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2018-2019学年人教A版高中数学选修2-1复习课件:2.4.1(共31张PPT)_图文

2.4 抛物 线

2.4.1 抛 物线及其



习 目 标



维 脉 络

1.理解并掌握抛物线的定 义. 2.理解并掌握抛物线的标 准方程. 3.掌握求抛物线标准方程 的方法. 4.会用抛物线的定义解决 简单的轨迹问题.

抛物线及其标准方程 定义及应用 标准方程及应用 求抛物线的标准方程

1

2

1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点 的轨迹叫做抛物线.这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物 线的准线. 特别提醒 抛物线的定义中涉及一个定点和一条定直线,且要求 这个定点不能在定直线上,否则轨迹就不再是一条抛物线,而是一 条直线(过定点且与定直线垂直的直线).

1

2

【做一做1】 若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相 等,则动点P的轨迹是( ) A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.双曲线 解析:由抛物线定义知,动点轨迹为抛物线. 答案:B

1

2

2.抛物线的标准方程
图 形 标准方程 焦点坐标 p ,0 2 准线方程
p

y2=2px(p>0)

x=-2

y2=-2px(p>0)

p - ,0 2

x=2

p

1

2





标准方程

焦点坐标 p 0, 2

准线方程
p

x2=2py(p>0)

y=-2

x2=-2py(p>0)

p 0,2

y=2

p

1

2

名师点拨 要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对 应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有 一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为±2p; 若一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就 在x轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在x轴的负半轴 上(开口向左);若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正 的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在y 轴的负半轴上(开口向下). 特别提醒 抛物线标准方程中参数p的几何意义:抛物线的焦点到 准线的距离,所以p的值永远大于0,当抛物线标准方程中一次项的 系数为负值时,不要出现p<0的错误.

1

2

【做一做2】 (1)抛物线x2= 2y的开口向 为 ,准线方程是 . (2)若抛物线的准线方程是x=5,则其标准方程为 坐标为 .
1 1 1 1 1

1

,焦点坐标
,焦点

解析:(1)抛物线开口向上,且 2p=2,p=4 , 2 = 8,故焦点坐标为 (2)由已知得焦点坐标为(-5,0), =5,p=10,2p=20,所以抛物线
2

0, 8 ,准线方程为 y=-8. 标准方程为 y2=-20x.
答案:(1)上
1 0, 8 1 y=8

(2)y2=-20x (-5,0)

1

2

思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定 是抛物线. ( ) (2)抛物线实质上就是双曲线的一支. ( ) (3)若抛物线的方程为y2=-4x,则其中的焦参数p=-2. ( ) (4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×

探究一

探究二

探究三

思维辨析

根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程 【例1】 求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0). 思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向, 求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.

解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半 轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为 x=3. (2)方程 3x2-4y=0 可化为 x2= y,抛物线开口向上,焦点在 y 轴
4 的正半轴上,2p=3,所以 1 程为 y=-3. 2 p=3 , 2 4 3 1 ,因此焦点坐标为 3

=

1 0, 3

,准线方

探究一

探究二

探究三

思维辨析

1 (3)方程 x=32y 可化为 y =32x,抛物线开口向右,焦点在 x 轴的 1 1 1 1 正半轴上,2p=32,所以 p=64 , 2 = 128,因此焦点坐标为 128 ,0 ,准 1 线方程为 x=-128.
2 2

(4)当 a>0 时,抛物线开口向右,焦点在 x 轴的正半轴上,2p=a, 所以 p= , = ,因此焦点坐标为 所以
x=-4. 2 2 4 ,0 4

,准线方程为 x=- . ,准线方程为
,0 4 x=-4.

4

当 a<0 时,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半轴上,2p=-a,
p=-2 , 2=-4,因此焦点坐标为 4 ,0

综上可得,当 a≠0 时,抛物线的焦点坐标为

,准线方程为

探究一

探究二

探究三

思维辨析

反思感悟 已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时,一般先将 所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和 准线方程,要注意p>0,焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定,系 数为正,焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练 1(1)抛物线 x2+2y=0 的准线方程为 (
1 A.x=2 1 B.x=-2 1 C.y=2 1 D.y=-2

)

(2)抛物线 y=-x2 的焦点坐标为( A. C.
1 ,0 4 1 0, 4
1

)

B. D.

1 - ,0 4 1 0,- 4

解析:(1)方程化为 x2=-2y,焦点在 y 轴的负半轴上,p=1,所以 准线方程是 y=2. 焦点坐标为
1 0,- 4 1

(2)方程化为 x2=-y,焦点在 y 轴负半轴上,2p=1,所以2 = 4,故 .
答案:(1)C (2)D

探究一

探究二

探究三

思维辨析

求抛物线的标准方程 【例2】根据下列条件求抛物线的标准方程. (1)经过点M(-8,4); (2)焦点在直线x+4y+6=0上;
2 (3)焦点到准线的距离等于双曲线 9 2 ? 25=1

的实轴长.

思路分析先根据题意确定焦点的位置,从而确定标准方程的形式, 设出其标准方程,然后求出参数p的值,代入即得抛物线标准方程.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴 或x轴的负半轴上. 设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0). 将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p· 4或42=-2p· (-8), 解得2p=16或2p=2, 故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.

(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0), 抛物线的焦点坐标为(-6,0)或 0,- 2 . 当焦点为(-6,0)时,设抛物线方程为 y 则抛物线方程为 y2=-24x;
2

3

3 0,- 2

,所以

=-2px(p>0),2=6,2p=24,

探究一

探究二

探究三

思维辨析

当焦点为

3 ,2p=6,则抛物线方程为 x2=-6y. 2 2 2 (3)双曲线 9 ? 25=1 的实轴长

3 0,- 2

时,设抛物线方程为 x

2

=-2py(p>0),2

=

2a=2×3=6,因此焦点到准线的

距离等于 6,即 p=6,2p=12,故所求抛物线方程为 y2=12x 或 y2=-12x 或 x2=12y 或 x2=-12y.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

反思感悟 1.求抛物线标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓 “定型”,是指确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形 式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而 得到抛物线的标准方程. 2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题: (1)注意开口方向与方程间的对应关系; (2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样 可以减少讨论情况的个数;

(3)注意 p 与2的几何意义.



探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练2(1)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y22x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( ) A.y=3x2或y=-3x2 B.y=3x2 C.y2=-9x或y=3x2 D.y=-3x2或y2=9x (2)若抛物线的准线与y轴平行,且焦点到准线的距离为3,则抛物 线的标准方程为 .

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解析:(1)由已知得圆的圆心为(1,-3),即抛物线经过点(1,-3). 若抛物线焦点在 y 轴上,可设其方程为 x2=-2py(p>0),代入得 p=6,
1 所以 x =-3y;若抛物线焦点在 x 轴上,则设其方程为 y2=2px(p>0), 9 代入得 p=2,所以 y2=9x,故选 D.
2

1

(2)因为抛物线的准线与 y 轴平行,所以焦点在 x 轴上,标准方 程的形式为 y2=±2px(p>0).又焦点到准线的距离为 3,即 p=3,所 以抛物线的标准方程为 y2=±6x.
答案:(1)D (2)y2=±6x

探究一

探究二

探究三

思维辨析

利用抛物线的定义解决轨迹问题

【例 3】 已知动点 M(x,y)满足 5 (-1)2 + 2 =|3x-4y+2|,则 动点 M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.直线 D.抛物线

解析:方程 5 (-1)2 + 2 =|3x-4y+2|可化为 (-1)2 + 2 =
|3-4+2| , 5

(-1)2 + 2 表示点 M(x,y)到定点(1,0)的距离,

|3-4+2| 表 5

示 M(x,y)到定直线 3x-4y+2=0 的距离,因此动点 M(x,y)到定点(1,0) 的距离等于它到定直线 3x-4y+2=0 的距离,且定点(1,0)不在定直 线 3x-4y+2=0 上,故动点 M 的轨迹是以(1,0)为焦点,以 3x-4y+2=0 为准线的抛物线.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

答案:D 反思感悟 根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合 两点间的距离公式以及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当 变形,分析其几何意义,然后结合有关曲线的定义作出判定.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练3一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆 圆心M的轨迹方程是 . 解析:设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又 因为动圆和直线l:x=-2相切,所以圆心M到直线l:x=-2的距离d=R,即 圆心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等,故其轨迹是抛物线, 且A是焦点,l是准线,并且有 2 =2,所以p=4,故动圆圆心M的轨迹方 程是y2=8x.

答案:y2=8x

探究一

探究二

探究三

思维辨析

忽视抛物线标准方程的形式致误 【典例】 求抛物线x=-ay2(a≠0)的准线方程和焦点坐标.

易错分析易错一:直接将 x=-ay2(a≠0)作为标准方程来求解. 易错二:虽然将抛物线方程化为 y
2

1 =-x,但是没有分

a>0 和

a<0 两种情况讨论. 1 2 2 解抛物线 x=-ay (a≠0)的标准形式是 y =-x,当 a>0
1 1 1 1 1 时,p=- , =- ,故焦点坐标为 2 2 4 1 - ,0 4

时,p=2 , 2 = 4,所以焦点坐标为 - 4 ,0 ,准线方程为 x=4;当 a<0 ,准线方程为
1 x= . 4

1

综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 线方程为 x=4.
1

1 ,0 4

,准

探究一

探究二

探究三

思维辨析

纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若 不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想 方法的运用.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

跟踪训练设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求 抛物线的标准方程.

解由 y=mx2(m≠0)可化为 x2=y,其准线方程为 y=-4. 由题意知x2=-16y.
1 =-2 4

1

1

或-

1 =4,解得 4

m= 或 m=- .
1 2 y=-16x ,即 x2=8y

则所求抛物线的标准方程为

1 2 y=8x 或

1 8

1 16



1

2

3

4

5

1.在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是 “点P的轨迹为抛物线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当定点恰好在定直线上时,点P的轨迹不是抛物线,而是一条 直线,但当点P的轨迹为抛物线时,抛物线上的点到某定点的距离等 于其到某条定直线的距离,故是必要不充分条件. 答案:B

1

2

3

4

5

2.对抛物线 x2=4y,下列描述正确的是( A.开口向上,焦点为(0,1) B.开口向上,焦点为 0, D.开口向右,焦点为
1 16

)

C.开口向右,焦点为(1,0)
1 ,0 16

解析:抛物线x2=4y开口向上,焦点为(0,1),故选A. 答案:A

1

2

3

4

5

3.若点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P(x,y) 的轨迹方程为( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 解析:依题意得点P(x,y)到点F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距 离相等,并且点F(0,2)不在直线y+2=0上,所以点P的轨迹是抛物线, 并且F是焦点,y+2=0是准线,于是抛物线方程为x2=8y. 答案:C

1

2

3

4

5

4.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O, 且过点P(2,4),则该抛物线的方程是 . 解析:由题意可设抛物线方程为y2=2ax.因为点P(2,4)在抛物线上, 所以42=4a,故a=4,即所求抛物线的方程为y2=8x. 答案:y2=8x

1

2

3

4

5

5.若抛物线顶点在原点,对称轴是 x 轴,点 P(-5,2√5)到焦点的距离 是 6,求抛物线的标准方程.
解设焦点为 F(a,0),依题意有|PF|= ( + 5)2 + 20=6,即 a2+10a+9=0,解得 a=-1 或 a=-9. 当焦点为 F(-1,0)时,p=2,抛物线开口方向向左,其方程为 y2=-4x; 当焦点为 F(-9,0)时,p=18,抛物线开口方向向左,其方程为 y2=-36x.


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