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2019届高三数学(理)人教版一轮课件:第三篇第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式(38) _图文

第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

2019年7月10日

你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘

1

考纲展示

1.理解同角三角函数的基本

关系:sin2x+cos2x=1, sin x

=tan x.

cos x

2.能利用单位圆中的三角函数线推导
出 π ±α ,π ±α 的正弦、余弦、正切 的诱2 导公式.

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知识梳理自测 考点专项突破 易混易错辨析

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知识梳理自测

把散落的知识连起来

【教材导读】

1.同角三角函数的基本关系中,对任意角均成立吗?

提示:在 tan α= sin? 的关系中,需保证 tan α有意义,所以需使α≠ π +kπ,k∈Z.

cos?

2

2.诱导公式的功能是什么?

提示:任意角化为锐角,再求值.

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1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系 sin2 α +cos2 α = 1 .
(2)商数关系
sin?
tan α = cos? .

知识梳理

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2.诱导公式

组序

正弦 余弦 正切

一 2kπ + α (k∈Z) sin α cos α tan α


π +α
-sin α -cos α tan α



-sin α cos α -tan α


π -α
sin α
_-__c_o_s__α_ _-_t_a__n__α_

五 π -α 2 cos α sin α


π +α 2
_c_o_s__α___
-sin α

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【重要结论】 诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限.“奇”与“偶”指的是 k· π +α 中的
2 整数 k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若 k 是奇数,则 正、余弦互变;若 k 为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在 k· π +α 中,
2 将α 看成锐角时 k· π +α 所在的象限.
2

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双基自测

1.tan 8π 的值为( D )
3

(A) 3 (B)- 3 (C) 3 (D)- 3

3

3

解析:因为 tan 8π =tan(3π- π )=-tan π =- 3 .

3

3

3

故选 D.

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2.(2017·山东菏泽一中月考)化简sin 690°的值是( B )

(A)0.5 (B)-0.5

(C) 3 2

(D)- 3 2

解析:sin 690°=sin(2×360°-30°)=sin(-30°)=-sin 30° =-0.5.故选B.

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3.若 tan α =2,则 2sin? ? cos? 的值为( B )
sin? ? 2cos?

(A)0

(B) 3 4

(C)1

(D) 5 4

解析: 2sin? ? cos? = 2 tan? ?1 = 2 ? 2 ?1 = 3 .故选 B. sin? ? 2cos? tan? ? 2 2 ? 2 4

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4.已知 sin(α + π )= 1 ,则 cos(α + 7π )=

.

12 3

12

解析:cos(α+ 7π )=sin( π -α- 7π )=-sin(α+ π )

12

2 12

12

=- 1 . 3
答案:- 1 3

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5.下面结论正确的是

.

①若α ,β 为任意角,则 sin2α +cos2β =1.

②若α ∈R,则 tan α = sin? 恒成立. cos?

③sin(π +α )=-sin α 成立的条件是α 为锐角.

④诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 π 的奇数倍 2

和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.

答案:④

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考点专项突破

在讲练中理解知识

考点一 同角三角函数的基本关系★★★

【例1】 (1)已知sin θ +cos θ = 1 ,θ ∈(0,π ),则sin θ -cos θ 的值



;

5

(1)解析:将 sin θ+cos θ= 1 两边平方得 5
(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ= 1 , 25
所以 2sin θcos θ=- 24 <0, 25

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所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ= 49 , 25
因为θ∈(0,π),
所以 sin θ>0,cos θ<0,所以θ∈( π ,π), 2
即 sin θ-cos θ>0,
所以 sin θ-cos θ= 7 . 5
答案: 7 5

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(2) 已知 sin θ +cos θ = 1 ,θ ∈(0,π ). 5
①求 tan θ 的值; ②求 1 ? 2sin? cos? 的值. cos2 ? ? sin2 ?

(2)解:①因为 sin θ+cos θ= 1 , 5

平方可得 1+2sin θcos θ= 1 ,所以 sin θcos θ=- 12 ,

25

25

结合θ∈(0,π),

联立求得 sin θ= 4 ,cos θ=- 3 ,

5

5

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所以 tan θ= sin? =- 4 . cos? 3

② 1 ? 2sin? cos? =

?cos? ? sin? ?2

cos2 ? ? sin2 ? ?cos? ? sin? ? ? ?cos? ? sin? ?

= cos? ? sin? cos? ? sin?

= 1 ? tan? 1 ? tan?
=-7.

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反思归纳 同角三角函数的基本关系的应用技巧
(1)利用 sin2α+cos2α=1 即可利用 1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2 α实现α的正弦、余弦的互化,利用 sin? =tan α可实现角α的弦切互化.
cos? (2)sin θ+cos θ sin θcos θ sin θ-cos θ,上述转化过程中,开方要根
据θ的范围确定正负.
(3)关于sin α,cos α的齐次式,或含有sin2α,cos2α及sin αcos α的 式子求值时,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代换 后转化为“切”后求解.

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跟踪训练 1:(1)若角α 的终边落在第三象限,则 cos? + 2sin? 的值为 1 ? sin2 ? 1 ? cos2 ?

()

(A)3

(B)-3

(C)1

(D)-1

解析:(1)由角α的终边落在第三象限得 sin α<0,cos α<0, 故原式= cos? + 2sin? = cos? + 2sin? =-1-2=-3.故选 B.
cos? sin? ? cos? ? sin?

答案:(1)B

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(2)(2016·华中师大附中期中)已知tan α =-2,则(sin α -cos α )2= .
解析: (2)(sin α-cos α)2= sin2 ? ? cos2 ? ? 2sin? cos? sin2 ? ? cos2 ?
= tan2 ? ? 1 ? 2 tan? tan2 ? ? 1
=9 . 5 答案:(2) 9 5

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考点二 三角函数的诱导公式★★★

【例 2】 (1)(2016·河北唐山模拟)给出下列各函数值:

sin 7π cos π

①sin(-1 000°);②cos(-2 200°);③tan(-10);④ 10

.其中符号为负的为

tan 17π

9

()

(A)① (B)② (C)③ (D)④

解析:(1)sin(-1 000°)=sin 80°>0;cos(-2 200°)=cos(-40°)=cos 40°>0;

tan(-10)=tan(3π-10)<0;因为 sin 7π >0,tan 17π <0,

10

9

所以

sin

7π 10

cos

π

=

?sin 7π 10

>0.故选

C.

tan 17π tan 17π

9

9

答案:(1)C

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(2)已知 cos( π -α )= 2 ,则 sin(α - 2π )=

.

6

3

3

解析: (2)因为( π -α)+(α- 2π )=- π ,所以 sin(α- 2π )=sin[- π -( π -α)]

6

32

3

26

=-sin[ π +( π -α]]=-cos( π -α)=- 2 .

26

6

3

答案:(2)- 2 3

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反思归纳 (1)诱导公式用法的一般思路

①化绝对值大的角为锐角.

②角中含有加减 π 的整数倍时,用公式去掉 π 的整数倍.

2

2

(2)可以归结诱导公式为两类:

①± π ±α,口诀是:函数名改变,符号看象限. 2
②±π±α,口诀是:函数名不变,符号看象限.

(3)常见的互余和互补的角

①常见的互余的角: π -α与 π +α; π +α与 π -α; π +α与 π -α等.

3

6

3

6

4

4

②常见的互补的角: π +θ与 2π -θ; π +θ与 3π -θ等.

3

3

4

4

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跟踪训练

2:已知

f(α

)=

sin

?5π

?

?

? cos

?

π

?

?

?

cos

? ??

3π 2

?

?

? ??

.

cos

????

?

π 2

? ??

tan

?3π

?

?

?

sin

????

?

3π 2

? ??

(1)化简 f(α );

解:(1)f(α)=

sin

?5π

?

?

?

cos



?

?

?

cos

? ??

3π 2

?

?

? ??

=

sin? ??cos? ? ? sin?

cos

????

?

π 2

? ??

tan

?3π

?

?

?

sin

????

?

3π 2

? ??

??sin? ? ? ??tan? ? ? cos?

=- sin? ? cos? ? sin? =-cos α. sin? ? sin?

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(2)若α 是第三象限角,且 cos( 3π -α )= 3 ,求 f(α )的值.

2

5

解:(2)因为 cos( 3π -α)=-sin α= 3 ,

2

5

所以 sin α=- 3 ,又由α是第三象限角, 5

所以 cos α=- 4 ,故 f(α)=-cos α= 4 .

5

5

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考点三 诱导公式与同角三角函数的基本关系的综合应用★★★
【例 3】 已知 f(x)= cos2 ?nπ ? x? ? sin2 ?nπ ? x? (n∈Z). cos2 ???2n ?1? π ? x??
(1)化简 f(x)的表达式;

解:(1)当 n 为偶数,即 n=2k(k∈Z)时,
f(x)= cos2 ?2kπ ? x? ? sin2 ?2kπ ? x? cos2 ???2 ? 2k ?1? π ? x??

= cos2x ? sin2 ??x? = cos2x ? ??sin x?2 =sin2x;

cos2 ?π ? x?

??cos x?2

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当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时,

f(x)= cos2 ???2k ? 1? π ? x?? ? sin2 ???2k ? 1? π ? x??
? ? cos2 ??2 ? ?2k ?1? ?1?? π ? x
= cos2 ?π ? x? ? sin2 ?π ? x? cos2 ?π ? x?

= ?? cos x?2 sin2 x ??cos x?2

=sin2x, 综上得 f(x)=sin2x.

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(2)求 f( π )+f( 504π )的值. 2018 1009

解:(2)由(1)得

F( π )+f( 504π )=sin2 π +sin2 1008π

2018

1009

2018

2018

=sin2 π +sin2( π - π )

2018

2 2018

=sin2 π +cos2 π

2018

2018

=1.

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反思归纳 利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求:(1)基本思 路:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成单角三角函数;③整理 得最简形式.(2)化简要求:①化简过程是恒等变换;②结果要求项数尽可能 少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.

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跟踪训练 3:(2017·广州模拟)当θ 为第二象限角,且 sin ( ? + π )= 1 时, 1 ? sin? 2 2 3 cos ? ? sin ? 22

的值是( )

(A)1

(B)-1

(C)±1 (D)0

解析:因为 sin ( ? + π )= 1 ,所以 cos ? = 1 ,所以 ? 在第一象限,且 cos ? <sin ? ,

22 3

23

2

2

2

所以

1 ? sin?

=

? ???

cos

? 2

?

sin

? 2

? ??

=-1.

cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

22

22

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备选例题
【例 1】 计算: cos350o ? 2sin160o 等于( )
sin ??190o ?

(A)- 3

(B)- 3 2

(C) 3 2

(D) 3

? ? ? ? ? ? cos 360o ?10o ? 2sin 180o ? 20o cos10o ? 2sin 30o ?10o

解析:原式=

=

? ? ?sin 180o ? 10o

???sin10o ?

=

cos10o

?

? 2 ???

1 2

cos10o

?

3 2

sin10o

? ???

=

sin10o

3 .故选 D.

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【例 2】 已知 sin(3π -α )=-2sin ( π +α ),则 sin α cos α = 2
解析:因为 sin(3π-α)=-2sin ( π +α), 2
所以 sin α=-2cos α,所以 tan α=-2, 所以 sin αcos α= sin? cos? = tan? = ?2
sin2? ? cos2 ? tan2 ? ? 1 ??2?2 ? 1
=- 2 . 5
答案:- 2 5

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.
31

【例 3】 已知 sin(3π +α )=2sin ( 3π +α ),求下列各式的值: 2
(1) sin? ? 4cos? ; 5sin? ? 2cos?
解:由已知得 sin α=2cos α. (1)原式= 2cos? ? 4cos? =- 1 .
5? 2cos? ? 2cos? 6

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(2)sin2α +sin 2α .

解:(2)原式= sin2? ? 2sin? cos? = sin2? ? sin2 ? = 8 .

sin2? ? cos2 ?

sin2? ? 1 sin2 ? 5

4

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易混易错辨析

用心练就一双慧眼

三角函数求值问题中的隐含条件

【典例】 导学号 38486079 设θ 为第二象限角,若 tan(θ + π )= 1 ,则 sin θ +cos θ 42

=

.

错解:由 tan(θ+ π )= 1 ,得 cos(θ+ π )=2sin(θ+ π ),

42

4

4

代入 sin2(θ+ π )+cos2(θ+ π )=1,

4

4

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得 sin2(θ+ π )= 1 , 45
因为θ为第二象限角,

所以θ∈(2kπ+ π ,2kπ+π),k∈Z, 2

所以θ+ π ∈(2kπ+ 3π ,2kπ+ 5π )k∈Z.

4

4

4

所以,sin(θ+ π )=± 5 ,

4

5

因此 sin θ+cos θ= 2 sin(θ+ π )=± 10 .

4

5

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易错分析:本题解答时易出现以下错误:
(1)不能提炼隐含信息 tan(θ+ π )>0. 4
(2)利用同角三角函数平方关系,开方运算时忽视三角函数符号的判定.

(3)开方后由角的范围不能确定三角函数符号时,要结合函数值的符号进 一步缩角.

正解:由 tan(θ+ π )= 1 ,得 cos(θ+ π )=2sin(θ+ π ),

42

4

4

代入 sin2(θ+ π )+cos2(θ+ π )=1,

4

4

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得 sin2(θ+ π )= 1 ,因为θ为第二象限角, 45

所以 2kπ+ 3 π<θ+ π <2kπ+ 5 π,k∈Z.又 tan(θ+ π )= 1 >0,

4

4

4

42

所以 2kπ+π<θ+ π <2kπ+ 5 π(k∈Z),故 sin(θ+ π )=- 5 .

4

4

45

因此 sin θ+cos θ= 2 sin(θ+ π )=- 10 .

4

5

答案:- 10 5

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