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〔高中数学〕空间向量及其加减运算PPT课件_图文

3.1.1空间向量及其加减运算

一、平面向量复习

⒈定义: 既有大小又有方向的量叫向量.

几何表示法: 用有向线段表示; 字母表示法:用字母a、b等或者用有向线段

的起点与终点字母 AB 表示.

相等的向量: 长度相等且方向相同的向量.

B

D

A

C

⒉平面向量的加减法运算
⑴向量的加法:

b a
平行四边形法则

a 三角形法则(首尾相连)

⑵向量的减法 三角形法则
b a
减向量终点指向被减向量终点

⒊平面向量的加法运算律
加法交换律: a+b=b+a 加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c)

推广

⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A 1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n ? 1 A n ? A 1 A n

A1

A n?1

A2

An

A3

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量.即:

A 1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n ? 1 A n ? A n A 1 ? 0

A1

A n?1

A2

An

A3

A4

二、空间向量及其加减运算
⒈空间向量: ⑴定义:空间中具有大小和方向的量叫做向量.
⑵表示方法: ①空间向量的表示方法和平面向量一样; ②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量; ③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示.

2.空间向量的加法、减法向量

C

b

?

O

B
b aA

OB?OA?AB?a + b
CA?OA?OC? a - b

⒊空间向量加法运算律
⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c);

a

b

c

a

b

c

对空间向量的加法、减法的说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广. ⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立. ⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向
量相加.

推广

⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A 1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n ? 1 A n ? A 1 A n

A1

A n?1

A2

An

A3

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量.即:

A 1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n ? 1 A n ? A n A 1 ? 0

A1

A n?1

A2

An

A3

A4

例1、给出以下命题:

(1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同;
(2)若空间向量 a 、b 满足| a |?| b |,则 a ? b ;
(3)在正方体 ABCD?A1B1C1D 1中,必有 AC?A1C1 ;
(4)若空间向量 m、n、p 满足m?n,n?p,则 m ? p ;
(5)空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是( C )

A.1

B.2

C.3

D.4

变式:如图所示,长方体中,AD=2,AA1=1,AB=3。 (1)是写出与 A B 相等的所有向量;
(2)写出与向量 A A 1 的相反向量。

平行六面体:平行四边形ABCD平移向量a到
A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体。

D1 A1 a
D
A

C1 B1
C B

D1 A1
D
A

C1 B1
C B

记作ABCD—A1B1C1D1,它的六个面都是平行四边形, 每个面的边叫做平行六面体的棱。

例2 已知平行六 AB面C?体 DA'B'C'D',化简 列向量表达式, 化并 简标 结出 果的向

⑴AB ? BC; ⑵AB?AD?AA';

D’ A’

C’ B’

(3 )A B ? C B ?A A ?

(4 )A C ?? D ?B ? D C

D

C

A

B

例 2 、 已 知 平 行 六 面 体 A B C D ? A 'B 'C 'D ', 化 简 下

列 向 量 表 达 式 , 并 标 出 化 简 结 果 的 向 量 :

⑴AB ? BC; (3 )A B ? C B ?A A ?

(4 )A C ?? D ?B ? D C

⑵AB?AD?AA';

D’

C’

解:⑴AB ? BC ? AC

A’

⑵AB?AD?AA'

B’

? AC? AA'

  ? AC?CC'

D

C

? AC '

A

B

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量

为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

例3、在如图所示的平行六面体中,
求证: A C ? A B ?? A D ?? 2 A C ? . D’

变式:

A’

已知平行六面体 A B C D ?A ?B?C ?D ?, 则下列四式中:

(1)AB ? CB ? AC;

D

(2)AC? ? AB ? B?C? ? CC?;
A
(3)AA? ? CC?;

(4)AB ? BB? ? BC ? C?C ? AC?.

其中正确的是



C’ B’
C B

例4、如图所示,在正方体 ABCD?A1B1C1D 1中,
下列各式中运算的结果为向量 A C 1 的共有( )
(1 )(A B ? B C )? C C 1 ;(2 )(A A 1? A 1 D 1 )? D 1 C 1 ; (3 )(A B ? B B 1 )? B 1 C 1 ;(4 )(A A 1? A 1 B 1 )? B 1 C 1 .
A.1 B.2 C.3 D.4
变式: 化 简 : (1)(AB?C D )?(AC?BD ) (2)AB?C B?AD?AD

小结

类比、数形结合

平面向量

空间向量

概念 定义 表示法 相等向量

具有大小和方向的量

加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算

运 加法交换律 a?b?b?a 算 加法结合律 律 (a?b)?c?a?(b?c)

加法交换律 a?b?b?a 加法结合律 (a?b)?c?a?(b?c)

18、我终于累了,好累,好累,于是 我便爱 上了寂 静。 19、只有收获,才能检验耕耘的意义 ;只有 贡献, 方可衡 量人生 的价值 。
20、赚钱之道很多,但是找不到赚钱 的种子 ,便成 不了事 业家。 21、追求让人充实,分享让人快乐。
22、世界上那些最容易的事情中,拖 延时间 最不费 力。 23、上帝助自助者。
24、凡事要三思,但比三思更重要的 是三思 而行。 25、如果你希望成功,以恒心为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。
26、没有退路的时候,正是潜力发挥 最大的 时候。 27、没有糟糕的事情,只有糟糕的心 情。
28、不为外撼,不以物移,而后可以 任天下 之大事 。 29、打开你的手机,收到我的祝福, 忘掉所 有烦恼 ,你会 幸福每 秒,对 着镜子 笑笑, 从此开 心到老 ,想想 明天美 好,相 信自己 最好。
30、不屈不挠的奋斗是取得胜利的唯 一道路 。 31、生活中若没有朋友,就像生活中 没有阳 光一样 。
32、任何业绩的质变,都来自于量变 的积累 。 33、空想会想出很多绝妙的主意,但 却办不 成任何 事情。 34、不大可能的事也许今天实现,根 本不可 能的事 也许明 天会实 现。 35、再长的路,一步步也能走完,再 短的路 ,不迈 开双脚 也无法 到达。
36、失败者任其失败,成功者创造成 功。 37、世上没有绝望的处境,只有对处 境绝望 的人。
38、天助自助者,你要你就能。 39、我自信,故我成功;我行,我一 定能行 。 40、每个人都有潜在的能量,只是很 容易: 被习惯 所掩盖 ,被时 间所迷 离,被 惰性所 消磨。
41、从现在开始,不要未语泪先流。 42、造物之前,必先造人。
43、富人靠资本赚钱,穷人靠知识致 富。 44、顾客后还有顾客,服务的开始才 是销售 的开始 。 45、生活犹如万花筒,喜怒哀乐,酸 甜苦辣 ,相依 相随, 无须过 于在意 ,人生 如梦看 淡一切 ,看淡 曾经的 伤痛, 好好珍 惜自己 、善待 自己。
46、有志者自有千计万计,无志者只 感千难 万难。 47、苟利国家生死以,岂因祸福避趋 之。 48、不要等待机会,而要创造机会。
49、如梦醒来,暮色已降,豁然开朗 ,欣然 归家。 痴幻也 好,感 悟也罢 ,在这 青春的 飞扬的 年华, 亦是一 份收获 。犹思 “花开 不是为 了花落 ,而是 为了更 加灿烂 。 50、人活着要呼吸。呼者,出一口气 ;吸者 ,争一 口气。 51、如果我不坚强,那就等着别人来 嘲笑。
52、若不给自己设限,则人生中就没 有限制 你发挥 的藩篱 。 53、希望是厄运的忠实的姐妹。
54、辛勤的蜜蜂永没有时间悲哀。 55、领导的速度决定团队的效率。 56、成功与不成功之间有时距离很短 只要后 者再向 前几步 。 57、任何的限制,都是从自己的内心 开始的 。 58、伟人所达到并保持着的高处,并 不是一 飞就到 的,而 是他们 在同伴 誉就很 难挽回 。 59、不要说你不会做!你是个人你就 会做! 60、生活本没有导演,但我们每个人 都像演 员一样 ,为了 合乎剧 情而认 真地表 演着。 61、所谓英雄,其实是指那些无论在 什么环 境下都 能够生 存下去 的人。5、心情 就像衣 服,脏 了就拿 去洗洗 ,晒晒 ,阳光 自然就 会蔓延 开来。 阳光那 么好, 何必自 寻烦恼 ,过好 每一个 当下, 一万个 美丽的 未来抵 不过一 个温暖 的现在 。
6、无论你正遭遇着什么,你都要 从落魄 中站起 来重振 旗鼓, 要继续 保持热 忱,要 继续保 持微笑 ,就像 从未受 伤过一 样。
7、生命的美丽,永远展现在她的 进取之 中;就 像大树 的美丽 ,是展 现在它 负势向 上高耸 入云的 蓬勃生 机中;像 雄鹰的 美丽, 是展现 在它搏 风击雨 如苍天 之魂的 翱翔中;像江河 的美丽 ,是展 现在它 波涛汹 涌一泻 千里的 奔流中 。
8、有些事,不可避免地发生,阴 晴圆缺 皆有规 律,我 们只能 坦然地 接受;有些事 ,只要 你愿意 努力, 矢志不 渝地付 出,就 能慢慢 改变它 的轨迹 。
9、与其埋怨世界,不如改变自己 。管好 自己的 心,做 好自己 的事, 比什么 都强。 人生无 完美, 曲折亦 风景。 别把失 去看得 过重, 放弃是 另一种 拥有;不要经 常艳羡 他人, 人做到 了,心 悟到了 ,相信 属于你 的风景 就在下 一个拐 弯处。
62、一切的一切,都是自己咎由自取 。原来 爱的太 深,心 有坠落 的感觉 。 63、命运不是一个机遇的问题,而是 一个选 择问题 ;它不 是我们 要等待 的东西 ,而是 我们要 实现的 东西。
64、每一个发奋努力的背后,必有加 倍的赏 赐。 65、再冷的石头,坐上三年也会暖。


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