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福建省安溪八中2013-2014学年高二上第二学段质量检测(期末)数学理试题


2013 年秋季安溪八中高二年第二学段质量检测

数学(理科)试题

201401115

一、选择题(每小题有且只有一个正确答案,每小题 5 分,共 50 分) 1、若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中不一定成立 的是 ( ) .....
A. a ? c ? b ? c B. ac ? bc
x

C. a ? b
2

2

D. a ?

b
x x

2、已知命题 p : ?x ? R,3 ? 0 ,则( ) A. ?p : ?x0 ? R,3 0 ? 0
x x

B. ?p : ?x ? R,3 ? 0 D. ?p : ?x ? R,3 ? 0

C. ?p : ?x0 ? R,3 0 ? 0

3、复数 z= 2 ? i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4、等差数列 ?an ?中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 则 a12 =( )

A. 15 B.30 C.31 D.64 5、在△ABC 中角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 A = 45°,B = 60°,a=1,则 b 为( ) A.

6 4
x2

B.

6 3

C.

6 2

D. 6 )

6、设 P 是椭圆 + =1 上的点,若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( 25 16 A.4 B.5 C.8 D.10 )

y2

7、若 a∈R,则“a=1”是“(a-1)(a+3)=0”的( A.充要条件

B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

8、与向量 a ? (1, ?3, 2) 平行的一个向量的坐标是( A. (

?

1 1 3 ,1,1) B. (-1,-3,2) C. (- , ,-1)D. ( 2 ,-3,-2 2 ) 3 2 2

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( ) 9、已知三个数 2,m, 8 构成一个等比数列,则圆锥曲线 m 2
A. 2
2

B. 3

C. 2 或 3 2

D. 2 或 6 2 2

10 、已知点 (a, b) 是直线 x ? y ? 2 在第一象限内的一个动点,则 z ? ( )

1 4 ? 的最小值是 a b

7 A. 2

B.4

9 C. 2

D.9

二、填空(每小题 5 分,共 25 分)
11、抛物线 x ? 4 y ,则它的焦点坐标为
2

.

12、已知数列 ?a n ? 中, a n ?1 ?

an , a1 ? 1 ,则 a 3 = 3a n ? 1

.

13、若复数 z 满足 iz ? 1 ? i ( i 为虚数单位 ) ,则 z ? _______.

? x?2?0 ? 14、已知点 P( x, y ) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的最 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
大值为 .

?、 ? 满足 ? ? 1 , ? ? ? ? 15、已知空间向量 ? 、

? , ? ? ? ? ? ? ? ? 0 。若对每一个


?

??

?

确定的 ? ,? 的最大值为 m , 最小值为 n , 则对任意的 ? , m ? n 的最小值为

三、解答题:(6 道大题,共 75 分)
16、(本题满分 12 分) △ABC 中, a , b, c 是 A,B,C 所对的边,S 是该三角形的面积,且 a ? b ? c ? ab
2 2 2

(1)求∠C 的大小; (2)若 a =4, S ? 5 3 ,求 b 的值

17、(本题满分 12 分) 已知在等差数列 {a n } 中, a 2 ? 3, a6 ? 11 (1)求通项公式 an (2)设 bn

? 2 an ,求数列 bn 的前 n 项和 sn

18、(本题满分 12 分) 2 已知 p :x -4x-5≤0, q :|x-3|< a ( a >0)。 (1)求 p 对应不等式的解集 (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围

19、(本题满分 12 分) 已知抛物线顶点在原点,焦点在 x 轴上,又知此抛物线上一点 M(4,m)到焦点的距离为 6. (1)求此抛物线的方程. (2)若此抛物线方程与直线 y=kx-2 相交于不同的两点 A,B,且 AB 中点横坐标为 2,求 k 的值.

20、(本题满分 13 分) 如图 , 在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中 , AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA1 ? 4 , 点 D 是 BC 的 中点 (1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值 (2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.

21、(本题满分 14 分)

? 3? e) 和 ? 0) .已知 (1, 点分别为 F1 (?c , 0) , F2 (c , ?e, 2 ? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. ? ?
(1)求椭圆的方程;

(2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P.

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

y A P B

F1

O

F2

x

(第 21 题)

2013 年秋季安溪八中高二年第二学段质量检测
数学(理科)答案

1-5:BADAC
11、(0,1) 12、

6-10:DBCCC
1 7
13、 1 ? i 14、2 15、

1 2

?a 2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 17、解: (1)由? 得? 1 ?a 6 ? a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2 a2 ? b2 ? c2 ab 1 ? cos C ? ? ? ? a n ? 2n ? 1 2ab 2ab 2 2 2n 4 n an 2 n ?1 0 (2)bn ? 2 ? 2 ? ? ? C ? 60 2 2 1 ? 数列?bn ?是以2为首项,以4为公比的等比数列 (2)由S ? ab sin C 2 2(1 ? 4 n ) 2 n 2S 10 3 ? Sn ? ? (4 ? 1) 得b ? ? ?5 1? 4 3 a sin C 3 4? 2
16、解: (1) ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab
18、解:设p对应的解集为A,q对应的解集为B。 ? A ? ?x | ?1 ? x ? 5? (1) x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 5) ? 0 ? ?1 ? x ? 5 ( 2) x ? 3 ? a ? ? a ? x ? 3 ? a ? ? a ? 3 ? x ? a ? 3 ? B ? ?x | ? a ? 3 ? x ? a ? 3? ? p是q的充分不必要条件? A ? B ?a ? 3 ? 5 由数轴可知? 解得a ? 4 ?- a ? 3 ? -1
19、解:(1)由题意设抛物线方程为 y =2px(p>0),其准线方程为 x=- . ∵M(4,m)到焦点的距离等于 M 到其准线的距离. ∴4+ =6,∴p=4,∴此抛物线的方程为 y =8x.
2 2

(2)由

消去 y 得 k x -(4k+8)x+4=0.

2 2

∵直线 y=kx-2 与抛物线相交于不同两点 A,B,则有 解得 k>-1 且 k≠0, ∵AB 中点横坐标为 2,则有 ∴所求 k 的值为 2. 20、解:(1)以 AB, AC , AA1 为为单位正交基底建立空间直角坐标系 A ? xyz , = =2,解得 k=2 或 k=-1(舍去).

?

?

则 A(0,0,0) B(2,0,0) , C (0,2,0) , A1 (0,0,4) , D(1,1,0) , C1 (0,2,4) ∴ A1 B ? (2,0,?4) , A1 B ? (1,?1,?4) ∴ cos ? A1 B, C1 D ??

A1 B ? C1 D A1 B C1 D

?

18 20 18

?

3 10 10

∴异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值为

3 10 10

(2) AC ? (0,2,0) 是平面 ABA1 的的一个法向量 设平面 ADC1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,∵ AD ? (1,1,0) , AC1 ? (0,2,4) 由 m ? AD, m ? AC1 ∴?

?x ? y ? 0 ?2 y ? 4 z ? 0

取 z ? 1 ,得 y ? ?2, x ? 2 ,∴平面 ADC1 的法向量为 m ? (2,?2,1)

设平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角为 ?

∴ cos? ? cos ? AC , m ? ?

AC ? m AC m

?

5 ?4 2 ? , 得 sin ? ? 3 2?3 3
5 3

∴平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值为

c e) 在椭圆上,得 21、解:(1)由题设知, a 2 =b 2 ? c 2,e= ,由点 (1, a
12 a
2

?

e2 b
2

?1?

1 a
2

?

c2 a b
2 2

=1 ? b2 ? c 2 =a 2b2 ? a 2 =a 2b2 ? b 2 =1 ,∴ c 2 =a 2 ? 1 .

? 3? 由点 ? ?e, 2 ? ? 在椭圆上,得 ? ?

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? e c a2 ? 1 3 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 1 4 a2 b2 a4 a4
∴椭圆的方程为

2

2

x2 ? y2 ? 1 . 2

(2)由(1)得 F1 (?1, 0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , 0) , F2 (1, ∴设 AF1 、 BF2 的方程分别为 my =x ? 1,my =x ? 1 , A ? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 .

? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ∴? 2 . ? m 2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 = ①

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0 ?
2

2

= ? my1 ?

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m 2 ? 2 ? y = m ?1 ? ? . m2 ? 2 m2 ? 2
2 1 2

同理, BF2 =

2 ? m 2 ? 1? ? m m 2 ? 1 m2 ? 2

.②

(i)由①②得, AF1 ? BF2 ?

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 = . 解 得 m2 =2. 2 2 m ?2 m ?2 2

∵注意到 m > 0 ,∴ m = 2 . ∴直线 AF1 的斜率为 (ii)证明:∵ AF1 ∥ BF2 ,∴

1 2 = . m 2

BF PB ? PF1 BF2 ? AF1 PB BF2 PB ,即 . ? ?1 ? 2 ?1? ? PF1 AF1 PF1 AF1 PF1 AF1

∴ PF1 =

AF1 BF1 . AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF1 =

AF1 2 2 ? BF2 . AF1 ? BF2

?

?

同理. PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 . AF1 ? BF2 AF1 BF2 2 AF ?BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2
2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

?

∴ PF1 +PF2 =

?

?

?

?

由①②得, AF1 ? BF =

?

? , AF ?BF = m

2

?1

m ?2

2

,

∴ PF1 +PF2 =2 2 ?

2 3 = 2. 2 2

∴ PF1 ? PF2 是定值.


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