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直线与圆锥曲线的综合问题专题二


专题二
一.知识体系小结 1.圆锥曲线的标准方程
焦点在y轴上时

直线与圆锥曲线的综合问题
第一课时

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0). a 2 b2 x2 y2 y 2 x2 ? 2 ? 双曲线:焦点在x轴上: 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0);焦点在y轴上: 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0). a b a b ? 3? 抛物线:开口向右时,y 2 ? 2 px( p ? 0),开口向左时,y 2 ? ?2 px( p ? 0), 开口向上时x 2 ? 2 py ( p ? 0),开口向下时x 2 ? ?2 py ( p ? 0).

?1? 椭圆:焦点在x轴上时

? x ? a cos ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? ? (参数方程,其中?为参数); 2 a b ? y ? b sin ?

(5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 | AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或 | AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 | ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? 1 ?

3.解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标; (2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程; (3)应用韦达定理及判别式; (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 有公共焦点的椭圆方程为 ? ?1 ; 2 2 2 2 a b a ? ? b ? ? x2 y 2 x2 y2 ; 与双曲线 2 ? 2 ? 1有公共焦点的双曲线方程为 2 ? 2 ?1 a 2 b a ? ? b ? ? x y2 x2 y2 ? 2 ? 与双曲线 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0); a b a b ? 3 ?中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx 2 ? ny 2 ? 1; ? 4 ? 不清楚开口方向的抛 物线设法:焦 点在 x轴上, y 2 ? mx ( m ? 0); 焦点在 y轴上, x 2 ? my ( m ? 0).

?1? 共焦点的设法:与椭圆

2. 常用曲线方程设法技巧

1 | y1 ? y2 | . k2

4. 圆 锥 曲 线 中 点 弦 斜 率 公 式 b2 x x2 y2 在 椭 圆 2 ? 2 ? 1中 , 以 P ( x0, y 0 )为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k ? ? 2 0 ; a b a y0 2 2 b 2 x0 x y 中 , 以 , 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 在双曲线 2 ? 2 ? 1 P ( x0 y 0 ) k? 2 ; a b a y0 p 在 抛 物 线 y 2 ? 2 px ( p ? 0)中 , 以 P ( x0, y 0 )为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k ? . y0 以上公式均可由点差法可得.

1

5.解析几何与向量综合的有关结论 ??? ? ??? ?

?1? 给出直线的方向向量u ? (1,k )或u ? (m,n),等价于已知直线的斜率 k或 ? 2 ? 给出OA ? OB与AB相交,等价于已知OA ? OB过AB的中点. ???? ? ???? ? 3? 给出PM ? PN ? 0,等价于已知P是MN的中点. ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? 4 ? 给出AP ? AQ ? ? ( BP ? BQ),等价于已知A,B与PQ的中点三点共线.
??? ? ??? ?
??? ? ???? ??? ? ????

n . m

? 5 ? 给出以下 情形 之 一: ① AB / / AC;②存在实数 ?, 使 AB ? ? AC;

二. 例题剖析
1.概念性质

???? ??? ? ??? ? ③若 存 在实 数 ?, ? ,且 ? ? ? ? 1,使 OC ? ? OA ? ? OB,等 价于 已 知 A, B, C三点 共线 . ???? ???? ???? ???? ? AMB是直 角 ;给 出 MA ? MB ? m ? 0, ? 6 ? 给出 MA ? MB ? 0, 等价 于已知 MA ? MB,即 ???? ???? 等 价于 已 知 ? AMB是钝角或反向共线; 给出 MA ? MB ? m ? 0, 等 价于已 知 ? AMB是锐角或同向 共线. ???? ???? ???? MA MB ? 7 ? 给 出 ? ( ???? ? ???? ) ? MP,等价于 已知 MP是 ? AMB的角平 分线 . MA MB

【例1】 已知 F1、 F2为椭圆

x2 y2 ? ? 1的两个焦点,过 F1的直线交椭圆于 A、 B两点. 25 9 若 | F2 A ? F2 B |? 12,则 | AB |? __________ .

解析:由椭圆的定义可知: |F1A|+|F2A|=2a=10, |F1B|+|F2B|=2a=10, 所以|AB|=20-|F2A|-|F2B|=8.

小结: 1.对椭圆、双曲线,已知曲线上的点与一个焦点的距离时,常作辅助线:连结它与另 一个焦点,考虑使用定义解题. 2.要熟悉焦点三角形的性质及研究方法

【变式训练1】椭圆 A.倍 7

x2 y 2 ? ? 1的焦点为F1,F2,P在椭圆上,如果线段 PF1的 12 3 中点在y轴上,则 PF1 是 PF2 的 ? ? B. 5倍 C.倍 4 D. 3倍

b2 3 3 3 7 3 解析: 由题意,PF2 ? x轴,则可计算出 PF2 ? ? ? , PF1 ? 4 3 ? ? , a 2 3 2 2 2 因此 PF1 是 PF2 的7倍.答案为A
y 2 x2 【例2】已知椭圆C1: 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的右顶点为A ?1, 0 ?,过C1的焦点且垂直 a b 长轴的弦长为1.
2.椭圆方程

当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值.
2

?1? 求椭圆C1的方程; ? 2 ? 设点P在抛物线C2:y ? x 2 ? h(h ? R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M、N .

t ?1 由题意,得x3 ? x4,即t 2 ? (1 ? h)t ? 1 ? 0.③ . 2 2 由③式中的? 2 ? (1 ? h) ? 4 ? 0,得h ? 1,或h ? ?3.当h ? ?3时,h ? 2<0, 4 ? h 2<0, 设线段PA的中点的横坐标是x4,则x4 ? 则不等式②不成立,所以h ? 1.当h ? 1时,代入方程③得t ? ?1 , 将h ? 1,t ? ?1代入不等式②,检验成立.所以,h的最小值为1.

直 线 MN 的 方 程 为 : y ? 2 tx ? t 2 ? h.将 上 式代 入椭 圆 C1的方 程中 , 得 4 x 2 ? (2 tx ? t 2 ? h ) 2 ? 4 ? 0.即 4(1 ? t 2 ) x 2 ? 4t (t 2 ? h ) x ? ( t 2 ? h ) 2 ? 4 ? 0.① 因 为 直 线 MN 与 椭 圆 C 1 有 两 个 不同 的交 点, 所 以 ① 式 中 的 ? 1 ? 16[ ? t 4 ? 2( h ? 2) t 2 ? h 2 ? 4]> 0.② x ? x 2 t (t 2 ? h ) 设 线 段 MN 的 中 点 的 横 坐 标 是 x3, 则 x3 ? 1 ? . 2 2(1 ? t 2 )

? 2 ? 设 M ( x1, y1 ), N ( x2, y 2 ), P (t, t 2 ? h ), 则抛 物线 C 2在点 P处的切 线斜 率为 y ? |x ? t ? 2 t,

?b ? 1 ?a ? 2 y2 2 因此,所求的 椭圆方程为 ,从而 解析: . ? x 2 ? 1. ?1?由题意,得 ? ? b ? b ? 1 4 ? ?2 ? ? 1 ? a

【变式训练2】已知椭圆

x2 y 2 ,左右焦点分别为 F1 ? ?c,0 ?, ? ? 1? a ? b ? 0?的离心率为 e a 2 b2 ,点 P( x , y )是线段 QF1 与椭圆 F2 ? c, 0 ?,Q是椭圆外且不在x轴上的动点,满足 FQ ? 2a 1 ??? ? ???? 的交点,点T是线段F2Q上的点,且满足 PT ? TF2 ? 0,求点 T的轨迹.
因为PT ? TF2且 F1Q ? 2a,得T 为F2Q的中点. 因此有2x1 ? c ? x, 2y1 ? y.又因为 F1Q ? 2a,
2

解析:不妨设T ( x1,y1 ),Q( x,y ),如图所示, F2 ? c, 0 ?.

则可得 ? x ? c ? ? y 2 ? 4a 2,因此有 ? 2x1 ? c ? c ? ? 4y12 ? 4a 2,
2

化简得x12 ? y12 ? 4a 2 .

【例 3】如图,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1), B(x2,y2)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;

(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率.

解析: ?1 ?由 已 知 条 件 , 可 设 抛 物 线 的 方 程 为 y 2 ? 2 px .因 为 点 P ?1, 2 ? 在 抛 物 线 上 ,

由 A ( x1, y1 ), B ( x 2, y 2 )均 在 抛 物 线 上 , 得 y12 ? 4 x1, ①
3

因 为 P A与 P B的 斜 率 存 在 且 倾 斜 角 互 补 , 所 以 k P A ? ? k P B .

所 以 2 2 ? 2 p ? 1, 解 得 p ? 2.故 所 求 抛 物 线 的 方 程 是 y 2 ? 4 x, 其 准 线 方 程 是 x ? ? 1. y ?2 y ?2 ( x1 ? 1), k P B ? 2 ( x 2 ? 1). ? 2 ? 设 直 线 P A的 斜 率 为 k P A, 直 线 P B的 斜 率 为 k P B, 则 k P A ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1
2 y2 ? 4 x 2, ②

y1 ? 2 y ?2 ?? 2 , 所 以 y1 ? 2 ? ? ( y 2 ? 2), 所 以 y1 ? y 2 ? ? 4. 1 2 1 2 y1 ? 1 y2 ? 1 4 4 y ? y1 4 由 ① ? ② 得 , 直 线 A B的 斜 率 为 k A B ? 2 ? ? ? 1( x1 ? x 2 ). x 2 ? x1 y 2 ? y1 所以

【变式训练3】抛物线y ? x 2上异于坐标原点O的两个相异的动点A,B满足OA ? OB, 问: ? AOB的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
解析:设 A( x1, y1 ), B ( x2, y2 ).因为 OA ? OB,则有 不妨设? AOB的面积为 S,则 S ?

x 2 ? y12 1 2 2 OA OB ? , 1 x2 ? y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 因此有 4S 2 ? (x1 ? y1 )(x 2 ? y2 ) ? ( y1 ? y1 )( y2 ? y 2 ) ? [ y1 y2 ? y1 y 2 ? y1 y2 ? y1 ? y2 ?] 即此时 A ? ?1,1?, B ?1,1?, S min ? 1.
小结:抛物线焦点弦的性质: 2 直线 l 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F,交抛物线于 A、B 两点,则有: (1)通径的长为 2p; (2)焦点弦公式:|AB|=x1+x2+p; (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.

y1 y2 ? ?1,所以 x1 x2 ? ?1, y1 y2 ? 1. x1 x2

? 2 ? y1 ? y2 ? 2 ? 2 y1 y2 ? 4,因此 S ? 1,当且仅当 y1 ? y2 ? 1时取到最小值.

2 2 (3)x1x2=p /4,y1y2=-p .

第二课时 一.知识体系小结 1 .椭圆中的最值 x2 y 2 F1,F2为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的左、右焦点,P为椭圆上的任意一点,B为短轴的 a b 一个端点,O为坐标原点,则有: ?1? | OP |?[b,a]. ? 2? | PF1 |?[a ? c,a ? c]. ? 3? | PF1 | ? | PF2 |?[b2,a2 ].

? 4? ?F1PF2 ? ?F1BF2.? 5? S? F PF
2.双曲线中的最值
1

2

? b2 tan (? ? ?F1PF2 ). ? 6? 焦点弦以通径为最短. 2

?

x2 y2 F1, F2为双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0)的左、右焦点, P为双曲线上的任一点, a b b2 O为坐标原点,则有: ?1? | OP |? a. ? 2 ? | PF1 |? c ? a. ? 3? S ?F1PF2 ? ? (? ? ?F1 PF2 ). tan 2

4

p 以通径 .? 2 ?焦点弦 AB 2 为最值,即 | AB |? 2 p. ? 3? A(m,n)为一定点,则 | PA ? PF | 有最小值. b a 或 的值;②利用渐近线方程设所求双曲线 的方程. a b 5.直线与圆锥曲线的位置关系

3.抛物线中的最值点

P为抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)上的任一点,F为焦点,则有: ?1? | PF |?

?1? 求法:令双曲线标准方程的左边为零,分解因式可得. ? 2? 用法:①可得

4.双曲线的渐近线

?1? 相离; ? 2 ? 相切; ? 3? 相交.特别地,①当直线与双曲线的渐近线平行时,
直线与双曲线相交且只有一个公共点.②当直线与抛物线的对称轴平行或重合时, 直线与抛物线相交且只有 一个公共点.
【注】 :设直线 l:Ax+By+C=0,圆锥曲线:f(x,y)=0,由?
若消去 y 得 a1x2+b1x+c1=0.
?Ax+By+C=0 ? ? ?f(x,y)=0

消元(x 或 y),

(1)若 a1=0,此时圆锥曲线不是椭圆.当圆锥曲线为双曲线时,直线 l 与双曲线的渐近线 平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物线的对称轴平行或重合. (2)若 a1≠0,Δ=b-4a1c1,则 ①Δ>0 时,直线与圆锥曲线 ②Δ=0 时,直线与圆锥曲线 ③Δ<0 时,直线与圆锥曲线 1.定值问题 ,有 ,有 ,没有 交点; 的公共点; .

二.例题剖析

【例1】已知椭圆方程为

x2 2 ? y 2 ? 1,点 M ( 2, ),过 M 作倾斜角互补的两条直线, 4 2 分别与椭圆交于A、B两点(异于 M ). ?1? 求证直线 AB的斜率为定值;

? 2 ? 求? AMB面积的最大值.

解析:定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题,它涉及到直线,圆锥曲线的定义、方 程及位置关系, 同时又与三角、 函数、 不等式、 方程、 平面向量、 导数等代数知识紧密联系. 解 这类问题时, 需要有较强的代数运算能力和识图能力, 要能准确地进行数与形的语言转换和 运算、推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整.
不 妨 设 直 线 M A 的 斜 率 为 k ( k ? 0 ), 则 直 线 M A的 方 程 为 : y ? 直 线 M B的 方 程 为 y ?
2

?1 ? 证

明 : 由 题 可 知 直 线 M A的 斜 率 存 在 , 且 M A 与 M B 的 斜 率 互 为 相 反 数 , 2 ? k(x ? 2 2 ),

2 x ? ? k ( x ? 2 ), 代 入 ? y 2 ? 1可 分 别 求 得 , 2 4 2 ( 4 k 2 ? 4 k ? 1) 2 ( 4 k 2 ? 4 k ? 1) yA ? yB , 所 以 k AB ? xA ? , xB ? ? 2 4k ? 1 4k 2 ? 1 xA ? xB k (xA ? xB ? 2 2 ) 1 1 ? .即 直 线 A B 的 斜 率 为 定 值 . xA ? xB 2 2
5

? 2 ? 设直线AB的方程为y ?

所以 | AB |? (1 ? k 2 )[( x A ? xB ) 2 - 4 x A xB ] ? 点M 到直线AB的距离为 d ? 2m 5

1 x2 ,代入 x ? m(m ? 0) ? y 2 ? 1得, 2 4 2 2 2 x ? 2mx ? 2m ? 2 ? 0,由? ? 0,得0 ? m ? 2.而x A ? xB ? ?2m,xA xB ? 2m 2 ? 2. 5 ?4m 2 ? 8 2

当m ? ?1时,Smax ? 1.
2.定点问题

.则 S?2AMB ?

1 | AB |2 ?d 2 ? ? m4 ? 2m 2,又0 ? m 2 ? 2, 4

15 17 【例2】已知点F (0, ),上半平面内的点 P到点 F和 x轴的距离之和为 . 4 4 ?1? 求动点P的轨迹方程; ? 2 ? 设动点P的轨迹方程为C,曲线C交y轴于点 M, 在曲线C上是否存在两点 A, B,使?AMB ? ? 2

?

? 3? 若A,B是曲线上满足?AMB ?

?

解析: ?1? 设P点坐标为( x,y),其中 y ? 0.依题意得 x 2 ? ? y ? 2p ? 1,开口向下的抛物线的一部分 (其中0 ? y ? 4).

15 2 17 ? ? y ? , 4 4 2 化简得动点P的轨迹方程为 x ? ? ? y ? 4 ? (0 ? y ? 4).这是一个以 ? 0, 4 ?为顶点,

2

的两点,求 证:直线AB与y轴交于一定点.

? 2 ? 考虑到抛物线的对称性,不妨设直线MA:y ? 4 ? x,直线MB:y ? 4 ? ? x, 分别与x 2 ? ? ? y ? 4 ? (0 ? y ? 4)联立,可得两个点的坐标为 A ? ?1,3?, B ?1,3?,
此时?AMB ?

?

? y ? kx ? 4 ? x ? ?k ,解得 ? ,即 A点坐标为 ? ? k , 4 ? k 2 ?. 由方程组 ? 2 2 x ? ?? y ? 4 ? y ? 4 ? k ? ? 1 1 1 同理可得 B点坐标为( , 4 ? 2 ),则直线 AB的斜率为 k ? ,所以直线 AB的方程 k k k 1 为 y ? ? 4 ? k 2 ? ? ( k ? ) ? x ? k ? .令 x ? 0,得 y ? 3,从而直线 AB与 y轴交于定点 ? 0, 3 ?. k
【 变 式 训 练 1 】 设 A为 双 曲 线 则 直 线 AC必 过 定 点 41 , A. ( 0) 10 x2 y2 ? ? 1右 支 上 一 动 点 , F为 该 双 曲 线 的 右 焦 点 , 16 9 连 接 A F 交 双 曲 线 于 B , 过 B 作 直 线 B C 垂 直 于 双 曲 线 的 右 准 线 , 垂 足 为 C, 18 B. ( , 0 )C 5

? 3 ? 设直线 AM 的方程为 y ? kx ? 4,直线 BM 的方程为 y ? ?

2

.

1 x ? 4. k

?

?

C . ?4 , 0

?

D. (

22 , 0) 5

6

解析:此题也可采用探索法,考虑特殊情况,即 AB与 x轴垂直时, 便可得出一个定点 (
3.最值问题

41 , 0 ), 故选 A . 10

【例3】设椭圆方程为x 2 ?

y2 ? 1,过点M ? 0,1?的直线l交椭圆于A、B两点, 4 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 1 O是坐标原点,点P满足OP ? (OA ? OB),点N的坐标为( , ).当l绕 2 2 2 点M 旋转时,求: ?1? 动点P的轨迹方程; ??? ? ? 2 ? | NP | 的最大值与最小值.

解析: ?1? 直线l过点M ? 0,1?,当斜率存在时,设其斜率为k,则 l的方程为 y ? kx ? 1. ? y ? kx ? 1 ? 记A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ),由 ? 2 y 2 ,得(4 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0, ?1 ?x ? ? 4 2k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ??? ? ??? ? x ?x y ?y ?k 4 ? 4 ? k 2 ??? 所以 ? .则OP ? (OA ? OB) ? ( 1 2 ,1 2 ) ? ( , 2 ). 2 2 2 2 4?k 4?k ?y ? y ? 8 1 2 2 ? 4?k ?

当斜率不存在时, AB的中点为原点 ? 0, 0 ?,也满足上述方程. ??? ? 1 1 1 1 1 ,即 ? ? x ? .所以 | NP |2 ? ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 16 4 4 2 2 ??? ? 1 7 1 21 ; ? ?3( x ? ) 2 ? .故当x ? ? 时, | NP | 取得最大值为 6 12 6 6 ??? ? 1 1 当x ? 时, | NP | 取得最小值为 . 4 4 所以点P的轨迹方程为4 x 2 ? y 2 ? y ? 0.

设点P的坐标为( x, y ),则,消去 k得 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0.

? 2 ?由点P的轨迹方程知x 2 ?

??? ? 【变式训练2】已知定点M ? 0, 2?、N (0, ? 2)、Q ? 2,0?,动点P满足m | PQ |2 ???? ??? ? ?MP ? NP ? 0(m ? R). ?1? 求动点P的轨迹方程,并说明轨迹的形状; ???? ??? ? ? 2?当m ? 0时,求 | 2MP ? NP | 的取值范围.

7

???? ??? ? ???? 解析: NP ? ( x, y ? 2), PQ ? (2 ? x, ? y ), ?1? 设 P ( x, y ), 则 MP ? ( x, y ? 2), ???? 2 ???? ??? ? 2 2 2 2 2 2 | PQ | ? (2 ? x ) ? ( ? y ) , MP ? NP ? x ? y ? 4 所 以 m [(2 ? x ) ? y ] ? x 2 ? y 2 ? 4, 整理得, ( m ? 1) x 2 ? ( m ? 1) y 2 ? 4 mx ? 4 m ? 4 ? 0.当 m ? 1时 , 方 程 为 x ? 2, 时,方程化为 (x ? 表 示 过 点 ? 2, 0 ? 平 行 于 y轴 的 直 线 ; 当 m ? 1 表示以( 2m 2 , 为半径的圆. 0)为 圆 心 , 以 m ?1 m ?1 2m 2 2 2 ) ? y2 ? ( ) , m ?1 m ?1

???? ??? ? 所 以 | 2 M P ? NP |? 9 x 2 ? 9 y 2 ? 12 y ? 4, 又 因 为 x 2 ? y 2 ? 4, ???? ??? ? 所 以 | 2 M P ? NP |? 40 ? 12 y , 而 ? 2 ? y ? 2 ???? ??? ? 所 以 | 2 M P ? NP | 的 取 值 范 围 是 ? 4, 8 ?.
第三课时 一.知识体系小结
1.求轨迹方程的常用方法:

? 2 ?当 m ? 0时 , 方 程 化 为 x 2 ?

???? ??? ? y 2 ? 4, 2 MP ? NP ? (3 x , 3 y ? 2),

?1? 轨迹法:①建系设动点.②列几何等式.③坐标代入得方程.④化简方程.
⑤除去不合题意的点作答.

(2)待定系数法:已知曲线的类型,先设方程再求参数. (3)代入法:当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法,代入法的步骤:

①设出两动点坐标(x,y),(x0,y0).②结合已知找出 x,y 与 x0,y0 的关系,并用 x,y 表 示 x0,y0. ③将 x0,y0 代入它满足的曲线方程,得到 x,y 的关系式即为所求.

(4)定义法:结合几种曲线的定义,明确所求曲线的类型,进而求得曲线的方程. 3.有关弦的中点问题 (1)通法. (2)“点差法” .点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率. 点差法的步骤:①将两交点 A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入曲线的方程; ②作差消去常数项得到关于 x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2 的关系式. ③求出 AB 的斜率 4.取值范围问题 (1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为 a+c,最小值为 a-c; (2)双曲线上的点到左焦点的最小距离为 c-a; (3)抛物线上的点到焦点的距离的最小值为 p/2 . 1.参数范围问题

二.例题剖析

8

【例1】已知点G是?ABC的重心,A(0, ? 1),B ? 0,1?,在x轴上有一点M,满足 ???? ???? ? ???? ? ??? ? | MA ? MC | , GM ? ? AB(? ? R ). ?1? 求点C的轨迹方程; ??? ? ???? ? 2 ? 若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P、Q,且满足 | AP ? AQ | , 试求k的取值范围.
???? ? ??? ? x y 解 析: ?1? 设C ( x,y ),G为?ABC的重心,则 G ( , ).因为GM ? ? AB (? ? R ), 3 3 ???? ???? ? x 所以 GM ? AB,而 点M 在x轴上,则 M ( ,.由 0) | MA ? MC | ,得 3 x 2 x x2 ( ) ? (0 ? 1) 2 ? ( ? x ) 2 ? y 2,整理 得 ? y 2 ? 1( x ? 0). 3 3 3 2 x 所 以点C的轨迹方程为 ? y 2 ? 1( x ? 0) 3

??? ? ???? x2 ,代入 ? y 2 ? 1 , | AP ? AQ | .②当k ? 0时,可设 l的方程为 y ? kx ? m 3 整理得, (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3( m 2 ? 1) ? 0, ?*?因为直线l与椭圆交于不同的两点,
6 km 3( m 2 ? 1) , , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 x ? x2 3km m 则 PQ中点 N ( x0, y0 )的坐标为 x0 ? 1 ?? , y 0 ? kx0 ? m ? , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 m ?1 ??? ? ???? ???? ??? ? 2 又 | AP ? AQ | ,所以 AN ? PQ,所以 k ? k AN ? k ? 1 ? 3k ? ? 1, 3km 1 ? 3k 2 设 P ( x1, y1 ), Q ( x2, y 2 ),则 x1 ? x2 ? ?
1 ? 3k 2 ,代入 ?** ? 得 k 2 ? 1,所以 k ? ? ? 1, 0 ?? 0,1?. 2 综合①②得 , k的取值范围是 ? ? 1,1?. 得m ?
2 2 2

? 2 ? ①当k ? 0时,l与椭圆 C有两个不同的交点 P、 Q,由椭圆的对称性知
所以? ? (6km)2 ? 4(1 ? 3k 2 ) ? 3( m2 ? 1) ? 0,即1 ? 3k 2 ? m 2 ? 0, ?**?

【变式训练1】在Rt? ABC中,斜边 BC为10,以 BC的中点为圆心,作半径为 3的圆, 分别交BC于P、Q两点,设 l ? AP ? AQ ? PQ ,试问 ?是否是定值?
2

如果是定值,请 求出这个值.

的半径为3,因此 PQ ? 36, 解析:如图所示,建立直角坐标系.因为圆O , ,根据平行四边形的边长关系 利用圆心O ?PAQ可构造得平行四边形APDQ
2 2 2 2 2 2 2

得, 2 AP ? AQ ? PQ ? AD ,而 AD ? 4 AO ?100,因此2 AP ? AQ

2.存在性问题

?100 ? 36,所以 AP ? AQ ? PQ ? 68 ? 36 ?104.
2 2 2

?

?

?

2

?

9

【例2】已知椭圆的中心在原点,焦点在 x轴上,一个顶点为 B (0, ? 1),且其右焦点

到直线x ? y ? 2 2 ? 0的距离为3. ?1? 求椭圆的方程; 3 ? 2 ? 是否存在斜率为k (k ? 0),且过定点Q(0, )的直线l,使l与椭圆交于不同的两个 2 点M 、N,且 | BM ? BN | ?若存在,求出直线 l的方程;若不存在,说明理由.

解析: ?1? 设椭圆方程为 c?2 2

由题意得

?9 k 3 , ),因为 | BM ? BN | ,所以点B在线段 MN的中垂线上, 2 2 ? 6k 2 ? 6k 2 3 ?1 1 2 ? 6k 2 2 5 ,化简得k 2 ? ,又由? ? 0得,k 2 ? , 所以k BP ? ? ? ?9 k k 3 12 2 2 ? 6k 2 5 6 6 3 因为 ? ,所以k ? ? .故存在直线l满足题意,l的方程为y ? ? x? . 3 12 3 3 2 2 【变式训练2】设直线l与抛物线y ? 2px ? p ? 0 ? 交于A、B两点,已知当直线l经过 则P点的坐标为(

x2 ? y 2 ? 1. 3 2 3 x2 15 ? 2 ? 设直线l的方程为 y ? kx ? ,代入 ? y 2 ? 1,得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 9kx ? ? 0, 2 3 4 ?9 k ,设 MN的中 点为P, 设M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ),则x1 ? x2 ? 1 ? 3k 2 ? 3, 得c ? 2,所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3,得 椭圆方程为

x2 y 2 ,设右焦点为 (c, 0), ? ? 1(a ? b ? 0),由已知得 b ? 1 a 2 b2

1 抛物线焦点且与x轴垂直时, ? OAB的面积为 (O为坐标 原点). 2 ?1? 求抛物线的方程; 使得? ABC为正三角形,求a的取值范围.

? 2 ?当直线l经过点 P ? a, 0 ?? a ? 0 ?且与 x轴不垂直时,若在 x轴上存在点 C,

p 1 p 解析: ?1?由条件可得 AB ? 2p,又 O点到 AB的距离为 , S? OAB ? ? 2p ? 2 2 2 1 1 ? p 2 ? ,所以p ? 1,因此抛物线的方程为 y 2 ? 2x. 2 2 2 设 A ( x 的中点为 M ( x0, y0 ),又设 C ? t , 0 ?,直线 l: ? ? 1, y1 ),B ( x2, y2 ), AB

所以x0 ? m 2 ? a,因为? ABC为正三角形,所以 MC ? AB, MC ? 由MC ? AB,得 y0 1 ? ? ?1, x0 ? t m

? x ? my ? a y ? y2 x ? my ? a (m ? 0),由 ? 2 ,所以 y 2 ? 2my ? 2a ? 0,所以 y0 ? 1 ? m, 2 ? y ? 2x 3 AB , 2

10

【例3】 (2011? 浙江卷)已知抛物线C1: x 2 ? y,圆 C2: x 2 ? ? y ? 4 ? ? 1的圆心为 M .
2

3 3 2 AB ,得 ? x0 ? t ?2 ? y0 ? ? x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2, 2 2 3 化简得 ? m 2 ? a ? t ?2 ? m 2 ? ? m 2 ? 1? ? 4? m 2 ? 2a ?,因此可得1 ? m 2 ? 2 1 m2 1 3 ? m 2 ? 1?? m 2 ? 2a ?,所以a ? ? ,因为m ? 0,所以m 2 ? 0,所以0 ? a ? , 6 2 6 1 所以a的取值范围为(0, ). 6 3.综合问题 所以t ? m 2 ? a ? 1.又 MC ?

,求直线 l的方程. C1于A,B两点,若过 M, P两点的直线 l垂直于 AB

?1? 求点M 到抛物线C1的准线的距离; ? 2 ?已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点 P作圆 C2的两条切线,交抛物线

1 解析: ?1?因为M ? 0, 4 ?,且2p ? 1,所以准线方程为y ? ? ,因此点M 到准线 4 1 17 的距离为4 ? ? . 4 4

因为PM ? AB,则k PM ? k AB ? ?1,所以 ? x1 ? x2 ? (m ? 由圆心 ? 0, 4 ? 到切线的距离为1,得1 ?
2

4 ) ? ?1. m 设过P点且与圆C2相切的直线的斜率为k,则过P的圆的切线方程为y ? m2 ? k ? x ? m ?, 所以k 2 ? 1 ? k 2 m2 ? ? 4 ? m2 ? ? 2km ? 4 ? m2 ?,k 2 ? m2 ? 1? ? 2m ? 4 ? m2 ? k ? 1 ? ? m2 ? 4 ? ? 0, ,
2

? 2 ? 设P(m,m2 ),A( x1,x12 ),B( x2,x22 ),k AB ? x1 ? x2,kPM ?

m2 ? 4 4 ? m? , m m

| m2 ? km ? 4 | 1? k 2

? 2 m (4 ? m 2 ) ,设切线 y ? m 2 ? k1 ? x ? m ?,则 x 2 ? k1 ? x ? m ? ? m 2 ? 0, m2 ?1 所以 m ? x1 ? k1,设切线 y ? m 2 ? k 2 ? x ? m ?,则 x 2 ? k 2 ? x ? m ? ? m 2 ? 0, 所以 k1 ? k 2 ? 所以 m ? x2 ? k 2,所以 x1 ? x2 ? k1 ? k 2 ? 2m,代入 ? x1 ? x2 ? ( m ? 4 m2 ? 4 4 23 得 ? k1 ? k 2 ? 2 m ? ( m ? ) ? ? 1 ,所以 2 m ( 2 ? 1)( m ? ) ? ? 1,所以 m 2 ? , m m ?1 m 5 3 23 m2 ? 4 3 115 m?? , k PM ? ? 5 ,故所求的直线方程为 y ? ? x ? 4. 5 m 115 23 ? 5
11

4 ) ? ? 1, m

【变式训练3】已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)的左、右焦点分别是F1 ( ?c, 0)、F2 (c, 0). a2 b2 ???? Q是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a.点P是线段 F1Q与该椭圆的交点,点 T在线段 ??? ? ???? ???? F2Q上,并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. ?1? 求点T的轨迹 C的方程; 若存在,求?F1MF2的正切值;若不存在,说明理由.

? 2 ? 试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使?F1MF2的面积S ? b2?

??? ? ???? ???? ??? ? ???? 解析: | TF2 |? 0,所以 PT ? TF2, ?1? 设T ( x,y ),因为PT ? TF2 ? 0, ???? ???? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ???? ? 又 | F1Q ? PF1 ? PQ |? 2a,而由椭圆定义 | PF1 ? PF2 |? 2a,所以 | PQ ? PF2 | , ??? ? 1 ???? 则T 为线段QF2的中点,连结OT, OT为?F1 F2Q的中位线,则 | OT |? | QF1 |? a, 2 2 2 2 即点T的轨迹方程为x ? y ? a .

2 2 ? x0 ? y0 ? a2 b2 ? ,得 | y | ? . ? 2 ? 假设存在点M 满足题意,设M ( x0,y0 ),则 ? 1 0 2 c ? S ? ? 2c ? y0 ? b ? 2 2 b 而 | y0 |? a,当a ? 时,存在点M,使S ? b 2; c 2 ???? ? ????? b b2 当a ? 时,不存在M 点.当a ? 时, MF1 ? ( ?c ? x0, ? y0 ), MF2 ? (c ? x0, ? y0 ), c c ???? ? ????? ???? ? ????? 2 2 MF1 ? MF2 ? x0 ? c 2 ? y0 ? a 2 ? c 2 ? b2,即 | MF1 || MF2 | cos ?F1MF2 ? b 2, ? ???? ? 1 ???? 又S ? | MF1 || MF2 | sin ?F1MF2 ? b 2 .所以 tan ?F1MF2 ? 2.即存在点M 满足题意, 2 且?F1MF2的正切值为2.

直线与圆锥曲线的位置关系训练题 A 组(基本训练题) 一选择题: (每题 5 分,合计 40 分) 第四课时

1 .抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P1 ? x1 , y1 ?, P2 ? x 2 , y 2 ? 两点,若

y1 ? y 2 ? 6 ,则 P1 P2 的值为

(C ) A.5

B.6

C.8

D.10

2. 过点 (2, 4) 作直线与抛物线 y 2 ? 8 x 有且只有一个公共点, 这样的直线有 ( B) A.一条
3. 平面内有一线段AB, 其长为 3 3 , 动点P满足 PA ? PB ? 3 , O为AB的中点, 则 OP 的最小值为 ( A )A.

B.两条

C.三条

D.四条

4. 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐
12

3 2

B.1

C.2

D.3

标之和等于 5,则这样的直线( B ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 5 双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角 a2 b2

C.有无穷多条

D.不存在

为 30? 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 ( B ) A. 6 B. 3 C. 2 D.
3 3

6 直线 y ? kx ? 1(k ? R ) 与椭圆 A. ?1,5? ? ?5,?? ? A.1 条

7.过点(1,0)且与双曲线 x2-y2=1 只有一个公共点的直线有 B.2 条 C.3 条

B. (0,5) C. ?1,?? ?

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点, 则 m 的取值范围是 ( A ) 5 m D. (1,5) D.4 条 ( C )

8.已知动点 P(x,y)满足 5 (x-1)2+(y-2)2=|3x+4y-11|,则 P 点的轨迹是 ( A ) A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆 二.填空题: (每题 5 分,合计 30 分) 9. 一动点到 y 轴的距离比到点(2, 0)的距离小 2, 这个动点的轨迹方程是_______. 2 (答案:y =8x 或 y=0(x<0) ) 10. 经过双曲线 x 2 ? y2 ? 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 30? 的弦 AB,则 ?F1 AB 的周 3

长为 11. 过椭圆

.( 答案: 3 ? 3 3 ) x2 y 2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点, O 5 4

5 . (答案: ) 3 2 12. 直线 y=x-3 与抛物线 y =4x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的准线作 垂线,垂足分别为 P,Q,则梯形 APQB 的面积是 .48

为坐标原点,则 △OAB 的面积为

13. 过双曲线 x 2 ?

满足条件的直线 l 有____条 3 14. 设 P 是抛物线 y2=2x 上的点,Q 是圆(x-5)2+y2=1 上的点,则|PQ|的最小 值为 2 三.解答题: (每题 15 分,合计 30 分)
13

y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4,则 2

15. 已知点 P 是⊙ O :x 2 ? y 2 ? 9 上的任意一点, 过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D ,动点 Q
???? 2 ??? ? 满足 DQ ? DP . 3

(1)求动点 Q 的轨迹方程; (2)已知点 E (1,1) ,在动点 Q 的轨迹上是 否存在两个不重合的两点 M 、 N ,使
??? ? 1 ???? ? ???? OE ? (OM ? ON ) (O 是坐标原点),若存在,求出直线 MN 的方程,若不 2

解: (1)设 P( x0 , y0 ), Q ? x, y ? ,依题意,则点 D 的坐标为 D( x0 , 0) 存在,请说明理由.

???? ??? ? ∴ DQ ? ( x ? x0 , y), DP ? (0, y0 ) ,又
? x ? x0 ? 0 ? x0 ? x ? ? 即? ? 2 3 y ? y0 y0 ? y ? ? 3 ? 2 ?

???? 2 ??? ? DQ ? DP 3





∵ P 在⊙ O 上,故 x0 2 ? y0 2 ? 9

x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 , ∴ 点 Q 的轨迹方程为 ? ? 1 9 4 9 4 x2 y 2 (2)假设椭圆 ? ? 1 上存在两个不重合的两点 M ( x1 , y1 ), N ? x2 , y2 ? 满足 9 4



? x1 ? x2 ?1 ? ?x ? x ? 2 ? x2 y 2 且有 ? 2 即? 1 2 ,又 M ( x1 , y1 ), N ? x2 , y2 ? 在椭圆 ? ? 1 上 9 4 ? y1 ? y2 ? 1 ? y1 ? y2 ? 2 ? ? 2
? x12 y12 ? ?1 ? ?9 4 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 4 ? 9

??? ? 1 ???? ? ???? OE ? (OM ? ON ) ,则 E (1,1) 是线段 MN 的中点, 2



两式相减,得

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ,
9 4



k MN ?

??? ? 1 ???? ? ???? 椭圆上存在点 M 、 N 满足 OE ? (OM ? ON ) , 2 此时直线 MN 的方程为 4 x ? 9 y ? 13 ? 0

y1 ? y2 4 ?? , x1 ? x2 9



直线 MN 的方程为 4 x ? 9 y ? 13 ? 0 .



16. 设 F1 、 F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点. a2 b2
14

(1)设椭圆 C 上点 ( 3, 焦点坐标;

3 ) 到两点 F1 、 F2 距离和等于 4 ,写出椭圆 C 的方程和 2

(2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中 点 B 的轨迹方程;

(3) 设点 P 是椭圆 C 上的任意一点, 过原点的直线 L 与椭圆相交于 M ,N 两点, 当直线 PM ,PN 的斜率都存在,并记为 k PM ,k PN ,试探究 k PM ? K PN 的 值是否与点 P 及直 线 L 有关,不必证明你的结论。

3 ( 3)2 解: (1)由于点 ( 3, ) 在椭圆上, 2 ? 2 a

(

椭圆 C 的方程为

(2)设 KF1 的中点为 B(x, y)则点 K (2 x ? 1, 2 y ) 把 K 的坐标代入椭圆 x2 y 2 ? ?1 4 3 中得

x2 y 2 ? ?1 4 3

,焦点坐标分别为 (?1, 0),(1, 0) (2 x ? 1)2 (2 y ) 2 ? ?1 4 3

3 2 ) 2 ?1 b2

得 2 a =4,

1 y2 线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? )2 ? ?1 3 2 4

(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ,2 ? 2 ? 1 a 2 b2 a b

设 M ( x0 , y0 ) N ( ? x0 , ? y0 ), p ( x, y ) , M , N , P 在椭圆上, 应满足椭圆方程, 得

k PM

故: k PM ? K PN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关, 一选择题: (每题 5 分,合计 60 分)

y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 2 b2 ? K PN = ? ? =? 2 x ? x0 x ? x0 x 2 ? x0 2 a

B 组(能力提升题)

1 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0), 直线y ? x ? 1与其相交于 M、 N两
2 点,MN 中点的横坐标为 ? , 则此双曲线的方程是 ( C ) 3

A.

2 已知直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围 是( C )
15

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 5 2

D.

x2 y2 ? ?1 2 5

(A)(-

15 15 , ) 3 3

(B)(0,

15 15 ) (C)( ? , ? 1) 3 3

(D)( ?

15 ,0 ) 3

3. 设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l? , 若 l? 与椭圆 x 2 ?

1 为 A、B,点 P 为椭圆上的动点,则使 ?PAB 的面积为 的点 P 的个数为( B ) 2 A.1 B.2 C.3 D.4

y2 ? 1 的交点 4

x2 y2 4. 已知 P 是椭圆 ? ? 1 上第三象限内一点,且它与两焦点连线互相垂直, 45 20 若点 P 到直线 4 x ? 3 y ? 2m ? 1 ? 0 的距离不大于 3,则实数 m 的取值范围是 ( A ) B.
9 21 [? , ] 2 2

A.[-7,8]

C.

[-2,2]

D. (??,?7] ? [8,??)

5.过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若 BC ? 2 BF ,且 AF ? 3 ,则此抛物线的方程为 A. y 2 ? x
3 2

( B D.



B. y 2 ? 3x

C. y 2 ? x

6. 对于抛物线 C: y 2 ? 4 x ,我们称满足 y 02 ? 4 x0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部.若 点 M ( x0 , y 0 ) 在抛物线的内部,则直线 l : y 0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C ( D ) A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点 C.可能一个公共点也可能两个公共 点 D.没有公共点 7. 抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的动弦 AB 长为 a (a ? 2 p) ,则 AB 中点 M 到 y 轴的 最短距离是( a (A) 2 D ) (B)
p 2

9 2

y 2 ? 9x

(C)

8. 设抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的轴和它的准线交于 E 点,经过焦点 F 的直线交抛 物线于 P、Q 两点(直线 PQ 与抛物线的轴不垂直),则 ?FEP 与 ?QEF 的大小关系 为 (C A. ?FEP ? ?QEF ) B. ?FEP ? ?QEF
16

a? p 2

(D)

a? p . 2

C. ?FEP ? ?QEF

D. 不确定

9. 直线

x y x2 y2 ? ? 1 与椭圆 ? ? 1 相交于 A、B 两点,椭圆上的点 P 使 ?PAB 的 4 3 16 9

面积等于12,这样的点 P 共有( A.1 B.2 C.3 10. 双曲线

D)个 D.4

A、 8 x ? 9 y ? 7 11. 方程

x2 y2 ? ? 1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在的直线方程为( D ) 9 4 B、 8 x ? 9 y ? 25 C、 4 x ? 9 y ? 6 D、不存在

sin 2 ? sin 3

x2

?

cos 2 ? cos 3

y2

? 1 表示的曲线是( C



A. 焦点在 x 轴上的椭圆 B. 焦点在 x 轴上的双曲线 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 D. 焦 点在 y 轴上的双曲线 12若在抛物线 y ? ax 2 (a ? 0) 的上方可作一个半径为 r 的圆与抛物线相切于原点
O ,且该圆与抛物线没有别的公共点,则 r 的最大值是 1 1 (A) (B) (C) a 2a a 二填空题: (每题 5 分,合计 25 分)

(

A

).

(D) 2a

13. 已知 M ? {( x, y ) | x 2 ? 2 y 2 ? 3}, N ? {( x, y ) | y ? mx ? b} 。若对所有
? 6 6? m ? R, 均有 M ? N ? ? ,则 b 的取值范围_____ ? ? , ? ? 2 2 ?

x2 y2 14. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,长轴的两个端点为 A 、 B ,若椭圆上存 a b 在点 Q ,使 ?AQB ? 120 ? ,则该椭圆的离心率 e 的取值范围是
6 ? e ?1 3

15. 若 a,b,c 成等差数列,则直线 ax+by+c = 0 被椭圆
1 ( y ? 1) 2 2( x ? ) 2 ? ?1 2 2

x2 y 2 ? ? 1 截得线段的 2 8

中点的轨迹方程为

16. 若正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上, 另外两个顶点在抛物线 y ? x 2 17. 过抛物线 y 2 ? 8 ? x ? 2 ? 的焦点 F 作倾斜角为 60? 的直线. 若此直线与抛物线 上.则该正方形面积的最小值为 80
17

16 交于 A,B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于___ 3 三. 解答题 18. 已知点 F ? 0,1? , 直线 l :y ? ?1 ,P 为平面上的动点, 过点 P 作直线 l 的垂线,
??? ? ???? ??? ? ??? ? 垂足为 Q ,且 QP ? QF ? FP?FQ .

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

(2)已知圆 M 过定点 D ? 0, 2 ? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、
B 两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求

l1 l2 ? 的最大值. l2 l1

由①、②解得, x ? a ? 2 . 不妨设 A ? a ? 2, 0 ? , B ? a ? 2, 0 ? , ∴ l1 ? ?2

?a

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤2 1 ? ? 2 2 . 当且仅当 a ? ?2 2 时, 等号成立. 64 l2 l1 2?8 a2 ? 2 a

a 4 ? 64

2

? 8?

? a ? 2?
2

2

?4

, l2 ?

? a ? 2?

2

?4

. ∴

l1 l2 l12 ? l2 2 2a 2 ? 16 ? ? ? l2 l1 l1l2 a 4 ? 64

? 2 1?

16a 2 , a 4 ? 64

③ 当 a?0 时 , 由 ③ 得 ,

当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 l l ? ? 2 . 故当 a ? ?2 2 时, 1 ? 2 的最大值为 2 2 . l2 l1 l2 l1
18


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压轴专题(二) 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分策略 [全国卷 3 年考情分析] 年份 卷别 考查内容 命题分析 卷Ⅰ 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置...
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二轮复习第一部分压轴专题二第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分策略_...是高考考查的重点知识之一,在解答题中一般会综合考查直线、 圆、圆锥曲线等 ...
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(通用版)教师用书:压轴专题(二) 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分...是高考考查的重点知识之一, 在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等....
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压轴专题(二) 第 20 题解答题“圆锥曲线的综合问题”抢分练 x2 y2 3 1....2.解:(1)设圆 R 的半径为 r,由圆 R 的方程知 r=2 2, 因为直线 OP,...
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压轴专题二 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”的抢分策略_高考_高中教育_...在解答 题中一般会综合考查直线、 圆、圆锥曲线等.试题难 度较大,多以压轴...
(强烈推荐)2015高考数学:圆锥曲线专题.doc
(2)求直线方程、斜率、线段长度相关问题: 此类题目一般比较困难, 不仅考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握,而且还 考查学生的综合处理问题的能力,还要求学生有较强...
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高三数学二轮复习 专题12 圆锥曲线的综合问题导学案 - 专题 12:圆锥曲线的综合问题(两课时) 班级 一、前测训练 1. (1)点 A 是椭圆 姓名 x2 y2 ? ? 1...
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专题检测(二十二) 第 20 题解答题“圆锥曲线的综合问题”专练 1.(2018 届...不同两点 A, B, 且 AC =2 CB ,当△AOB 的面积最大时,求直线 l 的...
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201709年高考数学圆锥曲线综合应用专题2.doc - 圆锥曲线综合应用专题二 x2 2 ? y ?1 C C C C 1.已知椭圆 1 的方程为 4 ,双曲线 2 的左、右焦点分别...
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2017届【世纪金榜】高三文科数学热点专题突破:(五)圆锥曲线的综合问题 - 热点专题突破系列(五) 圆锥曲线的综合问题 考点一 圆锥曲线中的定点问题 【考情分析】以...
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