1=2an+1,则 an 等于() a.2n c.2n-1 b.2n+1 d.2n-1 解:an+1=2an+1,所以 an+1+1=2an+2=2(an+1),所以■=2,又 a1+1=2,{an+1}是首项为 2 公比为 2 的等比数列 an+1=2·2n-1=2n, 所以 an=2n-1,所以选 c. 归纳小结 若数列{an}满足 an+1=pan+q(p≠1,q 为常数),则令 an+1+?姿=p(an+?姿)来构造等比数列,并利用对应项相等求?姿的 值,求通项公式. 例 2.在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则 an= . 解:an+2-an+1=2(an+1-an),因为 a2-a1=2,所以{an-an-1}为首项 为 2 公比也为 2 的等比数 列,an-an+1=2n-1,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+… +(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=■=2n-1. 归纳小结:先构造{an-1-an}等比数列,这是化归思想的具体应用, 再用叠加法求出通项公式,当然本题也利用了等比数列求和公式。 例 3.(必修 5 教材 69 页)已知数列{an}中 a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个数列的通项公式. 解:因为 an=2an+3an-2,所以 an+an-1= 3(an-1+an-2),又 a1+a2=7,{an+an-1}形成首项为 7,公比为 3 的 等比数列,则 an+an-1=7×3n-2,① 又 an-3an-1=-(an-1-3an-2), a2-3a1=-13,{an-3an-1}形成了一个首项为-13,公比为-1 的等比 数列, 则 an-3an-1=(-13)·(-1)n-2,② ①×3+②得 4an=7×3n-1+13·(-1)n-1, 所以 an=■×3n-1+■(-1)n-1. 归纳小结:本题是两次构造等比数列,属于构造方面比较级,最终 用加减消元的 方法确定出数列的通项公式。 例 4.(2008 四川省高考题)设数列{an}的前项和为 sn,若 b·an-2n=(b-1)sn 成 立,求证:当 b=2 时,{an-n·2n-1}是等比数列. 证明:当 n=1,b·a1-2=(b-1)a1, 所以 a1=2, 又因为 b·an-2n=(b-1)·sn,① 所以 b·an+1-2n+1=(b-1)·sn+1,② ②-①得 b·an+1-b·an-2n=(b-1)·an+1, 所以 an+1=b·an+2n, 当 b=2 时,有 an+1=2an+2n, 所以 an+1-(n+1)×2n=2an+2n-(n+1)×2n=2·(an-n·2n-1), 又 a1-21-1=1, 所以{an-n·2n-1}为首项为 1,公比为 2 的等比数 列,an-n·2n-1=2n-1, 所以 an=(n+1)·2n-1. 归纳小结:本题构造非常特殊,要注意恰当的化简和提取公因式, 本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力,同时也彰显构造思想 在高考中的地位和作用。 例 5.数列{an}满足 a1=3,an+1=2an+3·2n+1,则 an 等于() a.(3n-1)·2n c.3(2n-1)·2n+1 b.(6n-3)·2n-1 d.(3n-2)·2n-1 解:因为 an+1=2an+3×2n+1,所以■=■+3,■-■=3,又■=■,所以 ■构成了一个首项为■,公差为 3 的等差数列,■=■+(n-1)×3=3n■,an=2×2n-1·(3n-■)=(6n-3)×2n-1,所以选 b. 归纳小结:构造等比数列,注意形■,当 n→n+1 时,变为■. 例 6.(2006 山东高考题)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+x 的图象上,其中 n=1,2,3,…求数列{an}的通项公式. 解:因为 f(x)=x2+2x,又因为(an,an+1)在函数图象 上,an+1=an2+2an,an+1+1=an2+ 2an+1=(an+1)2,所以 lg(an+1+1)=2lg(an+1),■=2,因为 lg(a1+1)=lg3,{lg(an+1)}是首项为 lg3,公比为 2 的等比数 列,lgan+1=2n-1·lg3=lg32n-1,所以 an+1=32n-1,an=32n-1-1. 归纳小结:前一个题构造出■为等差数列,并且利用通项与和的关 系来确定数列的通项公式,后一个题构造{lg(an+1)}为等比数列, 再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与 热点,因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识,以它 的概念与性质为纽带,架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在 联系,从而有效地解决数列问题。 例 7.数列{an}中,若 a1=2,an+1=■,则 a4 等于() a.■ c.■ b.■ d.■ 解:因为 an+1=■,所以■=■=■+3,又■=■,所以■是首项为■, 公差为 3 的等差数列. ■=■+(n-1)·3=3n-■=■, 所以 an=■,所以 a4=■=■,所以选 a 归纳小结:an+1=f(an)且为一次分式型或构造出倒数成等差数列 或构造出倒数加常数成等比数列,发散之后,两种构造思想相互联 系,相互渗透,最后融合到一起. 总之,构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式,是求通项公 式的重要方法也是高考重点考查的思想,当然题目是

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