当前位置:首页 >> 数学 >>

三角函数与向量的基本概念及综合应用

学习好资料

欢迎下载

向量和三角函数的基本概念与应用

一、 向量的基本概念: 1、 向量、平行向量(共线向量)、零向量、单位向量、相等向量:

→→

→→

2、 向量的表示:AB、 a 、区别于|AB|、| a |

3、 向量的加法、减法:平行四边形法则和三角形法则 ★ 例题 1、一艘船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的速为 2km/h;求
船实际航行的速度大小和方向。(答案:4km/h,方向与水流方向成 60°角)

★【※题 2】①设 O 为平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足O→P=O→A+?(A→B+A→C),?∈

[0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( D )

A 外心

B 垂心

C 内心

D 重心

→→

②将上题中的条件改为O→P=O→A+?(

AB →

+

AC →

)则应选(

C

)

|AB| |AC|

→ → →→→ →→→

→→ →→

★ 例题 3:(1)、化简下列各式:①MN+NM;②FD+DE-EF;③AB+BC+CA;④(AB-DC)+(DA-CB)其中结

果为 0 的有①③④

→→ →

→→→→→→→

( 2)、在平行四边形 ABCD 中,AB= a ,DB= b ,则有:AD= a - b ,AC= a + a - b

4、 实数与向量的积、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示: ① 注意点的坐标和向量的坐标的差别:②向量的平等行和垂直坐标公式:
5、向量的数量积的概念,以及向量平行、垂直、长度、夹角: → →→ →
★例 1、已知平行四边形 OADB 中,OA= a ,OB= b ,AB 与 OD 相交于点 C,且
|BM|=13|BC|,|CN|=13|CD|,用→a 、→b 表示O→M、O→N、和M→N。

→→→ ★ 例 2、求证;G 为△ABC 的重心的充要条件是:GA+GB+GC=0

→ →→ → → ★例 3、已知 AD、BE 分别是△ABC 的边 BC、AC 上的中线,AD= a ,BE= b ,则BC=____

→ →→ ★ 例 4、①已知等差数列{an}的前 n 项之和为 Sn,若 M,N,,P 三点共线,O 为坐标原点,且ON=a31OM+a2OP(直

线 MP 不过点 O),则 S32 等于多少?

→→ → ②(2006 年江西高考)已知等差数列{an}的前 n 项之和为 Sn,若OB=a1OA+a200OC,且=A,B,C 三点共线

(该直线不过点 O),则 S200 等于( )

A 100 B 101 C 200

D 201





★例 5、①若 a 的起点和终点坐标分别为(1,3),(4,7),则| a |=_____

学习好资料

欢迎下载





→ → →→

② 已知 a =(1,2), b =(x,1),且 a +2 b 与 2 a - b 平行,则 x 之值为____



→→ →



③ 已知 a =(3,4), a ⊥ b ,且 b 的起点坐标为(1,2),终点坐标为 (x,3x),则 b 等于_____

④ 已知点 M(3,-2),N(-5,-1),且M→P=12M→N,则点 P 的坐标是____(答案:(-1,-23)





→→

→→

巩固练习:(一)平面向量的坐标运算规律:①设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a + b =_________; a - b





=__________,? a =______;②| a |=

→a 2 =

x12+y12

→→→ →

→→

;又 a · b =| a |·| b |·cos< a , b >=x1x2+y1y2 则

→→

→→ a·b

cos< a , b >= → → =

| a || b

x1x2+y1y2 x12+y12 · x22+y22

;

→→ ③若 a ∥ b ?x1y2-x2y1=0;

→→ 若 a ⊥ b ?x1x2+y1y2=0,







→→ →

★例 1、 ① 已知 a =(3,5) b=(2,3), c =(1,-2),求( a · b )· c (答案:(21,-42))





→→

②已知 a =(3,-1), b =(-1,2),则-3 a -2 b 的坐标为_____(答案:(-7,-1))

→→

→ → →→

→→

③已知| a |=4,| b |=3,(2 a -3 b )·(2 a + b )=61,求 a 与 b 的夹角.(为 120°)

2 → → → →
④已知| a |=2,| b |=9, a · b =-54

→→ ,求 a 与 b 的夹角.(为 135°)









→→

2、①已知 a =(1,2), b =(x,1)且 a +2 b 与

→→ 2 a - b 平行,则

x=_____(答案:

1

)

2

→→ ②已知| a |=2,| b |=1,

→→ a 与 b 的夹角为

?

→ → →→ ,求向量 2 a +3 b 与 3 a - b 的夹角的余弦值.(答

3

案:

28 37 · 31





→ → →→ →→

);③已知向量 a =(cos?,sin?), b =(cos?,sin?),且 a ≠± b ,则 a + b 与 a - b 的夹角大

小是____(90°)

→→

→ →→



④已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且| a |=3,| a + b |= 13 ,则| b |=_____





→→ → →

→→ → →

★例 3 已知 a =(1,2), b =(-3,2),当 k 为何值时,①k a + b 与 a -3 b 垂直?②k a + b 与 a -3 b 平行,平行时它们是

同向还是反向?(解:①k=19; ②k=-1/3,反向.)

→→

→→

→→

→→

→→

★例 4:①若向量 a +3 b 垂直于向量 7 a -5 b ,且向量 a -4 b 垂直于向量 7 a -2 b ,求向量 a 与 b 的夹角大小.(答

案:60°)





→→

→→

②已知向量 a =(2,7), b =(x,-3),当 a 与 b 的夹角为钝角时,求出 x 的取值范围;若 a 与 b 的夹角为锐角时,

21 -6

21

问 x 的取值范围又为多少?(答案:为钝角时 x< 2 ,x≠ 7 ; 为锐角时 x> 2 )

★例

5、已知→a =(cosx2,sinx2),→b =(sin32x,cos32x),x∈[0,

? 2

→→

→→

→→

],①求 a · b ;②求| a + b |,③设函数?(x)= a · b

2 →→
+ | a + b |,求出?(x)的最大值和最小值。

2 2 → →

→→

解: a · b =sin2x; | a + b |=

(sinx+cosx), ?(x)的最大值为 1+2

,最小值 2

学习好资料

欢迎下载

★ 例 6、已知向量 a=(sin?,1),b=(1,cos?),- ? <?< ? ,①若 a⊥b,求出?之值,②求出|a+b|的最大值。(答 22

2 案:?=- ? ,|a+b|的最大值

+1)

4

3 →



★例 7、①已知向量 a =(cos?,sin?),向量 b =(

→→ ,-1),求|2 a - b |的最大值。(答案为 4)





→→

②已知向量 a =(3,1),向量 b =(x,-3),且 a ⊥ b ,求出 x 之值。(答案为 1)

→→

→→

→→ →→

③已知| a |=3,| b |=2,且 a 与 b 的夹角为 60°,当 m 为何值时,两向量 3 a +5 b 与 m a -3 b 互相垂直?(答

29 案:m=14)

→→

→→

→→

④已知| a |=3,| b |=8,向量 a 与 b 的夹角为 120°,则| a + b |之值为多少?(答案:7)

3 → →

→→

→→

⑤已知| a |=| b |=1,及|3 a -2 b |=3,求出|3 a + b |之值。(答案:2 )

→→

→→→ →→→ →→

⑥已知 a , b 是非 0 向量,且满足 a -2 b ⊥ a ,和 b -2 a ⊥ b ,则 a 与 b 的夹角为多少?(答案:为 60);⑦





→→ →

4 -3

已知向量 a =(4,-3),| b |=1,且 a · b =5,则 b =_______(答案:(5, 5 )

→→



→→ →→



⑧若向量 a 与 b 的夹角为 60°,且| b |=4,又有( a +2 b )·( a -3 b )=-72,则向量 a 的模为多少?(答案:

为 6);⑨已知点 A(-2,0),点 B(3,0),动点 P(x,y)满足→PA·→PB=x2,则动点 P 的轨迹方程为____(答案:

y2=x+6)

⑩在△ABC

中,a,b,c 分别为角

A,B,C

的对边,且

?
a+c=2b,A-C=

,求

sinB(答案:

3

39 8



→→ → →

→ → →→

→→

★例 8、已知向量 a , b ,且| a |=4,| b |=3,又(2 a -3 b )·(2 a + b )=61,则< a , b >=_____(120°)

→→→→→→ ★例 9、已知两点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 使MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差小于 0 的等差数列,① 求点 P 的轨迹方程;②若点 P 的纵坐标为 2 ,求 tan<→PM,→PN>之值。(答案:①x2+y2=3(x>0);② 2 )





→→

→→

★ 例 10、已知 a =(1,-2), b =(1,?),①若 a 和 b 的夹角为锐角,求?的取值范围;②若 a 和 b 垂直,求?

→→

→→

→→

之值;③若 a 和 b 的夹角为钝角,求?的取值范围;④若 a 和 b 同向,求?的值;⑤若 a 和 b 反向,求?

→→ 的值;⑥若 a 和 b 共线,求?的值。







→→→

→→

★ 例 11、已知 a =(-3,2), b =(2,1), c =(3,-1),t∈R,①若 a -t b 与 c 共线,求实数 t 之值。②求出| a +t b

|的最小值及相应的 t 之值。

四、三角与与向量的综合归纳

学习好资料

欢迎下载

1、三角变形公式主要是: ①诱导公式;②sin(?±?),cos(?±?),tan(?±?);③sin2?,cos2?,tan2?;③sin2?,cos2?;④asin?+bcos?;
⑤注意常数代换(如 1= sin2?+cos2?;12=sin30°=cos60°等;角的配凑(如?=(?+?)-?,2?=(?+?)+(?-?),

?=?+2?+?2-?等) 2、变形时,要注意角与角之间的相互关系,最常用的有:切割化弦、高次降幂、异角化同角等;(化同名、化 同次、化同角) 3、三角函数的图象和性质,要注意定义域、值域、奇.偶.性.、.图.象.对.称.性.、.周.期.性.、.单.调.性.、最值;正、余弦 函数作图的“五点法”,以及图象的变换。 4、解三角形时,要充分利用正弦定理、余弦定理,结合三角形的内角和定理,三角变形公式去处理问题; 5、向量要注意选择几何、字符、坐标运算形式,力求简化运算过程;要将坐标运算与基底运算灵活

加以应用;向量的数量积是解决有关平行、垂直、夹角、模、投影等问题的重要工具;利用|→a |2=→a ·→a

=→a 2 可以实现数量积与模的相互转化。

【※题 1】①已知→a =(1,1)→a 与→a +2→b 的方向相同,则→a ·→b 的取值范围是_______(答案:(-1,+∞))

②已知非零向量A→B与A→C满足(

A→B |→AB|

+

A→C |A→C|

)·B→C=0,且

A→B |A→B|

·

A→C |→ AC|

=1 2

,则△ABC 为(D

)

A 钝角△

B Rt△ C 等腰非等边△ D 等边△

③已知O→A=(3,1),→OB=(-1,2),若→OC⊥→OB,且→BC∥→OA,则O→C=________(答案:(14,7))

④已知向量→a =(1,-2),→b =(1,?),若→a 与→b 的夹角为锐角,则实数?的取值范围是_____(答案:(-∞,-2)∪

1
(-2, ))
2

3 3 【※题 2】设函数?(x)= →a ·→b ,其中向量→a =(2cosx,1),→b =(cosx,

sin2x),①当?(x)=1-

,且 x

∈[- ?

?
,

],求 x;

②若函数 y=2sin2x 的图象按向量→c =(m,n)(|m|< ?

)平移后得到函数 y=?(x)的图象,

33

2

求实数 m,n 之值。

解:①?(x)=2sin(2x+

? 6

)+1,则

x=-

? 4

;②m=-1π2

, n=1

★【※题 3】①已知 tan(?-π )= 1 ,则(2sin?+cos?)cos?的值为( A ) 2

8

4

A5 B5

C1 D0

②已知?、?∈(34π

,π

),sin(?+?)=-53,sin(?-

? 4

)=1132,则

cos(?+

? 4

)=__________(答案:-6556)

③已知?(x)=2tanx-

2sin2(x2)-1 xx

,则是?(1π2)的值为(



sin2cos2

A4 3

83

B3

C4

D 8 (解、?(x)=sin42x ,则所求为 8)

学习好资料

欢迎下载

★【※题 4】①设△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,则 cosB=( B )

1

3

A4

B4

2
C4

2
D3

②已知某正弦函数 y=Asin(ω x+?)的部分图象如图示,则?(x)的解析式为

________(答案:y= y=-4sin( ? x+ ? ) 84

③函数 y=sin(2x- ? )的图象是由函数 y=cos2x 的图象经过下列哪种平移变换而得到 3

的( D ) A 向左平移 5? 个单位 6

B 向右平移 5? 个单位 6

C 向左平移51π2 个单位 D 向右平移51π2 个单位

★【※题 5】①设点 P 是函数?(x)=sinω x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的距离的最

小值是 ? ,则?(x)的最小正周期是_______(答案:π ) 4

3 ②已知函数?(x)=

πx sin r

(r>0)的图象上的一个最大值点和一个最小值点都在圆 x2+y2=r2 上,则?(x)的最

小正周期是______(答案:4)

③已知函数 y=sin(ω x+?)(ω >0,0<?<π )是偶函数,其图象关于点 M( 3? ,0)对称,且在[0, ? ]上是单调

4

2

函数,求ω

和?的值.(答案:?=

? 2



=2

2 或3)

★【※题 6】已知函数?(x)=

3 sinω xcosω x-cos2ω x+32

(ω ≠0)的最小正周期是π ,且图象关于直线 x= ? 6



称,①求出ω 之值; ②若当 x∈[0, ? ]时,|a+?(x)|<4 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

解、①?(x)=

-sin(2x+ ? 6

)+1;②|a+?(x)|<4 恒成立?[-4-?(x)]max<a<[4-?(x)]min

则 a∈(-4,52)

3 ★【※题 7】①把函数 y=cosx- sinx 的图象向左平移 m 个单位之后,所得图象关于 y 轴对称,则 m 的

最小值是( C )A ? B ? C 2?

6

3

3

D 5? 6

②若?(x)= asin(x+ ? )+3sin(x- ? )是偶函数,则 a=______(答案:-3)

4

4

③把曲线

C:y=sin(78π

-x)cos(x+π8

)向右平移 a(a>0)个单位,得到曲线 C′,若曲线

C′关于点(

? 4

,0)对称,

则 a 的最小值是_____(答案:38π )

★【※题 8】受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;

卸货后落潮时返回海洋.某港口水的深度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作 y=?(t),下面是该港口

在某季节每天水深的数据:

t(时)

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y(米) 10.0

13.0

9.9

7.0

10.0

13.0

10.1

7.0

10.0

经过长期观察, y=?(t)曲线可以近似地看作函数 y=Asinω t+k 的图象

①根据以上数据,求出函数 y=?(t)的近似表达式; ②一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5m 或 5m

以上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只要不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5m,如果

学习好资料

欢迎下载

该船想在同一天内安全进出港口,问它至多能在港内停留多长的时间(忽略进出港口所需时间)

解:①y=3sin ? t+10; ②y=3sin ? t+10≥5+6.5,则 1≤t≤5 或 13≤t≤17,则最多可停留 16 个小时.

6

6

【※题 9】设△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,

(Ⅰ)给出下列两个条件:?a,b,c 成等差数列; ?a,b,c 成等比数列;

2 (Ⅱ)给出下列三个结论:①0<B≤

? 3

;②a·cos2(C2)+c·cos2(A2 )=32b;③1<CO1+SsBin+2sBinB≤

请你选择给定的两个条件中的一个做为条件,给定的三个结论中的两个做为结论,组建一个你认为正确的命

题,并给出证明.

解:(1)可组建四个正确的命题:??①②;??①③;??②③;??①③

2 2 (2)y=CO1+SsBin+2sBinB =

?
sin(B+

)且 0<B≤ ?

,则 1<y≤

4

3

一、综合巩固练习(1)

cot( ? -?)



例 1:化简:

①tsainn((3?π-5-π?))·

2 tan(?- 3? )

·scions((-8?π-4-π?))

2

(答案:sin?)

②化简:sin(?- ? )+cos(?+ ? )

4

4

(答案:0)

③已知π <?<2π ,cos(?-9π )=-53,求 cot(?-112π )的值

(答案:原式=-tan?=4/3)

★1、函数 y=|ssiinnxx| +|ccoossxx| +|ttaannxx| +|ccoottxx|的值域为(B):

A{-2,4 }B {-2,0,4} C {-2,0,2,4}D {-4,-2,0,4}

★2、设函数?(x)=asin(π x+?)+bcos(π x+?),其中 a,b,?,?均为非 0 实数,且有?(2003)=1,求?(2004) 之值 (答案:-1)

★3、已知

sin?是方程

5x2-7x-6=0

的一个根,求csoisn((2ππ

-?)cos(π +?)sin(2π

+?)tan2(2π -?)cot2(π

--??))之值

解;sin?=-53,则所求为-tan2?=1-69

★4、①求

sin

4? 3

cos265π

tan(-

5? 4

)之值

(答案:34)

※②已知 tan(5π +?)=m,则sisnin(?(--?3π)-)c+ocso(1s(15ππ+-??))之值为多少?(答案1m+-m1)

★5、(2006·湖南省·文科·16 题·12 分)已知

sin( ? -2?)

3 sin? -

2
cos(π +?)

·cos?=1,?∈(0,π ),求?之值

3 解:化简得

sin? -2sin2?=0,则 sin?=0(舍去)或 3 ,则?= ? 或 2?

2

33

★ 6、(2006·天津·文科·17 题·12 分)已知 tan?+cot?=5/2,?∈( ? , ? )求 cos2?和 sin(2?+ ? )

42

4

学习好资料

欢迎下载

2 之值。(答案:∵tan?=2,

cos2?=-53和

sin(2?+

? 4

)=

10

)



7、(2006·安徽·文科·17

题·12

分)已知?为锐角,且

sin?=45,求①scions22??++scions22??之值;②求

tan(?-

5? 4

)

的值。(答案 :①20;②17)

★ 8、已知 sin(kπ +?)=-2cos(kπ +?)(k∈Z),求下列各式:

①5cos2?+3sin?cos?;②45scions??-+23csoisn??;③tan?(cos?-sin?)+

sin?+tan? cot?+si1n?

-1

25

解:① 5 ; ②10; ③sin?=± 5

二、 巩固练习(2): 三角变形的主要的公式有:①?±?的正弦、余弦、正切;②sin2?,
cos2?,tan2?,③sin2?,cos2?,④asin?+bcos?

★例 1、辅助角公式的应用:① 2 sinx± 3 cosx

2

2

② 1 sinx± 3 cosx ③ 3 sinx± 1 cosx

2

2

2

2

④sinx±cosx ⑤3 15 sin?±3 5 cos?

★例 2

化简:1-14sin22?-sin2(?-

? 4

)-cos4?

(为 1 2

(sin2?-cos2?)

★例 3 ①cos113°cos23°+sin113°cos67°

②11-+tcaont1755°°

③scions77° °+-csoisn1155° °ssiinn88° °

3 (答案:①cos90°=0,②tan30= 3 ,③2-

)

3

★题 4、(2006·广东·15 题·14 分)已知函数?(x)=sinx+sin(x+ ? ),x∈R, 2
① 求?(x)的最小正周期; ②求?(x)的最大值和最小值; ③若?(?)=3/4,求 sin2?之值。(答案:①2

2 π ,②±

;③-176

3 ★题 5、(2006·陕西·17 题·12 分)已知已知函数?(x)=

sin(2x- ? 6

)+2sin2(x-π12),(x∈R),①



?(x)的最小正周期; ②求使?(x)取得最大值的 x 的集合;

答案:①π ;②所求 x 的集合为:{x|kπ +51π2 ,k∈Z}





→ →→

★题 6、(2006·湖北·16 题·12 分)设向量 a =(sinx,cosx), b =(cosx,cosx),x∈R,函数?(x)= a ·( a + b ),①

求函数?(x)的的最大值和最小正周期; ②求使不等式?(x)≥32成立的 x 的取值范围的集合

学习好资料

欢迎下载

3 答案 ;最大值为2+

2 2

,最小正周期为π

,所求

x

的集合为:{x|kπ

-? 8

≤x≤kπ

+3π8

,k∈Z}

★题 7、(2006·湖南·16 题·12 分)如图,D 是直角三角形△ABC 斜边 BC 上的一点,且 AB=AD,记∠CAD=?,∠ABC=?,

① 证明 sin?+cos2?=0; ②若 AC=
(答案:?= ? ) 3

3 DC,求?的值。

★题 8、(2006·江西·19 题·12 分)在锐角三角形△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知

2 2 3 sinA=2

/3,①求 tan2(B2+C) +sin2(A2)的值;②若 a=2,S△ABC=

7 ,求 b 的值。(答案:①3,②b= )

★题 9、(2006·浙江·16 题·14 分)如图,函数 y=2sin(π x+?),(x∈R)(其

中 0≤?≤ ? )的图象与 y 轴交于点(0,1);①求?的值;②设 P 为图象上的 2

最高点,M,N

是图象与

x

→→ 轴的交点,求PM与PN的夹角。(答案:?=

?

;夹角

6

为 arccos1175)

(三)巩固练习(3):

★【※题

1】函数?(x)=tanω x(ω

>0)的图象的相邻两支截直线

?
y=



4

得的线段长为 ? ,则?( ? )之值是( A ) A 0 B 1

4

4

?
C -1 D
4

3 →



→→

→→

★【※题 2】已知 a =(cos?,sin?), b =(cos?,sin?),且 a 与 b 之间满足关系:|k a + b |=

→→ | a -k b |,其中 k>0,

→→

→→

则 a · b 的最小值是___,此时 a 与 b 的夹角大小为_______

解、平方得→a ·→b =k42+k1≥

1 2

则最小值为

1 2

→→ ,此时 a 与 b 的夹角大小为

60°

★【※题 3】函数?1(x)=Asin(ω x+?)(A>0,ω >0,|?|< ? )的一段图象过点(0,1),如图所示,①求函数?1(x)的解析 2

式;②将函数

→ y=?1(x)的图象按向量 a =(

?

,0)平移,得到函数

y=?2(x)的图象,求

4

函数 y=?1(x)+ ?2(x)的最大值,及此时自变量 x 的取值集合.

解、

①?1(x)=2sin(2x+ ? ); ②y=?2(x)= -2cos(2x+ ? ) y=?1(x)+ ?2(x)=

6

6

2 2 2

sin(2x-1π2) 当 x=kπ +274π (k∈Z)时,ymax=2

3 ★【※题 4】◆①若函数?(x)=sin3x- cos3x 在区间 M 上的最大值与最小值的差等于 4,则区间 M 一
定不可能是( C )

学习好资料

欢迎下载

?
A [-

,?

]

62

B [-π ,- ? ] 3

C

?
[



2?

]

23

D

?
[

,π

]

3

◆②设函数?(?)=acos2?+bsin2?+2acos?,其中 a≠b≠0,?∈[0,π ]则关于?的方程?(?)=0 的解有( )个 A 0

B1

C2

D 无数个

解、?(?)=(a-b)cos2?+2acos?+b=(a-b)t2+2at+b (-1≤t≤1)则?(-1)·?(1)=-3a2<0 又△>0 从而选(B);★【※

→ →→ →→ → 题 5】在三角形 ABC 中,若AB·BC+BC·CA+CA·AB=-6

①若∠C 为直角,求 c 边的长;②若三角形的周长等于 6,试判断三角形 ABC 的形状

解、①利用余弦定理,则有 c= 6 ;②可判断出△ABC 为正三角形

★【※题 6】函数?(x)=Asin(ω x- ? )(A>0,ω >0)的图象经过点(π ,2),且其单调递增区间的最大长度是 2π , 3

求出其单调递减区间。(解、A=4,周期为



,则有ω

=

1 2

,从而?(x)=4sin(

1 2

x-

? 3

),则单调递减区间为[53π

+4k

11π π, 3

+4kπ ] (k∈z)







→→

★【※题 7】已知向量m =( 3 sinx,cosx), n =(cosx,cosx), p =(2 3 ,1),①若 m ∥ p ,求 sin2x 的值;②设函数

→→ ?(x)= m · n ,△ABC 的三边 a,b,c 满足 b2=ac,且?(B)=1,试判断△ABC 的形状

→→

4

解、① m ∥ p 则 tanx=2,则 sin2x=5

从而为正三角形

1 ②?(x)=2

+sin(2x+ ? 6

),由?(B)=1 则 B= ? 3

。又由余弦定理有 a=c,

★【※题 8】已知→a =(-21,

3 2

→ →→ → → →



),OA= a - b ,OB= a + b ,若△AOB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,则向量 b

=_____,△AOB 面积为_____

→→ →→ →



解、 a ⊥ b 且| a |=| b |,则 a 旋转 90°画图知 b =(

3 2

,12)或(

-

3 2

,-21),△AOB 面积是 1

★【※题 9】若把函数的图象沿向量 a=(- ? ,-2)平移后,得函数 y=cosx 的图象,则原函数的解析式为( A ) 3

?

?

?

A y=cos(x- )+2 B y=cos(x+ )+2 C y=cos(x- )-2

3

3

3

?
D y=cos(x+ )-2
3





→ →1

★【※题 10】设向量 a =(cosx,sinx), b =( 3 sinx,-sinx),①求函数?(x)=loga( a · b +2) (a>0 且 a ≠1)的单调递增

区间;

②若→a ·→b =-21,且

x∈(0,

? 2

),求满足 sin(x-?)-sin(x+?)+sin2x=

3 2

的最小正角?。(解、?(x)=

loga(sin2x+

? 6

)则①当

a>1

时,↗为(kπ

-1π2,kπ

+π6

);

②0<a<1 时,↗为(kπ +π6 ,kπ +51π2 ) ③最小正角?=54π

四、巩固练习(4)

→→ ★【※题 1】已知 A(3,0),B(0,3),C(cos?,sin?), ①若AC· BC=-1,求 sin2?之值

学习好资料

→→

→→

②若|OA+OC|= 13 ,且?∈(0,π ),求OB与OC的夹角

→→ 解、sin2?=-5/9 OB与OC的夹角为 30°

欢迎下载

★【※题 2】已知?(x)=asin(π x+?)+bsin(π x-?),其中?、?、a、b 均为非零实数,若?(2005)= -1,则?(2006) 之值为( B ):A 0 B 1 C -1 D 2003

3 →
★【※题 3】已知向量 a =(4cosB,

cos2B-2cosB),→b =(sin2(

? 4

+B2),1),且?(B)=→a ·→b

①若?(B)=2,且 0<B<π ,求角 B; ②若对任意的角 B∈(0, ? ), ?(B)-m>2 恒成立,求实数 m 的取值范围.(解、 2

3 ①?(B)=

→→ a · b =2sin(2B+

?

3

),B=1π2;②m<2sin(2B+

? 3

)-2 恒成立,则 m∈(-∞,-

-2]

★【※题

4】已知?(x)=sin(x+ ?

?
)+sin(x-

)+cosx+a(a∈R,a

为常数,x∈R);

6

6

①求函数?(x)的最小正周期; ②若函数?(x)的最大值为 3,求实数 a 之值;

③求函数?(x)的递减区间.

解、①?(x)=2sin(x+ ? )+a,则最小正周期 T=2π ; ② a=1;

③函数?(x)的递减区间为[2kπ

?
+

,2kπ

+

4?

]

6

3

3

(k∈z)

1+ ★【※题 5】已知函数?(x)=

2? cos(4x- )

cos2x

4 ,①若函数?(x)的定义域为(0, ? ),求函数?(x)的单调递 4

减区间;②若?(x)=-2,求 x 之值。

2 解、①?(x)=2

?
sin(x+

),?(x)的单调递减区间为[ ?

,?

);②x=kπ

?
-

,(注意:x=kπ

?
-

时,cos2x=0,

4

84

2

4

应舍去)

五、巩固练习(5):

1、y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象和性质; 以及五点做图法的应用。

2、 y=Asin(ω x+?),y=Acos(ω x+?)的周期、奇偶性、对称轴、单调性、最值。

3、 巩固练习:①如果函数

y=sin2x+acos2x

的图象关于直线

?
x=-

对称,则

a=(

D

)

8

A2

2 B -

C 1 D -1

②求下列函数的周期:?y=sinx+cosx; ?y=sin(2x+ ? )cos2x; 8
?y=tanx-cotx; ③求函数 y=cos2x-3cosx+2 的最小值(答案为 0)

?y=cos24x;

★例

1 已知函数

y=2sin(ω

?
x+?)(|?|<

)的图象,①求出ω

、?的值;

2

②求出函数图象的对称轴方程,对称中心的坐标,最小正周期。

解:①ω

=2,?=

? 6

;②对称轴方程为:x=k2π

+

? 6

;对称中心的坐标为(kπ2

- π12,0),

学习好资料

欢迎下载

最小正周期为π ;★例 2、函数 y=3sin(2x+ ? )的图象可以看成是把函数 y=3sin2x 的图象经过怎样的平移变化 3
而得到的?

3 ★例 2、设函数 y=sin2x+

sinxcosx+a,①求?(x)的递增区间; ②当 x∈[0, ? ]时,?(x)的最小值为 2,

3

求出 a 的值,并说明此时经过怎样的变换,?(x)的图象可变为 y=sinx 的图象。(答案:a=2)

★例 3、求函数?(x)=sin4x+co2s-4sxin+2sixn2xcos2x的最小正周期、最大值、单调递增区间

★例 4、已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角 A、B、C 的大小。

解、A= ? 4



?
B=
3

,C=51π2

3 ★例 5、(2006 年福建·17 题·12 分)已知函数?(x)= sin2x+ sinxcosx+2cos2x,x∈R,① 求函数?(x)的
最小正周期和单调增区间;②函数?(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换而得到?

★例 6、(2006 年山东·17 题·12 分)已知函数?(x)==Asin2(ω x+?)(A>0,ω >0,0<?< ? ),且 y=?(x)的最大 2
值为 2,其图象相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2);①求?;②计算?(1)+?(2)+…+?(2008)

解、?= ? ,?(1)+?(2)+…+?(2008)=4×502=2008 4

3 →
★例 7、已知 A,B,C 是△ABC 的在个内角,向量 m =(-1,



→→

), n =(cosA,sinA),且 m · n =1;①求角 A;②

1+sin2B 若cos2B-sin2B=-3,求 tanC

解、A= ? 3

,tanC=

8+5 3 11

(注意:当 tanB=-1 时,cos2B-sin2B=2)

六、巩固练习(6):

★例 1、平面内有两点 A(1,cosx),B(cosx,1),其中 x∈[- ?

?
,

],①求向量 OA 与 OB 的夹角?的余弦值;②记

44

?(x)=cos?,求?(x)的最小值。

解:①

cos?

=

12+ccoossx2x;②

?(x) =

2cosx 1+cos2x

,而 2≤cosx+co1sx≤

3

2 2

,则?(x)的最小值为

2

2 3

,(注意:

最大值才是 1)

★ 例 2、 如图,点 P 是△ABC 内一点,且A→P=25A→B+15A→C,则△ABP 的面 积与△ABC 的面积之比是_____
解:由向量的平行四边形法则,则A→N=15A→C,从而所求之比为1→/5

★ 3、函数?(x)=cos(π -x)·lg|x|在区间[-π2 ,π2 ]内的图象是

学习好资料

欢迎下载

★4、将函数 y=sinω x(ω >0)的图象按向量→a =(-6π ,0)平移,平移后

的图象

如图所示,则该图象所对应的函数的解析式是( )

A y=sin(x+π6 )

B

y=sin(x-π6 )

C y=sin(2x+π3 )

D y=sin(2x-π3 )

★5、在直角坐标系中,横坐标和纵坐标均为整数的点叫做格点,若函数 y=?(x)

的图象恰好经过 k 个格点,则称函数 y=?(x)为 k 阶格点函数 。给出下列四个函数:① y=sinx;② y=log2x;③ y=ex-1;④ y=x2;其中为一阶格点函数的函数个数共有( )个

A1

B2

C3

D4

★ 6、已知数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,将数列{an}中的

各项排成如图所示的一个三角形数表,记 A(i,j)表示第 i 行从左至右的第

j 个数,例如 A(4,3)=a9,则 A(10,2)=( )

A 91

B 93

C 95

D 97

★7、定义运算 a◆b 为: a◆b= a (a≤b)

b (a>b) 则 1◆2x 的取值范围是______

★8、如果对某对象连续施加两次相同的变换,其结果还是变换前的对象,则称这种变换叫做“回归变换”,

例如,对于一个实数 a,其相反数的相反数仍是 a,所以“取实数的相反数”是一种回归变换。那么,对于任

意的实数 x,线性变换 y=kx+b(k、b∈R,b≠0)是回归变换的充要条件是_____

★9、某公司拟投资 13 亿元进行项目开发,现有 6 个项目可供选择,其投资额和利润如下表所示:

项目

A

B

C

D

E

F

投资额(亿元) 5

2

6

4

6

1

利润(千万元) 0.55 0.4 0.6 0.5 0.9 0.1

设计一个投资方案,使投资 13 亿元所获得的利润最大,则应选的项目是______(只需写出投资方案中的项目 的代号)

★10、设 a 为实常数,函数?(x)=coss3inx2-2cxosx + 3 sinx,若存在 x0∈(π2 ,π ),使得 a?(x0)=1+a 成立,求出 a 的取 值范围。

★11、某工厂有容量为 300 吨的水塔一个,每天从早上 6 点起到晚上 10 点止供应该厂生活和生产用水, 已知该厂生活用水是 10 吨/小时,工业用水 W 吨与时间 t (单位:小时,且定义早上 6 点时 t=0) 的函数关系式
为 W=100 t ,水塔进水量有 10 级,第一级每小时进水 10 吨,以后每提高一级,每小时进水就增加 10 吨,

学习好资料

欢迎下载

若某天水塔原有水量是 100 吨,且在供水的同时又打开进水管,请你设计进水量的级数,使得水塔既能保证该 厂用水 (水塔中的水不空),又不会使水溢出。


更多相关标签: